Add to collection(s) Add to saved
  1. Ilmu
  2. Fisika
  3. Elektromagnetisme

Plane Wave

advertisement 
ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN
GELOMBANG DATAR SERBASAMA
DWI ANDI NURMANTRIS
U N A N G S U N A R YA
HASANAH PUTRI
AT I K N O V I A N T I
POKOK BAHASAN
1. Definisi Gelombang Datar ( Plane Wave)
2. Persamaan Gelombang Datar ( Plane Wave)
3. Vector Poynting
4.Gerak Gelombang dalam Ruang Hampa
5. Gerak Gelombang dalam Dielektrik Sempurna
6. Penjalaran Gelombang pada Konduktor yang Baik
7. Polarisasi Gelombang
1. Definisi Gelombang Datar ( Plane Wave)
Gelombang datar adalah gelombang yang apabila sebuah bidang tegak lurus dengan arah
perambatannya, maka titik-titik potong gelombang tersebut pada bidang yang tegak lurus itu
memiliki sudut fasa yang sama. Jika jarak antara sumber gelombang dan penerima sangat jauh
( d>>) maka sumber gelombang dapat dianggap sebagai sumber titik dan muka gelombang
seolah membentuk bidang datar.
Sumber
gelombang
Muka
gelombang
hampir
membentuk
bidang datar
1. Definisi Gelombang Datar ( Plane Wave)
Gelombang datar memiliki sifat perambatan yang berbeda ketika gelombang tersebut
merambat di medium perambatan yang berbeda. Sifat gelombang datar akan berbeda ketika
harus merambat pada ruang bebas, medium dielektrik sempurna atau pada medium konduktor
dan konduktor merugi .
Pada ruang bebas atau pada medium dielektrik sempurna memiliki factor atenuasi ( 𝑒 −𝛼π‘₯ )
hampir mendekati satu (≅ 1) dengan konstanta redaman mendekati nol (𝛼 ≅ 0). Sedangkan
pada medium dielektrik merugi dan konduktor sempurna memiliki factor atenuasi yang besar
dimana konstatnta redaman 𝛼 > 0 , sehingga jika gelombang datar merambat pada medium
dielektrik merugi atau pada medium konduktor sempurna akan mengalami redaman yang cukup
besar sehingga akan muncul istilah skin depth atau kedalaman kulit atau kedalaman penetrasi.
Gelomabang datar serbasama menunjukan salah satu pemakaian yang paling sederhana dari
persamaan Maxwell dan memberi ilustrasi mengenai prinsip penjalaran, panjang gelombang,
impedansi gelombang, fasa dan konstanta fasa.
2. Persamaan Gelombang Datar ( Plane Wave)
Adapun penurunan persamaan gelombang dapat diambil dari salah-satu medium (selanjutnya
disebut kasus yang paling umum) yang dapat mewakili semua medium. Hal tersebut didasari
perbedaan parameter primer atau sekunder setiap medium. Selanjutnya medium yang bisa dijadikan
kasus umum untuk persamaan gelombang adalah medium dielektrik merugi. Pada medium ini
mengandung sifat dielektrik tetapi dengan konduktivitas lebih besar dari 0.
Pada medium dielektrik merugi memiliki karaktreristik ( 𝜎 > 0, πœŒπ‘£ = 0, πœ€π‘Ÿ > 1, π‘‘π‘Žπ‘› πœ‡π‘Ÿ > 1 )
Dengan memingat kembali persamaan Maxwell bentuk fashor, maka pada medium dielektrik merugi
dapat ditulikan sebagai berikut.
 𝛻 × πΈπ‘  = −π‘—πœ”πœ‡π»π‘ 
 𝛻 × π»π‘  = (𝜎 + π‘—πœ”πœ€)𝐸𝑠
 𝛻 βˆ™ 𝐸𝑠 = 0
 𝛻 βˆ™ 𝐻𝑠 = 0
2. Persamaan Gelombang Datar ( Plane Wave)
Selanjutnya, Keempat persamaan Maxwel tersebut menjadi dasar dari penurunan gelombang. Dari
identitas vector didapatkan :
