praktikum 1

Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
PRAKTIKUM 1
SIMULASI GERAK JATUH BEBAS
TUJUAN PRAKTIKUM
1. Menyelesaikan simulasi gerak jatuh bebas denngan algoritma Euler dan RungeKutta.
2. Membandingkan hasil dari pendekatan numerik dengan hasil analitis.
3. Mengintepretasikan grafik hasil.
DASAR TEORI
Misalkan sebuah partikel, misalnya sebuah bola di dekat permukaan bumi dikenai
sebuah gaya tunggal, yaitu gaya grafitasi. Kita mengasumsikan ahwa gesekan dengan
udara diabaikan, dan gaya grafitasi diberikan oleh
(1-1)
dimana m adalah massa bola dan g = 9.8 N/kg adalah medan grafitasi (gaya persatuan
massa) di dekat permukaan bumi. Untuk menyederhanakan permasalaha, pertama kita
mengasumsikan bahwa hanya ada satu arah gerak partikel yaitu gerak vertikal. Kita
menggunakan hukum Newton kedua untuk memperoleh gerakan bola
(1-2)
dimana y adalah koordinat arah vertikal dan berharga positip, t adalah waktu, F adalah
total gaya pada bola dan m adalah mass diam (yang samadengan massa grafitasi seperti
pada (1-1)). Jjika kita set
F =F g , (1-1) dan (1-2) menjadi
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
1
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
(1-3)
Persamaan (1-3) merupakan pernyataan dari sebuah model gerakan bola. Dalam kasus ini
model gerakan berupa persamaan diferensial orde dua. Solusi analitik dari persamaan (13) adalah
(1-4)
akan tetapi, yang akan kita lakukan adalah menentukan gerak jatuh bebas bola
secara numerik dengan tujuan untuk mengenalkan tool yang diperlukan dalam
menyelesaikan permasalahan yang sudah familiar bagi kita.
Kita mulai dengan menjadikan pernyataan (1-3) menjadi dua persamaan
diferensial berorde satu, yaitu
(1-5)
dimana v merupakan kecepatan bola pada arah vertikal. Selanjutnya, kita dapat
mendekati ungkapan derivatif pada (1-5) dalam ungkapan beda hingga menjadi
(1-6)
Dari (1-6), dengan menyususun kembali ungkapan ini maka akan diperoleh
(1-7)
Dari ungkapan (1-7), kita dapat memperoleh posisi dan kecepatan bola pada setiap saat.
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
2
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
TUGAS
1. Selesaikan simulasi gerak partikel ini dengan algoritma Euler (lihat ungkapan (17)). Set syarat awal
y t=0=3.0 dan v t=0=0 dan ukuran langkah h=0.1 .
2. Buat grafik fungsi y dan v sebagai fungsi waktu. Cocokkan dengan hasil analitik
(lihat ungkapan (1-4).
3. Kerjakan sekalai lagi, tetapi sekarang Anda menggunakan metode Runge Kutta
orde 2. Bagaimana jika Anda bandingkan hasilnya dengan ketika Anda
menggunakan metode Euler untuk ukuran langkah yang sama.
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
3
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
PRAKTIKUM 2
GAYA BERGANTUNG POSISI
Penyelesaian analitik dari gerak jatuh bebas di dekat permukaan bumi seperti pada
ungkapan (1-4) sudah sangat akrab dan penyelesaian numerik untuk masalah ini hanya
untuk pengenalan metode numerik saja. Adalah tidak terlalu sulit untuk memikirkan
model realistik untuk gerak jatuh bebas di dekat permukaan bumi yang mana persamaan
geraknya tidak terlalu mudah untuk diselesaikan secara analitik. Sebagai contoh, jika kita
mengingat kembali variasi medan grafitasi terhadap jarak dari pusat bumi, maka gaya
pada partikel adalah tidak konstan. Menurut hukum Newton tentang grafitasi, bahwa
gaya yang diakibatkan oleh bumi pada sebuah partikel bermassa m diberikan oleh
(2-1)
dimana y diukur dari permukaan bumi, R adalah jejari bumi, M adalah massa bumi, G
adalah konstanta grafitasi dan g=GM/R.
