La Design 96: 909 Kbytes of D:My StuffsPublikasiMetoda NumerikMetoda Numerik 2009.docx printed on Friday 28/08/15 10:47 METODA NUMERIK oleh Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. November 2001 Bahan kuliah Metoda Numerik Jurusan Teknik Sipil FT UGM Yogyakarta PRAKATA Buku berjudul “Metoda Numerik” ini merupakan bahan kuliah di Jurusan Teknik Sipil FT UGM. Buku ini tidak menjelaskan secara rinci teori-teori numerik secara lengkap, namun hanya membahas teori-teori numerik yang sering digunakan di lapangan. Pembaca yang ingin mengetahui secara lengkap Metoda Numerik diharapkan mencari dari acuan-acuan di luar buku ini. Buku ini lebih merupakan petunjuk praktis bagi mahasiswa S1 maupun praktisi di lapangan. Dalam buku ini prinsip umum teori-teori numerik dijelaskan secara singkat, kemudian aplikasinya dijelaskan. Semoga buku kecil ini berguna, kritik membangun sangatlah diharapkan. D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Yogyakarta, November 2001 Dosen Jurusan Teknik Sipil FT UGM Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Penyusun Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. ii Jack la Motta DAFTAR ISI halaman PRAKATA .......................................................................................................................... ii DAFTAR ISI...................................................................................................................... iii DAFTAR GAMBAR .........................................................................................................vi D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 1. Error: Asal & Rambatannya....................................................................................... 1 1.1. Pendahuluan ....................................................................................................... 1 1.2. Bilangan Dalam Komputer ............................................................................... 5 1.2.1. Underflow and Overflow ................................................................... 6 1.3. Definisi dan Asal ‘error’ .................................................................................... 6 1.3.1. Angka signifikan (significant digits)................................................. 7 1.3.2. Asal dari ‘error’ .................................................................................... 7 1.4. Rambatan ‘Error’ ................................................................................................ 7 1.4.1. ‘Propagated Error’ pada Perkalian.................................................... 8 1.4.2. ‘Propagated Error’ pada Pembagian................................................. 8 1.4.3. ‘Propagated Error’ pada Penjumlahan dan Pengurangan ............ 8 2. Persamaan Non-Linier.............................................................................................. 10 2.1. Metode Bagi Paruh (Bisection) ....................................................................... 10 2.2. Metode Newton ................................................................................................ 11 2.3. Metode Sekan .................................................................................................... 13 2.4. Akar dari Persamaan Polinomial ................................................................... 14 3. Teori Interpolasi ........................................................................................................ 16 3.1. Metoda Beda Terbagi Newton........................................................................ 16 3.2. Interpolasi dengan tabel beda hingga ........................................................... 18 3.2.1. Beda Maju ........................................................................................... 18 3.2.2. Beda Mundur ..................................................................................... 20 3.3. Lagrange ............................................................................................................ 20 3.4. Beberapa fakta penting dari’beda terbagi’ ................................................... 21 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. iii Jack la Motta DAFTAR ISI Buku kuliah 4. Integrasi Numeris...................................................................................................... 22 4.1. Rumus trapesium dan Simpson ..................................................................... 22 4.1.1. Rumus trapesium terkoreksi ............................................................ 24 4.1.2. Rumus Simpson ................................................................................. 25 4.2. Rumus Newton–Cotes ..................................................................................... 27 4.2.1. Rumus Newton-Cotes Tertutup ...................................................... 28 4.2.2. Rumus Newton–Cotes terbuka........................................................ 29 4.3. Kuadratur Gaussian ......................................................................................... 30 4.3.1. Kuadratur Gauss-Legendre .............................................................. 31 4.4. Polinomial Orthogonal .................................................................................... 33 4.4.1. Kuadratur Gauss-Laquerre .............................................................. 34 4.4.2. Kuadratur Gauss-Chebysev ............................................................. 36 4.4.3. Kuadratur Gauss-Hermite ................................................................ 36 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 5. Sistem Persamaan Linier ......................................................................................... 37 5.1. Eliminasi Gauss ................................................................................................ 37 5.2. Eliminasi Gauss–Jordan................................................................................... 39 5.3. Eliminasi Gauss–Jordan dengan ‘pivot’ maksimum ................................... 40 5.3.1. Rekonstruksi pembentukan “scrambled inverse” ........................ 41 5.4. Metoda Iterasi ................................................................................................... 43 5.4.1. Metoda Jacobi ..................................................................................... 43 5.4.2. Metoda Gauss-Seidel ......................................................................... 45 6. Matrik .......................................................................................................................... 46 6.1. Notasi dan Konsep-konsep Pendahuluan .................................................... 46 6.2. Determinan dan invers .................................................................................... 49 6.2.1. Menghitung determinan dengan eleminasi segitiga atas ............ 49 6.3. Matrik dan Vektor Eigen ................................................................................. 50 6.3.1. Metode ‘power’ untuk mendapatkan nilai & vektor eigen terbesar. ............................................................................................... 52 7. Persamaan Differensial Biasa ................................................................................. 55 7.1. Metoda Euler ..................................................................................................... 57 7.2. Metoda ‘Multi–Step’ ........................................................................................ 58 7.2.1. Metoda Trapesium ............................................................................ 59 7.3. Metoda Runge-Kutta (RK) .............................................................................. 60 7.3.1. Metoda RK derajat dua ..................................................................... 60 7.3.2. Metoda RK berderajat tiga ............................................................... 61 7.3.3. Metoda RK berderajat empat ........................................................... 62 7.3.3.1. 7.3.3.2. 7.3.3.3. Metoda Pertama....................................................................................... 62 Metoda Kedua.......................................................................................... 62 Metoda Ketiga .......................................................................................... 62 7.4. Metoda ‘Predictor-Corrector’ ......................................................................... 63 7.4.1. Algoritma ‘Predictor-Corrector ....................................................... 64 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. iv Jack la Motta DAFTAR ISI Buku kuliah D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 67 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. v Jack la Motta DAFTAR GAMBAR halaman Gambar 1 Teorema Nilai Antara ...................................................................................... 1 Gambar 2 Teorema Nilai Tengah ..................................................................................... 2 Gambar 3 Nilai Tengah Integral ....................................................................................... 3 Gambar 4 Interpretasi Deret Taylor secara geometris................................................... 4 Gambar 5 Metoda Bagi Paruh untuk mencari akar ..................................................... 11 Gambar 6 Metoda Newton untuk mencari akar .......................................................... 12 Gambar 7 Metoda Sekan untuk mencari akar .............................................................. 13 Gambar 8 Konsep integrasi trapesium .......................................................................... 