𝛻 × π›» × πΈπ‘  = 𝛻 βˆ™ 𝛻 βˆ™ 𝐸𝑠 − 𝛻 2 𝐸𝑠
karena 𝛻 βˆ™ 𝐸𝑠 = 0 , maka persamaan menjadi 𝛻 × π›» × πΈπ‘  = −𝛻 2 𝐸𝑠
pers.1
Dari persamaan Maxwell 1
𝛻 × π›» × πΈπ‘  = −π‘—πœ”πœ‡π›» × π»π‘ 
karena 𝛻 × π»π‘  = (𝜎 + π‘—πœ”πœ€) 𝐸𝑠 , maka menjadi 𝛻 × π›» × πΈπ‘  = = −π‘—πœ”πœ‡(𝜎 + π‘—πœ”πœ€) 𝐸𝑠
pers.2
Dari pers.1 dan pers.2 , didapat :
𝛻 2 𝐸𝑠 = π‘—πœ”πœ‡(𝜎 + π‘—πœ”πœ€) 𝐸𝑠 , -> Persamaan Diferensial vector Gelombang Helmholtz
pers.3
2. Persamaan Gelombang Datar ( Plane Wave)
Dari pers. 3 dapat pula dituliskan sebagai berikut :
𝛻 2 𝐸𝑠 = 𝛾 2 𝐸𝑠
pers.4
sehingga 𝛾 2 = π‘—πœ”πœ‡(𝜎 + π‘—πœ”πœ€)
𝛾 =
π‘—πœ”πœ‡(𝜎 + π‘—πœ”πœ€) , selanjutnya 𝛾 disebut konstanta propagasi
𝛾 = π‘—πœ” πœ‡πœ€ 1 − 𝑗
𝜎
πœ”πœ€
dapat ditulis pula 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 , dimana 𝜢 adalah konstanta redaman dan 𝜷 konstatnta fasa
2. Persamaan Gelombang Datar ( Plane Wave)
Dengan asumsi bahwa gelombang menjalar ke satu arah , maka arah lainnya dapat dianggap
tidak berpengaruh. Sehingga pada pers. 4 dapat ditulis :
𝛻2
𝐸𝑠 =
πœ•2 𝐸π‘₯𝑠
πœ•π‘§ 2
πœ•2 𝐸π‘₯𝑠
πœ•π‘§ 2
= π‘—πœ”πœ‡(𝜎 + π‘—πœ”πœ€) 𝐸π‘₯𝑠 , fasor dari medan listrik berpolarisasi ke sb x.
= 𝛾 2 𝐸π‘₯𝑠
Dapat ditulis menjadi : 𝐸π‘₯𝑠 = 𝐸π‘₯0 𝑒 −𝛾𝑧
Atau dapat juga ditulis dalam persamaan bentuk waktu medan Listrik 𝐸(t).
𝐸(t)= 𝑅𝑒 𝐸π‘₯0 𝑒 −
𝛼+𝑗𝛽 𝑧
. 𝑒 πœ”π‘‘ π‘Žπ‘₯
Sehingga persamaan akhir menjadi :
𝐸(t)= 𝐸π‘₯0 𝑒 −𝛼𝑧 cos πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧 π‘Žπ‘₯
pers.5
2. Persamaan Gelombang Datar ( Plane Wave)
Jika medan listrik 𝐸 dinyatakan dalam satuan Volt/ meter dan medan magnet 𝐻 dinyatakan dalam
Amper /meter, maka perbandingan dari medan listrik 𝐸 dan medan magnet 𝐻 adalah merupakan
impedansi ( selanjutnya disebut impedansi karakteristik Ι³ ) dinyatakan dalam Ohm dapat ditulis
menjadi :
Ι³=
𝐸
𝐻
=
π‘—πœ”πœ‡
(𝜎+π‘—πœ”πœ–)
=
πœ‡
πœ€
.
1
𝜎
1−𝑗
πœ”πœ€
;
( Ι³ < πœƒπ‘› ) untuk Ι³ kompleks
pers.6
dimana πœ€ = πœ€π‘Ÿ πœ€0 dan πœ‡ = πœ‡π‘Ÿ πœ‡0
Dengan πœ€0 =
1×10−9
36πœ‹
𝐹
πœ‡0 = 4πœ‹ × 10−7
π‘š
𝐻
π‘š
Sehingga dari pers.5 medan magnet H dapat ditulis :
𝐻(t)=
𝐸π‘₯0
Ι³
𝑒 −𝛼𝑧 cos πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧 − πœƒπ‘›
π‘Žπ‘¦
pers.7
2. Persamaan Gelombang Datar ( Plane Wave)
Nilai perbandingan antara konduktivitas medium ( 𝜎) dengan πœ”πœ€, yang dinamakan “Loss Tangen
/ tangen kerugian” (tan πœƒ) , dapat menjadi indicator apakah suatu medium termasuk dielektrik,
quasi konduktor, atau konduktor ( Krauss dan Carver ).
tan πœƒ =
𝜎
πœ”πœ€
< 10−2 ; termasuk medium dielektrik
10−2 < tan πœƒ < 100 ; termasuk quasi konduktor
tan πœƒ > 100
; termasuk medium konduktor
Dimana :
𝜎 = Konduktivitas medium (Mho/m)
πœ” = Frekuensi Sudut (rad/s)
πœ€ = Permitivitas medium ( F/m)
2. Persamaan Gelombang Datar ( Plane Wave)
Dengan melihat pers. 4 dimana :
𝛾 = π‘—πœ” πœ‡πœ€ 1 − 𝑗
𝜎
πœ”πœ€
, dapat diuraikan akar yang kedua dengan teorema binomial
𝑛(𝑛−1)
𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)
𝜎
(1 + π‘₯)𝑛 = 1 + π‘₯𝑛 +
π‘₯2 +
π‘₯ 3 + … ; untuk π‘₯ < 1 , dimana x= -j dan n
2!
2!
πœ”πœ€
1
adalah = 2 , didapatkan pendekatan sebagai berikut :

