PENDAHULUAN Riset Operasional (Operation

PENDAHULUAN
Riset Operasional (Operation Research) kadang-kadang juga disebut sebagai
management science atau System An/ysis. Riset Operasional adalah suatu teknik
pengambilan keputusan untuk memecahkan masalah praktis dalam suatu sistem yang
diarahkan pada pencapaian solusi yang optimum.
Teknik
pengambilan
keputusan
praktis
itu
dilakukan
dengan
melakukan
riset/pengamatan terhadap keterkaitan setiap komponen dan operasi dan sistem
tersebut kemudian diabtraksikan dalam bentuk model. Dan model itu kemudian dapat
dilakukan analisis dengan teknik komputasi atau simulasi sehingga diperoleh solusi
yang optimal. Oleh karena itu Operations Research sering disebut juga sebagai
Research on Operations.
Berdasarkan model pemecahan masalah kita kenal beberapa teknik pengambilan
keputusan dalam operations research yaitu Linear programming, Transportation
problem, Network modeling, Dynamic programming, Inventory theory, Queuing theory,
Markov process, dan Time series fortcasting
LINEAR PROGRAMMING
Linear programming (LP) merupakan teknik pengambilan keputusan dalam masalah
alokasi sumber daya yang terbatas yang secara bersamaan diperlukan oleh beberapa
aktivitas sedemikian rupa sehingga akan memperoleh hasil yang optimum terbaik.
Pemecahan
masalah
dengan
Linear
Programming
dilakukan
dengan
cara
mengabtraksikan masalah tersebut kedalam bentuk model mathematik. Kata linear dan
LP memberikan pengertian bahwa fungsi mathematik dalam model tersebut semua
dalam bentuk fungsi linear.
Contoh Kasus Linear Programming
”Windor GlassCo”, merupakan suatu perusahaan kaca yang memproduksi kusen
alumunium dan kusen kayu dengan berbagai ukuran. Untuk menghasilkan produk itu
diperlukan 3 macam bengkel. Bengkel-1 untuk pembuatan kerangka alumunium,
bengkel 2 untuk pembuatan kerangka kayu, dan bengkel - 3 untuk penyetelan dan
pemasangan kaca pada kerangka kusen. Karena menghadapi masalah pemasaran,
perusahaan itu terpaksa menghentikan pembuatan beberapa produk yang kurang laku,
narnun akibatnya 3 bengkel yang dimilikinya mempunyai kelebiahan kapasitas kerja.
Untuk memanfaatkan kelebihan kapasitas kerja itu, perusahaan akan memproduksi 2
macam produk yang sangat laku di pasaran yaitu kusen alumunium ukuran 2 x 3
Universitas Gadjah Mada
meter,, dan kusen kayu ukuran 2 x 3 m. Karena kedua produk itu sam
sama-sama
dikerjakan pada bengkel - 3 masalahnya adalah menentukan berapa unit masing
masingmasing produk itu harus dibuat agar bengkel tersebut dapat dimanfaatkan dengan
hash yang paling baik. Untuk memecahkan
memecahkan masalah itu pihak manajemen
menugaskan pada tim OR untuk menyelesaikaimya. Setelah mengamati setiap
komponen dan operasi dan perusahaan itu. Tim OR menentukan untuk meneliti : 1)
kelebihan kapasitas kerja dan masing masing bengkel, 2) penggunaan kapasitas
pasitas kerja
dan masing-masing
masing produk, 3) unit keuntungan dan masing-masing
masing masing produk. Hasil
pengamatan ditabulasikan sebagai berikut:
Formulasi Model Mathrmatik
Misalkan X1 dan X2 berturut-turut
berturut
adalah unit produk-1 dan produk-2
2 yang akan
diproduksi tiap hari, dan Z adalah total keuntungan tiap hari yang akan diperoleh dari
penjualan 2 macam produk tersebut, maka secara mathematik dapat dirumuskan
bahwa:
Z=3X1+5X2
Dengan
Z
= total keuntungan
euntungan yang diperoleh (Rp/hari)
(Rp/har
X1 = laju produksi produk-1(unit/har
1(unit/hari)
X2 = laju produksi produk-2
2 (unit/hari
(unit/hari)
X1 dan X2 merupakan variabel keputusan dari model dan sasarannya adalah
menentukan berapa nilai X1 dan X2 agar Z = 3 x 1 + 5 x 2,, mencapai nilai yang
rnaksirnum namun tidak melampa
melampaui kendala keterbatasan kapasitas bengkel
engkel yang
tersedia.
