dV T D m dt − = = L W > T D > L V ⊥ D V . T W D L V V u v w = + +

2
BAB II
DINAMIKA PESAWAT TERBANG
2.1 Aerodinamika Pesawat Terbang
Pesawat Terbang pada prinsipnya dipengaruhi oleh 4 gaya utama, yaitu :
gaya dorong (Thrust T), gaya hambat (Drag D), gaya angkat (Lift L), dan gaya
gravitasi (Weight W).
Pada saat pesawat sedang cruising dengan kecepatan V dan ketinggian
(
konstan, maka : T − D = m dV
dt
)=0
dan L = W . Pada saat lepas landas
(take off ), pesawat mengalami percepatan pada arah horizontal dan vertikal,
lift lebih besar dari weight ( L > W ) dan thrust lebih besar dari drag (T > D ) ,
dengan lift tegak lurus kecepatan ( L ⊥ V ) dan drag sejajar kecepatan ( D V ) .
L
d line
Chor
Tα
V
T
M
D
Horizontal
W
Gambar 2.1 Arah gaya pada pesawat
di mana :
V = resultan kecepatan pesawat
V = ( u 2 + v 2 + w2 )
1
2
u , v, w = kecepatan pesawat ke arah longitudinal, lateral, dan vertical.
θ = sudut antara garis sumbu horizontal dan chord line
α = angle of attack (sudut antara kecepatan pesawat dengan chord line)
αT = sudut antara thrust dengan kecepatan pesawat.
W = gaya gravitasi (berat pesawat) tegak lurus garis horizontal
W = mg ( m = massa pesawat, g = percepatan gravitasi bumi)
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
3
L = gaya angkat (Lift) tegak lurus arah kecepatan pesawat L = 12 ρV 2 SCL
D = gaya hambat (Drag) berlawanan kecepatan pesawat D = 12 ρV 2 SCD
ρ , CL , CD = density udara, coefisien lift dan coefisien drag
S = Luas wing = cxb, ( c = mean chord, b = wing span)
M = pitching moment
T = gaya dorong (Thrust) dari mesin pesawat. T =
G gas
g
(V
gas
−V )
G gas = berat campuran bahan bakar dan udara dalam pembakaran persatuan waktu
Vgas = kecepatan gas buang dari mesin pesawat
Gambar 2.2 Geometri aerodinamika pada wing
2.2 Kinematika dan Dinamika Pesawat
Pesawat terbang memiliki kemampuan bergerak dalam tiga sumbu (x,y,z),
yakni rolling, pitching, dan yawing. Gerak naik turunnya hidung pesawat
(pitching) dikontrol oleh elevator, gerak naik turunnya sayap kiri atau kanan
pesawat (rolling) dikontrol oleh aileron, sedangkan gerak berbelok dalam bidang
horizontal (yawing) dikontrol oleh rudder. Pada bagian belakang sayap terdapat
flap yang berfungsi membantu meningkatkan gaya angkat (Lift) pada saat take off
maupun mengurangi gaya angkat pada saat landing. Struktur pesawat, arah gaya,
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
4
momen, dan kecepatan dijelaskan pada gambar (2.3) dan gambar (2.4) di bawah
ini, diambil dari referensi [3].
Gambar 2.3 Struktur Pesawat Terbang
Gambar 2.4 Sumbu arah gerak translasi dan rotasi
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
5
El
ev
at
or
P, φ , L
θ
,
Q
Ail
ero
ns
,M
R,ψ , N
Fla
ps
xb
yb
V,
Y
zb
Gambar 2.5 Komponen arah gaya, momen, dan kecepatan
Tabel 2.1 Komponen arah gaya, momen, dan kecepatan pada sumbu (x, y, z)
Roll axis xb
Pitch axis yb
Yaw axis zb
Kecepatan sudut
P
Q
R
Kecepatan translasi
U
V
W
Gaya Aerodynamic
X
Y
Z
Momen Aerodynamic
L
M
N
Moment of Inertia
Ixx
Iyy
Izz
Products of Inertia
Iyz
Ixz
Ixy
Perubahan sudut
φ
θ
ψ
2.2.1
Gaya pada sumbu (x,y,z)
Komponen arah gaya, momen, kecepatan translasi dan rotasi (angular)
pada koordinat (x,y,z) dijelaskan pada gambar (2.4) dan gambar (2.5).
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
6
2.2.1.1 Gerak Translasi
Hukum II Newton :
∑ F = ma
(2.1)
di mana :
ΣF = resultan gaya yang bekerja pada pesawat [Newton].
ΣF = F + Fgravitasi
m = massa dari elemen pesawat [kg].
a = percepatan translasi [m/s2].
Gaya karena aerodinamika dan gaya dorong mesin [1] pesawat :
ΣF = m
d
d
{VT } = m  VT + (ω × VT ) 
dt
 dt