𝛼 ≈

𝛽 ≈

Ι³ ≈
𝜎
2
πœ”
𝑐
πœ‡
πœ€
=
2πœ‹
λ
πœ‡
πœ€
1 + 𝑗 πœ”πœ€
𝜎
2. Persamaan Gelombang Datar ( Plane Wave)
 = konstanta redaman (neper/meter)
Amplituda medan
 = konstanta fasa (radian/meter)

ο€­ z
E ο€½ E xo e cost ο€­ zaΜ‚ x
Tanda ( - ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu-z positif.
Jika ( + ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu-z negatif
 =  + j =
Konstanta
Propagasi
 Volt οƒΆ

οƒ·
 meter οƒΈ
Gelombang bergetar
searah sumbu-x
3. Vector Poynting
Vector Poynting (𝑃) didefinisikan sebagai produk vector dari vector intensitas medan listrik E dengan
vector medan magnet H pada suatu gelombang elektromagnetik. Dapat ditulis sebagai berikut :
𝑃= 𝐸 × π»
pers.8
Vektor Poynting merupakan besaran vector yang menggambarkan arah perambatan gelombang dan
besarnya kerapatan energi gelombang persatuan waktu atau laju energy gelombang dalam satuan
joule persekon permeter persegi (MKS).

E
Arah perambatan
gelombang

H

P
3. Vector Poynting
Karena vector intensitas medan listrik dan vector intensitas medan magnet saling tegak lurus
satu sama lainnya, maka cross product dari E dan H menghasilkan vector lain yang arahnya tegak
lurus terhadap E dan H. Misal jika vector intensitas medan listrik bergetar ke arah sumbu x dan
vector instensitas medan magnet bergetar kearah sumbu y maka vector pointing akan ke arah
sumbu z. Dapat diiliustrasikan sebagai berikut :

