fulltext PDF

Volume 1, Nomor 2, Desember 2007
Barekeng, Desember 2007. hal.1-7
Vol. 1. No. 2
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EKPONENSIAL PADA LOKASI TERBATAS
(Estimating Parameter Distribution Exponential At Finite Location)
MOZART W TALAKUA1, JEFRI TIPKA2
1
Staf Jurusan Matematika, FMIPA,UNPATTI
2
Calon Staf Jurusan Matematika, FMIPA,UNPATTI
Jl. Ir. M. Putuhenam, Kampus Unpatti, Poka-Ambon
E~Mail: [email protected]
ABSTRACT
The common method in Estimating Parameter Distribution Exponential at Finite
Location is Maximum Likelihood Estimation (MLE).The best estimator is consistent
estimator. Because of The Mean Square Error (MSE) can be used in comparing some
detectable estimators that it had looking for with Maximum Likelihood Estimation
(MLE) so can find the consistent estimator in Estimating Parameter Distribution
Exponential At Finite Location.
Keywords: Distribution Exponential, Estimator, Finite Location, Parameter.
PENDAHULUAN
Jika data dikumpulkan melalui sampel random dari
suatu populasi, tujuan yang paling utama dari suatu
analisis statistik adalah melakukan inferensi atau
generalisasi tentang karateristik populasi itu dari infornasi
yang terkandung dalam data sampel tersebut. Dapat
dilihat bahwa kumpulan data variabel acak yang bebas
atau suatu sampel data yang diambil secara acak dari
suatu populasi yang mempunyai distribusi. Biasanya
dituju pada sifat numerik populasi itu, seperti mean dan
variansi distribusi populasi itu. Setiap sifat numerik suatu
distribusi populasi dapat dinyatakan dalam bentuk
parameter yang tampak dalam fungsi probabilitas
populasi itu.
Inferensi atau generalisasi tergantung pada maksud
dan tujuan penyelidikan. Dua macam inferensi yang
paling penting adalah Estimasi Parameter dan Uji
Hipotesis Statistik.
Biasanya parameter populasi dipandang sebagai suatu
konstanta yang tidak diketahui harga sebenarnya. Jika
berdasarkan data sampel kita ingin menduga atau
memperkirakan harga parameter itu dengan kecermatan
tertentu, maka inferensinya dinamakan Estimasi
Parameter.
Suatu statistik yang digunakan sebagai estimasi suatu
parameter dinamakan Estimator Titik parameter itu.
Tujuan dari estimasi titik adalah menghasilkan suatu
bilangan yang harganya dekat dengan harga parameter
yang tidak diketahui misalkan dipunyai sampel acak
X 1 , X 2 ,..., X n dari suatu populasi probabilitas
( )
f x ; θˆ dan seringkali ditulis estimasi titik θˆ sebagai
estimasi parameter θ . Fungsi probabilitas estimator θ
seringkali dapat diturunkan (dengan menggunakan fungsi
Pembangkit Momen atau transformasi variabel) apabila
fungsi probabilitas populasinya diketahui.
Hal yang sudah dipelajari secara menyeluruh adalah,
bahwa distribusi populasi atau distribusi variabel acaknya
mempunyai bentuk matematika yang diketahui. Sebagai
contoh, misalkan populasi mempunyai distribusi normal
dengan parameter µ dan σ , yang tidak diketahui, atau
misalkan populasi mempunyai distribusi binomial
b(n, p ) , dimana p tidak diketahui.
Untuk mencari nilai parameter dari θ (populasi yang
mempunyai Distribusi Eksponensial), maka terlebih
dahulu dicari Maximum Likelihood Estimation (MLE) dari
θ serta distribusinya baik dalam lokasi/ruang parameter
tak terbatas maupun terbatas.
TINJAUAN PUSTAKA
Memperoleh suatu estimator yang dianggap baik
untuk mengestimasi parameter adalah permasalahan yang
mendasar dalam suatu populasi.
Dalam pandangan teori keputusan ‘pengamatan (data)’
yang biasanya dengan distribusi yang tidak diketahui
sebelumnya, misal data yang mengandung parameter
θ ∈ Θ , dengan Θ diketahui, bersama dengan
‘kemungkinan kerugian/keuntungan’ akibat pemilihan
satu dari sejumlah keputusan yang mungkin merupakan
dua unsur utama dalam persoalan umum statistika.