Dari tabel di atas menunjukkan bahwa
b
pembuatan setiap unit produk-1
1 tiap han
membutuhkan 1 jam kapasitas kerja bengkel-1
1 secara matematik dapat dirurnuskan
bahwa X1<= 4, dengan cara yang sama bentuk mathematik kendala untuk bengkel-2
adalah 2 X 2 <= 12, dan kendala untuk bengkel-3 adalah : 3 X1 + 2 X2 <= 18, dan
karena laju produksi tidak mungkin negative maka X1
0 dan X2
.
Dalam bahasa mathematik, penyelesaian masalah tersebut dengan teknik LP adalah
menentukan berapa besarnya nilai X1 dan X2 untuk:
Memaksimumkan
:
Z=3X1+5X2
Dengan kendala
:
X1
<= 4
2 X2
<= 12
3 X1 + 2 X 2 <= 18
dan
X1
0, X2
0
Komputasi Linear Programming
Metode Grafik
Setelah selesai menyusun model mathematik dan masalah yang akan dipecahkan,
langkah selanjutnya adalah menghitung berapa besarnya nilai variabel keputusan agar
fungsi objectif mencapai nilai yang optimum.
Contoh kasus “Wyndor Glass Co” merupakan model LP yang sangat kecil, kasus itu
hanya terdiri dari 2 variabel keputusan. Untuk kasus seperti itu dapat dipecahkan
dengan metode grafik, yaitu dengan cara menggambarkan dalam grafik 2 dimensi
dengan absis sebagai sumbu X1 dan ordinat sebagai sumbu X2.
Metode Simplex
Metode simplex merupakan metode yang sangat efisien dan prosedur yang paling
digunakan untuk komputasi linear programming. Prinsip dari Metode Simplex
komputasi simultan untuk menghitung besarnya multi variabel yang akan oleh Gaus
Yordan.
Universitas Gadjah Mada
Prosedur Komputasi Metode Simplex
1. Memasukkan slack vanabel untuk merubah bentuk fungsi kendala dan bentuk (<)
menjadi ( = )
Mak : Z = 3X1 + 5X2
Mak : Z – 3X1 – 3X2
Kendala :
Kendala :
=0
X1
<= 4
X1 + X3
=4
2X2
<= 12
2X2 + X4
= 12
3X1 + 2X2
<= 18
3X1 + 2X2 + X5
= 18
X1, X2
>= 0
X1, X2, X3, X4, X5
>= 0
X3, X4 dan X5 adalah slack variable
2. Penyusunan dalam bentuk tabel awal simplex
X3, X4, dan X5 adalah disebut
diseb variabel
abel dasar besamya sama dengan harga pada
kolom nilai, sedangkan X1 dan X2 disebut variabel non dasar dan nilainya
nya = 0
Solusi awal: X1 =0, X2 =0, X3 =4, X4 = 12, X5 = 18 dan fungsi objectif Z = 0
Kesimpulan : belum optimal
3. Mulai Komputasi
Menentukan variabel non dasar yang akan menjadi variabel dasar yang baru, dan
menentukan variabel dasar yang
yang akan digantikan oleh variabel dasar yang baru
masuk
Persamaan IV bentuk simplek tidak memiliki slack variabel yang akan dimasukkan
sebagai initial basic variabel dalam tabel dalam tabel awal. OIeh karena itu
diperlukan tambahan variabel baru yang disebut
disebut artificial variabel, sehingga
persamaan IV menjadi 3 X1 + 2 X2 + X5 = 18
Dengan syarat bahwa pada solusi akhir nilai dari X5 harus 0
Solusi awal :
X3
=4
X4
= 12
X5
= 18
X1, X2
=0
Fungsi objectif : Z = 0
Metode Big M
Tabel itu bila dilanjutkan dengan iterasi tidak menjamin bahwa pada akhir solusi
akan menghasilkan X5 = 0, untuk mengatasi itu maka digunakan Metode Big M,
Fungsi objektifsekarang diubah menjadi:
Z = 3X1 + 5X2 – M –X5
M : suatu bilangan yang relative sangat besar
Fungsi oblektif tersebut akan mencapai nilai yang maksimumkan bila X5 = 0
Untuk menyusun tabel simplex bentuk fungsi objectif diubah bentuknya menjadi
Iterasi – 1
Hasil Iterasi – 1
Solusi : X1 =0, X2 = 6, X3 = 4, X4 = 0, X5 = 6
Fungsi obejctif Z = 30,
Iterasi – 2
Hasil iterasi – 2
Kesimpulan : belum optimal
Solusi : X1 = 2, X2 = 6, X3 = 2, X4, X5 = 0
Fungsi objectif Z = 36,
Kesimpulan : telah mencapai optimal
Model Linear Programming
Dalarn contoh kasus “Wyndor Glass Co”, terlihat bahwa dalam
dalam model itu hanya
terdiri dari 3 sumber daya yang dialokasikan terbatas (kapasitas bengkel) yang
dimanfaatkan untuk 2 macam aktivitas (memproduksi produk-2
produk 2 dan produk
produk-2).
