lampiran : materi ls - 1

LAMPIRAN
:
MATERI LS - 1
TRANSFORMASI
Istilah Geometri Transformasi dapat ditafsirkan sebagai geometri yang
membahas transformasi atau dapat ditafsirkan sebagai geometri yang dilandasi
oleh transformasi. Geometri yang digunakan adalah geometri Euclides.
A. Pengertian Transformasi
Definisi :
Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi bijektif dari V ke
V. Sehingga dalam penulisan yang lain, dapat dinyatakan T : V  V
merupakan
transformasi
jika
T
merupakan
fungsi
bijektif
dengan
V  x, y  x, y  R.
Berkenaan dengan definisi transformasi yang merupakan fungsi bijektif, perlu
terlebih dahulu ditegaskan tentang pengertian fungsi, fungsi injektif (satu-satu)
dan fungsi surjektif (pada).
Definisi :
Fungsi
f
disebut
fungsi
satu-satu
(bijektif)
jika
p, q  A, p  q
berlaku f ( p)  f (q) atau bila f ( p)  f (q) maka p  q .
p
f(p)
q
f(q)
Definisi :
Transformasi T adalah fungsi satu-satu dari himpunan titik-titik pada bidang
Euclides ke himpunan yang sama dengan mengambil semesta Euclides, berarti
seluruh teori geometri Euclides berlaku di dalamnya.
 Karena Transformasi T merupakan fungsi satu-satu, maka T selalu
mempunyai invers.
Contoh :
Selidiki apakah fungsi berikut merupakan Transformasi.
a. F((x, y)) = (x, -y)
b. F((x, y)) = (x+2, y-5)
c. F((x, y)) = (-x, y2)
d. F((x, y)) = (x, 1)
Jawab :
a. F((x, y)) = (x, -y)
 Ambil titik-titik
(1, 1)→(1, -1)
(7, 9)→(7, -9)
 Maka
merupakan
fungsi
satu-satu
karena  sepasang
titik
(( x1, y1 ), ( x 2 , y 2 ))  V dengan ( x1 , y1 )  ( x2 , y2 )  F ( x1 , y1 )  F ( x2 , y2 )
Karena F fungsi satu-satu maka F merupakan Transformasi.
b. F((x, y)) = (x+2, y-5)
 Ambil titik-titik
(1, 1)→(3, -4)
(7, 9)→(9, 4)
 Maka
merupakan
fungsi
satu-satu
karena
 sepasang
titik
(( x1, y1 ), ( x 2 , y 2 ))  V dengan ( x1 , y1 )  ( x2 , y2 )  F ( x1 , y1 )  F ( x2 , y2 )
Karena F fungsi satu-satu maka F merupakan Transformasi.
c. F((x, y)) = (-x, y2)
 Ambil titik-titik
(1, 1)→(-1, 1)
(1, -1)→(-1, 1)
Maka bukan merupakan fungsi satu-satu karena  sepasang titik
(( x1, y1 ), ( x 2 , y 2 ))  V dengan
( x1 , y1 )  ( x2 , y2 )  F ( x1 , y1 )  F ( x2 , y2 )
Karena F bukan fungsi satu-satu maka F bukan merupakan Transformasi.
d. F((x, y)) = (x, 1)
Ditinggalkan sebagai latihan.
B. Sifat-sifat Transformasi
Adapun sifat-sifat Transformasi adalah :
1.
Unsur tetap
a. Suatu titik yang bertahan terhadap Transformasi (T) di mana titik
tetap/invarian tetap.
b. Suatu garis yang bertahan terhadap Transformasi (T) disebut garis tetap
sehingga Transformasi (T) mempertahankan titik/garis.
2.
Kolineasi
Suatu Transformasi dikatakan kolineasi bila hasil Transformasi sebuah
garis lurus akan tetap berupa garis lagi atau
Jika g garis maka T(g) berupa garis.
3.
Identitas
Suatu Transformasi T disebut Transformasi Identitas jika T(A) = A untuk
setiap A di V. selanjutnya Transformasi Identitas dinyatakan sebagai I.
4.
Isometri
Transformasi U merupakan Isometri bila dan hanya bila pasangan titik P
dan Q dipenuhi P’Q’ = PQ dengan P’ = U (P) dan Q’ = U (Q)
5.
Involusi
Suatu Transformasi V merupakan Involusi jika V tidak sama dengan I dan
berlaku V2 = I. Ini berarti V = V-1
C. ISOMETRI
Definisi :
Transformasi U merupakan Isometri bila dan hanya bila pasangan titik P dan Q
dipenuhi P’Q’ =PQ dengan P’ = U (P) dan Q’ = U (Q).
Contoh : pencerminan
U(P)
P’
P
U(Q)
Q
Q’
Contoh :
1.
Ditentukan T((x, y)) = (x+1, y-5). Selidiki apakah T isometri.
 x'   x 1

T((x, y)) → (x’, y’) dengan  '   
 y   y  5
Ambil titik A( x1 , y1 ) dan B( x2 , y2 )
T ( A)  A' ( x1 , y1 ) dengan x1  x1  1 dan y1'  y1  5
'
'
'
T ( B)  B' ( x2 , y2 ) dengan x2  x2  1 dan y2'  y2  5
'
'
'
Sehingga :
A' B'  ( x 2'  x1' ) 2  ( y 2'  y1' ) 2
 (( x 2  1)  ( x1  1)) 2  (( y 2  5)  ( y1  5)) 2
 ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
 AB
Karena A’B’=AB maka T merupakan isometri.
2.
Selidiki apakah Transformasi berikut merupakan isometri.
 x'   x  2

T yang didefinisikan  '   
3
y
y


 
Ambil titik A( x1 , y1 ) dan B( x2 , y2 )
T ( A)  A' ( x1 , y1 ) dengan x1  x1  2 dan y1'  3 y1
'
'
'
T ( B)  B' ( x2 , y2 ) dengan x2  x2  2 dan y2'  3 y2
'
'
'
Sehingga :
A' B'  ( x 2'  x1' ) 2  ( y 2'  y1' ) 2
 (( x 2  1)  ( x1  1)) 2  (3( y 2 )  3( y1 )) 2
 ( x 2  x1 ) 2  9( y 2  y1 ) 2
 AB
Karena A’B’≠AB maka T bukan merupakan isometri.