Adapun sampel yang digunakan dalam penelitian
disebut sebagai penduga (estimator). Sedangkan fungsi
nilai sampel yang digunakan untuk menduga parameter
disebut penduga parameter dan angka yang merupakan
hasilnya disebut dugaan secara statistik. Suatu penduga
δ dikatakan baik jika memiliki sifat-sifat tidak bias,
efisiaen, konsisten.
Keputusan biasanya disebut aksi atau tindakan yang
dinotasikan dengan A, himpunan keputusan yang
mungkin dinotasikan dengan A, dan himpunan variabel
random atau ruang sampel dinotasikan dengan χ . Bila
fungsi distribusi dari variable random
X 1 , X 2 ,.., X n
yang tidak diketahui, maka
bergantung pada θ
persoalan mengestimasi θ merupakan persoalan estimasi
2 TALAKUA
ESTIMASI PARAMETER
θ diestimasi oleh suatu fungsi dari pengamatan
X 1 , X 2 ,.., X n yang disebut statistik atau estimation.
titik.
Selain itu, estimator-estimator tersebut di atas juga
mempunyai sifat-sifat analitik yang nantinya dipakai
dalam mengestimasi parameter. Oleh karena itu, penulis
mencoba untuk menggambarkan secara ringkas sifat-sifat
dari estimator-estimator tersebut di atas dengan bertolak
dari definisi-definisi yang ada.
Definisi 1 Fungsi Densitas Probabilitas
Fungsi f(x) adalah fungsi kepadatan jika X kontinu, dan
sering disebut fungsi densitas probabilitas (density
probability function)
Fungsi densitas probabilitas dari variabel X yang kontinu
adalah f(x), sedemikian hingga:
b
P(a < X ≤ b ) = ∫ f ( x ) dx ,
a
∫ f (x ) dx = 1
Definisi 2Rataan Fungsi Densitas Probabilitas
Jika X adalah variabel random kontinu dan f(x) adalah
nilai dari fungsi kepadatan pada x, maka meannya adalah
∞
∫ x ⋅ f (x )dx
−∞
Selanjutnya, jika X adalah variabel random kontinu dan
f (x ) adalah nilai dari fungsi kepadatan pada x, nilai
harapan dari g ( X ) diberikan oleh
∞
E [g ( X ) ] = ∫ g ( x ). f ( x ) dx
−∞
Definisi 3 Variansi Fungsi Densitas Probabilitas
Jika X adalah variabel random kontinu dan f ( x ) adalah
nilai dari fungsi kepadatan pada x, variansi dari X adalah
(
) ∫ (x − µ )
σ 2 = E [X − µ ] =
2
∞
2
Dengan E (δ ) dinamakan Kuadrat Tengah Galat, dan
δ − θ disebut galat pendugaan.
Definisi 5 Efisien
Suatu estimator dikatakan efisien bagi parameternya
apabila estimator tersebut memiliki variansi yang lebih
kecil, dan apabila terdapat lebih dari satu estimator,
estimator yang efisien adalah yang memiliki variansi
terkecil.
estimator ini dikatakan konsisten dari
ε >0,
lim P[δ n − θ < ε ] = 1
x
−∞
E(X ) =
[bias(δ )] = E (δ ) − θ
Definisi 6 Konsisten
Jika {δ n } merupakan barisan estimator dari parameter
dimana
f ( x ) ≥ 0 dan
Sebaliknya, suatu penduga dikatakan bias bagi
parameternya jika nilai penduga tersebut tidak sama
dengan nilai yang diduganya (parameternya), atau dapat
ditulis:
f ( x ) dx .
−∞
atau dapat ditulis dalam bentuk lain
2
2
Var( X ) = E X − µ
( )
Sifat-sifat Kebaikan dari Suatu Estimator
Sampel yang digunakan dalam penelitian disebut sebagai
penduga (estimator). Sedangkan fungsi nilai sampel yang
digunakan untuk menduga parameter disebut penduga
parameter dan angka yang merupakan hasilnya disebut
dugaan secara statistik. Suatu penduga δ dikatakan baik
jika memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
Definisi 4 Tidak Bias
Suatu penduga δ dikatakan tidak bias bagi parameternya
θ apabila nilai penduga sama dengan nilai yang
diduganya (parameter)
E (penduga) = parameternya
Jadi, penduga tersebut secara tepat dapat menduga nilai
parameternya .
n →∞
untuk setiap
θ,
θ jika untuk setiap
θ ∈Ω
Suatu estimator dikatakan konsisten apabila memenuhi
syarat berikut:
a. Jika ukuran sampel semakin bertambah maka
estimator akan mendekati parameternya, jika besarnya
sampel menjadi tak berhingga maka estimator
konsisten harus dapat memberi suatu dugaan titik
yang sempurna terhadap parameternya. Jadi
δ merupakan estimator konsisten jika dan hanya jika:
2
E (δ − θ ) → 0 jika n → ∞
b. Jika ukuran sampel bertambah tak berhingga maka
distribusi dari estimator akan mengecil.