Seandainya suatu model mempunyai (m) sumber daya yang terbatas dan akan
digunakan untuk melakukan (n) aktivitas
aktivitas kemudian misalkan (c) adalah unit
keuntungan
tungan dan variabel keputusan Xj,
Xj dan
an (bi) adalah nilai kendala dari sumber
daya ke-i,i, kemudian aij unit sumber daya ke
ke-1
1 yang dipenlukan untuk aktivitas j,
maka data itu dapat ditabulasikan sbb:
Dari tabel di tersebut kemudian data dibuat model mathematik sebagai berikut:
Maksimumkan:
Z = Cl X1 + C2 X2
X + ………. + Cn Xn
Dengan kendala
A11 X1 + A12 X2 + ………….+ Am Xn <= Bi
A2 1 X1 + X22 X2 + ………+ A2n Xn <= B2
Am1 X1 + Am2 X2 + ……. + AmnXn <= Bm
X1,, X2 >= 0
Model seperti tersebut diatas disebut bentuk standard dan masalah linear
programming. Setiap permasalahan yang model mathematiknya menghasilkan
model seperti itu maka masalah tersebut diklasifikasikan dalam kelompok LP.
Namun demikian tidak semua masalah LP
P akan menghasilkan model mathematik
dalam bentuk standar seperti diatas, misalnya:
1. Fungsi objectif bukan memaksimumkan tetapi justru meminimumkan
2. Fungsi kendala bukan (<=) tetapi ( = )
3. Fungsi kendala bukan (<=) tetapi ( >= )
4. Variabel keputusan belum pasti >= 0 tetapi mungkin negative atau positif
Model LP Dengan Fungsi Kendala ( = )
Persamaan IV bentuk simplek tidak memiliki slack variabel yang akan dimasukkan
sebagai initial basic variabel dalam tabel dalam tabel awal. OIeh karena itu
diperlukan tambahan
an variabel baru yang disebut artificial variabel, sehingga
persamaan IV menjadi 3 X1 + 2 X2 + X5 = 18
Dengan syarat bahwa pada solusi akhir nilai dari X5 harus 0
Solusi awal :
X3
=4
X4
= 12
X5
= 18
X1, X2
=0
Fungsi objectif : Z = 0
Metode Big M
Tabel itu bila dilanjutkan dengan iterasi tidak menjamin bahwa pada akhir solusi
akan menghasilkan X5 = 0, untuk mengatasi itu maka digunakan Metode Big M,
Fungsi objektifsekarang diubah menjadi:
Z = 3X1 + 5X2 – M –X5
M : suatu bilangan yang relative sangat besar
Fungsi oblektif tersebut akan mencapai nilai yang maksimumkan bila X5 = 0
Untuk menyusun tabel simplex bentuk fungsi objectif diubah bentuknya menjadi
Z–3
X1 – 5 X2 + M X5 = 0
Sehingga dihasilkan table awal sbb :
Solusi Awal : X1 = 0, X2 = 0, X3 = 4, X4 = 12X dan X5 = 18
Fungsi objecyif Z = ( 3 ) ( 0 ) + ( 5 ) ( 0 ) + ( 0 ) ( 4 ) + ( 0 ) ( 12 ) – ( M ) ( 18 ) solusi
itu tidak fisibel karena seharusnya Z = 0
Pers. I perlu dimodifikasi dengan cara sebagai berikut :
I
Z – 3X1 5 – X2 + 0 X3 + 0 X4 + M X5
=0
III
3 X1 + 2 X2 + X5
= 18
I
Z – 3 X1 – 5 X2 + 0 X3 + 0 X3 + 0 X4 + MX5
=0
IIIxM
3M X1 + 2M X2 + M X5
= 18 M
Z – (3M + 3) X1 – (2M + 5) X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0X5
= - 18 M
Masukkan kembali kedalam table simplex diperoleh hasil sebagai berikut
berikut :
Solusi awal: X1 = 0,X2 = 0,X3 = 4, X4 = 12, X5 = 18,Z = - 18 M
Interasi - 1
Hasil Interasi - 1
Solusi ; X1 = 4, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 12, X5 = 6, Fungsi objectif Z = -6M + 12,
belum optimal
Interasi – 2
Hasil Interasi – 2