(2.2)
VT = kecepatan translasi [m/s].
ω = kecepatan angular pesawat [rad/sec]
VT = iˆU + ˆjV + kˆW
ω = iˆP + ˆjQ + kˆR
d
VT = iˆU +
dt
 iˆ

ω × VT =  P
U

ˆjV + kˆW
ˆj
Q
V
kˆ 

R  = iˆ ( QW − VR ) + ˆj (UR − PW ) + kˆ ( PV − UQ )
W 
d
{VT } = m iˆU + ˆjV + kˆW + iˆ ( QW − VR ) + ˆj (UR − PW ) + kˆ ( PV − UQ )
dt
ΣF = m iˆ (U + QW − VR ) + ˆj (V + UR − PW ) + kˆ (W + VP − UQ )
{(
ΣF = m
}
)
{
}
ΣF = iˆΣFx + ˆjΣFy + kˆΣFz
sehingga,
ΣFx = m(U + QW − VR )
ΣF = m (V + UR − PW )
y
(2.3)
ΣFz = m (W + VP − UQ )
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
7
Gaya karena gravitasi bumi :
( Fx ) gravity = −mg sin θ
(F )
y gravity
= mg cos θ sin φ
(2.4)
( Fz ) gravity = mg cos θ cos φ
mg
cos
θ
X
δe
mg
mg si
nθ
φ
φ
φ
cos
mg
φ
m
os θ
gc
sin
φ
Y
Gambar 2.6 Komponen gaya gravitasi
Dari persamaan (2.3) dan (2.4) diperoleh :
∑F
∑F
∑F
x
= Fx + ( Fx ) gravity = m(U + QW − VR )
y
= Fy + ( Fy )
z
= Fz + ( Fz ) gravity = m (W + VP − UQ )
gravity
= m (V + UR − PW )
(2.5)

Fx − mg sin θ = m(U + QW − VR)


Fy + mg cos θ sin φ = m (V + UR − PW )  ⇒ karena Fx = X , Fy = Y , Fz = Z ,

Fz + mg cos θ cos φ = m (W + VP − UQ ) 
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
8
maka persamaan gaya pada sumbu (x, y, z) menjadi :
X − mg sin θ = m(U + QW − VR)
Y + mg cos θ sin φ = m (V + UR − PW )
(2.6)
Z + mg cos θ cos φ = m (W + VP − UQ )
2.2.1.2 Gerak Rotasi
Torsi [2] pada pusat massa (center of gravity) pesawat :
d
d
∑ M = dt ( H ) = dt ( Iω ) = I
dω
dt
di mana,
M = torsi [kg.m2.rad/sec2.]
H = momentum angular [kg.m2.rad/sec.]
I = momen inertia [kg.m2]
H = Iω
 I xx

I =  − I xy
 − I xz

− I xy
I yy
− I yz
− I xz 

− I yz 
I zz 
 H x   I xx

H =  H y  =  − I xy
 H z   − I xz
− I xy
I yy
− I yz
dan
ω x   P 
ω = ω y  = Q 
ωz   R 
− I xz   P 

− I yz  Q 
I zz   R 
H x = I xx P − I xy Q − I xz R
H y = − I xy P + I yy Q − I yz R
(2.7)
H z = − I xz P − I yz Q + I zz R
d 
M =  H  + (ω × H )
 dt 
d

