Metode Numerik Pertemuan 1

PRESENTED by
MARZUKI SILALAHI
METODE NUMERIK
Teknik dimana masalah matematika
diformulasikan sedemikian, sehingga
dapat diselesaikan melalui operasi
aritmatika.
Tujuan :
Mencari solusi pendekatan
(aproksimasi) dari masalah
matematika tersebut.
Kenapa :
karena solusi eksaknya sulit
atau bahkan tidak dapat dicari.
Ide :
Iteration (repetition)
Pengulangan pola tindakan atau proses
Pemecahan persaman : x = f(x)
Aproksimasi dari sebuah fungsi rumit
dengan sebuah fungsilinier
Pemecahan persamaan bentuk : f(x) = 0
Aproksimasi kurva dengan
TANGENTnya pada titik (xo, f(xo))
Iterasi akan semakin KONVERGEN menuju
solusi masalah yang bersangkutan.
Keuntungan
Dapat mencari solusi praktis (aproksimasi) dari
masalah yang sulit atau bahkan tidakdapat dicari solusi
eksaknya
kerugian
Mengandung kesalahan
Ada sejumlah besar iterasi.
Peranan komputer :
Kesalahan dapat diperkecil dan
sejumlah besar iterasi dapat diatasi
Menggunakan sistem binary digit (bit)
sedangkan sehari-hari menggunakan
sistem desimal
Kesalahan
Harga sebenarnya dikurangi dengan harga pendekatan
1. Kesalahan absolut (mutlak)
eabs = x – x’=nilai sebenarnya-nilai pendekatan
2. Kesalahan relatif
ercl= eabs/x’
Untuk bilangan yang mendekati 1, kesalahan
relatif mendekati kesalahan Absolut
Untuk bilangan yang tidak mendekati 1, kesalahan
relatif tidak mendekati kesalahan absolut
Contoh :
a. x = 0,00005 dengan pendekatan 0,00006
kes.absolut = - 0,00001
kes.relatif = - 1667
b. x = 1,0000 dengan pendekatan 1,0002
kes.absolut = - 0,0002
kes.relatif = - 0,0002
c. Mis: perhitungan menghasilkan : -3,60016<x<-3,60013
maka titik tengahnya = -3,600145
sehingga x dapat dituliskan : x = -3,6001450,000015.
Harga mutlak kesalahan absolut = 0,000015
Harga mutlak kesalahan relatif = 0,000417%.
Jenis kesalahan :
1. INHEREN (bawaan)
disebabkan : data yang diperoleh adalah
* data aproksimasi
* keterbatasan alat komputasi
* kalkulator atau komputer (akibat pembulatan karena jumlah
digit terbatas)
* pengukuran yang tidak pasti akibat salah baca
* salah memasukkan data
* kurang mengerti hukum fisis
2. Pemotongan (truncation)
disebabkan : pemotongan proses matematis yang tidak
berhingga
atau
karena
tidak
semua
bit
digunakan
Pembulatan (rounding)
Untuk membulatkan sampai ke n angka signifikan,
perhatikan sampai dengan (n+1) angka signifikan.
Gunakan aturan sebagai berikut :
Untuk bilangan yang kurang dari 5, angka n tidak berubah.
Untuk bilangan yang lebih dari 5, angka n bertambah satu satuan
Untuk bilangan yang tepat = 5, angka ke n bertambah satu satuan
Bilangan hasil pembulatan tersebut disebut : teliti sampai n angka
signifikan”
Chopping
penghapusan digit setelah n angka signifikan
Contoh :
 = 3,141592654…
pembulatan 4 desimalnya : 3,1416
chopping sampai 4 desimal : 3,1415
Normalisasi
:
Proses penulisan bilangan dengan mengggunakan
mantissa dan eksponen, dengan syarat digit terdepan
mantissa (setelah tanda koma desimal)  0.
Contoh :
0,0002354  ditulis : 0,2354.10-3 (4 desimal).
mantissa = 0,2354 ; eksponen = -3
165,2
 ditulis : 0,1652.103 (4 desimal).
mantissa = 0,1652 ; eksponen = 3
Penjumlahan Dua Bilangan riil
dalam komputer dilakukan dengan menyamakan
eksponennya menurut pangkat yang terbesar
Contoh :
x =165,2 ; y = 21,00, maka : x  y = 0,1652.103  0,0210.103
= 0,1862.103.
Carilah kesalahan chopping dan rounding untuk :
x = 0,7324.103  0,8261.10-1
Kesalahan relatif akibat Chopping = 0,1128.10-3
Kesalahan relatif akibat rounding = -0,2374.10-4.
 Kesalahan akibat rounding lebih kecil daripada kesalahan akibat
chopping
Study kasus:
F(x) = x4 – 9x3 – 2x2  120x – 130
untuk harga x = -10, -9, …,9,10
Mencari harga x untuk polinomial sehingga nilainya nol.
Prosedurnya:
 Membagi dua interval (metode membagi dua interval)
 Mencari pendekatan akar
 Metode pendekatan beruntun
 Modifikasi metode pendekatan beruntun
 Metode Newton – raptoson
 Akar yang hampir sama besar
 dsb
Analisis kesalahan dalam hasil numerik
dasar perhitungan yang baik
Secara manual
Dengan komputer
Karena : harga masukan jarang mempunyai nilai eksak (pasti).
didasarkan pada percobaan atau taksiran & proses
numerik itu sendiri mempunyai berbagai macam kesalahan).
Contoh :
1. Pers: x2  0,4002x  0,00008 = 0
dengan menggunakan empat digit “floating point aritmatic” salah
satu akarnya : x = -0,00015 (tanpa ketelitian)
muncul kesalahan yang disebabkan oleh empat digit “floating
point” aritmatic sebesar 25%.
dengan dealapan digit = x = -0,0002
2. Deret Taylor : sinx = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + …
hanya berlaku untuk sudut terbatas. Kesalahan pemendekan deret
yang terjadi karena menghentikan penjumlahan.