Aljabar linear

Aljabar linear
Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan
solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan
erat dengan bidang aljabar linear.
o
Persamaan Linear & Matriks
Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 − 3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu
dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem
persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks
teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan
substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 =
0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai
penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.
Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
Bentuk Eselon-baris
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari
matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih
kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut
disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
Operasi Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi
matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan
melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat
digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan
mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk
mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
B1 x 1 ,. Untuk merubah a11 menjadi 1
B2 - 1.B1 ,. Untuk merubah a21 menjadi 0
B3 - 2.B1 ,. Untuk merubah a31 menjadi 0
B2 x 1 ,. Untuk merubah a22 menjadi 1
B3 + 3.B2 ,. Untuk merubah a 32 menjadi 0
B3 x 1/3 ,. Untuk merubah a33 menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
Jadi nilai dari
,
,dan
Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana.
Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks
yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian
persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut
ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris
tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari
,
,dan
Operasi Dalam Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan
setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah
matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya.
Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap
elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k
adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari
A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1.
Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan
matriks :
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi
matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
Matriks Balikan (Invers)
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan
atau invers dari A dan dapat dituliskan
( B sama dengan invers A ). Matriks B juga
mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan
. Jika tidak ditemukan matriks B, maka
A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A =
dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan
Contoh 1:
Matriks
A=
dan B =
AB =
=
= I (matriks identitas)
BA =
=
= I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa
(B Merupakan invers dari A)
Contoh 2:
Matriks
A=
dan B =
AB =
=
BA =
=
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.
Contoh 3:
Matriks
A=
Tentukan Nilai dari A-1
Jawab:
Contoh 4:
Matriks
A=
,B=
, AB =
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
,
,
Maka
=
Ini membuktikan bahwa
Transpose Matriks
Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam
matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
Matriks
A=
ditranspose menjadi AT =
Matriks
B=
ditranspose menjadi BT =
Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1.
2.
3.
dan
dimana k adalah skalar
4.
Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris
Matriks Diagonal
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan
nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
=
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
=
Contoh :
A=
maka
=
Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks
segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas
adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga
Matriks segitiga bawah
Teorema

Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks
segitiga atas adalah segitiga bawah.
Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks
segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks
segitiga atas adalah matriks segitiga atas.



Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A=
Inversnya adalah
=
Matriks yang tidak bisa di invers
B=
Matriks Simetris
Matriks kotak A disebut simetris jika
Contoh matriks simetris
Teorema

Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris
Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka
adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa
Yang mana membuktikan bahwa
Produk
maka :
adalah simetris.
dan
dan
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
A=
lalu
=
=
=
=
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka
Determinan
dan
juga bisa di inverse
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu
matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A=
tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Determinan dengan Minor dan kofaktor
A=
tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
M11 =
= detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah +
atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 =
Maka kofaktor dari a32 adalah
= detM = a11a23 x a13a21
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A=
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11
- a12
+ a13
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A=
tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det(A) =
=1
-2
+3
= 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal
yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan
komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor
dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A=
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11
- a21
+ a31
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A=
tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
det(A) =
=1
-4
+3
= 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8
Adjoin Matriks 3 x 3
Bila ada sebuah matriks A3x3
A=
Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -8
C21 = -4 C22 = 2 C23 = -8
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 8
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi
kolom
adj(A) =
Determinan Matriks Segitiga Atas
Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka
adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
Contoh
= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
Metode Cramer
jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut
mempunyai penyelesaian yang unik
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab:
bentuk matrik A dan b
A=
b=
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
A1 =
A2 =
A3 =
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,
R=Er...E2 E1 A
dan,
det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1
≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol.
Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2
baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A=
karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.
Mencari determinan dengan cara Sarrus
A=
tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
A=
kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi
adj(A) =
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
Ax = λx
; dimana λ adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas
menjadi
(λI - A) x = 0
contoh:
diketahui persamaan linear
x1 + 3x2 = λx1
4x1 + 2x2 = λx2
dapat ditulis dalam bentuk
= λ
yang kemudian dapat diubah
A=
dan x =
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
λ
λ
sehingga didapat bentuk
λ I - A =
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi
det (λ I - A) = 0
;λ adalah eigenvalue dari A
dan dari contoh diperoleh
det (λ I - A) =
= 0
atau λ^2 - 3λ - 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2
maka diperoleh
dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t
x =
Vektor dalam Ruang Euklide
Euklidian dalam n-Ruang
Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah
sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan
n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari
tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri
dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R
daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua
interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a 2, a2,
a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a 1, a2, a3 merupakan
komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an) bisa dilihat sebagai
antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara
matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector
pada R5.
u1 = v1 u2 = v2 un = vn
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ...., un + vn)
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
ku = (k u1, k u2,...,k un)
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn
Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
0 = (0, 0,...., 0)
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u
dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh
-u = (-u1, -u2, ...., -un)
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh
v – u = v + (-u)
atau, dalam istilah komponen,
v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)
Sifat-sifat dari vektor dalam
jika
vektor dalam
,
, dan
sedangkan k dan m adalah skalar, maka :
adalah
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u
Perkalian dot product
didefinisikan sebagai
Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi


Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris
setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector
dalam
dalam setiap
adalah nilai yang
terukur.
Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk
menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam
depot bisa disebut sebagai 15-topel
jumlah truk dalam depot pertama dan
dalam setiap
adalah
adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.