M =  I ω  + (ω × H )
 dt

d

M = I  ω + ω × ω  + (ω × H )
 dt

Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
9
d
ω = iˆP + ˆjQ + kˆR
dt
 iˆ

(ω × H ) =  P
H
 x
(ω × H ) = iˆ ( QH
ˆj
Q
Hy
z
(2.8)
kˆ 

R
H z 
(2.9)
− RH y ) + ˆj ( RH x − PH z ) + kˆ ( PH y − QH x )
Dari persamaan (2.7), (2.8) dan (2.9) diperoleh :
M x = I xx P − I xz ( R + PQ ) + ( I zz − I yy ) QR 

M y = I yy Q + I xz ( P 2 − R 2 ) + ( I xx − I zz ) PR  ⇒ karena M x = L, M y = M , M z = N

M z = I zz R − I xz ( P − QR ) + ( I yy − I zz ) PQ 
maka persamaan torsi pada sumbu (x, y, z) menjadi :
L = I xx P − I xz ( R + PQ ) + ( I zz − I yy ) QR
M = I yy Q + I xz ( P 2 − R 2 ) + ( I xx − I zz ) PR
N = I R − I ( P − QR ) + ( I − I ) PQ
zz
2.2.2
xz
yy
(2.10)
zz
Linearisasi
Persamaan (2.6) dan (2.10) di atas adalah non-linear. Apabila semua varabel
mendapat gangguan (terjadi perubahan yang relative kecil) [1], [2], [3], di mana :
X = X 0 + ∆X
U = U 0 + ∆U
P = P0 + ∆P
L = L0 + ∆L
Y = Y0 + ∆Y
V = V0 + ∆V
Q = Q0 + ∆Q
M = M 0 + ∆M
Z = Z 0 + ∆Z
W = W0 + ∆W
R = R0 + ∆R
N = N 0 + ∆N
φ = φ0 + ∆φ
θ = θ 0 + ∆θ
ψ = ψ 0 + ∆ψ
maka persamaan (2.6) menjadi :
X 0 + ∆X − mg sin (θ 0 + ∆θ )
d