Definisi 7
a. Suatu estimator
δ1
lebih
baik
dari
δ2
jika
R(θ , δ 1 ) ≤ R(θ , δ 2 ) untuk semua θ , dan untuk
suatu θ 0 , R(θ 0 , δ 1 ) ≤ R(θ 1 , δ 2 ) .
b. Estimator
δ1
ekivalen
R (θ , δ 1 ) = R (θ , δ 2 )
dengan
δ2
jika
Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Salah satu metode yang terkenal dalam memperoleh salah
satu estimator ialah metode kemungkinan maksimum
yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 8
Misalkan ( x1 , x 2 ,..., x n ) adalah sampel random iid dari
populasi dengan pdf
kemungkinan adalah
f ( x | θ 1 , θ 2 ,..., θ n ) maka Fungsi
Barekeng, Vol. 1, 2007
ESTIMASI PARAMETER 3
[
] [
= [E [(δ ) ] − 2 E [(δ )E (δ )] + E [E (δ )] ]
+ [[E (δ )] − 2 E[E (δ )(θ )] + E [θ ]]
= [E (δ ) − 2[E (δ )(E (δ ))] + [E (δ )] ]
+ [[E (δ )] − 2[E (δ )(θ )] + [θ ]]
= [E (δ ) − 2[E (δ )(E (δ ))] + [E (δ )] ] + [Bias (δ )]
= [E (δ ) − 2[E (δ )] + [E (δ )] ] + [Bias(δ )]
= [E (δ ) − [E (δ )] ] + [Bias(δ )]
L(θ | x ) = L(θ 1 , θ 2 ,..., θ | x1 , x 2 ,..., x n )
= E δ 2 − 2δE (δ ) + (E (δ )) + E [E (δ )] − 2 E (δ )θ + θ 2
2
n
2
= ∏ f (x i | θ 1 , θ 2 ,..., θ )
Definisi 8
( )
L θˆ | x = Sup L(θ | x1 , x 2 ,..., x n ), θ ∈ Θ
Jika fungsi kemungkinan terdiferensialkan dalam
nilai-nilai
σ 1 , σ 2 ,..., σ n
diperoleh
2
2
Estimator θˆ = θˆ( x1 , x 2 ,..., x n ) disebut MLE dari θ
maka
2
2
i =1
jika:
2
2
2
2
2
2
θ ,
dengan
menyamakan turunan parsial dari fungsi kemungkinan
atau logaritmanya dengan nol dan mencari akar-akarnya
dan syarat perlu pencapaian maksimum adalah turunan
keduanya bernilai dua parameter. Dalam kasus persamaan
turunan parsial tidak mempunyai penyelesaian, MLE
diperoleh dengan argumentasi.Bila suatu variabel random
diketahui distribusi tertentu seringkali diinginkan untuk
mengetahui distribusi dari fungsi variabel random atau
suatu statistik.
2
2
2
2
2
2
2
2
= Var (δ ) + [Bias (δ )] 2
Diketahui bahwa:
[bias(δ )] = E (δ ) − θ
maka dapat ditulis:
E (δ ) = θ
sehingga,
[
MSE(δ − θ ) = Var (δ ) + E (θ ) − 2[E (θ )(E (θ ))] + [E (θ )]
2
2
atau
MSE (δ ) = Var (δ ) + [bias(δ )]
2
Mean Square Error (MSE)
Untuk membandingkan suatu estimator dengan estimator
lainnya diperlukan ukuran tertentu, salah satu ukuran
kualitas dari suatu estimator adalah Mean Square Error
(MSE), didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 9
MSE dari estimator δ = δ ( x ) dan parameter
fungsi yang didefinisikan oleh:
MSE (δ − θ ) = E (δ − θ )
dengan : [bias (δ )] = E (δ ) − θ
karena
θ adalah
dikatakan tak bias secara
θ , jika:
n→∞
2
MSE (δ − θ ) = Var (δ ) + [bias (δ )]
2
MSE (δ ) = Var (δ ) + [bias (δ )]
{θ n }
lim bias (δ n ) = 0 , untuk semua θ
Var (δ − θ ) = E (δ − θ ) − [E (δ − θ )]
Teorema 1
Jika δ adalah estimator dari parameter
Definisi 10
Barisan estimator
asimtotik untuk
2
2
Maka
Jadi MSE merupakan ukuran kualitas yang mempunyai
dua komponen varian sebagai pengukur varibilitas dan
bias sebagai pengukur keakuratan dari estimator, dengan
kata lain bila suatu estimator tak bias maka MSE-nya
sama dengan variansinya.
