SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN, DAN SEGITIGA

SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN, DAN
SEGITIGA ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI HIPERBOLIK
SKRIPSI
Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
untuk Memenuhi sebagian Persyaratan
guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh:
Humam Rosyadi
NIM 11305141033
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2016
PERSETUJUAN
Skripsi yang berjudul
“SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN, DAN SEGITIGA
ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI HIPERBOLIK”
yang disusun oleh:
Nama
: Humam Rosyadi
NIM
: 11305141033
Prodi
: Matematika
Telah disetujui
untuk diujikan dihadapan Anggota Dewan Penguji Skripsi
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Yogyakarta,
Oktober 2016
Dosen Pembimbing
Himmawati Puji Lestari, M.Si.
NIP. 197501102000122001
ii
HALAMAN PERNYATAAN
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya:
Nama
: Humam Rosyadi
NIM
: 11305141033
Program Studi
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Judul Skripsi
: SIFAT-SIFAT
DAN
KETEGAKLURUSAN,
KESEJAJARAN,
SEGITIGA ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI
HIPERBOLIK.
Menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri dan sepanjang
pengetahuan saya, tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan
orang lain, kecuali pada bagian-bagian tertentu yang diambil sebagai acuan atau
kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim.
Apabila pernyataan saya ini terbukti tidak benar, maka sepenuhnya menjadi
tanggung jawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan yang
berlaku.
Yogyakarta,
November 2016
Yang menyatakan,
Humam Rosyadi
NIM 11305141033
iv
MOTTO
Man Thalaba Syaian wa Jadda wa Jada,
wa Man Qara’a al Baaba wa Lajja wa Laja.
“Barang siapa menuntut sesuatu dengan kesungguhan pasti akan mendapat apa
yang diusahakan dan barang siapa membuka pintu terus menerus pasti ia akan
menemui.”
Biqodri maa tata’anna, tanaalu maa tatamanna.
“Sejauh mana kepayahan mu, sekian pula tercapai harapan mu.”
v
PERSEMBAHAN
Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah swt. sehingga skripsi ini dapat
diselesaikan.
Skripsi ini saya persembahkan untuk:
1. Ayah dan Ibu. Sutriyono, S.Ag dan Endang Budi Astuti, S.Pd yang telah
memberikan do’a, semangat, ilmu dan pengorbanan yang tiada terkira.
Semoga kesehatan dan keberkahan selalu berlimpah kepada keluarga kita.
2. Saudaraku. Bagus Budi Jatmiko, S.Pd & Siti Umi Rohani, S.Pd, Basit
Faqihul Ahkam, dan Arina Munadiya Fauziah yang telah memberikan
semangat dan pengorbanan. Saudaraku, mari kita berkarya dengan
kesungguhan, keyakinan dan keikhlasan. Terimakasih atas kesabaran dan
pengorbanan kalian. Barakallahu fiikum.
3. Guru, dosen, dan pendidik atas ilmu dan nasehat-nasehatnya yang menemani
langkahku saat ini.
4. Saudara seperjuangan: Yogya Ardi Winata, Ahmad Muhsin Ma’arif, Yoga
Warisman, Joko Andi Saputra. Teruslah bersama berjuang fii sabiilillah, jadi
yang terbaik.
5. Para Ustadz yang telah mendidik: Ibnu Assyakir, Ahmad Hidayat, Anjar
Riyadi, dan Raditya Permana. Semoga saya terus memperbaiki diri dan
menjadi pribadi yang selalu berlomba dalam kebaikan.
6. Sahabat-sahabatku:
a. Playground: Nurma, Atul, Casca, Yuli, Lutfi, A’yun, Dwiss, Muhsin,
Noval, Hasyim, dan Sahid. Trimakasih atas pertemanan dan kebersamaan
kalian.
b. LQ Jumat Malam bersama Ustadz Ibnu Assyakir: Rama, Shidiq,
Maulana, Dwi, Wira, Evan, dan Alif.
c. LQ bersama Mas Raditya Permana: Muhsin, Yoga, Aryok, GJ,Mutabik,
Swastaji, Imad, Pepi, Fikri, Arif, dll.