22 Gambar 9 Konsep integrasi Simpson ............................................................................. 25 Gambar 10 Fungsi y = w(x) untuk metoda Simpson.................................................... 26 Gambar 11 Cara pertama pemindahan kolom dengan elemen pivot ....................... 42 Gambar 12 Cara kedua pemindahan kolom dengan elemen pivot........................... 42 Gambar 13 Cara kedua pemindahan kolom dengan elemen pivot........................... 43 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Gambar 14 Gaya-gaya yang bekerja pada struktur ..................................................... 54 Gambar 15 Penyelesaian dengan Metoda Euler........................................................... 56 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. vi Jack la Motta 1. Bab ERROR: ASAL & RAMBATANNYA 1.1. Pendahuluan Teorema 1.1.: ‘Nilai Antara’ (lihat Gambar 1) Jika f(x) suatu fungsi menerus pada x [a, b] dan m Infimum f ( x) serta a x b M Supremum f ( x) , maka untuk setiap bilangan pada interval tertutup [m, M] a x b paling tidak ada satu titik [a,b] sehingga f() = . Khususnya ada dua titik u & ū [a, b] dimana m = f(u) dan M = f(ū) D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) y y = f(x) M = f(ū) m = f(u) a u x ū b Gambar 1 Teorema Nilai Antara Teorema 1.2.: ‘Nilai Tengah’ (lihat Gambar 2) Jika f(x) menerus pada interval [a,b] serta turunan pertamanya ada dalam interval x (a,b). Maka paling tidak ada satu titik (a,b) dimana: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 1 Jack la Motta Error: Asal & Rambatannya Buku kuliah f ' ( ) f (b ) f ( a ) ba Teorema 1.3: ‘Nilai Tengah Integral’ (lihat Gambar 3) Jika w(x) tidak negatif dan dapat dihitung integralnya pada interval [a,b] dan f(x) menerus pada [a,b], maka b b a a w( x) f ( x)dx f ( ) w( x)dx untuk satu titik [a,b] tangennya = f() f() f(b) b f(a) D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) a x Gambar 2 Teorema Nilai Tengah Teorema 1.4.: ‘Deret Taylor’ (lihat Gambar 4) Jika f(x) mempunyai n+1 turunan dan turunannya selalu menerus pada [a,b], dan jika x, x0 [a,b], maka: f ( x) Pn ( x) Rn 1 ( x) dengan Pn ( x) f ( xo ) Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. x x0 ( x xo ) n ( n ) f '( xo ) ... f ( xo ) 1! n! hal. 2 Jack la Motta Error: Asal & Rambatannya Buku kuliah x 1 Rn 1 ( x) ( x t ) n f ( n 1) (t )dt n! x0 ( x xo ) (n 1)! n 1 f ( n 1) ( ) untuk diantara xo dan x. y = w(x) w(xi) f(xi) garis referensi y a xi x b Gambar 3 Nilai Tengah Integral x Bukti: f ' (t )dt f ( x) f ( xo ) xo D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Jadi: x f ( x) f ( xo ) f ' (t )dt xo ingat : udv uv vdu x ... tf ' (t )t xo tdf ' (t ) tx xo x ... ( x xo ) f ' ( xo ) x( f ' ( x) f ' ( xo ) tf " (t )dt xo x x xo xo ... ( x xo ) f ' ( xo ) x f " (t )dt tf " (t )dt Akhirnya diperoleh: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 3 Jack la Motta Error: Asal & Rambatannya Buku kuliah x f ( x) f ( x0 ) ( x xo ) f ' ( xo ) ( x t ) f " (t )dt ... dst. xo x ... 1 f " (t )d ( x t ) 2 ... dst. 2 xo f ( x) f ( xo ) x xo f ( ) 1! y C p2(x) R3(x) R2(x) p1(x) R1(x) y = f(x) p0(x) A B f(x0) A’ x0 f(x C’ x x D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Gambar 4 Interpretasi Deret Taylor secara geometris Secara geometris artinya: CC ' AA' A' C ' tan kesalahan pemotongan BC AA' A' C ' AB AA' BC p0 ( x ) R1 ( x)( x x0 ) f '( ) Jadi kesalahan pemotongan Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 4 Jack la Motta Error: Asal & Rambatannya Buku kuliah n 1 ( x xo ) Rn 1 ( x) (n 1)! f ( n 1) ( ) konstanta ( x x o ) konstanta x n 1 n 1 Rn+1 (x) disebut sebagai kesalahan pemotongan order n+1 atau O(xn+1). 1.2. Bilangan Dalam Komputer Komputer menyajikan bilangan dalam 2 mode yaitu (1) Integer, (2) Floating point. Basis bilangan yang digunakan dalam komputer jarang sekali yang decimal (basis 10). Hampir semua komputer memakai basis 2 (binari) atau variannya seperti basis 8 (octal) dan basis 16 (hexadecimal). Contoh: a. Pada basis 2, semua bilangan terdiri dari 2 angka yaitu 0 dan 1. Jadi (11011.01)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 + 0.2-1 + 1.2-2 = 27. 25 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) b. Pada basis 16, semua bilangan terdiri dari/dinyatakan dengan angka 0, 1, …, 9, A,B, … ,F Jadi (56C.F)16 = 5.1612+ 6.161 + 12.160 + 15.16-1 = 1338.9375 Jika basis bilangan suatu komputer adalah , maka suatu bilangan non-zero x disimpan didalam bentuk. x = (.a1a2a3 … at) . e dengan = -1 atau + 1, 0 a1 -1, e = integer, dan a1a 2 a3 at a11 a 22 att dengan disebut tanda, e disebut eksponen L e U, (a1a2a3 … at) disebut mantissa, dan disebut radix. Akurasi dari sajian ‘floating-point’ suatu komputer. Unit pembulatan, , suatu komputer adalah suatu bilangan positip terkecil yang mempunyai sifat bahwa 1+>1 Nilai nol, , suatu komputer adalah suatu bilangan positip terkecil dimana 1+>1 Secara praktis dan dapat dihitung sbb: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 5 Jack la Motta Error: Asal & Rambatannya 10 Buku kuliah = 1.0 = /2.0 If (1.0 + .GT. 1.0) GOTO 10 = * 2.0 1.2.1. Underflow and Overflow Jika suatu bilangan tidak mampu direpresentasikan oleh komputer karena e < L atau e > U, maka akan terjadi under/overflow. Jadi setiap bilangan harus berada dalam interval xL ≤ |x| ≤ xU dengan xL = βL-1 dan xU = (1 – β-t)βL-1 Dalam FORTRAN: Jika suatu hasil hitungan, |x|≥ xU, maka akan terjadi ‘overflow error’ dan program akan berhenti. Jika suatu hasil hitungan, |x|≥ xL, maka akan terjadi ‘underflow error’ biasanya x nilainya menjadi nol dan hitungan terus berlanjut. D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 1.3. Definisi dan Asal ‘error’ Dalam penyelesaian suatu masalah, dikehendaki jawaban yang sejati, yang disimbolkan sebagai xT, tetapi biasanya jawaban pendekatanlah yang didapat (ini disimbolkan sebagai xA). Error ( x A ) xT x A Untuk banyak keperluan, bukan ‘error’ mutlak yang dikehendaki melainkan ‘error’ relatif dari xA yang dibutuhkan: x xA Rel( x A ) T , xT 0 xT 19 Contoh: xT e 2.7182818... , x A 2.7142857 ... 7 Jadi: Error( x A ) 0.003996... , Rel( x A ) 0.00147... Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 6 Jack la Motta Error: Asal & Rambatannya Buku kuliah 1.3.1. Angka signifikan (significant digits) Nilai xA dikatakan mempunyai m angka signifikan terhadap xT, jika kesalahan (xT-xA) mempunyai nilai ≤ 5 pada angka ke (m+1) dihitung ke kanan dari angka non-zero didalam xT. Contoh: 1 2 3 4 1 1 0. 3 3333... , x A 0.333 , xT x A 0. 0 0 0 3 3 karena pada angka ke 4 kesalahannya < 5, maka x A dikatakan mempunyai 3 angka signifikan, sehingga x A 0.333 . 1) xT 1 2) xT 2 3.496 x A 23.494 1 2 3 4 5 xT x A 0 0 . 0 0 2 karena pada angka ke 5 kesalahannya < 5, maka x A dikatakan mempunyai 4 angka signifikan, sehingga x A 23.49 . 1 3) xT 0.0 2138 x A 0.02144 1 2 3 xT x A 0.0 0 0 0 6 karena pada angka ke 3 kesalahannya < 5, maka x A dikatakan mempunyai 2 angka signifikan, sehingga x A 0.021 . 1.3.2. Asal dari ‘error’ D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 1. Simplifikasi dan asumsi yang digunakan untuk merubah peristiwa alam ke dalam formula matematik. 2. Kesalahan/keteledoran : kesalahan aritmatik dan programming. 3. Ketidakpastian dalam data. 4. Kesalahan mesin. 5. Kesalahan matematis dalam kesalahan pemotongan 1.4. Rambatan ‘Error’ Ditentukan semua operasi aritmatik digantikan dengan tanda . Jadi : + - / dan ŵ: + - / → versi komputer Misalkan xA dan yA adalah bilangan yang akan digunakan dan kesalahannya terhadap xT dan xT adalah xT x A dan yT y A Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 7 Jack la Motta Error: Asal & Rambatannya Buku kuliah Jika dilakukan hitungan xA ŵ yA, maka kesalahannya adalah xT yT x A wˆ y A xT yT x A y A x A y A x A wˆ y A I II I = kesalahan karena rambatan (‘propagated error’) II = kesalahan karena ‘rounding’ ataupun ‘choping’ 1.4.1. ‘Propagated Error’ pada Perkalian xT yT x A y A xT yT ( T )( yT ) xT yT x y xA yA Rel( x A y A ) T T xT y T y T xT T y T Rel( x A ) Rel( y A ) Rel( x A ).Rel( y A ) Jika Rel( x A ) , Rel( y A ) <<1, maka Rel( x A y A ) Rel( x A ) Rel( y A ) 1.4.2. ‘Propagated Error’ pada Pembagian xT x A xT x T xA yT y A yT y T Rel( ) xT xT yA yT yT D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 1 Rel( ( xT ) yT x y .xT xT yT . yT T T ( yT ) xT xT yT .xT xA Rel( x A ) Rel( y A ) ) yA 1 Rel( y A ) Jika Rel( y A ) <<1, maka Rel( xA ) Rel( x A ) Rel( y A ) yA Tampak bahwa pada perkalian dan pembagian ‘kesalahan relatif’ tidak membesar secara cepat. 1.4.3. ‘Propagated Error’ pada Penjumlahan dan Pengurangan ( xT yT ) ( x A y A ) ( xT x A ) ( yT y A ) Error( x A y A ) Error( x A ) Error( y A ) Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 8 Jack la Motta Error: Asal & Rambatannya Buku kuliah Penjabaran ini tampak logis tetapi tidak baik karena tidak dinyatakan dalam ‘kesalahan relatif’ 22 Contoh: xT , x A 3.1416, yT , y A 3,1429 7 xT x A 7.35 10 6 Rel( x A ) 2.34 10 6 yT y A 4.29 10 5 Rel( y A ) 1.36 10 5 ( xT yT ) ( x A y A ) 0.0012645 (0.0013) 3.55 10 5 Rel( x A y A ) 0.028 Jadi meskipun kesalahan pada ( x A y A ) adalah kecil, tetapi ‘kesalahan relatif’nya D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) cukup besar melebihi Rel(xA) ataupun Rel(yA). Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 9 Jack la Motta 2. Bab PERSAMAAN NON-LINIER Di dalam matematika aplikasi pencarian akar persamaan f(x)=0 sering dijumpai. Biasanya jawaban analitis dari persamaan diatas tidak ada, sehingga harus dicari jawaban numeriknya yang biasa dilaksanakan dengan metode iterasi. 