Solusi ; X1 = 4, X2 = 3, X3 = 0, X4 = 6, X5 = 0, Fungsi objektif Z = 27, belum
optimal
Model Linear programming dengan kendala (>=)
Contoh:
Z mak = 3 X 1 + 5 X 2
X1 <= 4
2 X 2 <= 12
3 X 1+ 2 X 2 >= 18
Kendala: 3 X1 + 2 X 2 >= 18
Dapat diubah dengan mengkalikan —1, sehingga menjadi:
-3 X 1 – 2 X2 + X5= -18
kemudian masukkan slack variabel kedalam persamaan tersebut
-3 X 1- 2 X2 + X5=- 18
dan akan menghasilkan tabel awal sbb:
Dari tabel awal itu akan menghasilkan solusi awal sebagai berikut:
X1 = 0, X2 = 0, X3 = 4, X4 = 12, dan X5 = -18, fIingsi objektif Z = 0,
Solusi yang dihasilkan tersebut tidak fisibel karena X5 = -18,
18, padahal seharusnya
X5>=0
Seandainya persamaan tersebut dikalikan dengan -1,
1, maka akan berubah menjadi
3 X1 + 2 X2 X5 = 18, dan
an akan menghasilkan tabel awal sebagai berikut:
be kut:
Tabel
abel tersebut tetap belurn dapat rnenghasilkan solusi yang fisibel karena koefisien
variabel dasar untuk X5 nilainya
ni
- 1, padahal seharusnya + 1
Persarnaan : 3 X1 + 2 X2 - X5 = 18 dianggap sebagai kendala dengan tanda ( = ),
kemudian dimasukkan variabel artificial X6, akan diperoleh:
3 X1 + 2 X2 - X5 + X6 = 18
dan menambahkan
ahkan Big M dalam fungsi objektif
Z = 3 X1 + 5 X2 - MX6
X5 disebut sebagai surplus variabel,
va
variabel ini tidak
dak dimunculkan sebagai Basic
variabel pada solusi awal.
Untuk menyusun kedalam bentuk tabel awal diperlukan modifikasi dan fungsi
objektif dengan cara sebagai berikut:
I
Z – 3 X1 – 5 X2 + M X6
IV
I
=0
3 X1 + 2 X2 - X5 + X6
= 18
Z – 3 X1 - 5 X2 + M X6
=0
IV x M 3MXI + 2 M X2- MX5 + M X6
= 18M
Z - (3M+3) X1 - (2M+5)
(2M
X2 + MX5
= -18M
Masukkan
an dalam tabel simplex diperoleh hasil sebagai berikut:
be
Tabel Awal
Solusi awal : X1= 0, X2 = 0,X3 = 4, X4 = 12, X5 = 0,X6 18, Z= -18M
dilakukan iterasi akan diperoleh hasil sebagai berikut:
Minimasasi
Minimumkan: Z = 3X1 + 5X2
Kendala
X1
=4
2X2
=12
3 X1 + 2 X2 >= 18
X1 X2 >= 0
X1,
Secara mathematik
matik merninirnumkan
merninirnumkan suatu fungsi sarna dengan rnernaksirnumkan
harga negatif dari fungsi itu, sehingga:
Minimurnkan Z = 3 X1 + 5 X2, sama dengan
Maksimurnkan : -Z = -3
3 X1
X — 5 X2, dengan demikian model di atas dapat dirubah
bentuknya menjadi:
Maksimumkan : -Z = -3
3 X1
X —5 X2
Kendala
: X1
=4
2 X2 = 12
3 X1 + 2 X2 >= 18
X1, X2 >=
Langkah selanjutnya adalah menyusun model tersebut kedalam bentuk tabel
simplek, dengan lebih dahulu dilakukan modifikasi karena adanya kendala yang
tidak standar atau ( >= ) dengan cara sebagai berikut:
I
III
IV
-z
+3 X1+ 5 X2 + M X4 + M X6
2MX2 + M X4
=0
= 12 M
3 MX 1+ 2M X2 – M X5 + M X6
-Z - (3M - 3) X1 - (4M-5)
(4M X2 + MX5
= 18 M
= - 30 M
Interasi-1
Hasil Interasi - 1
Interasi-2
MODEL TRANSPORTASI
Suatu Perusahaan perkebunan mempunyai 3 kebun dan 3 gudang pupuk yang
lokasinya saling terpisah satu dengan lainnya. Masing-masing
Masing masing kebun memerlukan
pupuk 35 ton, 40 ton dan 40 ton. Sementara itu masing-masing
masing masing gudang
mempunyai stok pupuk 45 ton, 50 ton dan 20 ton.