= m  (U 0 + ∆U ) + ( Q0 + ∆Q )(W0 + ∆W ) − (V0 + ∆V )( R0 + ∆R ) 
 dt

Y0 + ∆Y + mg cos (θ 0 + ∆θ ) sin (φ0 + ∆φ )
d

= m  (V0 + ∆V ) + (U 0 + ∆U )( R0 + ∆R ) − ( P0 + ∆P )(W0 + ∆W ) 
dt


Z 0 + ∆Z + mg cos (θ 0 + ∆θ ) cos (φ0 + ∆φ )
(2.11)
d

= m  (W0 + ∆W ) + (V0 + ∆V )( P0 + ∆P ) − (U 0 + ∆U )( Q0 + ∆Q ) 
 dt

Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
10
dan persamaan (2.10) menjadi persamaan (2.12) :
L0 + ∆L = I xx ( P0 + ∆P ) − I xz ( ( R0 + ∆R ) + ( P0 + ∆P )(Q0 + ∆Q) ) + ( I zz − I yy ) (Q0 + ∆Q)( R0 + ∆R )
M + ∆M =
I Q + ∆Q + I ( ( P + ∆P ) 2 − ( R + ∆R ) 2 ) + ( I − I ) ( P + ∆P )( R + ∆R)
0
yy
(
)
0
xz
0
0
xx
zz
0
0
N 0 + ∆N = I zz ( R 0 + ∆R ) − I xz ( ( P0 + ∆P ) − (Q0 + ∆Q)( R0 + ∆R) ) + ( I yy − I zz ) ( P0 + ∆P )(Q0 + ∆Q)
(2.12)
di mana initial 0 pada X 0 , Y0 , Z 0 ,U 0 ,V0 ,W0 , P0 , Q0 , R0 , L0 , M 0 , N 0 , φ0 ,θ0 ,ψ 0
merupakan
kondisi awal (initial condition), sedangkan initial ∆
pada
∆X , ∆Y , ∆Z , ∆U , ∆V , ∆W , ∆P, ∆Q, ∆R, ∆L, ∆M , ∆N , ∆φ , ∆θ , ∆ψ adalah perubahan kecil.
Pesawat diasumsikan terbang simestris, di mana kondisi awal (initial condition)
X 0 ≈ Y0 ≈ Z 0 ≈ V0 ≈ W0 ≈ P0 ≈ Q0 ≈ R0 ≈ φ0 ≈ ψ 0 ≈ 0 ,
maka
persamaan
(2.11)
menjadi :
∆X − mg ( ∆θ cosθ 0 ) = m∆U
∆Y + mg ( ∆φ cosθ 0 − U 0 ∆R ) = m∆V
∆Z − mg ( ∆θ sin θ + U ∆Q ) = m∆W
0
(2.13)
0
dan persamaan (2.12) menjadi :
∆L = I xx ∆P − I xz ∆R
∆M =
I ∆Q
(2.14)
yy
∆N = I zz ∆R − I xz ∆P
Gaya ∆X yang merupakan fungsi dari U ,W , δ e , δ T → ∆X (U ,W , δ e , δ T ) . Gaya
∆Y yang merupakan fungsi dari V , P, R , δ r
→ ∆Y (V , P , R, δ T ) , dan Gaya
∆Z yang merupakan fungsi dari U ,W ,W , Q, δ e , δ T
→ ∆Z (U ,W ,W , Q, δ e , δ T )
diturunkan dengan deret Taylor menjadi :
∆X =
∂X
∂X
∂X
∂X
∆U +
∆W +
∆δ e +
∆δ T
∂U
∂W
∂δ e
∂δ T
∆Y =
∂Y
∂Y
∂Y
∂Y
∆V +
∆P +
∆R +
∆δ r
∂V
∂P
∂R
∂δ r
∆Z =
∂Z
∂Z
∂Z
∂Z
∂Z
∂Z
∆U +
∆W +
∆W +
∆Q +
∆δ e +
∆δ T
∂U
∂W
∂W
∂Q
∂δ e
∂δ T
(2.15)
Dengan cara yang sama untuk Torsi ∆L, ∆M dan ∆N (diturunkan dengan deret
Taylor), diperoleh :
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
11
∆L =
∂L
∂L
∂L
∂L
∂L
∆V +
∆P +
∆R +
∆δ r +
∆δ a
∂V
∂P
∂R
∂δ r
∂δ a
∆M =
∂M
∂M
∂M ∂M
∂M
∂M
∆U +
∆W +
∆W +
∆Q +
∆δ e +
∆δ T
∂U
∂W
∂W
∂Q
∂δ e
∂δ T
∆N =
∂N
∂N
∂N
∂N
∂N
∆V +
∆P +
∆R +
∆δ r +
∆δ a
∂V
∂P
∂R
∂δ r
∂δ a
Untuk menyederhanakan notasi, didefinisikan : X x =
Mx =
(2.16)
1 ∂Z
1 ∂X
,
, Zx =
m ∂x
m ∂x
dan
1 ∂M , dengan X , Z , M merupakan stability derivatives.
x
x
x
I yy ∂x
Pada saat terbang simetris (gerak longitudinal), gaya yang berpengaruh adalah
∆X (gaya pada sumbu longitudinal) dan ∆Z (gaya pada sumbu vertical), sedang-
kan torsi yang berpengaruh adalah ∆M (pitching / torsi pada sumbu lateral y).
Pengaruh Z q , Z w sangat kecil [1],[2],[3], maka Z q ≈ Z w ≈ 0 .
Substitusi persamaan (2.15) ke persamaan (2.13), dan persamaan (2.16) ke
persamaan (2.14) diperoleh persamaan gerak longitudinal :
X u ∆U + X w ∆W + X δ e ∆δ e + X δT ∆δT = ∆U + ( g cos θ 0 ) ∆θ
Zu ∆U + Z w ∆W + Zδ e ∆δ e + ZδT ∆δ T = ∆W − U 0 ∆Q + ( g sin θ 0 ) ∆θ
(2.17)
M u ∆U + M w ∆W + M w ∆W + M q ∆Q + M δ e ∆δ e + M δT ∆δ T = ∆Q
Didefinisikan ∆U = u , ∆V = v , ∆W = w , ∆Q = q , ∆δ = δ dan ∆θ = θ .
Karena sudut θ0 relatif kecil, di mana θ0 ≈ 0 , maka cos θ0 = 1 dan sin θ0 = 0, dari