Illustration 1: (a) sistem koordinat dengan y posisitp ke arah vertikal ke
atas, (b) diagram gaya untuk benda jatuh, (c ) diagram gaya untuk
benda bergerak ke atas.
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
4
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
Untuk patikel di dekat permukaan bumi, modifikasi yang mungkin penting adalah
dengan memasukkan gaya gesek kadena resistensi udara. Arah dari gaya gesek
F d v 
berlawanan dengan arah kecepatan partikel (Lihat ilustrasi 1). Untuk benda yang jatuh
F d v  berarah ke atas. Oleh sebab itu, gaya total F pada benda jatuh dapat dinytakan
dengan
(2-2)
Selanjutnya, kita perlu menentukan bentuk
yang dapat digunakan untuk menentukan
F d v  secara empirik. Salah satu cara
F d v  ini adalah dengan mengukur y
sebagai fungsi t, kemudian menentukan v t  dengan menghitung derivatif numerik
dari y. Demikian pula, kita dapat menentukan secara numerik dari percepatan
a t 
dengan menggunakan v t  .Dengan demikian kita dapat menentukan percepatan
sebagai fungsi v kemudian menentukan F d v  dari (2-2). Akan tetapi, cara ini akan
menimbulkan kesalahan karena akurasi dari derivatif akan lebih rendah dari posisi yang
terukur. Cara alternatif yang dapat dipilih adalah dengan cara sebaliknya, yaitu kita
berasumsi bahwa F d secara ekspilisit bergantung pada v. kemudian menggunakannya
untuk menentukan
y t . Apabila perhitungan terhadap y(t) sesuai dengan hasil
eksperimen y(t) , maka asumsi bahwa F d bergantung kepada v adalah benar.
Dua asumsi yang umum digunakan untuk menggambarkan ketergantungan
Fd
terhadap v adalah
F 1,d =C 1 v
(2-3a)
F 2,d =C 2 v 2
(2-3b)
dan
dimana parameter C 1 dan C 2 bergantung kepada sifat mediaum dan bentuk dari
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
5
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
benda.
Oleh karena
F d semakin besar ketika v bertambah, maka terdapat sebuah
kecepatan terminal (terminal velocity) atau kecepatan batas (limiting velocity) yang mana pada
saat itu jumlah gaya yang bekerja pada benda jatuh sama dengan nol. Kecepatan terminal
ini dapat diperoleh dari ungkapan (2-2) dan (2-3) dengan mensetting
F d =mg , sehingga
diperoleh
(2-4)
Selanjutnya, jika ungkapan pada (2-3) menggunakan ungkapan kecepatan terminal
(2-4) maka diperoleh
(2-5)
Dengan demikian, gaya total yang bekerja pada benda jatuh seperti pada
ungkapan (2-2) dapat dinyatakan dalam dua bentuk,


(2-6a)
 
(2-6b)
F 1 v=−mg 1−
v
v 1,t
v2
F 2 v =−mg 1− 2
v 2,t
Gaya total per satuan massa dapat dinyatakan dari (2-6) yaitu
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
6
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si


(2-7a)
 
(2-7b)
F 1 v / m=−g 1−
F 2 v /m=−g 1−
v
v 1,t
v2
v 22,t
Untuk menentukan bahwa pengaruh gesekan dengan udara selama benda jatuh,
maka pandanglah sebuah kerikil dengan massa m = 10-2 kg. Pendekatan yang cocok untuk
masalah ini adalah bahwa drag force sebanding dengan
radius 0.01 m, secara empirik
v 2 . Untuk kerikil dengan
C 2 bernilai sekitar 10-4 kg/m. Dari (2-4), maka kita dapat
peroleh bahwa kecepatan terminalnya sekitar 30 m/s. Dari hasil running program,
kecepatan terminal dapat diperoleh ketika benda jatuh sejauh 50 m pada sekitar 3 detik.