Karena lokasi yang berbeda biaya angkut tiap ton pupuk dan gudang ke kebun
berbeda
eda pula sesuai dengan jaraknya, yaitu sebagai berikut:
.
Namun
un secara teknis waktu untuk iterasi dengan menggunakan metode simplex
terhadap masalah tersebut sebetulnya terlalu panjang, ada metode lain yang lebih
pendek waktu interasinya
nya yaitu dengan menggunakan metode transportasi.
Solusi awal metode transportasi
Ada 3 cara:
1.
Metode North-west
west corner
2.
Metode Vogel Approximatiom
3.
Metode Rusell’s Approximation
Solusi awal: Z = 25.5 + 20.20 + 10.10 + 40.8 + 20.20 = 1345
Modified Distribution Method
(MODI)
Untuk mendapatkan solusi yang optimum dan solusi awal yang diperoleh dan 3
cara
tersebut di atas, diperlukan langkah iterasi dengan metode MODI
Solusi awal : North-west
west corner
NETWORK SCHEDULING
Network adalah abstraksi dan pelaksanaan suatu proyek yang digambarkan dalam
bentuk garis-garis
garis yang menunjukkan hubungan antara satu kegiatan dengan
kegiatan lainnya. Network scheduling merupakan teknik penjadwalan dengan
sasaran agar proyek tersebut dapat terlaksana tepat kontrol dan tepat waktu. Ada
dua metode dalam network scheduling yaitu CPM (Critical Path Method) dan
PERT (Program Evaluation and Review Technique). Kedua metode di atas sering
juga disebut dengan istilah CPS (Critical Path Scheduling)
Langkah Membuat Network
1.
Menentukan daftar kegiatan (aktivitas), dan alokasi waktu
2.
Menentukan keterkaitan antar kegiatan
3.
Menyusun network
ork atas dasar kedua informasi di atas
1.
Menentukan daftar kegiatan
Contoh Proyek Pembuatan Mesin Pertanian
3. Membuat network
Setiap kegiatan digambarkan oleh sebuah garis panah yang pada
pa
setiap
ujungnya diberi nomor.
Contoh :
Network di atas menggarnbarkan bahwa aktivitas design mempunyai alokasi
waktu 4 unit waktu dan dimulai dan titik 1, dan berakhir pada titik 2
2. Kadangkadang aktivitas design itu dapat pula disebut dengan aktivitas 1-2
Gambar di atas rnenunjukkan bahwa akhir kegiatan A merupakan awal kegiatan
B dan keterkaitan antara kedua kegiatan itu ditulis dengan simbol A< B.
Network di atas menggambarkan bahwa akhir aktivitas B dan C baru dapat
dimulai bila aktivitas A telah selesai, akhir aktivitas A merupakan awal dan
aktivitas B dan C, keterkaitan itu ditulis dengan simbol A< B, C
Network di atas menggambarkan bahwa aktivitas L baru dapat dimulai setelah
aktivitas J dan. K telah selesai, akhir aktivitas
aktivitas J dan K merupakan awal dan
aktivitas L, keterkaitan itu ditulis dengan simbol J< K, dan K< L
Network di atas menggambarkan aktivitas khayal, yaitu aktivitas dengan alokasi
waktu 0 unit waktu, aktivits ini diperlukan pada kondisi sbb:
Tiga aktivitas
as dengan keterkaitan A < C dan B < C tidak boleh digambarkan
dengan network sbb:
Network di atas salah karena dua aktivitas (A dan B) menggunakan titik awal dan
titik akhir yang sama. Untuk mengatasi itu maka dapat digunakan aktivitas
dummy seperti
rti di bawah mi:
Atau
PERT
PERT digunakan untuk menganalisis time scheduling proyek yang dialokasi
waktunya bersifat stokastik yang distribusinya mengikuti pola beta distribution.
Beta distribution :
Batas bawah (optimistic estimate)
: (a)
Mode (most like estimate)
: (m)
Batas atas (pesimistic estimate)
: (b)