ref. [1], [2], [3], maka persamaan gerak longitudinal (2.17) dilinearkan menjadi :
X u u + X w w + X δe δ e + X δT δT = u + gθ
(2.18)
Z u u + Z w w + Zδ e δ e + ZδT δ T = w − u0 q
(2.19)
M u u + M w w + M w w + M q q + M δ e δ e + M δT δ T = q
(2.20)
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
12
BAB III
PEMODELAN GERAK PESAWAT DALAM RUANG KEADAAN
3.1 Penurunan Model Matematis Sistem Gerak Pesawat
Gerak longitudinal pesawat terbang adalah gerak sepanjang sumbu x, di
mana control surface yang sangat berpengaruh adalah elevator dan flaps.
Model pesawat yang digunakan adalah CHARLIE [2] Passenger Jet Aircraft
bermesin empat pada flight condition 4.
Tabel 3.1 Data Parameters Pesawat CHARLIE
Parameters
Unit
Value
Massa, m
(kg)
290000
Wing area, S
(m2)
510
Wing mean aerodynamic chord, c
(m)
8.3
Aspect ratio
-
7.0
c.g. (center of gravity)
(%) c
0.25 c
Pilot location (relative to c.g.), lxP
(m)
26.2
Pilot location (relative to c.g.), lzP
(m)
-3.05
Moment Inertia, I xx
(kg.m2)
24.6 x 106
Moment Inertia, I yy
(kg.m2)
45 x 106
Moment Inertia, I zz
(kg.m2)
67.5 x 106
Moment Inertia, I xz
(kg.m2)
1.32 x 106
Flight Condition, Height
(m)
12200
Mach Number, M
-
0.8
Speed cruising, U 0
(m.s-1)
250
Pressure dynamics, q
(N.m-2)
9911
Angle of attack, α 0
(degrees)
4.6
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
13
Tabel 3.2 Data Aerodinamik pesawat CHARLIE
Stability derivatives
U-derivative, X u
Zu
Mu
W-derivative, X w
Zw
Mw
X w
Z w
M w
q-derivative, X q
Zq
Mq
X δT
ZδT
M δT
XδE
Zδ E
MδE
Units
Value
( 1s )
( 1s )
0.0002
( 1 m.s.)
( 1s )
( 1s )
( 1 m.s.)
( 1s )
( 1s )
( 1 m.s.)
( 1s )
( 1s )
( 1 m.s.)
( 1s )
( 1s )
( 1 m.s.)
( 1s )
( 1s )
( 1 m.s.)
0.00006
-0.007
0.039
-0.317
-0.003
0
0
-0.0004
0
-1.57
-0.339
3.434 x 10-6
-1.5 x 10-7
0.67 x 10-7
0.44
-5.46
-1.16
Persamaan ruang keadaan (state space) sistem adalah :
x = Ax + Bη
y = Cx + Dη
(3.1)
di mana :
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
14
x = vektor keadaan (n x 1)
A = matriks keadaan (n x n)
B = matriks masukan (n x p)
C = matriks keluaran (q x n)
D = matriks transmisi langsung (q x p)
η = vektor masukan (p x 1)
y = vector keluaran (q x 1)
Pada aplikasi pesawat terbang (rigid airframe) nilai matriks D = 0 (referensi [3]),
sehingga persamaan (3.1) menjadi :
x = Ax + Bη
(3.2)
y = Cx
Persamaan (3.2) dalam diagram blok adalah :
η
x
y
x
∫
Gambar 3.1 Diagram blok sistem
Penurunan model matematis gerak longitudinal diperoleh dari persamaan (2.18),
(2.19) dan (2.20) yang disusun kembali menjadi :
u = X u u + X w w − gθ + X δ e δ e + X δT δ T
(3.3)
w = Z u u + Z w w + u0 q + Zδ e δ e + ZδT δ T
(3.4)
q = M u u + M w w + M w w + M q q + M δ e δ e + M δT δ T
(3.5)
Substitusi persamaan (3.4) ke dalam persamaan (3.5) diperoleh :
u = X u u + X w w − gθ + X δ e δ e + X δT δ T
w = Z u u + Z w w + u0 q + Zδ e δ e + ZδT δ T
(3.6)
q = ( M u + M w Zu ) u + ( M w + M w Z w ) w + ( M q + M w u0 ) q
(
)
(
)
+ M δ e + M w Zδ e δ e + M δT + M w ZδT δ T
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
15
∂θ (t )
= ω y (t ) = q (t ) atau θ(t )=q (t ) → θ = q
∂t
Karena
Sehingga persamaan (3.6) dalam persamaan ruang keadaan menjadi :
 u  
 w  
 =
 q   M u
  