2.1. Metode Bagi Paruh (Bisection) Jika terdapat suatu f(x) yang menerus [a,b] dan f(a)f(b) < 0, maka menurut Teorema 1.1 paling tidak f(x) mempunyai satu akar f(x) mempunyai satu akar [a,b]. Algoritma Bisect(f, a, b, akar, ) 1. Hitung c := (a+b)/2 2. Jika b – c , maka akar:= c, dan ‘ exit’ D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 3. Jika {tanda f(b)•tanda f(c)} ≤ 0, maka a := c , jika tidak b := c 4. Kembali ke langkah nomor 1. Definisi Suatu deret hasil suatu iterasi {xn|n≥0} dikatakan menuju ke titik dengan derajat p ≥1 , jika x n 1 c x n p n0 untuk beberapa nilai c>0. Jika p=1, deretnya disebut menuju ke titik secara linier. Pada kasus ini diperlukan nilai c<1; c disebut laju linier dari xn menuju . Ada beberapa metode yang membutuhkan definisi yang agak berbeda dengan diatas yaitu x n1 c n x0 n 0 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 10 Jack la Motta Persamaan Non-Linier Buku kuliah Tingkat kelajuan metode bagi paruh dinyatakan dalam 1 c n ( ) n (b a ) 2 y c = (a+b)/2 c = (a+b)/2 nilai awal a abaru f(a)<0 y=f(x) c = (a+b)/2 metode ini diulang-ulang sampai abs (c-b) < abaru f(b)>0 bbaru b nilai awal x akar sesungguhnya yang akan dicari Gambar 5 Metoda Bagi Paruh untuk mencari akar 2.2. Metode Newton D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Deret Taylor: f ( x) f ( x n ) ( x x n ) f ' ( x n ) 1 ( x x n ) 2 f " ( x n ) ... 2 atau menurut Teorema 1.4 f ( x) f ( x n ) ( x x n ) f ' ( x n ) 1 ( x x n ) 2 f " ( ) 2 dengan diantara xn dan x. Jika akar dari f(x), salah satunya adalah , maka f (x ) 0 1 f ( x) f ( x n ) ( x n ) f ' ( x n ) ( x n ) 2 f " ( ) 0 2 jadi xn f ( xn ) 1 f " ( ) ( x n ) 2 f ' ( xn ) 2 f ' ( xn ) maka dapat didekati dengan Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 11 Jack la Motta Persamaan Non-Linier Buku kuliah x n 1 x n dengan ‘errornya’ x n 1 f ( xn ) f ' ( xn ) n0 f " ( ) ( x n ) 2 2 f ' ( xn ) n0 Untuk nilai n→, → dan xn→, jadi f " ( ) x n 1 ( x n ) 2 2 f ' ( ) konstanta ( x n ) 2 Sehingga metode Newton dikatakan mempunyai derajat kelajuan = 2 y y=f(x) grs singgung akar sesungguhnya nilai awal x1 x0 x D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Gambar 6 Metoda Newton untuk mencari akar Algoritma Newton (f, df, x0, , akar, itmax, ierr) 1. Keterangan : df adalah f’(x), itmax adalah iterasi maximum, ierr adalah ‘error flag’ 2. noiter:=1 3. penyebut:=df(x0) 4. jika penyebut = 0 maka ierr:=2, dan ‘exit’ 5. x1:= x0 - f(x0)/penyebut 6. jika |x1 – x0|≤, maka ierr:= 0, akar:= x1, dan ‘exit’ 7. jika noiter = itmax maka ierr:= 1, dan ’exit’ 8. noiter:= noiter +1, x0:=x1, dan ulangi langkah 3. Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 12 Jack la Motta Persamaan Non-Linier Buku kuliah 2.3. Metode Sekan Dengan menggunakan sifat segitiga sebangun diperoleh BD CD BA CE f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x1 ) 0 x1 x0 x1 x 2 x1 x0 atau Jadi x 2 x1 f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x0 ) x n x n 1 x n 1 x n f ( x n ) f ( x n ) f ( x n 1 ) y n 1 y=f(x) D akar sesungguhnya nilai awal x0 x2 x3 E D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) A C x x1 nilai awal B Gambar 7 Metoda Sekan untuk mencari akar Metode sekan dapat dijabarkan dari metode Newton dimana f ' ( xn ) f ( x n ) f ( x n 1 ) x n x n 1 Derajat Konvergensi: untuk metode Newton p = 2 untuk metode sekan p = ½(1+√5) = 1,618 untuk metode ‘bisection’ p = 1 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 13 Jack la Motta Persamaan Non-Linier Buku kuliah 2.4. Akar dari Persamaan Polinomial p(x) = a0 + x(a1 + x(a2+…+x(an-1 + anx)…) (A) p(x) = a0 + a1x + a2x2+…+ anxn (B) atau Pada Pers.(A) terdapat n perkalian & pertambahan, sedangkan dalam Pers.(B) terdapat: (2n–1) perkalian & pertambahan. Oleh karena itu dalam pemrograman komputer lebih disukai bentuk dalam Pers.(A), karena lebih efisien. Pers. (A) jika ditulis dalam FORTRAN menjadi 10 p = a(n) do 10 i = n,1,-1 p = p*x + a(i–1) Untuk menghitung akar dari persamaan p(x) = 0 akan digunakan Metoda Newton. Untuk keperluan itu polinomial p(x) akan dimodifikasi sebagai berikut Disyaratkan: bn = an D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) bk = ak + zbk+1 , k = n–1, n–2,… , 0 Dari syarat ini p(x) dapat ditulis sebagai p(x) = b0 + (x– z)q(x) dengan q(x) = b1 + b2x +…+ bnx n-1 sehingga p’(x) = (x– z)q’(x) + q(x) → p’(z) = q(z) Algoritma: Polynew (a, n, x, , itmax, akar, b, ier) 1. Keterangan: a adalah vektor coef. dengan dimensi n, itmax adalah iterasi maksimum, b adalah vektor coef. dari polinomial yang baru, ier adalah indikator adanya error. 2. noiter: = 1 3. x: = x0 , bn := c := an 4. Untuk k = n-1, …, 1, bk := ak+ zbk+1, c := bk + zc 5. b0:= a0 + zb1 6. Jika c = 0, ier := 2, dan ‘exit 7. x1:= x0 – b0/c 8. Jika x1 – x0 , ier :=0 ,akar:= x1, dan ‘exit’ Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 14 Jack la Motta Persamaan Non-Linier Buku kuliah 9. Jika noiter:= itmax, ier:= 1, dan ‘exit’ D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 10. noiter:= noiter + 1, x0:= x1 , ulangi langkah ketiga. Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 15 Jack la Motta 3. Bab TEORI INTERPOLASI Jika kita mempunyai satu set data: (x0, y0) , (x1, y1), …, (xn, yn) maka dalam bab ini akan di jelaskan bagaimana harus mencarti polinomial yang melalui, data di atas. Jika polinomial ini ditulis sebagai: p(x) = a0 + a1x +… + anxn maka jika data diatas disubstitusikan akan didapat (n+1) persamaan dengan (n+1) variabel tidak diketahuinya yaitu: a 0 a1 x0 a n x0n y 0 n a 0 a1 x n a n x n y n D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Persamaan diatas jika diselesaikan akan menghasilkan a0, …, an sehingga polinomial p(x) dapat dicari . 3.1. Metoda Beda Terbagi Newton Notasi yang digunakan: f xo ,x1 , ... ,xn f x1 , ...,x n f x1 , ...,x n x n -x0 Contoh Order 0: x0 =xn f x1 f x0 Order 1: f x0 , x1 x1 x0 f x1 , x 2 f x0 , x1 Order 2: f x0 , x1 , x 2 x2 x0 f x1 , x 2 , x3 f x0 , x1 Order 3: f x0 , x1 , x 2 , x3 x 2 x0 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 16 Jack la Motta Teori Interpolasi Buku kuliah Rumus beda terbagi Newton: pn(x) = x0+ (x3-x0)x0,x1+(x3-x0)(x-x1)x0,x1]+… +(x–x0)…(x–xn-1) x0,x1,…,xn Contoh: Kita buat tabel beda terbagi berdasarkan polinomial (x) = x3 – 2x2 + 7x – 5 i 0 1 2 3 xi 0.0 1.0 3.0 4.0 Keterangan: 1 5 6 1 0 55 25 C 30 43 30 12 E 6 4 1 A f[xi] -5.0 1.0 25.0 55.0 f[xi, xi+1] 6 12 30 f2[ ] 2 6 f3[ ] 1 25 1 12 3 1 BA D 2 30 ED F 1 40 B Contoh hitungan pn(x=0.5) = ? p1(x) = -5 + (x-0)6 = 6x – 5 p1 (0.5) = -2 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) p2(x) = -5 + (x-0)6 + (x-0)(x–1)2 = 2x2 + 4x – 5 p2 (0.5) = -2,5 p3(x) = -5 + (x-0)6 + (x-0)(x–1)2 +(x-0)(x-1)(x-3)1 = x3 – 2x2 + 7x – 5 p2 (0.5) = -15/8 = - 1.875 Algoritma metoda beda terbagi Newton Divdif (d, x , n) 1. Keterangan: d dan x adalah vektor f(xi) dan xi = 0,1,…,n. Pada saat ‘exit’ di akan terisi oleh nilai f x0,…,xi 2. Kerjakan s/d langkah 4 untuk i = 1, 2 ,… ,n 3. Kerjakan sampai dengan langkah 4 untuk j = n, n-1, i 4. dj := (dj -dj-1) /(x-xj-1) 5. ’exit’ Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 17 Jack la Motta Teori Interpolasi Buku kuliah Interp(d, x, t, p) 1. Keterangan: Pada awalnya d dan x adalah vektor dari x0,…,xi dan xi, i = 0, 1 , …, n. Pada saat ‘exit’ p akan berisi pn(t). 2. p := dn 3. Kerjakan s/d langkah 4 untuk i = n-1 , n--2, …, 0 4. p := di + (t– xi)p 5. ‘ exit’ 3.2. Interpolasi dengan tabel beda hingga 3.2.1. Beda Maju Notasi: (xi) = (xi+1) - (xi) dengan xi = x0 + ih, i = 0, 1, 2, 3, … Untuk r 0, r+1(z) = r(z+h) - r (z) r(z) disebut ‘ beda maju order r ,‘ disebut ‘operator beda maju ‘ 0(x) (x) = (x) = 0(z+h) - 0(z) = (x+h) - (x) 2 (x) = (x+h) - (x) Contoh hitungan : Kita gunakan polinomial x3 – 2x2 + 7x – 5 dengan h = 1,0 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Contoh: i 0 1 2 3 4 xi 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 f(xi) -5.0 1.0 9.0 25.0 55.0 6 8 16 30 2 2 8 14 3 6 6 4 0 Korelasi antara ‘beda maju’ dengan ‘ beda terbagi’ f x0 , x1 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. f x1 f x0 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) x1 x0 h h hal. 18 Jack la Motta Teori Interpolasi Buku kuliah f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x 0 ) x 2 x1 x1 x0 2 f ( x 0 ) f x0 , x1 , x 2 x 2 x0 2h 2 Secara umum: f x0 , x1 ,..., x n n f ( x0 ) n! h n Akan dijabarkan rumus interpolasi ‘beda maju’ dari rumus interpolasi ‘beda x x0 terbagi’ Newton. Didefinisikan yang menunjukkan letak titik x h terhadap x0. Jadi misalnya = 1.6, maka x terletak pada jarak 6/10 dari x1 ke arah x2. Diinginkan rumus untuk: (x – x0) (x – x1) … (x – xk) dinyatakan dalam x – xj = x0 + h – (x0 + jh) = (-j)h Jadi (x – x0) (x – x1) … (x – xk) = ( -1)… ( -k)hk+1 sehingga 2 n f 0 n f0 2 f0 p n ( x) f 0 h ( 1)h ... ( 1)...( n 1)h h 2! h 2 n! h n D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Jika didefinisikan koefisien binomial sbb: ( 1)...