E

H
Pz aˆ z ο€½ E x aˆ x ο‚΄ H y aˆ y
3. Vector Poynting
Jika diketahui persamaan intensitas medan listrik E dan medan magnet H sebagai berikut :
𝐸(t)= 𝐸π‘₯0 𝑒 −𝛼𝑧 cos πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧 π‘Žπ‘₯
𝐻(t)=
𝐸π‘₯0
Ι³
𝑒 −𝛼𝑧 cos πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧 − πœƒπ‘› π‘Žπ‘¦
Maka persamaan untuk vector pointing dapat ditulis sebagai berikut :
𝑃= 𝐸 × π»
=
𝐸π‘₯0 2
Θ 
𝑒 −2𝛼𝑧 cos(πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧) cos(πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧 − πœƒπ‘› )π‘Žπ‘§
=
𝐸π‘₯0 2
2Θ 
𝑒 −2𝛼𝑧 cos πœƒπ‘› + cos(2πœ”π‘‘ − 2𝛽𝑧 − πœƒπ‘› ) π‘Žπ‘§
π‘Šπ‘Žπ‘‘π‘‘
π‘š2
pers.9
3. Vector Poynting
Dan untuk daya rata-rata dapat dihitung dengan persamaan berikut :
𝑃𝑧,π‘Žπ‘£ =
1 𝑇
𝑃 𝑑𝑑
𝑇 0 𝑧
=
𝐸π‘₯0 2
2Θ 
𝑒 −2𝛼𝑧 cos πœƒπ‘›
pers.10
Dimana pada pers.10 dapat dilihat bahwa :
𝒆−πŸπœΆπ’› merupakan besarnya factor redaman kerapatan daya
𝒄𝒐𝒔 πœ½π’ merupan bagian yang timbul karena pengaruh impedansi karakterstik dan juga
dapat menentukan kerapatan daya.
4.Gerak Gelombang dalam Ruang Hampa
Adapun karakteristik medium ruang hampa adalah sebagai berikut :
𝜎 = 0, πœŒπ‘£ = 0, πœ€π‘Ÿ = 1, π‘‘π‘Žπ‘› πœ‡π‘Ÿ = 1 ,
jika
πœ€π‘Ÿ = 1 maka πœ€ = πœ€0 =
1×10−9
36πœ‹
𝐹
πœ‡π‘Ÿ = 1 maka πœ‡ = πœ‡0 = 4πœ‹ × 10−7
π‘š
𝐻
π‘š
Maka konstanta propagasi 𝛾 pada pers.4 menjadi :
𝛾 = π‘—πœ” πœ‡πœ€ atau dapat ditulis 𝛾 = 0 + π‘—πœ” πœ‡0 πœ€0 , dimana konstanta fasa 𝛼 = 0.
Adapun impedansi instrinsik menajdi : Θ  =
πœ‡0
πœ€0
=120πœ‹ = 377 < 0π‘œ
4.Gerak Gelombang dalam Ruang Hampa
Dengan konstanta redaman 𝛼 = 0 , maka persamaan intensitas medan listrik dan medan magnet
menjadi :
𝐸(t)= 𝐸π‘₯0 cos πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧 π‘Žπ‘₯
𝐻(t)=
𝐸π‘₯0
377
cos πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧
π‘Žπ‘¦
Vektor pointing2 :
𝐸
π‘₯0
𝑃 = 377
π‘π‘œπ‘  2 (πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧)π‘Žπ‘§
Daya rata-rata :
1 𝐸π‘₯0 2
2 377
𝑃𝑧,π‘Žπ‘£ =
Dengan kecepatan peopagasi :
𝑣=
1
πœ€π‘Ÿ πœ‡π‘Ÿ