θ  
Xu
Xw
Zu
Zw
0
u0
M w + M w Z w
M q + M w u0
0
1
+ M w Z u
0



+
M
 δe

X δe
−g  u 
0   w
0  q
 
0  θ 


Z δT
 δ e 
 
M δT + M w ZδT  δ T 


0
X δT
Zδ e
+ M w Zδe
0
(3.7)
di mana,
 u 
 w 
x =  
 q 
 
θ 



B=
M
 δe

u 
 w
x= 
q
 
θ 
X δe
Xu
Xw
0
Zu
Zw
u0
M w + M w Z w
0
M q + M w u0
1
+ M w Z u
0


ZδT

M δT + M w ZδT 


0
−g 
0 
0 

0 
X δT
Zδ e
+ M w Zδ e
0


A=
M u


0 1 0 0 
C=

0 0 1 0 
δ 
η = e
δ T 
 w
y= 
q 
Dengan memasukkan data pesawat CHARLIE pada table (3.1) dan table (3.2) ke
dalam persamaan (3.7) maka diperoleh :
 0.0002
 -0.07
A=
8.8*10−5

 0
-9.81
-0.317
250
0 
-0.002873 -0.439
0 

0
1
0 
0.039
0
 0.44
3.434*10−6 


-5.46
−1.5*10−7 

B=
-1.1578 6.701*10−7 


0
 0

Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
16
Dengan nilai matriks A dan matriks B tersebut di atas diperoleh persamaan
ruang keadaan (state-space) pesawat CHARLIE:
0.039
0
-9.81
 0.44
3.434*10 −6 
 0.0002


 -0.07
-0.317
250
0 
-5.46
−1.5*10−7 



x =
x+
u
 -1.1578 6.701*10−7 
8.8*10−5 -0.002873 -0.439
0 




0
1
0 
0
 0

 0
0 1 0 0 
y=
x
0 0 1 0 
(3.8)
3.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Karakteristik sistem ditentukan oleh nilai eigen melalui persamaan :
λI − A = 0
(3.9)
di mana, λ merupakan nilai eigen dari sistem. Sistem dikatakan stabil jika semua
pole (nilai eigen) adalah negative, atau λ I − A < 0
Sedangkan Vektor eigen ditentukan dengan persamaan :
( λi I − A)Vi = 0
(3.10)
dengan i = 1, 2, 3, 4 dan Vi = vector eigen.
Karakteristik pesawat CHARLIE dengan persamaan (3.9) :
λI − A = 0
λ − 0.0002
−0.039
0
9.81
0.07
λ + 0.317
−250
0
0.002873
λ + 0.439
0
0
−1
λ
−8.8*10
−5
0
=0
diperoleh nilai eigen :
λ1 = −0.3785 + 0.8456i
λ2 = −0.3785 − 0.8456i
λ3 = 0.0006 + 0.0512i
λ4 = 0.0006 − 0.0512i
(3.11)
Karakteristik pesawat CHARLIE tidak stabil, karena ada nilai eigen yang positif
(yaitu λ3 dan λ4).
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
17
Vektor Eigen sistem pesawat CHARLIE dengan persamaan (3.10) :
( λi I − A)Vi = 0
dengan i = 1, 2, 3, 4
Pada i = 1
( λ1I − A )V1 = 0
di mana λ1 = − 0.3785 + 0.8456i
0
λ1 − 0.0002 −0.039
 0.07
λ1 + 0.317 −250