( k 1) , k>0 dan k! k 1 0 maka didapat rumus interpolasi ‘beda maju’ sbb: n x x0 p n ( x ) j f ( x 0 ) dengan h j0 j Contoh hitungan: p(x=1.5) = ? x x0 1.5 1.0 1.5 h 1.0 1) p1(x) = x0 + (x0) = -5 + 1.5 (6) = 4 2) p2(x) = x0 + (x0) + (-1)∆2f(x0)/2! = -5 + 1.5 (6) + 1.5 (0.5)2/2! = 4.75 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 19 Jack la Motta Teori Interpolasi Buku kuliah 3.2.2. Beda Mundur z = z - z-h r+1z = rz - rz-h Notasi: r≥1 Rumus interpolasinya n x x 1 j 1 j f ( x0 ) dengan 0 1 , p n ( x) j h j 0 0 i -4 -3 -2 -1 0 xi 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 f(xi) -5.0 1.0 9.0 25.0 55.0 6 8 16 30 2 2 8 14 3 6 6 4 0 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Contoh hitungan: p(x=3.5) = ? x x 3.5 4.0 0 0.5 1.0 h 1) p1(x) = x0 + (-)(x0) = 55 + (-0.5) 30 = 40 2) p2(x) = p1(x) + (-)(-+1)2f(x0)/2! = 40 + (-0.5)(0.5)14/2 = 38.25 3) p3(x) = p2(x) + (-)(-+1) (-+2)3f(x0)/3! = 38.25 + (-0.5)(0.5)(1.5)6/3 = 37.875 3.3. Lagrange Polinomial Lagrange dibentuk dengan fomulasi berikut: n p n x Li x f xi i 0 n Li x j 0 j i x xj xi x j i 0,1,..., n Contoh: x x1 x x0 f x0 f x1 x0 x1 x x01 x x1 x x2 f x x x0 x x2 f x x x0 x x1 f x p2 x x0 x1 x0 x2 0 x1 x0 x1 x2 1 x2 x0 x2 x12 2 pi x Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 20 Jack la Motta Teori Interpolasi Buku kuliah Contoh: hitung p2 x yang melalui titik-titik 0,15; 1,1; 3,25 x x1 x x2 x 1 x 3 x 2 4 x 3 L0 x x0 x1 x0 x2 0 10 3 3 2 x x0 x x2 x 0x 3 x 3x L1 x x1 x0 x1 x2 1 01 3 2 2 x x01 x x1 x 0x 1 x x L2 x x2 x0 x2 x1 3 03 1 6 Jadi p 2 x L0 x 5 L1 x 1 L2 x 25 2 x 2 4 x 5 3.4. Beberapa fakta penting dari’beda terbagi’ 1. f m untuk X x0 , x1 ,..., x n m! artinya interval terkecil dimana x0 , x1 ,..., x m tercakup! Contoh: f 0 f x0 f x0 0! f x1 f x0 x0 , x1 f x0 , x1 f ' x1 x0 1 X x0 , x1 , x 2 f x0 , x1 , x2 f ' 2 f x0 , x1 ,....., xm dimana X x0 ,..., x m D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 2. Jika f x adalah polynomial derajad m, maka polinomial derajad m n 1 n m 1 f x0 ,..., x n , x a m n m 1 0 n m 1 dengan f x a m x m a m 1 x m 1 ... a1 x a 0 3. Kesalahan dalam interpolasi x x0 x x1 ...x x n n 1 x f n 1! x x0 ,...., x n , x f x p n x dengan 4. d f x 0 ,..., x n , x f x 0 , x,..., x n , x, x dx Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 21 Jack la Motta Bab 4. INTEGRASI NUMERIS 4.1. Rumus trapesium dan Simpson Pada bab ini akan dibicarakan cara menghitung integral secara numeris dari b I(f) f(x)dx a dimana [a,b] berhingga y y=f(x) (b,f(b)) y =p1(x) D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) (a,f(a)) x b a Gambar 8 Konsep integrasi trapesium Rumus trapesium pada dasarnya adalah mendekati f(x) dengan garis lurus yang melalui (a,f(a)) dan (b,f(b)) ba I1 ( f ) f (a) f (b) 2 Error: x a x b f (b) f (a) f (x) p1(x) f (x) b a a b (x a)(x b) f a,b, x ingat definisi ‘beda terbagi f[a,b,x]. Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 22 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah Jadi ‘error’: b 1 E1( f ) f (x)dx (b a)[f (a) f (b)] 2 a b (x a)(x b) f a,b, xdx a dengan harga tengah integral, didapat: b E1( f ) f a, b, (x a)(x b)dx a b a 1 1 f "() (b a)3 2 6 3 (b a) f "() 12 [a, b] Jika interval [a,b] dibagi menjadi n pias sehingga untuk n≥1, h = (b-a)/n dan xj = a + jh, j = 0,1,…,n, didapat: b I(f) f(x)dx xj f(x)dx j 1 x j 1 a n n j 1 h h3 f ( x ) f ( x ) f " ( j ) j 1 j 12 2 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) dengan xj-1≤nj≤xj. Sehingga integralnya dapat didekati dengan 1 1 I n ( f ) h f 0 f1 ... f n 1 f n 2 2 Kesalahan In(f) terhadap I(f) adalah En ( f ) I ( f ) En ( f ) n j 1 n 1 h3 f " ( j ) 12 h3n 1 n f " ( j ) 12 n j 1 Perlu diingat bahwa Min f " ( x) a x b 1 n f " ( x) f " ( j ) Max a x b n j 1 karena f”(x) menerus pada a ≤ x ≤ b, maka Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 23 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah h3n f " ( ) [a, b] 12 h 2 (b a ) f " ( ) 12 (b a ) 3 f " ( 12n 2 En ( f ) ~ Estimasi kesalahan asimtotis E n ( f ) Limit n 1 n f " ( j )h 12 j 1 n 1 Limit f " ( j )h 12 n j 1 En ( f ) Limit n h2 b 1 f " ( x)dx 12 a h2 ~ maka En ( f ) f ' (b) f ' (a) 12 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Definisi: ~ Jika En(f) adalah kesalahan eksak, sedangkan En ( f ) adalah estimasi darinya, maka ~ En ( f ) disebut estimasi kesalahan asimtotis dari En(f) jika: ~ ~ En ( f ) En ( f ) En ( f ) 0 Limit 1 atau Limit n E ( f ) n En ( f ) n 4.1.1. Rumus trapesium terkoreksi ~ Dengan menggunakan En ( f ) , rumus trapesium dapat ditingkatkan menjadi: ~ CTn ( f ) I n ( f ) E n ( f ) 1 h2 1 h f 0 f1 ... f n 1 f n f ' (b) f ' (a ) 2 12 2 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 24 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah 4.1.2. Rumus Simpson y (c,f(c)) y=f(x) (b,f(b)) y =p2(x) (a,f(a)) x a c=(a+b)/2 b Gambar 9 Konsep integrasi Simpson Dalam metode Simpson fungsi f(x) didekati dengan p2(x) yang melalui 3 titik (a,f(a)), (c,f(c)) dan (b,f(b)) dimana c = (a+b)/2. b ( x c)( x b) ( x a )( x b) ( x a )( x c) I2 ( f ) f (a) f (c ) f (b) dx (a c)(a b) (c a )(c b) (b a )(b c) a h f (a) 4 f (c) f (b) dengan h b a 3 2 Kesalahannya: E2 ( f ) I ( f ) I 2 ( f ) D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) b ( x a)( x b)( x c) f [a, b, c, x]dx a Harga tengah integral tidak dapat digunakan karena (x-a)(x-c)(x-b) berganti tanda pada x = c. x Didefinisikan: w( x) (t a)(t c)(t b)dt a Beberapa fakta mengenai w(x): ( a b) 4 , w( x) 0 untuk a x b 64 w' ( x) ( x a )( x c)( x b) w(a) w(b) 0, w(c) Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 25 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah a b 4 y 64 y=w(x) a c ( a b) / 2 b x Gambar 10 Fungsi y = w(x) untuk metoda Simpson Jadi E2(f) dapat ditulis sebagai: b E 2 ( f ) w' ( x) f [a, b, c, x]dx a b w( x) f [a, b, c, x]a w( x) b a d f [ a , b, c , x ] dx b E 2 ( f ) w( x) f [a, b, c, x, x]dx a D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) b f [a, b, c, , ] w( x)dx [ a, b ] a f ( 4) ( ) 4 5 h 24 15 h 5 ( 4) f ( ) [a, b] 90 Jika interval [a,b] dibagi menjadi n pias, n ≥ 2, h = (b-a)/n, xj=a+jh untuk j = 1,2,3,…,n, sehingga n / 2 x2 j I( f ) f ( x)dx n genap j 1 x2 j 2 h h 5 ( 4) f 2 j 2 4 f 2 j 1 f 2 j f ( j ) 90 j 1 3 dengan x2j-2 ≤ nj ≤ x2j n/2 Rumus Simpson: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 26 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah h f 0 4 f1 2 f 2 4 f 3 2 f 4 ... 2 f n2 4 f n1 f n 3 Kesalahan estimasi: h 5 (n / 2) 2 n / 2 ( 4) En ( f ) I ( f ) I n ( f ) f ( j ) 90 n j 1 In ( f ) h 4 (b a) ( 4) f ( ) [a, b] 180 (b a) 5 ( 4 ) f ( ) 180n 4 h 4 ( 3) ~ Estimasi kesalahan asimtotis: E n ( f ) f (b) f ( 3) (a) 180 4.2. Rumus Newton–Cotes Rumus trapesium dan Simpson sebetulnya merupakan dua buah rumus pertama dari rumus Newton-Cotes. Untuk n≥1, h = (b-a)/n, xj=a+jh untuk j = 0,1,2,3,…,n. Didefinisikan In(f) dengan mengganti f(x) dengan polinomial pn(x) pada titik-titik x0, x1,…, xn: b b a a I ( f ) f ( x)dx p n ( x)dx Dengan interpolasi Lagrange untuk pn(x), maka D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) b n n I n ( f ) l j ,n ( x) f ( x j )dx w j ,n ( x) f ( x j ) a j 0 j 0 b dengan w j ,n l j ,n ( x)dx j 0,1,..., n a Untuk nilai n = 1 dan 2 telah disajikan sebagai rumus trapesium dan Simpson. Sekarang untuk n = 3, contoh untuk menghitung w0 adalah: b ( x x1 )( x x 2 )( x x3 ) w0 dx ( x x )( x x )( x x ) 0 1 0 2 0 3 a Jika x = x0+h, 0 ≤ ≤ 3, maka: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 27 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah x3 w0 x0 1 ( x x1 )( x x 2 )( x x3 )dx 6h 3 3 1 ( 1)h ( 2)h ( 3)h hd 6h 3 0 3 h 3h ( 1)( 2)( 3)d 60 8 Jika w1, w2, w3 dihitung dengan cara di atas, akhirnya akan didapat untuk n = 3 3h I 3 ( f ) f ( x0 ) 3 f ( x1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x3 ) 8 Kesalahan pada In(f) dinyatakan sebagai berikut: a) Untuk n genap: E n ( f ) C n h n3 f ( n 2) ( ) [ a, b] n dengan C n 1 2 ( 1)...( n)d (n 2)! 0 b) Untuk n gasal: E n ( f ) C n h n 2 f ( n 1) ( ) [ a, b] n dengan C n 1 2 ( 1)...( n)d (n 1)! 0 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 4.2.1. Rumus Newton-Cotes Tertutup n = 1, rumus trapesium b h h3 f ( x ) dx f ( a ) f ( b ) f " ( ) a 2 12 n = 2, rumus Simpson b 5 h ab h ( 4) f ( x ) dx f ( a ) 4 f ( ) f ( b ) a 90 f ( ) 3 2 n=3 b f ( x)dx a 5 3h f (a) 3 f (a h) 3 f (b h) f (b) 3h f ( 4) ( ) 8 80 n = 4, rumus Boole b 7 2h ab 8h ( 6) f ( x ) dx 7 f ( a ) 32 f ( a h ) 12 f ( ) 32 f ( b h ) 7 f ( b ) a 945 f ( ) 45 2 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 28 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah ~ Definisi: Integrasi numerik I ( f ) yang mendekatri I(f) disebut mempunyai ~ derajat ketepatan m jika: (a) I ( f ) I ( f ) untuk semua polinomial f(x) derajat ~ m , (b) I ( f ) I ( f ) untuk beberapa polinomial f(x) derajat m 1 Contoh: Pada rumus Newton-Cotes untuk n = 1, 3 dikatakan mempunyai derajat ketepatan m = 1, 3. Sedangkan untuk n = 2, 4 mempunyai derajat ketepatan m = n + 1 = 3, 5. Tampak bahwa rumus Newton–Cotes dengan n genap menghasilkan derajat ketepatan ekstra dibandingkan dengan n gasal. 4.2.2. Rumus Newton–Cotes terbuka Ada rumus Newton–Cotes yang tidak menggunakan salah satu atau kedua titik di ujung interval. Contoh yang paling sederhana adalah rumus titik tengah: b a b (b a ) 3 f ( x ) dx ( b a ) f ( ) f " ( ) [a, b] a 2 24 Rumus kompositnya: b f(x)dx Ι (f) Ε (f) n n a Ι n(f) h[f(x1 ) f(x n )] h 2(b a) f"(η) [a, b] 24 (b a ) 1 , x j a ( j )h sebagai titik tengah dari titik-titik dengan h n 2 a ( j 1)h, a jh untuk j 1,2, , n . D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) E n(f) Rumus Newton–Cotes yang sedemikian ini disebut dengan rumus terbuka, sedangkan rumus yang terdahulu disebut tertutup. n 2: x2 h3 f ( x ) dx 2 hf ( x ) f " ( ) 1 3 x0 n 3: x3 f ( x)dx x0 3h 3h 3 [ f ( x1 ) f ( x 2 )] f " ( ) 2 4 n 4: x4 x0 4h 14h 5 f ( x)dx [2 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x 3 )] f 45 3 ( 4) ( ) n 5: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 29 Jack la Motta Integrasi Numeris x5 f ( x)dx x0 dimana h Buku kuliah 5h 95h 5 ( 4 ) [11 f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x 2 ) f ( x3 ) 11 f ( x 4 )] f ( ) 24 144 x n x0 , x0 = batas bawah, xn = batas atas. n 4.3. Kuadratur Gaussian Pada metoda integrasi sebelumnya, rumus integrasinya berdasarkan polinomial derajat rendah yang merupakan pendekatan f (x ) dengan jumlah pias semakin besar. Kuadratur Gaussian, rumus integrasinya menggunakan polinomial yang derajatnya makin tinggi. b n a j 1 I ( f ) w( x) f ( x)dx w j ,n f ( x j ,n ) I n ( f ) Sebagai ilustrasi: 1 1 n f ( x)dx w j f ( x j ) j 1 dengan w(x) ≡ 1 Faktor pemberat w j dan titik nodal x j dipilih sedemikian sehingga kesalahan 1 En ( f ) D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 1 n f ( x)dx w j f ( x j ) j 1 sama dengan nol untuk suatu polinomial f(x) dengan derajat setinggi mungkin. E n ( a 0 a1 x a m x m ) a 0 E n (1) a1 E n ( x ) a m E n ( x) Jadi