7. Teman-teman di Tutorial PAI UNY, Haska, Himatika, KKN, Formasi Bumi,
PII, Matsub/swa 2011, Matsub/swa 2012, dan pihak yang tidak bisa saya
sebut satu persatu. Terimakasih.
vi
SIFAT-SIFAT KETEGAKLURUSAN, KESEJAJARAN, DAN
SEGITIGA ASIMPTOTIK PADA GEOMETRI HIPERBOLIK
Oleh
Humam Rosyadi
NIM. 11305141033
ABSTRAK
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk menunjukan sifat-sifat yang
berkaitan dengan ketegaklurusan, kesejajaran, dan segitiga asimptotik pada
Geometri Hiperbolik.
Geometri Hiperbolik adalah geometri yang didasarkan pada Postulat
Kesejajaran Hiperbolik yang merupakan ingkaran dari Postulat Kesejajaran
Euclid. Pada Geometri Hiperbolik berlaku sifat-sifat yang berkaitan dengan
ketegaklurusan, kesejajaran, dan segitiga asimptotik (segitiga khusus yang
memiliki titik ideal dan memiliki sifat yang hampir mirip dengan segitiga pada
Geometri Euclid). Sifat ketegaklurusan berkaitan dengan adanya garis tegaklurus
persekutuan (common perpendicular) dan garis-garis
ultraparalel. Sifat
kesejajaran berkaitan dengan sudut kesejajaran dan sinar-sinar sejajar asimptotik.
Sifat segitiga asimptotik merupakan akibat dari sudut kesejajaran dan sinar-sinar
sejajar asimptotik.
Sifat ketegaklurusan meliputi: 1. tidak mungkin ada lebih dari dua titik
dalam sebuah garis memiliki jarak yang sama terhadap garis kedua, 2. dua garis
merupakan garis ultraparalel jika memiliki sebuah garis tegaklurus persekutuan, 3.
apabila sebuah garis tranversal memotong titik tengah garis tegaklurus
persekutuan, sudut dalam yang terbentuk oleh tranversal dan dua garis sejajar
adalah kongruen. Sifat kesejajaran meliputi: 1. sinar-sinar sejajar asimptotik
merupakan sinar-sinar yang membentuk sudut kesejajaran, 2. sudut kesejajaran
besarnya kurang dari 90°, 3. sinar-sinar sejajar asimptotik memiliki garis sejajar
persekutuan dan tidak memiliki garis tegaklurus persekutuan. Sifat segitiga
asimptotik meliputi: 1. segitiga asimptotik adalah segititga yang memiliki titik
ideal 2. dua buah segitiga yang sebangun maka keduanya kongruen, 3.
kekongruenan Sisi-Sudut dan Sudut-sudut berlaku pada segitiga single asimptotik,
4. kekongruenan sudut-sudut berlaku pada segitiga dobel asimptotik, dan 5.
Sebarang dua segitiga trebel saling kongruen.
Kata kunci: tegaklurus, sudut kesejajaran, sinar sejajar asimptotik, segitiga
asimptotik.
vii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur kehadirat Allah swt. sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi berjudul “Sifat-sifat Ketegaklurusan,
Kesejajaran, dan
Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik.” Penulisan
Skripsi ini dibuat untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh Gelar
Sarjana Sains di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Negeri Yogyakarta.
Skripsi ini tidak dapat diselesaikan tanpa bantuan, dukungan, bantuan
serta bimbingan beberapa pihak. Penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan
kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.
2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika
Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kelancaran
pelayanan dalam urusan akademik.
3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi, M.Si selaku Ketua Program Studi
Matematika Universitas Negeri Yogyakarta
4. Bapak Musthofa, M.Sc selaku Penasehat Akademik yang telah
memberikan pengarahan akademik selama mengikuti perkuliahan.
5. Ibu Himmawati Puji Lestari, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah
berkenan memberikan arahan dan bimbingan dengan penuh kesabaran
dalam penyusunan skripsi ini.
6. Bapak Murdanu, M.Pd yang telah memberi masukan dan saran dalam
penyusunan skripsi ini.
7. Seluruh dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri
Yogyakarta yang telah memberikan ilmu kepada penulis.
8. Orangtua dan keluarga yang telah memberikan doa, dukungan, serta
semangat kepada penulis.
9. Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini hingga selesai.
viii
Penulis menyadari adanya ketidaktelitian, kekurangan dan kesalahan dalam
penulisan tugas akhir skripsi ini. Oleh karena itu, penulis menerima kritik dan
saran yang bersifat membangun. Semoga penulisan tugas akhir ini dapat
bermanfaat bagi pembaca dan pihak yang terkait.
Yogyakarta,
November 2016
Penulis,
Humam Rosyadi
NIM. 11305141033
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN ................................................................................ ii
PENGESAHAN ..................................................................................................... iii
HALAMAN PERNYATAAN ............................................................................... iv
MOTTO .................................................................................................................. v
PERSEMBAHAN .................................................................................................. vi
ABSTRAK ............................................................................................................ vii
KATA PENGANTAR ......................................................................................... viii
DAFTAR ISI ........................................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xii
DAFTAR SIMBOL.............................................................................................. xiv
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah .............................................................................. 1
B. Batasan Masalah .......................................................................................... 3
C. Rumusan Masalah ....................................................................................... 4
D. Tujuan Penelitian......................................................................................... 4
E. Manfaat Penelitian....................................................................................... 5
BAB II KAJIAN PUSTAKA .................................................................................. 6
A. Pengenalan Geometri Non-Euclid ............................................................. 6
B. Geometri Insidensi .................................................................................... 10
C. Geometri Euclid ........................................................................................ 11
1.
Istilah Tak Terdefinisi dan Dua Aksioma Dasar ................................ 11
2.
Keantaraan .......................................................................................... 12
3.
Jarak dan Postulat Penggaris .............................................................. 14
4.
Postulat Pemisahan Bidang ................................................................ 14
5.
Postulat Busur (Protractor) dan Besar Sudut ................................... 19
6.
Teorema Crossbar .............................................................................. 21
7.
Teorema Pasangan Linier ................................................................... 25
8.
Postulat Sisi-Sudut-Sisi (Postulat S-Sd-S) ......................................... 26
9.
Postulat Kesejajaran Euclid................................................................ 27
D. Geometri Netral ......................................................................................... 27
1.
Teorema Sudut Luar ........................................................................... 28
x
2.
Teorema Sudut Dalam Berseberangan ............................................... 30
3.
Segiempat Saccheri ............................................................................ 32
4.
Segiempat Lambert ............................................................................ 33
E. Geometri Hiperbolik ................................................................................. 34
BAB III PEMBAHASAN ..................................................................................... 38
A. Sifat-sifat Ketegaklurusan pada Geometri Hiperbolik .............................. 38
B. Sifat-sifat Kesejajaran pada Geometri Hiperbolik .................................... 45
1.
Sudut Kesejajaran ............................................................................... 46
2.
Sinar-sinar Sejajar Asimptotik ........................................................... 54
C. Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik ........................................ 59
1.
Jenis-jenis Segitiga Asimptotik pada Geometri Hiperbolik ............... 61
2.
Kekongruenan dan Kesebangunan pada Geometri Hiperbolik .......... 62
BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 72
A. Kesimpulan................................................................................................ 72
B. Saran .......................................................................................................... 74
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 75
LAMPIRAN .......................................................................................................... 76
