Kombinatorial

Kombinatorial
Oleh: Panca Mudjirahardjo
Definisi dan tujuan
• Kombinatorial adalah cabang
matematika yang mempelajari
pengaturan objek-objek
Menentukan jumlah cara pengaturan
objek tersebut
1
Ilustrasi 1
• Misalkan nomor plat mobil di negara X
terdiri atas 5 digit angka diikuti
dengan 2 huruf. Huruf pertama tidak
boleh 0. Berapa banyak nomor plat
mobil yang dapat dibuat?
12345AA, 12345AB, 12345AC, ……,
12345DF,12345DG, ………
Ilustrasi 2
• Password sistem komputer
panjangnya enam sampai delapan
karakter. Tiap karakter boleh berupa
huruf atau angka; huruf besar dan
kecil tidak dibedakan. Berapa banyak
password yang dapat dibuat?
2
1. Percobaan
• Kombinatorial didasarkan pada hasil
yang diperoleh dari suatu percobaan
(experiment) atau kejadian (event).
• Percobaan adalah proses fisik yang
hasilnya dapat diamati.
Contoh percobaan dan
hasilnya
• Melempar dadu,
enam hasil percobaan yang mungkin yaitu
muka dadu 1,2,3,4,5 atau 6.
• Melempar koin uang Rp 100,
dua hasil percobaan yang mungkin yaitu
muka koin gambar rumah gadang atau
gambar wayang.
3
2. Kaidah Dasar
Menghitung
•Kaidah perkalian (rule of product)
Bila percobaan 1 mempunyai p hasil
percobaan yang mungkin terjadi, percobaan
2 mempunyai q hasil percobaan yang
mungkin terjadi, maka bila percobaan 1 dan
percobaan 2 dilakukan, maka terdapat p × q
hasil percobaan.
2. Kaidah Dasar
Menghitung
•Kaidah penjumlahan (rule of sum)
Bila percobaan 1 mempunyai p hasil
percobaan yang mungkin terjadi, percobaan
2 mempunyai q hasil percobaan yang
mungkin terjadi, maka bila percobaan 1
atau percobaan 2 dilakukan, maka terdapat
p + q hasil percobaan.
4
Contoh 1:
Kualitas gambar suatu TV dapat diatur pada
intensitas COLOR dan BRIGHTNESS-nya. Masingmasing memiliki intensitas low, middle & high.
Berapakah banyak kemungkinan kualitas yang
diperoleh:
a) Bila intensitas COLOR dan BRIGTHNESS diatur?
b) Bila intensitas COLOR atau BRIGTHNESS yang
diatur?
3. Perluasan Kaidah
•
Jika n buah percobaan masingmasing mempunyai p1, p2, …, pn, hasil
pecobaan yang mungkin terjadi,
maka jumlah hasil percobaan yang
mungkin terjadi adalah:
p1 × p2 × … × pn
kaidah perkalian
p1 + p2 + … + pn
kaidah penjumlahan
5
Contoh 2:
•
Kualitas gambar suatu TV dapat diatur
pada intensitas COLOR, BRIGHTNESS,
SHARPNESS, PICTURE, yang masingmasing memiliki intensitas low, middle &
high.
Berapakah banyak kemungkinan kualitas
yang diperoleh:
a) Bila semua intensitas diatur?
b) Bila hanya satu intensitas diatur?
4. Prinsip Inklusi-Eksklusi
• Contoh penggunaan prinsip inklusi-eksklusi untuk
menghitung kombinatorial:
Misalkan seorang mahasiswa hendak menyusun jadwal
untuk periode tujuh hari. Selama periode ini ia
akan belajar satu mata kuliah setiap hari. Ia
mengambil empat mata kuliah matematika, fisika,
kimia dan ekonomi.
Kita ingin tahu banyaknya jadwal yang menyediakan
setidaknya satu hari kepada setiap mata kuliah.
(sumber: C.L.Liu, 1995:73)
6
4. Prinsip Inklusi-Eksklusi
• Contoh:
Setiap byte disusun oleh 8-bit.
Berapa banyak jumlah byte yang
dimulai dengan ‘101’ atau berakhir
dengan ‘101’?
5. Permutasi
• Definisi :
Permutasi adalah jumlah urutan berbeda
dari pengaturan objek-objek.
• Permutasi dari n objek adalah:
n(n-1)(n-2) …… (2)(1) = n!
• Jumlah susunan berbeda dari pemilihan r
objek yang diambil dari n objek, dengan r ≤
n, disebut permutasi-r, dinyatakan:
P(n,r) = n(n-1)(n-2)…(n-(r-1)) = n!/(n-r)!
7
6. Kombinasi
• Pada kombinasi urutan kemunculan
diabaikan. Urutan acb, bca, dan abc
dianggap sama dan dihitung sekali.
• Kombinasi r elemen dari n elemen
adalah jumlah pemilihan yang tidak
terurut r elemen yang diambil dari n
buah elemen.
C ( n, r ) =
n!
r!(n − r )!
r≤n
7. Permutasi dan
Kombinasi Bentuk Umum
Diterapkan untuk menghitung pengaturan
(atau pengurutan) n buah objek dari
himpunan ganda S (himpunan S terdiri dari
n buah objek yang tidak perlu semuanya
berbeda).
P (n; n1 , n2 ,..., nk ) = C (n; n1 , n2 ,..., nk ) =
n!
n1!n2 !...nk !
8
8. Kombinasi dengan
Pengulangan
• Kombinasi yang membolehkan adanya
pengulangan elemen, yaitu dari n buah
objek kita akan mengambil r buah
objek, dengan pengulangan
diperbolehkan
C (n + r − 1, r )
9