E n ( f ) 0 untuk setiap polinomial derajat ≤ m, bila dan hanya bila E n ( x i ) 0 i 0,1, , m . Kasus 1. n 1 . Karena hanya 2 parameter, w1 dan x1 sehingga diperlukan 2 persamaan: E n (1) 0 E n ( x) 0 1 1dx w1 0 w1 2 1 1 xdx w x 1 1 0 x1 0 1 1 sehingga f ( x)dx 2 f (0) 1 Kasus 2. n 2 . Ada 4 parameter w1, w2, x1, x2, sehingga dibutuhkan 4 persamaan: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 30 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah 1 E n ( x i ) x i dx ( w1 x1 w2 x 2 ) 0 untuk i = 0,1,2,3 i i 1 atau w1 w2 2 w1 x1 w2 x 2 0 2 3 3 w1 x1 w2 x 2 0 3 menghasilkan rumus: 1 1 1 1 f ( x)dx f ( 3 3 ) f ( 3 3 ) w1 x1 w2 x 2 2 2 mempunyai derajat ketelitian 3. Bandingkan dengan rumus Simpson yang menggunakan tiga titik. Kasus 3. untuk n, Terdapat 2n parameter {w1} dan {x1} sehingga terdapat 2n persamaan: E n ( x i ) 0 i 0,1, ,2n 1 atau i 1,3, ,2n 1 0 w j x j 2 i 0,2, ,2n 2 j 1 i 1 n i persamaan diatas merupakan sistem persamaan non-linier penyelesaiannya tidak selalu jelas. Oleh karena itu digunakan cara lain. yang 4.3.1. Kuadratur Gauss-Legendre Untuk w( x) 1 , rumus Gauss pada interval [-1,1] adalah: D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 1 1 n f ( x)dx w j f ( x j ) j 1 dengan titik xj adalah akar dari polinomial Legendre derajat n dalam interval [-1,1]. Faktor pemberatnya adalah 2 wi i 1,2, , n ' (n 1) Pn ( xi ) Pn 1 ( xi ) 2 2 n 1 (n!) 4 f ( 2 n ) ( ) En ( f ) (2n 1)[(2n)!]2 (2n)! dan Tabel 1 Gauss–Legendre titik dan pembobot n 2 3 4 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. x1 0.5773502692 0.7745966692 0.0 0.8611363116 w1 1.0 0.5555555556 0.8888888889 0.3478546451 hal. 31 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah n 5 6 7 8 x1 0.3399810436 0.9061798459 0.5384693101 0.0 0.9324695142 0.6612093865 0.2386191861 0.9491079123 0.7415311856 0.4058451514 0.0 0.9602898565 0.7966664774 0.5255324099 0.1834346425 w1 0.6521451549 0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889 0.1712344924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834 Contoh: 1 n = 1: 1 1 3 3 3 3 f ( x)dx f (0.5773502692) f ( 0.5773502692) 1 n = 3: 1 f ( x)dx D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 1 0.5555555556 f (0.7745966692) 0.5555555556 f (0.7745966692) 0.8888888889 f (0) Untuk integral pada interval umum [a,b], maka digunakan transformasi sebagai berikut: b 1 ba a b (b a ) x f t dt f ( ) dx a 2 1 2 3 (x 1 3 1 3 a b (b a ) x j ba n w j f 2 j 1 2 2 x 2 x 1)dx 34 , dihitung dengan kuadratur Gaussian menghasilkan: 3 1 1 1 3 (3 1) 3 1 3 (3 1) 3 3 1 3 3 1.0 f f ( x)dx 1.0 f 2 2 2 1 1 f (2 3 ) f (2 3 ) 34.66666667 3 3 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 32 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah 4.4. Polinomial Orthogonal Kuadratur Gauss-Legendre menggunakan polinomial orthogonal Legendre. Ada banyak famili polinomial yang orthogonal. Secara umum suatu famili polinomial gk(x) disebut orthogonal terhadap fungsi pemberat w(x) , jika : b w( x) g ( x) g m ( x)dx 0 n nm a b w( x)g ( x) dx c(n) 0 2 n a Contoh : set {sin (kx)} dan {cos (kx)} Polinomial Legendre. Pn(x) → orthogonal pada interval [-1,1] terhadap w(x) = 1 1 P ( x) P n m ( x)dx 0 nm 1 1 P ( x) dx c(n) 0 2 n 1 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Beberapa Pn(x): P0(x) = 1 P1(x) = x P2(x) = ½(3x2-1) P3(x) = ½(5x3-3x) ) P4(x) = ⅛(35x4-30x2+3) Rumus rekursiv: 2n 1 n 1 Pn ( x) xPn 1 ( x) Pn 2 ( x) n n Polinomial Laquerre. Ln(x) → orthogonal pada interval [0,] terhadap w(x) = e-x L ( x) L n m ( x)dx 0 nm 0 L ( x) dx c(n) 0 2 n 0 Beberapa Ln(x): L0(x) = 1 L1(x) = -x+1 L2(x) = x2-4x+2 L3(x) = -x3+9x2-18x+6 Rumus rekursiv: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 33 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah Ln ( x ) ( 2n x 1) Ln 1 ( x ) ( n 1) 2 Ln 2 ( x) Polinomial Chebysev. Tn(x) → orthogonal pada interval [-1,1] terhadap w(x) = 1/√(1-x2) 1 Tn ( x)Tm ( x) 1 1 x 2 dx 0 n m 1 Tn ( x)2 dx c(n) 0 1 1 x2 Beberapa Tn(x): T0(x) = 1 T1(x) = x T2(x) = 2x2-1 T3(x) = 4x3-3x Rumus rekursiv: Tn ( x) 2 xTn 1 ( x) Tn 2 ( x) Polinomial Hermite. Hn(x) → orthogonal pada interval [-,] terhadap w( x) e x 2 e x2 H n ( x) H m ( x)dx 0 nm x e H n ( x) dx c(n) 0 2 2 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Beberapa Hn(x): H0(x) = 1 H1(x) = 2x H2(x) = 4x2-2 H3(x) = 8x3-12x Rumus rekursiv: H n ( x) 2 xH n 1 ( x) 2(n 1) H n 2 ( x) 4.4.1. Kuadratur Gauss-Laquerre e 0 x n f ( x)dx w j f ( x j ) j 1 Kuadratur ini dapat digunakan untuk menghitung: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 34 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah a 0 t a x e f (t )dt e e f ( x a)dx n e a w j f ( x j a) j 1 dengan wj = faktor pemberat, xj = akar dari polinomial Laquerre Tabel 2. wj dan xj dari kuadratur Gauss-Laguerre n 2 3 4 5 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 6 10 14 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. wj 0.85355 33905 0.14644 66094 0.71109 30099 0.27851 77335 0.01038 92565 0.60315 41043 0.35741 86924 0.03888 79085 0.00053 92947 0.263560319718 1.413403059107 3.596425771041 7.085810005859 12.640800844276 0.222846604179 1.188932101673 2.992736326059 5.775143569105 9.837467418383 15.982873980602 0.13779347054 0.729454549503 1.80834290174 3.401433697855 5.552496140064 8.330152746764 11.8437858379 16.279257831378 21.996585811981 29.920697012274 0.093307812017 0.492691740302 1.215595412071) 2.269949526204) xj 0.58578 64376 3.41421 35623 0.41577 45567 2.29428 03602 6.28994 50829 0.32254 76896 1.74576 11011 4.53662 02969 9.39507 09123 0.521755610583 0.398666811083 0.0759424496817 0.00361175867992 2.33699723858E-05 0.45896467395 0.417000830772 0.113373382074 0.0103991974531 0.000261017202815 8.9854790643E-07 0.308441115765 0.401119929155 0.218068287612 0.0620874560987 0.00950151697518 0.000753008388588 0.000028259233496 4.24931398496E-07 1.83956482398E-09 9.91182721961E-13 0.21823488594 0.342210177923 0.263027577942 0.126425818106 hal. 35 Jack la Motta Integrasi Numeris Buku kuliah n wj 3.667622721751 5.425336627414 7.565916226613 10.120228568019 13.130282482176 16.65440770833 20.776478899449 25.623894226729 31.407519169754 38.530683306486 48.026085572686 xj 0.040206864921 0.00856387780361 0.00121243614721 0.000111674392344 6.45992676202E-06 2.2263169071E-07 4.22743038498E-09 3.92189726704E-11 1.45651526407E-13 1.48302705111E-16 1.60059490621E-20 4.4.2. Kuadratur Gauss-Chebysev 1 1 dengan wj n 1 x2 ba 2 1 1 f (t )dt a D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) f(x)dx w j f ( x j ) j 1 2 j 1 ) , j = 1, 2, ... , n 2n 1 a b (b a ) x 1 x2 f dx 2 1 x2 dan x j cos( b n 1 (b a ) 2n n j 1 a b (b a ) x j 1 x 2j f 2 4.4.3. Kuadratur Gauss-Hermite n x e f (x)dx w j f ( x j ) 2 j 1 Tabel 3. wj dan xj dari kuadratur Gauss - Laguerre n 2 3 4 5 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. wj 0.88622 69255 0.29540 89752 1.18163 59006 0.08131 28354 0.80491 40900 0.01995 32421 0.39361 93232 0.94530 87205 xj 0.70710 67811 1.22474 48714 0.0 1.65068 01239 0.52464 76233 2.02018 28705 0.95857 24646 0.0 hal. 36 Jack la Motta Bab 5. SISTEM PERSAMAAN LINIER 5.1. Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss digunakan mencari akar sistem persamaan linier. f1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) 0 f 2 ( x1 , x 2 ,..., x n ) 0 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) f n ( x1 , x 2 ,..., x n ) 0 Contoh: Ditinjau sistem persamaan: 2x1 - 7x2 + 4x3 = 9 x1 + 9x2 - 6x3 = 1 -3x1 + 8x2 + 5x3 = 6 yang akarnya adalah x1 = 4, x2 = 1, dan x3 = 2 Persamaan diatas dalam bentuk matrik dapat ditulis sebagai berikut: [B]{x}={u} 4 x1 9 2 7 1 9 6 x 2 1 3 8 5 x3 6 Untuk menjelaskan eliminasi Gauss, maka dibentuk suatu matrik sebagai berikut: 2 7 4 9 1 0 0 B u I 1 9 6 1 0 1 0 3 8 5 6 0 0 1 Kita kalikan baris 1 dengan 1/2, tambahkan (-1 x baris 1 yang baru) kepada baris 2, dan tambahkan (3x baris 1 yang baru) kepada baris 3. 1 7 / 2 2 9/2 1 / 2 0 0 7/2 1 / 2 1 0 0 25 / 2 8 0 5 / 2 11 39 / 2 3 / 2 0 1 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 37 Jack la Motta Sistem Persamaan Linier Buku kuliah Operasi diatas sama dengan pembentukan/pengubahan sistem persamaan asli menjadi 7 9 x1 x 2 2 x3 2 2 25 7 x 2 8 x3 2 2 5 39 x 2 11x3 2 2 Perhatikan bahwa operasi di atas jika ditulis dalam bentuk matrik adalah 1 2 0 0 2 7 4 9 1 0 0 1 1 0 1 9 6 1 0 1 0 2 8 5 6 0 0 1 1 0 1 3 2 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Selanjutnya dilakukan operasi sebagai berikut: kalikan baris 2 dengan 2/25 dan tambahkan (5/2 x baris 2 yang baru) kepada baris 3 1 7 / 2 2 9/2 1/ 2 0 0 1 16 / 25 7 / 25 1 / 25 2 / 25 0 0 0 0 47 / 5 94 / 25 7/5 1 / 5 1 Operasi terakhir mengubah sistem persamaan menjadi: 7 9 x1 x 2 2 x3 2 2 16 7 x2 x3 25 25 47 94 x3 25 5 Kalikan baris 3 dengan 5/47. Tambahkan ke baris 2: (16/25 x baris 3 yang baru). Tambahkan ke baris 1: (-2 x baris 3 yang baru) 1 7 / 2 0 1/ 2 19 / 24 2 / 47 10 / 47 1 0 1 13 / 235 22 / 235 16 / 235 0 0 0 1 2 7 / 47 1 / 47 5 / 47 Akhirnya tambahkan ke baris 1: (7/2 x baris 2) 1 0 0 4 93 / 235 67 / 235 6 / 235 1 13 / 235 22 / 235 16 / 235 0 1 0 0 0 1 2 7 / 47 1 / 47 5 / 47 Jadi sistem persamaan menjadi x1 = 4, x2 = 1, x3 = 2 dan inverse matrik [B] adalah Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 38 Jack la Motta Sistem Persamaan Linier Buku kuliah 93 / 235 67 / 235 6 / 235 13 / 235 22 / 235 16 / 235 7 / 47 1 / 47 5 / 47 5 1 2 Dari pengamatan: det B 2 25 47 Jadi kalau di ‘resume’ B 1 235 u I 2 7 4 9 6 1 3 8 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 9 1 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 1 2 6 / 235 13 / 235 22 / 235 16 / 235 7 / 47 1 / 47 5 / 47 I x B 1 93 / 235 67 / 235 5.2. Eliminasi Gauss–Jordan D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Pada eliminasi Gauss di atas secara garis besar terdiri dari beberapa langkah: a. operasi