= 3 × 108
π‘š
𝑠
5. Gerak Gelombang dalam Dielektrik Sempurna
Adapun karakteristik medium Dielektrik sempurna adalah sebagai berikut :
𝜎 = 0, πœŒπ‘£ = 0, πœ€π‘Ÿ > 1 π‘‘π‘Žπ‘› πœ‡π‘Ÿ > 1 ,
Maka konstanta propagasi 𝛾 pada pers.4 menjadi :
𝛾 = π‘—πœ” πœ‡πœ€ atau dapat ditulis 𝛾 = 0 + π‘—πœ” πœ‡0 πœ‡π‘Ÿ πœ€0 πœ€π‘Ÿ , dimana konstanta fasa 𝛼 = 0.
Adapun impedansi instrinsik menajdi : Θ  =
πœ‡ 0 πœ‡π‘Ÿ
πœ€0 πœ€π‘Ÿ
=120πœ‹
πœ‡π‘Ÿ
πœ€π‘Ÿ
= 377
πœ‡π‘Ÿ
πœ€π‘Ÿ
< 0π‘œ
5. Gerak Gelombang dalam Dielektrik Sempurna
Dengan konstanta redaman 𝛼 = 0 , maka persamaan intensitas medan listrik dan medan magnet menjadi :
𝐸(t)= 𝐸π‘₯0 cos πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧 π‘Žπ‘₯
𝐻(t)=
𝐸π‘₯0
377
πœ‡π‘Ÿ
πœ€π‘Ÿ
cos πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧
Vektor pointing :2
𝑃=
𝐸π‘₯0
πœ‡π‘Ÿ
πœ€π‘Ÿ
377
Daya rata-rata :
𝑃𝑧,π‘Žπ‘£ =
π‘Žπ‘¦
π‘π‘œπ‘  2 (πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧)π‘Žπ‘§
1 𝐸π‘₯0 2
2 377 πœ‡π‘Ÿ
πœ€π‘Ÿ
Dengan kecepatan peopagasi :
𝑣=
𝐢
,
πœ€π‘Ÿ πœ‡ π‘Ÿ
π‘‘π‘–π‘šπ‘Žπ‘›π‘Ž 𝐢 = 3 × 108
π‘š
𝑠
6. Penjalaran Gelombang pada Konduktor yang
Baik
Adapun karakteristik medium Dielektrik sempurna adalah sebagai berikut :
𝜎 ≫, πœŒπ‘£ ≠ 0, πœ€π‘Ÿ > 1 π‘‘π‘Žπ‘› πœ‡π‘Ÿ > 1 ,
Pada pers.4 konstanta propagasi diturunkan sebagai berikut :
𝜎
𝛾 = π‘—πœ” πœ‡πœ€ 1 − 𝑗
, dengan mengingat bahwa 𝜎 ≫ 1, maka persamaan konstanta
πœ”πœ€
propagasi dapat ditulis menjadi :
𝛾 = π‘—πœ” πœ‡πœ€ −𝑗
= 𝑗 −π‘—πœ”πœ‡πœŽ
= 𝑗 −𝑗 πœ”πœ‡πœŽ
𝜎
πœ”πœ€
6. Penjalaran Gelombang pada Konduktor yang Baik
Dengan menggunakian De Moivre Teorema didapat :
1
2
𝛾=𝑗
=
+𝑗
1
2
2πœ‹π‘“πœ‡πœŽ
πœ‹π‘“πœ‡πœŽ + 𝑗 πœ‹π‘“πœ‡πœŽ , jika 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 maka 𝛼 = 𝛽 = πœ‹π‘“πœ‡πœŽ
Pada konduktor yang baik memiliki 𝜎 ≫, hal ini berpengaruh pada efek kedalaman penetrasi
Dimana kedalaman penetrasi ( skin depth) 𝛿 =
1
πœ‹π‘“πœ‡πœŽ
persamaan konstanta propagasi ditulis sebgai berikut :
1
𝛿
𝛾= + 𝑗
1
𝛿
, hal tersebut dapat menjadikan
6. Penjalaran Gelombang pada Konduktor yang
Baik