#include<stdio.h>
#include<math.h>
main(){
float v,vo,temp,g,h,v2,t,y,yo;
double i,N;
printf("Masukkan ketinggian awal yo :");scanf("%f",&yo);
printf("Masukkan kecepatan awal vo :");scanf("%f",&vo);
h=0.01; //step size
g=9.8; //percepatan grafitasi
N=1000;
y=yo;
v=vo; //inisialsisasi untuk v
v2=30.0;
for (i=1;i<=N;i++){
t=i*h;
y=y+v*h;
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
7
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
v=v-g*h*(1.0-v*v/(v2*v2));;
if (y<0)
break;
temp=v;
printf("%f %f %f \n",t,v,y);
}
}
TUGAS
1. Lihat tabel 1, gunakan data empirik dalam tabel tersebut untuh tinggi
y t dari
penyaring kopi seperti terlihat pada illustration 2 untuk menentukan kecepatan
v t  dengan menngunakan pendekatan beda terpusat.
Tabel 1. Data empirik untuk penyaring kopi yang jatuh dalam dalam minuman
koopi
2. Tentukan jika kita menuliskan percepatan sebagai
a t ≈
v t t−v t 
t
kemudian menggunakan pendekatan beda mundur untuk kecepatan
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
8
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
v t ≈
Supardi, M.Si
y t− y t− t 
, maka kita dapat menyatakan percepatan
t
sebagai
(2-8)
Selanjutnya, gunakan (2-8) ini untuk mencari perceptannya.
3. Tentukan kecepatan terminal dari data pada Tabel 1. Penentuan ini sulit, karena
kecepatan terminal tidak tercapai selama waktu jatuhnya penyering kopi. Gunakan
hasil perkiraan Saudara untuk v t  dan a t  untuk mengeplot a sebagai fungsi
v.
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
9
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
PRAKTIKUM 3
LINTASAN GERAK BENDA 2 DIMENSI
Mungkin kita sudah familiar dengan masalah lintasan gerak dalam 2 dimensi
tanpa kehadiran gesekan udara. Sebagai contoh, sebuah bola dilempar ke udara dengan
kecepatan awal
v 0 dengan sudut lempar
 0 (besar sudut terhadap tanah). Seberapa
jauh bola akan meninggalkan pelempar pada arah horisontal dan berapa tinggi
maksimum yang dicapai oleh bola serta berapa lama bola akan terbang di angkasa?
Misalnya bola dilepas pada ketinggian tertentu, berapa sudut lemparan untuk jangkauan
maksimum? Apakah jawaban Anda masih berlaku apabila gerakan sudah dipengaruhi
oleh gesekan udara.
Pandanglah sebuah benda dengan massa m dengan kecepatan awal v 0 diarahkan
dengan sudut
0 di atas horosontal. Partikel dipengaruhi oleh gaya graffitasi dan gaya
gesek udara yaitu mg dan Fd , arah dari gaya selalu berlawanan arah dengan arah
kecepatan benda
Illustration 2: (a) Bola dilempar dari ketinggian h dengan sudut lemparan
0 dihitung dari horisontal dan kecepatan awal v 0 (b) gaya grafitasi
dan gaya gesek pada benda yang bergerak.
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
10
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
Menurut hukum gerak Newton, komponen x dan y gerakan ini dapat dituliskan
sebagai
(3-1)
Misalnya, kita pandang sebuah bola baja dengan radius 4 cm. Asumsi yang cocok
untuk bola baja dengan ukuran ini adalah bergerak gaya gesekan sebesar
Oleh karena
F d =C 2 v
.