Rangkaian listrik – Chip prosesor
didesain untuk menerima 4 tegangan
input dan mengeluarkan 3 tegangan
output. Tegangan input bisa ditulis
tetapi loop yang berlaku seperti
benang yang bergetar. Dimana jagat
waktu Einstein adalah 4 dimensi,
sedangkan benang ada dalam dunia
11-dimensi
sebagai vector dalam
dan
tegangan output bisa ditulis
sebagai
. Lalu, chip bisa dilihat
sebgai alat yang mengubah setiap
vektor input
dalam
ke vector keluaran


dalam
.
Analisis citra – Satu hal dalam
gambaran warna dibuat oleh layar
komputer dibuat oleh layar komputer
dengan menyiapkan setiap [pixel]
(sebuah titik yang mempunyai alamat
dalam layar) 3 angka yang
menjelaskan hue, saturasi, dan
kecerahan dari pixel. Lalu sebuah
gambaran warna yang komplit bisa
diliahat sebgai 5-topel dari bentuk
dalam x dan
y adalah kordinat layar dari pixel dan
h,s,b adalah hue, saturation, dan
brightness.
Ekonomi – Pendekatan kita dalam
analisis ekonomi adalah untuk
membagi ekonomidalam sector
(manufaktur, pelayanan, utilitas, dan
seterusnya ) dan untuk mengukur
output dari setiap sector dengan nilai
mata uang. Dalam ekonomi dengan
10 sektor output ekonomi dari semua
ekonomi bisa direpresentasikan dngan
10-topel
dalam setiap angka

adalah output dari
sektor individual.
Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6
partikel yang bergerak dalam garis
kordinat yang sama sehingga pada
waktu t koordinat mereka
adalah
dan
kecepatan mereka adalah
. Informasi ini bisa
direpresentasikan sebagai vector
Dalam
. Vektor ini disebut kondisi dari
sistem partikel pada waktu t.

Fisika - Pada teori benang komponen
paling kecil dan tidak bisa dipecah
dari Jagat raya bukanlah partikel
Menemukan norm dan jarak
Menghitung Panjang vektor u dalam ruang
jika u =
Maka Panjang vektor u
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan
vektor v
Bentuk Newton
interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn1
+...+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada
juga yang menggunakan bentuk lain .
Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari
data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
bentuk equivalentnya : p(x)=a3(xx0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0
dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka
didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan
menjadi
p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(xx0)+b0 inilah yang disebut newton form dari
interpolasi , sehingga kita dapatkan :
p(x0)=b0
p(x1)=b1h1+b0
p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0
p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+
h3)+b1(h1+h2+h3)+b0
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk
matrix:
Operator Refleksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang
memetakan tiap vektor dalam gambaran
simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x),
maka persamaan yang berhubungan dengan x
dan w adalah:
x1 = -x = -x + 0y
x2 = y = 0x + y
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada
R2 dan R3 merupakan operator yang
memetakan tiap vektor dalam proyeksi
ortogonal pada sebuah garis atau bidang
melalui asalnya.
Operator Rotasi
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor
dalam R2 melalui sudut ɵ disebut operator
rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana
asalnya adalah dengan melihat operator rotasi
yang memutar tiap vektor searah jarum jam
melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk
menemukan persamaan hubungan x dan
w=T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu
x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu,
dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y =
r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2= r sin (ɵ +
ɸ)
atau dalam bentuk matrik :
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang
memetakan tiap vektor pada gambaran
simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang
datar dinamakan operator refleksi. Operator ini
bersifat linier.
w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian disubtitusi sehingga:
w1 = x cos Θ - y sin Θ
w2 = x sin Θ + y cos Θ
Operator Proyeksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang
memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak
lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x),
maka persamaan yang berhubungan dengan x
dan w adalah:
x1 = x = x + 0y
Persamaan di atas merupakan persamaan
linier, maka T merupakan operator linier
sehingga bentuk matrik dari persamaan di atas
adalah:
Interpolasi Polinomial
x2 = 0 = 0x + 0y
atau dalam bentuk matrik :
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T
merupakan operator linier dan matrikx T
adalah:
Dengan menganggap masalah pada interpolasi
polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)....,
(xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan
kurva p(x) = am
+ am-1
+ ... + a1x
+ a0 dari sudut minimum yang melewati setiap
dari titik data. Kurva ini harus memenuhi
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix
Vandermonde; kolom j merupakan elemen
pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut
menjadi Sistem Vandermonde.
Contoh soal:
karena xi diketahui, ini akan menuju pada
sistem matrik di bawah ini
Cari interpolasi polinomial pada data (1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem
Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
=
Untuk data di atas, kita mempunyai
=
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi
dimana n = m. Dengan menganggap n = m
memberikan sistem di bawah ini untuk
koefisien interpolasi polinomial p(x):
=
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan
Gaussian Elimination
=
(1)
Baris ke-2,
ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
Baris ke-3
dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi
dengan 3
Baris ke-3
dikurangi baris ke-2
Baris ke-4
dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dibagi dengan 2
Baris ke-4
dikurangi baris ke-3
Didapatkan persamaan linier dari persamaan
matrix di atas
Jadi, interpolasinya adalah