normalisasi: elemen diagonal diubah menjadi bernilai 1 b. operasi reduksi: elemen non-diagonal diubah menjadi bernilai 0 Pada eleminasi Gauss – Jordan operasi a & b dikerjakan bersamaan. Contoh: 2x1 - 7x2 + 4x3 = 9 x1 + 9x2 - 6x3 = 1 -3x1 + 8x2 + 5x3 = 6 2 7 4 B u I 1 9 6 3 8 5 9 1 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Normalisasi baris 1 dengan membaginya dengan elemen ‘pivot’ = 2, kemudian: a. baris 2 - baris 1 yang baru b. baris 3 + 3x baris 1 yang baru Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 39 Jack la Motta Sistem Persamaan Linier 1 7 / 2 2 0 25 / 2 8 0 5 / 2 11 Buku kuliah 9/2 7/2 39 / 2 1 / 2 0 0 1 / 2 1 0 3 / 2 0 1 Normalisasi baris 2 dengan membaginya dengan elemen ‘pivot’ = 25/2, kemudian: a. kurangi (-7/2 x baris 2 yang baru) dari baris 1 b. kurangi (-5/2 x baris 2 yang baru) dari baris 3 1 0 6 / 25 88 / 25 9 / 25 7 / 5 0 7 / 25 1 / 25 2 / 25 0 0 1 16 / 25 0 0 47 / 5 94 / 25 7/5 1 / 5 1 Normalisasi baris 3 dengan membaginya dengan elemen ‘pivot’ = 47/5, kemudian: a. kurangi (-6/25 x baris 3 yang baru) dari baris 1 b. kurangi (-16/25 x baris 3 yang baru) dari baris 2 1 0 0 4 93 / 235 67 / 235 6 / 235 1 13 / 235 22 / 235 16 / 235 I x B 1 0 1 0 0 0 1 2 7 / 47 1 / 47 5 / 47 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 25 47 det B 2 235 2 5 5.3. Eliminasi Gauss–Jordan dengan ‘pivot’ maksimum Jika matrik [B] mempunyai salah satu elemen yang mempunyai nilai kecil sekali dibandingkan elemen yang lain, maka cara’pivoting’ yang sebelumnya dapat memberikan hasil yang tidak akurat. Oleh karena itu dipilih elemen ‘pivot’ yang mempunyai nilai terbesar. Contoh: -3x1 + 8x2 + 5x3 = 6 2x1 - 7x2 + 4x3 = 9 x1 + 9x2 - 6x3 = 1 3 8 5 6 1 0 0 B u I 2 7 4 9 0 1 0 1 9 6 1 0 0 1 Dipilih elemen b32 = 9 sebagai ‘pivot’ Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 40 Jack la Motta Sistem Persamaan Linier Buku kuliah 3 8 5 4 2 7 1 / 9 1 6/9 6 9 1/ 9 selanjutnya direduksi sebagai berikut: 35 / 9 0 31 / 3 46 / 9 88 / 9 25 / 9 0 2 / 3 1 / 9 1 2 / 3 1/ 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 / 9 1 0 8 / 9 0 1 7/9 0 0 1 / 9 (I) Operasi 2: 35 / 93 0 1 235 / 93 0 0 13 / 93 1 0 46 / 93 940 / 93 41 / 93 3 / 31 0 8 / 9 2 / 31 1 67 / 93 2 / 31 0 5 / 93 (II) Operasi 3 0 0 1 0 0 1 ?1 1 0 0 2 4 1 x ?2 5 / 47 7 / 47 1 / 47 6 / 235 93 / 235 67 / 235 16 / 235 13 / 235 22 / 235 (III) (IIIa) Dari hasil terakhir (III) terlihat bahwa akar persamaan {x} dapat dislesaikan, tetapi bagaimana matrik ?1 & ?2. Sebetulnya [?1] elemennya adalah elemen [B]-1, hanya letaknya tidak betul sehingga perlu diatur untuk mendapatkan inverse [B] yang sesungguhnya. D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Ada butir yang sangat penting dari hasil diatas: Akar dari [B]{x}={u} dapat dicari tanpa menghitung [B]-1. Hitungan inverse suatu matrik lebih baik dihindari karena mahal beayanya. Untuk menghemat memori komputer, maka pada cara terakhir (eliminasi Gauss–Jordan dengan ‘pivot’ maksimum) hasil dari inverse dimasukan kedalam matrik [B]. 5.3.1. Rekonstruksi pembentukan “scrambled inverse” Pembentukan I Yang Semula I Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 41 Jack la Motta Sistem Persamaan Linier Buku kuliah 35 / 9 0 31 / 3 25 / 9 0 2 / 3 1 / 9 1 2 / 3 46 / 9 88 / 9 1/ 9 1 0 8 / 9 0 1 7/9 0 0 1 / 9 dipindah kolom 3 dari [I] dipindah b32 kolom 2 dari [B] Gambar 11 Cara pertama pemindahan kolom dengan elemen pivot Yang Baru I 35 / 9 8 / 9 31 / 3 46 / 9 25 / 9 7 / 9 2 / 3 88 / 9 1 / 9 1 / 9 2 / 3 1 / 9 Pembentukan II Yang Semula II dipindah D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 35 / 93 0 1 235 / 93 0 0 13 / 93 1 0 46 / 93 940 / 93 41 / 93 3 / 31 0 8 / 9 2 / 31 1 67 / 93 2 / 31 0 5 / 93 kolom 1 dari [I] b13 dipindah kolom 3 dari [B] Gambar 12 Cara kedua pemindahan kolom dengan elemen pivot Yang Baru II 35 / 93 8 / 9 3 / 31 46 / 93 235 / 93 67 / 93 2 / 31 940 / 93 13 / 93 5 / 93 2 / 31 41 / 93 Pembentukan III Yang Semula III Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. dipindah hal. 42 Jack la Motta Sistem Persamaan Linier Buku kuliah 0 0 1 1 0 0 0 1 0 2 4 1 5 / 47 7 / 47 1 / 47 6 / 235 93 / 235 67 / 235 16 / 235 13 / 235 22 / 235 kolom 2 dari [I] dipindah b21 kolom 1 dari [B] Gambar 13 Cara kedua pemindahan kolom dengan elemen pivot Yang Baru III 1 / 47 5 / 47 2 7 / 47 93 / 235 67 / 235 6 / 235 4 13 / 235 22 / 235 16 / 235 1 “scrambled inverse” {x} → akar dari sistem persamaan perlu diatur dahulu untuk menghasilkan inverse yang sesungguhnya D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 5.4. Metoda Iterasi 5.4.1. Metoda Jacobi Kita bahas sistem persamaan: [B]{x} = {u} atau b11 x11 b12 x 2 b1n x n u1 b21 x1 b22 x 2 b2 n x n u 2 (A) bn1 x1 bn 2 x 2 bnn x n u n Metoda Jacobi membentuk persamaan untuk mendekati persamaan di atas: u b x b x ... b1n x n x1 1 12 2 13 3 b11 u b x b x ... b2 n xn x2 2 21 1 23 3 b22 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. (B) hal. 43 Jack la Motta Sistem Persamaan Linier xn Buku kuliah u n bn1 x1 bn 2 x 2 ... bn ,n 1 x n 1 bnn n u i bij x j xi j 1 j i , i 1,2, , n bii jika terjadi bii 0 atau nilainya kecil, maka harus diadakan pengaturan sehingga bii 0 atau D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Metoda ini dimulai dengan “tebakan” nilai awal {x0} kemudian dimasukkan kedalam persamaan (B) untuk menghitung {x} baru. Contoh: 4 x1 2 x 2 x3 11 1 x1 2 x 2 3 {x} 2 3 2 x1 x 2 4 x3 16 Persamaan di atas ditulis lagi: 11 1 1 x1 x 2 x3 4 2 4 3 1 x 2 x1 2 2 1 1 x3 4 x1 x 2 2 4 Vektor awal {x0} = [1, 1, 1]t 1 11 1 x11 1 1 2 4 4 2 3 1 x 21 1 2 2 2 13 1 1 x31 4 1 1 4 4 2 13 t Jadi , {x1 } [2, 2, ] 4 {x 2 } [0.9375 2.5 2.5]t (C) {x3 } 0.875 1.96875 2.90625 t {x 4 } 1.03906 1.9375 3.0703 t {x5 } 1.01367 2.0195 2.9961 t t {x14 } 1.0000 2.0000 3.0000 Dalam metoda ini hitungan elemen vektor yang baru menggunakan elemen vektor yang lama. Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 44 Jack la Motta Sistem Persamaan Linier Buku kuliah 5.4.2. Metoda Gauss-Seidel Dibandingkan dengan metoda Jacobi, metoda Gauss-Seidel menghitung elemen vektor baru dengan menggunakan elemen yang baru saja dihitung. Contoh: digunakan sistem persamaan yang digunakan sebelumnya, jadi persamaan (C) dapat digunakan. Vektor awal {x0} = [1, 1, 1]t 11 1 1 x11 1 1 2 4 2 4 5 3 1 x 21 2 2 2 2 1 1 5 19 x31 4 2 2 4 2 8 t 5 19 Jadi, {x1 } 2, , 8 2 {x 2 } 0.9063 1.9531 3.0586 t {x3 } 1.0088 2.0044 2.9945 t {x 4 } 0.9992 1.9996 3.0005 t {x5 } 1.0000 2.0000 3.0000 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) t Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 45 Jack la Motta Bab 6. MATRIK D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 6.1. Notasi dan Konsep-konsep Pendahuluan a11 A (aij ) a m1 b11 B (bij ) bn1 c11 C (cij ) c n1 d11 D (d ij ) d p1 a12 am2 b12 bn 2 c12 cn 2 d12 d p2 a1n mn a mn b1 p n p bnp c1 p n p c np d1q nq d pq Dengan notasi diatas, maka hal-hal dibawah ini berlaku: 1. E B C adalah matriks n x p dengan eij bij cij BC C B n 2. F AB adalah matriks m x p dengan f ij aik bkj k 1 A( B C ) AB AC , ( B C ) D BD CD Jika AB BA maka A & B disebut ‘commute’ Contoh: 1 3 1 2 1 2 1 A dan B 2 1 dan C (cij ) 3 1 3 4 2 0 3 2 4 maka Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 46 Jack la Motta Matrik Buku kuliah 0 5 B C 1 2 2 7 15 20 10 (B C) A 5 6 5 23 32 12 4 2 A( B C ) 0 37 3. 1 3 1 2 1 3 A 2 0 1 dan B 3 1 2 4 1 2 3 1 2 maka 11 A AA 2 14 16 9 BA 7 7 13 11 2 4 5 11 AB 1 1 4 11 7 18 10 6 14 2 B 3 0 3 9 6 15 0 0 14 7 4 5 7 0 6 19 6 10 1 2 14 2 2 5 3 ( A B)( A B) 5 13 7 dan A B 1 3 5 8 8 4 4 tampak ternyata bahwa (A-B)(A+B) ≠ (A2-B2), D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) ternyata (A-B)(A+B) = A2-BA+AB-B2) 4. At = A tranpos G = At , gij = aji (B + C)t = Bt + Ct, (ABD)t = DtBtAt Jika A = At maka A adalah simetris 1 3 1 1 2 4 Contoh: A 2 0 1 A t 3 0 1 4 1 2 1 1 2 H adalah matrik diagonal jhj, H adalah n x n dan hij = 0 untuk i ≠ j. Jika hii ditulis sebagai hi, matrik diagonal H sering ditulis [ h1, h2, …, hn] Perhatikan: AH adalah matrik mxn → (hjaij) HB adalah matrik nxp → (hjbij) H adalah matrik skalar jhj elemennya hii mempunyai nilai sama yaitu h. hA = Ah = AH, hB = Bh = HB Jika h =1, maka H disebut matrik identitas dan biasanya ditulis sebagai I Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 47 Jack la Motta Matrik h11 0 Contoh: H 0 Buku kuliah IA = AI = A 0 0 1 0 0 0 1 0 h22 0 dan I 0 hnn 0 0 1 5. Jika AK = I, maka K adalah unik dan disebut invers dari A yang biasa ditulis sebagai A-1. Matrik A disebut non-singuler jhj A-1 ada 6. Determinan Jika terdapat suatu matrik, A, nxn, maka dapat dihitung determinan A yang diberi notasi det [A], det A, atau |A|. Beberapa sifat determinan: det (At) = det (A), det (A-1) = [det(A)]-1 det (AB) = det (A) det (B) Untuk menghitung determinan dibutuhkan beberapa definisi: 1. Minor dari aij adalah determinan dari suatu (n-1) x (n-1) matrik yang dibentuk dari matrik A, nxn, dimana baris dan kolom yang berisi aij dibuang 2. Kofaktor dari aij adalah suatu bilangan hasil perkalian antara (-1)i+j dikalikan dengan minor dari aij , dan diberi notasi Aij Determinan A dapat dihitung sebagai: n n j 1 i 1 det (A) a rj Arj ais Ais D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Contoh: a11 kofaktor a11 atau 1 4 det 1 5 4 2 3 2 5 kofaktor a12 a12 = 5 x 1 + 4 (-2) = -3 a22 kofaktor a22 kofaktor a13 kofaktor a11 kofaktor a12 3 1 5 1 2 2 11 1 1 2 1 1 3 1 3 1 1 1 det 1 1 2 5 1 3 4 2 4 2 3 2 3 4 5 (1) (4 6) 3 (1) (4 4) 1 (1) (3 2) 11 7. Vektor adalah matrik dengan kolom tunggal Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 48 Jack la Motta Matrik Buku kuliah Contoh: u1 v1 u v u 2 v 2 u n v n n ' inner product ' (dotproduct ) : (u , v) u i vi u t v v t u i 1 Beberapa sifat: (u, v+w) = (u,v)+(u,w) (u+v, w) = (u,w)+(v,w) (αu,v) = α(u,w)+(v,w) (αu,v) = α(u,v) α skalar (u, u) ≥ 0, (u,u) = 0 jhj {u} = 