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Ruas Garis ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ .......................................................................7
Gambar 2. Lingkaran dengan Titik Pusat dan Jari-jari ̅̅̅̅ ...........................7
Gambar 3. Titik berada di Antara dan ..................................................12
Gambar 4. (a) Ruas Garis; (b) Sinar Garis; (c) Garis ......................................13
Gambar 5. (a)Bidang Konveks dan (b)Nonkonveks .......................................15
Gambar 6. (a) Irisan dua setengah bidang ⃡
,
⃡
(b) Interior Sudut
..............................................................16
Gambar 7. Segitiga
...............................................................................17
Gambar 8. Jika memotong ̅̅̅̅,
maka berpotongan dengan salah satu dari
(atau
) ..........18
Gambar 9. Mengukur Sudut Menggunakan Busur Sudut ...............................19
Gambar 10. (a) Sudut Siku-siku; (b) Sudut Lancip; dan (c) Sudut Tumpul ..21
Gambar 11. Ilustrasi Teorema Z .....................................................................22
Gambar 12. Titik Terletak pada
dan ̅̅̅̅..............................................22
Gambar 13. Pembuktian Teorema Crossbar ...................................................23
Gambar 14. Sudut
dan
Membentuk Sebuah Pasangan Linier..25
Gambar 15. Sudut Luar dan Sudut Interior Jauh pada Segitiga
...........28
Gambar 16. Pembuktian Teorema Sudut Luar ................................................29
Gambar 17. Garis Tranversal Memotong Garis dan di Titik dan .30
Gambar 18. Ilustrasi Pengandaian pada Pembuktian Teorema 2.8
(Terdapat titik yang Memotong dan ) ................................31
Gambar 19. Segiempat Saccheri pada Geometri Netral..................................33
Gambar 20. Segiempat Lambert pada Geometri Netral ..................................34
Gambar 21. Segiempat Saccheri S
pada Geometri Hiperbolik ........37
Gambar 22. Tiga Titik Berjarak Sama pada Teorema 3.1 ..............................40
Gambar 23. Garis Tegaklurus Persekutuan .....................................................41
Gambar 24. Segiempat Lambert L
dan L
dalam Segiempat Saccheri S
...........................................42
Gambar 25. Garis Tegaklurus Persekutuan pada Garis dan
adalah Tunggal .............................................................................43
Gambar 26. Tranversal Memotong Titik Tengah Garis Tegak Lurus
Persekutuan ..................................................................................44
Gambar 27. Konstruksi (Himpunan Beririsan untuk dan
)................48
Gambar 28. Ilustrasi dari Himpunan Beririsan pada Sinar Garis...................49
Gambar 29. Dua Sudut Kesejajaran untuk dan .......................................50
Gambar 30. Nilai kritis bergantung hanya pada jarak titik ke garis................51
Gambar 31. Besar Sudut Kesejajaran Bersifat Turun (Nonincreasing) ..........53
xii
Gambar 32. Ada Paling Sedikit Dua Garis Parallel,
Salah Satunya Membentuk Sudut Lancip ...................................54
Gambar 33. Sinar Garis
Sejajar Asimptotik dengan
...........................55
Gambar 34. Titik Q berada di antara
dan
............................................56
Gambar 35. Sudut
dan
merupakan Sudut Kritis .......................57
Gambar 36. Segitiga Asimptotik Single
atau
.........................60
Gambar 37. Segitiga Asimptotik Dobel
..............................................61
Gambar 38. Segitiga Asimptotik Trebel
...........................................62
Gambar 39. Berlaku Sd-Sd-Sd hanya pada Kekongruenan Segitiga ..............64
Gambar 40. Kekongruenan Sisi-Sudut pada Segitiga Λ
dan Λ
..................................................................................65
Gambar 41. Dua Segitiga Trebel Asimptotik
dan
Kongruen................................................67
xiii
DAFTAR SIMBOL
: Titik
: Garis
: Ruas garis yang memiliki ujung-ujung titik A dan B
: Sinar garis yang memuat titik B dan titik A sebagai ujung
⃡
: Garis yang memuat titik A dan titik B
: Panjang
: Titik P berada di antara titik A dan titik B
*
+
: Himpunan titik-titik A dan B
*
+ : Himpunan semua titik-titik P yang berada di antara titik A dan
titik B
: Sinar garis yang membentuk sudut sebesar
: Gabungan dua himpunan

: Sigma (jumlah besar sudut)
: Fungsi Kappa ( Fungsi kritis)
: Omega (titik ideal)
Φ
: Phi (titik ideal)
: Sudut dengan titik sudut B dan kaki-kaki sudut
dan
: Derajat sudut
(
)
: Besar sudut
: Setengah bidang yang dibatasi oleh garis
dan memuat titik .
: Segitiga dengan titik sudut A,B, dan C
: Segitiga asimptotik
: Segitiga asimptotik
dengan titik ideal )
(penulisan lain segitiga asimptotik
: Segitiga dobel asimptotik
: Segitiga trebel asimptotik
(
)
: Jarak titik P terhadap garis
: Garis
tegaklurus dengan garis
: Garis
sejajar dengan garis
xiv
: Garis
sejajar asimptotik dengan garis
: Kongruen dengan
: Sebangun
: Segiempat
S
: Segiempat Saccheri
L
: Segiempat Lambert
: Ahir sebuah pembuktian
xv