2
v x =v cos  dan v y =v sin  . Selanjutnya kita dapat menuliskan ungkapan
(3-1) menjadi
dv x
=−C 2 v v x
dt
dv
m y =−mg−C 2 v v y
dt
m
Ingat, bahwa
gesek
(3-2)
−C 2 v v x dan −C 2 v v y merupakan komponen x dan y dari gaya
F d =C 2 v 2 . Oleh karena (3-9) pada perubahan
dari komponen kecepatan ini, yaitu
v x dan v y melibatkan kuadrat
v 2 =v 2x v 2y , maka kita tidak dapat menghitung
gerak vertikal tanpa memperhitungkan komponen horizontal, artinya bahwa gerak pada
arah x dan y adalah terkopel.
Tugas
1. Buatlah program komputer untuk menghitung trayektori dua dimensi dari bola
yang bergerak di udara tanpa pengaruh gaya gesek dengan udara kemudian
buatlah plot y sebagai fungsi x. Bandingkan hasil perhitungan Anda dengan hasil
eksak. Sebagai contoh, misalnya bola tersebut dilempar dari permukaan tanah
dengan sudut
 0 dengan kecepatan awal
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
v 0 =15 m/ s . Variasikan sudut
0
11
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
dan perlihatkan bahwa tinggi maksimum terjadi pada range
Dapatkan tinggi maksimum
analitik yaitu
0=max=45o .
Rmax . Bandingkan hasil numerik dengan hasil
Rmax =v02 / g .
2. Misalnya bola dilempar dari ketinggian tertentu, misalnya h, dengan sudut
0
diatas horisontal dengan kecepatan awal sama dengan (1). Jika Anda mengabaikan
gesekan dengan udara, apakan Anda berharap bahwa
 max menjadi lebih besar
atau lebih kecil dari
h=2 m . Berapa persen
45 o ? Hitunglah
max untuk
perubahan R jika  divariasikan 2% dari max .
3. Sekarang perhitungkan efek gesekan dengan udara. Untuk bola dengan massa 7
kg dan tampang lintang 0.01 m2, parameter C 2≈0.1 . Apakah satuan untun C 2
. Hitunglah sudut optimum untuk
h=2 m , v 0=30 m/ s , C 2 /m=0.1 , bandingkan
hasil Saudara dengan poin (2). Apakah R lebih atau kurang sensitif terhadap
perubahan
 0 dari
 max dibandingkan dengan (2). Tentukan sudut optimum
lemparan untuk parameter C 2=0.1.
Sebagai ilustrasi, tulislah program dan tampilkan hasilnya dalam bentuk grafik.
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define pi 3.14
main()
{
float temp_y,ymax,phi,C2,v,v0,vx,vx0,vy,vy0,x1,y1,y,y0,x,x0,h,theta0,t,m=5.0,g=9.8;
double i,N;
printf("Masukkan kecepatan awal :");scanf("%f",&v0);
printf("Masukkan sudut lemparan :");scanf("%f",&theta0);
printf("Masukkan y0 :");scanf("%f",&y0);
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
12
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
printf("Masukkan x0 :");scanf("%f",&x0);
phi=pi/180.0*theta0;
vx0=v0*cos(phi);
vy0=v0*sin(phi);
vx=vx0;
vy=vy0;
y=y0;
x=x0;
C2=0.10;
N=10000;
h=0.01;
FILE*pf;
pf=fopen("peluru2d.txt","w+");
for (i=1;i<=N;i++){
t=i*h;
temp_y=y;
x=x+vx*h;
x1=vx0*t;
vx=vx-C2*sqrt(vx*vx+vy*vy)*vx*h;
y=y+vy*h;
if (y<0)
{y=0;}
vy=vy-g*h-C2*sqrt(vx*vx+vy*vy)*vy*h;
y1=vy0*t-0.5*g*t*t;
printf("%f %f %f %f %f %f %f\n",t,x,x1,y,y1,vx,vy);
fprintf(pf,"%f %f %f\n",t,y,y1);
if (y>temp_y)
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
13
Modul Praktikum Simulasi Fisika,
Supardi, M.Si
ymax=y;
else
ymax=ymax;
if (y1<0)
{
y1=0;
break;}
}
printf("%f",ymax);
}
Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010
14