0 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 6.2. Determinan dan invers Secara numeris determinan dan invers dapat diselesaikan dengan metode Gauss beserta variannya yang sudah dijelaskan pada Bab 5. Jika matrik A adalah nxn, maka pernyataan-pernyataan dibawah ini adalah equivalen: 1. [A]{x} = {B} mempunyai penyelesaian yang unik 2. [A]{x} = 0 berarti {x} = 0 3. [A]-1 ada 4. det (A) ≠ 0 6.2.1. Menghitung determinan dengan eleminasi segitiga atas Dengan metode kofaktor dihitung determinan suatu matrix A, nxn, dengan ekspansi terhadap kolom pertama. n det A ai1 Ai1 a11 A11 a 21 A21 ... a n1 An1 i 1 Jika Adalah matrik segitiga atas, maka ai1 = 0, i = 2,3,…,n det A = a11A11 = a11a22 … ann Jika A matrik tidak segitiga, maka Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 49 Jack la Motta Matrik Buku kuliah a11 a det A det 21 a n1 a12 a 22 an2 a1n u11 0 a2n K a nn 0 u12 a 22 0 u1n u 2 n u nn Contoh: 1 4 2 1 3 5 6 1 3B1 B2 A 1 0 4 5 B1 B3 1 9 7 6 B1 B4 6 1 4 2 1 0 17 0 4 B2 / 17 A 0 0 2 6 0 1 21 1 1 4 2 1 0 1 0 4 / 17 A 17 4 B2 B3 0 4 2 6 0 1 21 1 25B2 B4 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 1 0 A 17 0 0 1 4 2 1 0 4 / 17 1 0 2 86 / 17 B3 2 0 21 117 / 17 1 0 A (2)(17) 0 0 1 4 0 1 A 34 0 0 0 0 4 2 1 1 0 4 / 17 0 1 43 / 17 0 21 117 / 17 21B3 B4 2 1 0 4 / 17 34111 786 / 17 1572 1 43 / 17 0 786 / 17 6.3. Matrik dan Vektor Eigen Pada setiap matrik A, nxn, terdapat satu set vektor yang disebut vektor eigen dan satu set skalar yang disebut nilai eigen. Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 50 Jack la Motta Matrik Buku kuliah Vektor u disebut eigen dari matrik A jhj u vektor tidal nol dan λ adalah suatu skalar (yang mungkin nol nilainya), sehingga [A] {u} = λ{u} (I) Skalar λ disebut nilai eigen dari matrik A Pers. (I) dapat ditulis sebagai: [A-λI]{u} = {0} (II) Pers. (II) mempunyai penyelesaian dengan {u} tidak nol, jika Φ(λ) det (A-λI) = 0 Φ(λ) disebut fungsi karakteristik dari matrik A. a12 a1n a11 a a 22 a 2 n A I 21 an 2 a nn a n1 Contoh: Menentukan vektor & nilai eigen matrik 2 1 0 A 1 3 1 0 1 2 2 1 0 3 1 1 1 ( ) 1 3 1 (2 ) 1 2 0 2 0 1 2 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) (2 ){(3 )(2 ) 1} (2 0) 3 72 14 8 Akar dari Φ(λ)=0 adalah nilai eigen λ1=1, λ2=2, λ3=4. Vektor eigen untuk λ1=1 0 0 2 1 1 1 3 1 1{u} 0 0 0 1 2 1 Dengan eliminasi Gauss-Jordan 1 1 0 0 1 1 0 0 B2 B1 1 1 0 1 2 1 0 B1 B2 0 0 1 0 1 1 0 1 0 B2 B3 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ini berarti terdapat 2 persamaan linier untuk 3 bilangan tak u1 u 3 0 diketahui: u1 u 2 u 3 u 2 u 3 0 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 51 Jack la Motta Matrik Buku kuliah 1 Jadi vektor eigen untuk λ1=1 adalah: {u}1 u 3 1 1 Vektor eigen untuk λ2=2 0 tampak bahwa baris 1 & 3 identik, sehingga sehingga 0 1 0 1 1 1{u} 0 terdapat 2 persamaan: hanya 0 1 0 u 2 0 0 u1 u 3 , u 2 0 u1 u 2 u 3 0 Vektor eigen untuk λ3=4 0 2 1 0 1 0 1 0 1 1 1{u} 0 Gauss 0 1 2{u} 0 0 Jordan 0 0 0 0 0 1 2 1 u1 u 3 0 u1 u 3 , u 2 2u 3 {u}3 u 3 2 u 2 2u 3 0 1 6.3.1. Metode ‘power’ untuk mendapatkan nilai & vektor eigen terbesar. Langkah-langkah: D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 1. Rumuskan fenomena fisik ke bentuk [A]{u}=λ{u} 2. Prakirakan vektor awal {u}0≠{0} 3. Hitung vektor baru {u}1=[A]{u}0 4. Faktorkan koefisien terbesar {u}1’=λ1{u}1 5. Kembali ke langkah 3 dengan {u}0={u}1’ sampai {u}1≈{u}0 Contoh: Tentukan nilai & vektor eigen dari matrik 30 6 5 A 6 30 9 5 9 30 Vektor awal: {u}t0 {0, 0, 1} 0 5 0.166 [ A]0 9 300.300 1 1.000 0 301 1 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 52 Jack la Motta Matrik Buku kuliah 0.166 11.780 0.351 [ A]0.300 18.996 33.5300.566 1.000 33.530 1.000 1 2 2 0.351 18.926 0.514 [ A]0.566 29.886 36.8490.811 1.000 1.000 2 36.849 3 3 0.514 25.286 0.634 [ A]0.811 36.414 39.8690.913 1.000 1.000 3 39.869 4 4 dst … akhirnya didapat 0.800 λ1 = 43,49 dan {u}1 1.000 0.965 Contoh aplikasi: Suatu elemen berbentuk piramida dalam suatu benda yang dikenai gaya-gaya luar. Gaya normal dan geser yang sejajar sumbu-sumbu koordinat telah diketahui, maka diinginkan bidang patahan yang mungkin terjadi dan besarnya gaya normal yang bekerja pada bidang itu. Kesetimbangan gaya-gaya dalam Gambar 14 sebagai berikut: 1 1 1 Fx 0 2 dydz x 2 dxdz yx 2 dxdy zx Rx 0 dA x mdA yx ndA zx dA 0 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) x m yx n zx 1 1 1 dydx xy dxdz y dxdy zy R y 0 2 2 2 xy m y n zy m 1 1 1 Fz 0 2 dydz xz 2 dxdz yz 2 dxdy z Rz 0 xz m yz n z n F y 0 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 53 Jack la Motta Matrik Buku kuliah z τxz Rn σx τyz dz σy τyx Rz= Rnn Rn=σdA τxy x dx Rx= Rnℓ dy τzx τzy y σz Ry= Rnm luas bidang miring = dA ½dydz = dA cos(N,x) = ℓdA ½dxdz = dA cos(N,y) = mdA ½dxdy = dA cos(N,z) = ndA Gambar 14 Gaya-gaya yang bekerja pada struktur Sekarang dalam bentuk matrik: x yx yz xy y zy m m n xz yz z n atau [A]{u} = λ{u} ← problem nilai dan vektor eigen, dengan: matrik yang elemennya terdiri dari gaya geser & normal sejajar sumbu D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) koordinat diketahui. u vektor yang elemennya terdiri atas cosinus sudut bidang patahan dengan sumbu kordinat dicari. skalar yang merupakan/menyatakan gaya normal/tegangan normal yang bekerja pada bidang patahan dicari. Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 54 Jack la Motta 7. Bab PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA Dalam bidang teknik sering dijumpai persamaan suatu fenomena alam yang dinyatakan dalam persamaan diferensial biasa (PDB) Contoh: Problem nilai awal: y’ = f(x,y) dengan y(x0) = Y0 Problem nilai batas: y” = g(x,y,y’) dimana a<x<b u (a) u (b) 1 A B u ' (b) u ' (a) 2 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) dengan A & B adalah matrik 2x2 dan γ1 & γ2 konstanta yg telah diketahui. Taylor series Taylor mengatakan bahwa suatu fungsi dengan sifat tertentu dapat dinyatakan sebagai h h2 h n n f x f x0 f x0 f x0 ... f x0 ... n! 1! 2! atau h h2 h n n yx y0 y0 y 0 ... y 0 ... h x x0 n! 1! 2! Deret ini akan digunakan dalam bab ini 1 Contoh: y y 0, y 0 1 2 dy 1 dy 1 y dx dx 2 y 2 Secara analitis 1 1 y dy 2 dx x 1 Jadi 1n y x c y e 2 c 2 0 Jika y 0 1 1 e 2 c c 0 Maka secara analitis y e x 2 Dengan deret Taylor dapat diselesaikan sbb: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 55 Jack la Motta Persamaan Differensial Biasa Buku kuliah 1 y 2 1 y y 2 Pers. Asli 1 y y 2 1 y ' y 2 1 1 Jadi y x 1 x x 2 2 8 y 0 1 y x0 0 y 0 1 2 1 y 0 4 1 y 0 8 1 3 1 4 x x ... 48 384 y y ex/2 y 1 1 1 1 3 x x2 x 2 8 384 y 1 1 1 x x2 2 8 y 1 1 x 2 x D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Gambar 15 Penyelesaian dengan Metoda Euler Cara numeris untuk menyelesaikan problem nilai awal adalah diferensial hingga. Pada metoda diferensi hingga penyelesaian pendekatan didapat pada titik-titik hitung x0 x1 x 2 ... x n ... dan nilai pendekatan pada setiap x n diperoleh dengan menggunakan nilai-nilai yg didapat sebelumnya. Ditinjau PDB: y f x, y , y x0 Y0 Penyelesaian sesungguhnya ditulis Y(x), sehingga pers. diatas menjadi: Y’(x) = f(x, Y(x)), Y(x0) = Y0 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 56 Jack la Motta Persamaan Differensial Biasa Buku kuliah Penyelesaian pendekatannya ditulis y(x) dan nilai y(x0), y(x1), …, y(xn), … atau ditulis sebagai y0, y1, …, yn, … sebuah pias h 0 digunakan untuk mendefinisikan titik-titik hitung x j x 0 jh j 0,1, ... Jika akan diadakan perbandingan penyelesaian pendekatan untuk beberapa nilai h, maka yh(x) digunakan untuk menyatakan y(x) dengan pias h. 7.1. Metoda Euler Dengan deret Taylor hitung Y(xn+1) dengan menggunakan Y(xn) h2 Y x n 1 Y x n h Y x n Y n 2 dengan x n x n 1 Rumus Euler menjadi: dengan y n 1 y n hf x n , y n y 0 Y0 n 0,1,2, ... Kesalahan diskritisasi adalah Y x n 1 y n 1 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Contoh: h2 Y n 2 PDB y y, y0 1 Y x e x Rumus Euler uth h 0.2 y n 1 y n 0.2 y n 1.2 y n y1 1.2 y 0 1.2 1 1.2 y 2 1.2 y1 1.2 1.2 1.44 Jika ditabelkan: h 0.2 x 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 yh(x) 1.44000 2.07360 2.98598 4.29982 6.19174 0.1 0.4 0.8 1.2 1.46410 2.14356 3.13843 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Yh(x) Yh(x)- yh(x) 1.49182 0.05182 2.22554 0.15194 3.32012 0.33414 4.95303 0.65321 7.38906 1.19732 1.49182 2.22554 3.32012 0.02772 0.08198 0.18169 hal. 57 Jack la Motta Persamaan Differensial Biasa h Buku kuliah x 1.6 2.0 yh(x) 4.59497 6.72750 Yh(x) Yh(x)- yh(x) 4.95303 0.35806 7.38906 0.66156 Perhatikan bahwa kesalahan menurun ½ dari nilai pertama karena h dikecilkan ½ kali 7.2. Metoda ‘Multi–Step’ Secara umum rumus langkah majemuk dapat ditulis sebagai: y n 1 a j y n j h b j f x n j , y n j p p j 0 j 1 n p Koefisien a 0 , ..., a p , b1 , b0 , ..., b p adalah suatu konstanta, dan p 0 Jika a p 0 dan b p 0 , metoda ini disebut metoda langkah (p+1), karena (p+1) nilai pendekatan sebelumnya digunakan untuk menghitung y n 1 . Nilai y1 , ..., y p harus dihitung dengan cara lain. Metoda Euler adalah metoda langkah tunggal karena p = 0, dan a 0 1 , b1 0 , b0 1 . Jika b1 0 maka Y xn 1 hanya terdapat pada ruas kiri, sehingga rumusnya disebut rumus eksplisit. Jika b1 0 , maka Y xn 1 terdapat diruas kanan maupun kiri, sehingga disebut D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) rumus implisit. Koefisien a j dan b j dapat dihitung dari p p j 0 j 0 a j 1 ja j p j a j 0 p i j p b j 1 j 1 i j b j 1 i 1 i 2, ..., m j 1 Rumus terakhir menjamin bahwa Y x dapat diderivikasikan m 1 kali. Jika a0 0 , a1 1 , b1 0 , b0 2 , maka didapat rumus untuk metoda titik tengah Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. y n 1 y n 1 2hf x n , y n n≥1 hal. 58 Jack la Motta Persamaan Differensial Biasa Buku kuliah Merupakan metoda langkah ganda yang explisit. 