Sedangkan untuk impedansi instrinsik (Θ ), dengan mengingat 𝜎 ≫ , dan jika 𝜎 ≫ πœ”πœ€ , maka
impedansi instrinsik dapat ditulis sebagai berikut :
Θ =
π‘—πœ”πœ‡
𝜎
=
𝑗
2πœ‹π‘“πœ‡
𝜎
=
2
πœŽπ›Ώ
< 450 =
2
πœŽπ›Ώ
𝑒 −𝑗45
0
Dengan konstanta redaman 𝛼 ≠ 0 , maka persamaan intensitas medan listrik dan medan
magnet menjadi :
𝐸(t)= 𝐸π‘₯0 𝑒
𝐻(t)=
−𝛼𝑧
𝐸π‘₯0
πœŽπ›Ώ
2
cos πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧 π‘Žπ‘₯ οƒ 
𝑒 −𝛼𝑧 cos
πœ”π‘‘ − 𝛽𝑧
π‘Žπ‘¦ οƒ 
𝐸(t)= 𝐸π‘₯0 𝑒
𝐻(t)=
1
𝛿
− 𝑧
𝐸π‘₯0
πœŽπ›Ώ
2
1
𝛿
cos πœ”π‘‘ − 𝑧 π‘Žπ‘₯
1
𝑒
−𝛿𝑧
1
cos πœ”π‘‘ − 𝛿 𝑧 −
πœ‹
4
𝑉
π‘Žπ‘¦
π‘š
𝐴
π‘š
6. Penjalaran Gelombang pada Konduktor yang Baik
Vektor pointing :
𝑃=
𝐸π‘₯0 2
π›ΏπœŽ
2 2
2
𝑒
−𝛿𝑧
πœ‹
cos 4 + π‘π‘œπ‘  2πœ”π‘‘ −
Daya rata-rata :
𝑃𝑧,π‘Žπ‘£ =
1
4
2
σ𝛿𝐸π‘₯0 𝑒
2
−𝛿𝑧
2𝑧
𝛿
πœ‹
−4
π‘Žπ‘§
7. Polarisasi Gelombang
Polarisasi gelombang merupakan sifat gelombang elektromagnetik dimana medan listrik E
bergetar pada arah tertentu dan medan magnet H bergetar tegak lurus arah getaran medal
listrik E.
Pada umumnya dikenal 3 macam polarisasi gelombang yaitu : polarisasi linear, polarisasi
sirkular (lingkaran), dan polarisasi ellips.
7. Polarisasi Gelombang
Polarisasi Linier
Jika fasa medan E dan H sama, maka gelombang terpolarisasi ini dinamakan terpolarisasi linier (
terpolarisasi bidang), karena medan E hanya bergetar pada bidang tertentu. Pada polarisasi Linier,
Jika medan listrik E bergetar pada bidang vertical gelombang maka dikatakan terpolarisasi linier
vertical dan jika bergetar arah horizontal yaitu sejajar permukaan tanah , maka gelombang dikatakan
terpolarisasi linier horizontal.
Polarisasi Sirkular (Lingkaran)
Jika selisih fasa medan E dan H sebesar 900 maka E dan H membentuk persamaan lingkaran sehingga
gelombang ini dinyatakan terpolarisasi lingkaran.
Polarisasi Ellips
Jika selisih fasa medan E dan medan H bukan kelipatan ganjil dari 900 dan ∅ sembarang , maka
medan E dan H membentuk persamaan ellips, sehingga gelombang ini dinyatakan terpolarisai Ellips.
TERIMAKASIH
Download
advertisement