 −8.8*10−5 0.002873 λ1 + 0.439

−1
0
0

9.81  v11 
0  v21 
=0
0   v31 
 
λ1  v41 
diperoleh :
 v11   0.0098 - 0.0106i 
v  

0.9999
21 



V1 =
=
 v31  -0.0002 + 0.0034i 
  

v41   0.0034 - 0.0013i 
Dengan cara yang sama, untuk i = 2, 3, 4 diperoleh :
 v12  0.0098 + 0.0106i 
v  

0.9999
22 



V2 =
=
 v32   -0.0002 - 0.0034i 
  

v42   0.0034 + 0.0013i 
-0.9999
 v14  

v   0.0104 - 0.0037i 

V4 =  24  = 
 v34  -0.0003 - 0.0000i 
  

v44   0.0001 - 0.0052i 
-0.9999
 v13  

v   0.0104 + 0.0037i 

V3 =  23  = 
 v33  -0.0003 + 0.0000i 
  

v43   0.0001 + 0.0052i 
Sehingga matriks eigen vector pesawat CHARLIE adalah :
v = [V1 V2 V3 V4 ]
-0.9999
-0.9999
 0.0098 - 0.0106i 0.0098 + 0.0106i


0.9999
0.9999
0.0104 + 0.0037i 0.0104 - 0.0037i 
v=

-0.0002 + 0.0034i -0.0002 - 0.0034i -0.0003 + 0.0000i -0.0003 - 0.0000i 
 0.0034 - 0.0013i 0.0034 + 0.0013i 0.0001 + 0.0052i 0.0001 - 0.0052i 
(3.11)
3.3 Uji Controllability dan Observability
Keterkontrolan (controllability) dan keteramatan (observability) suatu sistem
dapat ditentukan dengan mengetahui rank dari matriks M dan O, jika full rank
maka sistem tersebut Controllability dan Observability lengkap [1],[2],[3].
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009
18
M =  B
AB
A2 B
A3 B 
(3.12)
di mana M merupakan Matriks Controllability
O = C CA CA2
CA3 
T
(3.13)
di mana O merupakan Matriks Observability
Uji Controllability pesawat CHARLIE diuji dengan persamaan (3.12) :
M =  B
AB
A2 B
A3 B  di mana M merupakan Matriks Controllability
0.4400 3.434*10−6 -0.2129 -0.0000

-5.4600 −1.5*10−7 -287.754 0.0002
M =
-1.1578 6.701*10−7 0.5240 -0.0000

 0
0
-1.1578 0.0000
0.1357 -0.0000 3.5267 -0.0000 

222.2348 -0.0001 78.7212 -0.0000 
0.5967 -0.0000 -0.9005 0.0000 

0.5240 -0.0000 0.5967 -0.0000
Karena rank dari matriks M adalah 4 (baris 1,2,3,4 pada matriks saling
independent), maka pesawat dapat dikontrol (controllability) secara lengkap.
Uji Observability pesawat CHARLIE diuji dengan persamaan (3.13) :
O = C CA CA2
CA3 
0
 0
 0
0

 0.0001 - 0.0029

0
0
O=
 0.0002 0.0022

 0.0001 - 0.0029
-0.0002 0.0008

 0.0002 0.0022
T
di mana O merupakan Matriks Observability
1
0
- 0.4390
1
- 0.5256
- 0.4390
0.7738
- 0.5256

1 
0 

0 
- 0.0009 

0 
- 0.0016 

- 0.0009 
0
Karena rank dari matriks O adalah 4 (kolom 1,2,3,4 pada matriks saling
independent), maka pesawat dapat diamati (observability) secara lengkap
Universitas Indonesia
Pengendalian gerak..., Agus Sukandi, FT UI, 2009