1 Jika a 0 1 , b1 b0 , maka didapat rumus trapesium yang implisit dan 2 merupakan metoda langkah tunggal: 1 y n 1 y n h f x n , y n f x n 1 , y n 1 , n ≥ 0 2 7.2.1. Metoda Trapesium Metoda ini dapat pula dijabarkan dari: Y’(t) = f(t, Y(t)) Diintegrasikan dari x n , x n 1 xn 1 Y t dt xn x n 1 f t , Y (t )dt xn h3 1 h f x n , Y x n f x n 1 , Y x n 1 Y n x n n x n 1 2 12 sehingga pendekatannya menjadi 1 y n 1 y n h f x n , Y x n f x n 1 , Y x n 1 2 Karena rumusnya implisit, maka yn+1 dapat dihitung dengan iterasi, jadi secara umum: 1 j=0, 1, … y n j 11 y n h f x n , y n f x n 1 , y n j 1 2 Y x n 1 Y x n D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Langkah-langkah hitungan: 1. xn,yn telah diketahui/dihitung pada langkah sebelumnya 2. y n01 diprakirakan dgn rumus eksplisit, misalkan y n01 y n hf x n , y n 3. y n01 dimasukkan kedalam ruas kanan sehingga y n11 dapat dihitung 4. langkah 2 diulang s/d ketelitian yang dikehendaki Walaupun secara umum dapat diselesaikan dengan iterasi, tetapi mungkin dapat diselesaikan dengan cara lain atau bahkan tanpa iterasi tergantung dari (x,y). Contoh: y’= y Karena (x,y) = y, maka y n 1 y n Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. y(0) = 1 1 h y n y n 1 2 hal. 59 Jack la Motta Persamaan Differensial Biasa Buku kuliah h 2y h n 1 2 1 y n 1 Untuk 1 .1 y n 1.2222 y n 0 .9 y1 1.2222 y 0 1.2222 1 h 0.2 y n 1 y 2 1.2222 y1 1.2222 1.2222 1.49383 Jika ditabelkan: x 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 yh(x) 1.49383 2.23152 3.33350 4.97968 7.43878 Yh(x) 1.49182 2.22554 3.32012 4.95303 7.38906 Yh(x)- yh(x) -0.00200 -0.00598 -0.01339 -0.02665 -0.04972 7.3. Metoda Runge-Kutta (RK) D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) Metoda Runge-Kutta merupakan metoda langkah tunggal yang lebih teliti dibandingkan metoda Euler. Semua metoda RK dapat ditulis sebagai: y i 1 y1 h xi , y i , h dengan xi , y i , h disebut fungsi penambah 7.3.1. Metoda RK derajat dua dengan ak1 bk 2 k1 f xi ,y i k 2 f xi ph,qhf xi ,y i y i f xi ph,qhk1 y i dimana a,b,p,q akan ditentukan kemudian. Ditinjau deret Taylor untuk 2 variabel (x,y): f x r , y s f x, y rf x x, y sf x x, y rsf xy x, y Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. 1 2 r f xx x, y 2 1 2 3 s f yy x, y O r s 2 hal. 60 Jack la Motta Persamaan Differensial Biasa Buku kuliah k 2 f xi ,yi phf x xi ,yi k1 qhf y xi ,yi O h 2 Jadi y i 1 y i hΦ xi ,y i ,h y i haf xi ,y i bf xi ,y i h 2 pbf x xi ,y i bqf xi ,y i f y xi ,y i (A) Dengan deret Taylor: h2 y i 1 y i hy xi ,y i y x xi ,y i ... 2! h2 y i hy i y i y y y 2 h2 y i hf xi ,y i f x xi ,y i f xi ,y i f y xi ,y i 2 A B a b 1, bp 12 , bq 12 (B) Tidak dapat diselesaikan karena hanya ada 3 persamaan dengan 4 bilangan anu yaitu a,b,p,q. Biasanya nilai b adalah ½ atau 1. Untuk b = ½, a = ½, p =q = 1 Euler utk y y i 1 i 1 h y i [ f xi , y i f {xi h, y i hf ( xi , y i )}] 2 slope di xi (C) slope di xi 1 dihitung dgn metoda Euler Jadi metoda RK dapat dipandang sebagai metoda ‘predictor-corrector’ D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 1. Langkah predictor: a. prakirakan y i 1 dengan metoda Euler b. slope (y’) dititik xi 1 , y i 1 adalah f xi 1 , y i 1 2. Langkah corrector: a. hitung slope (y’) dititik (xi, yi) yaitu f(xi, yi) b. hitung slope rerata = (slope 1.b + slope 2.a)/2 c. hitung yi+1 = yi + h x hasil 2.b Untuk b = 1, a = 0, p = q = ½ y i 1 y i hf xi 12 h, y i 12 hf xi yi 7.3.2. Metoda RK berderajat tiga y i 1 y i 16 hk1 4k 2 k 3 k1 f x i , y i k 2 f xi h 2 , y i 12 hk1 k 3 f xi h, y i 2hk 2 hk1 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 61 Jack la Motta Persamaan Differensial Biasa Buku kuliah 7.3.3. Metoda RK berderajat empat 7.3.3.1. Metoda Pertama k1 2k 2 2k 3 k 4 f xi , y i f xi 12 h, y i 12 hk1 f xi 12 h, y i 12 hk 2 f xi 12 h, y i 12 hk 3 y i 1 y i k1 k2 k3 k4 7.3.3.2. h 6 Metoda Kedua k1 3k 2 3k 3 k 4 f xi , y i y i 1 y i k1 h 8 k 2 f xi h 3 , y i 13 hk1 k 3 f xi 23 h, y i 13 hk1 hk 2 k 4 f xi h, y i hk1 hk 2 hk 3 7.3.3.3. Metoda Ketiga Metoda inilah yang paling banyak digunakan y i 1 y i 16 h k1 2 2 k 2 2 2 k 3 k 4 D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) k1 f xi , yi hk k 2 f xi 12 h, yi hk1 f x h, y k 3 f xi 12 h, y i 12 1 2 hk1 1 1 k4 Contoh: i i 1 2 hk 2 1 1 2 y0 1 eksak Y x e y 12 y Y 1 e 1 2 1.648721271 Diselesaikan dengan RK4: f x, y 12 Y k1 f x0 ,y 0 f 0,1 12 1 1 2 hk 2 3 x 2 1 2 k 2 f x0 12 h,y 0 12 hk1 f 0 12 .1,1 12 .1. 12 f 12 , 54 12 . 54 5 8 k 3 f x0 12 h,y 0 1 2 1 2 1 2 hk 1 hk 1 1 2 1 1 1 0.64331 1 2 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. 1 2 1 1 2 1 2 5 2 8 hal. 62 Jack la Motta Persamaan Differensial Biasa 1 Buku kuliah k 4 f x0 h,y 0 1 2 1 2 1 8 1 1 2 hk 10.64331 0.828125 hk 2 1 1 2 5 1 2 3 2 2 0.64431 0.828125 1.6484375 y 1 y 0 16 1 2 7.4. Metoda ‘Predictor-Corrector’ Metoda langkah majemuk berdasarkan rumus integrasi. Secara umum metoda ini mengintegrasi PDB pada interval [xi-k, xi+1] sebagai berikut: y f x, y y i 1 xi 1 yi k xi k dy f x, y dx y i 1 y i k xi 1 f x, y dx xi k r f(x, y) didekati polinomial derajat r, x a j x j j 0 Integrasi terbuka dan beda terbagi mundur menghasilkan: D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) untuk k = 0, r = 3 y i 1 y i h 24 55 f i 59 f i 1 37 f i 2 9 f i 3 untuk k = 1, r = 1 yi 1 yi 1 2hf i O(h5) O(h3) untuk k = 3, r = 3 y i 1 y i 3 43 h2 f i f i 1 2 f 1 2 (I) untuk k = 5, r = 5 y i 1 y i 5 103 h11 f i 14 f i 1 26 f i 2 14 f i 3 11 f i 4 O(h5) O(h7) Integrasi tertutup dan beda terbagi mundur menjadi: untuk k = 0, r = 3 y i 1 y i h 24 untuk k = 5, r = 5 y i 1 yi 1 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. 9 f i 1 19 f i 5 f i 1 h 3 f i 1 4 f i f i 1 f i 2 O(h5) (II) O(h5) hal. 63 Jack la Motta Persamaan Differensial Biasa untuk k = 3, r = 5 y i 1 y i 3 Buku kuliah 2h 45 7 f i 1 32 f1 12 f i 2 7 f i 3 O(h7) Kesulitan metoda langkah majemuk adalah pada saat permulaan y i k belum terhitung sehingga harus harus dihitung dengan cara lain, misalnya metoda Euler. Dari hasil di atas tampak bahwa integrasi terbuka memberikan rumus eksplisit; sehingga hitungan tidak menggunakan iterasi. Integrasi tertutup menghasilkan rumus implisit, sehingga membutuhkan iterasi. Walaupun menggunakan iterasi, integrasi tertutup lebih disukai karena ketelitiannya lebih tinggi. Contoh: 14 5 ( 4 ) h f 15 1 5 (4) (II) kesalahan: h f 90 Pada xi 3 xi 1 (I) kesalahan: xi 3 xi 1 Rumus Adam–Bashforth (eksplisit) 1. Yn 1 Yn hYn 12 h 2Y n 3Y Yn1 125 h 3Y 3 n Yn 1 Yn 12h 23Yn 16Yn1 5Yn 2 83 h 4Y 4 n 251 5 5 Yn 1 Yn 24h 55Yn 59Yn1 37Yn 2 9Yn3 720 h Y n 2. Yn 1 Yn 3. D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) 4. h 2 Rumus Adam–Moulton (implisit) 1. Yn 1 Yn hYn1 12 h 2Y n Yn1 Yn 121 h 3Y 3 n Yn 1 Yn 12h 5Yn1 8Yn Yn1 121 h 4Y 4 n 19 Yn 1 Yn 24h 9Yn1 19Yn 5Yn1 Yn 2 720 Y 5 n 2. Yn 1 Yn 3. 4. h 2 7.4.1. Algoritma ‘Predictor-Corrector Rumus A-M membutuhkan penyelesaian iterasi, sedangkan rumus A-B tidak, tetapi A-M ketelitiannya lebih tinggi. Algoritma ‘predictor-corrector’ berusaha menggabungkan keuntungan kedua rumus diatas, sebagai berikut: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 64 Jack la Motta Persamaan Differensial Biasa Buku kuliah 1. Gunakan rumus A-B untuk memperkirakan Yn 1 (predictor; rumus A-B) 2. Hitung Yn 1 memakai rumus A-M tanpa iterasi dengan memakai Yn 1 nilai dari a (corrector; rumusA-M) Contoh: 1. A-B-M derajat 4: a. Predictor A-B y n 1 y n h 55 f n 59 f 24 37 f 9 f n 1 n2 n 3 b. Corrector A-B y n 1 y n h 9 f n 1 19 f n5 f 24 f n 1 n2 2. Rumus Milne derajat 4: a. Predictor y n 1 y n 3 4h 2 f n f n 1 2 f n 2 3 b. Corrector D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) y n 1 y n 1 h f n 1 4 f n f n 1 3 Contoh penggunaan: dy 1 y0 dx 2 Penyelesaiaan: y(0)=1 hitung y(1) = ? y 12 y f x, y 12 y Catatan: solusi eksak Y e x 2 Digunakan h = 0.25 Euler y n 1 y n hf n i n-3 n-2 n-1 n n+1 A – B –4: xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 yi 1.0000 1.1250 1.2656 1.4238 1.6018 f(xi,yi) 0.5000 0.5625 0.6328 0.7119 0.8009 55 f n 59 f n1 37 f n2 9 f n3 .24 550.7119 590.6328 370.5625 90.50 y n 024 y n 1 y n h 24 1.4238 0.18887 1.6127 (predictor) A-B-M-4: Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 65 Jack la Motta Persamaan Differensial Biasa Buku kuliah f n 1 12 y n 1 12 1.6127 0.8063 9 f n1 19 f n 5 f n1 f n2 .25 90.8063 190.7119 50.6328 0.5625 1.4238 024 y n 1 y n h 24 1.4238 0.1894 1.6132 A-M-4: Iterasi 2: f n 1 12 1.6132 0.8066 y n 1 1.4238 f n 1 Iterasi 3: Iterasi 9: (predictor - corrector) 0.25 24 90.8066 190.7119 50.6328 0.5625 0.613216 0.8066 y n 1 1.613217 f n 1 0.80661 y n 1 1.613217 Tampak bahwa algoritma ‘predictor-corrector sudah mencukupi dibandingkan dengan iterasi. Tabel hasil D:\My Stuffs\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik 2009.docx (909 Kb) x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 ex/2 1,0000 1,13315 1,28403 1,45499 1,64872 Euler 1,0000 1,1250 1,2656 1,4238 1,6018 -2,846% A-B-4 1,6127 -2,185% A-B-M-4 1,6132 -2,154% Untuk latihan: hitung y(1) = ? dengan h = 0,125, bandingkan dengan hasil h = 0,25 Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 66 Jack la Motta DAFTAR PUSTAKA Carnahan, Brice, H.A. Luther, James O. Wilkes, Applied Numerical Methods, John Wiley & Sons, New York, 1969. Spiegel, R. Murray, Theory and Problems of Statistics, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill International Book Company, Singapore, 1981. Al-Khafaji, Amir Wahdi, John R.Tooley, Numerical Methods in Engineering Practice, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1986. Anonim, fx–7000G Owner’s Manual, CASIO® Atkinson, Kendall E., An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1989. James, M.L., G.M. Smith, J.C. Wolford, Applied Numerical Methods for Digital Computation with Fortran and CSMP, 2nd Edition, Harper International Edition, New York, 1977. Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. hal. 67 Jack la Motta