θ , maka:
Teorema 2
Barisan estimator
{θ n } untuk
θ , dikatakan konsisten
dalam kuadrat rata-rata jika dan hanya jika:
1. Var(δ n ) → 0 ,
n→∞
2. δ n tak bias secara asimtotik
Bukti:
Karena E δ n − θ 2 = Var δ n − θ 2 + E δ n − θ 2
(
)
(
) (
= Var (δ n ) + [bias(δ n )]
)
2
2
yang akan menuju 0 jika dan hanya jika kedua sukunya
menuju 0
Bukti :
2
MSE (δ ) = E (δ − θ )
= E[δ − E (δ ) + E (δ ) − θ ]
2
= E[δ − E (δ )] + E[E (δ ) − θ ]
2
2
Definisi 11 Metode Momen
Jika X 1 , X 2 ,.., X n adalah suatu sampel random dari
f (x ; θ1 ,θ 2 ,...,θ n ) , maka sampel momen ke-k
diberikan oleh :
n
MJ =
∑x
i =1
n
2
i
J = 1, 2, ..., k
Dengan momen atau rata-rata yang ditulis
µ1' = µ
]
]
4 TALAKUA
ESTIMASI PARAMETER
HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Estimator Parameter Distribusi Eksponensial Pada
Lokasi Tak Terbatas
Misalkan X 1 , X 2 ,.., X n adalah Variabel Random iid
masing-masing berdistribusi eksponensial dengan fungsi
kepadatannya:
x
1 −
f (x | θ ) = e θ
θ
Maka
n
S
dengan S = ∑ xi
i =1
n
=
Jelas θˆ memberikan nilai maksimum untuk L(θ | x )
sebab:
∂
∂ ⎡
1 1 n ⎤
− n + 2 ∑ xi ⎥
log[L(θ | x )] =
⎢
∂θ
∂θ ⎣ θ θ i =1 ⎦
n
∂ ⎡
=
− nθ −1 + θ − 2 ∑ xi ⎤
⎢
⎥⎦
i =1
∂θ ⎣
n
= nθ − 2 − 2θ −3 ∑ xi
E(X ) = θ
i =1
=
Var ( X ) = θ 2
dan fungsi kemungkinan adalah :
⎧ n ⎛ xi
exp
−
⎨∑ ⎜
θn
⎩ i =1 ⎝ θ
= Min ( X 1 , X 2 ,..., X n )
1
L(θ | x ) =
dengan X (1)
⎞⎫
⎟⎬
⎠⎭
θ tetap, karena L(θ | x ) merupakan
perkalian antara suatu fungsi yang naik dalam θ dengan
indikator yang nilainya 1 jika X (1) ∈ θ dan 0 untuk
untuk setiap
n
Akibatnya
P[Min ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ≤ x ] = 1 − P[Min ( X 1 , X 2 ,..., X n ) > x ]
= 1 − P[X 1 > x ]...P[X 1 > x ]
= 1 − (P[X 1 > x ])
θ
= 1− e
−n
n
1
+
θ
1
1
θ θ
Maka
n
∑ xi = 0
i =1
1
=−
θ
=
1
θ2
θ2
n
∑ xi
i =1
n
∑ xi
2
i =1
n
θ=
∑ xi
f X (1) (t ) =
n
θˆ =
i =1
n
θ >0
adalah Variabel Random iid
(
)
2n ˆ
θ − θ ~ χ (22 )
i =1
θ
Bukti
Dari persamaan diperoleh bahwa X ~ exp⎛⎜ θ ⎞⎟ , maka
i
⎝n⎠
menurut sifat parameter lokasi X i - θ ~ exp⎛⎜ θ ⎞⎟ ,
⎝n⎠
sehingga
θ
=X
−t
eθ
berdistribusi eksponensial exp( θ ), maka:
ψ 2n
n
∑ xi
n
Teorema 3
Bila X 1 , X 2 ,.., X n
11 ) −θ
atau
x
θ
θ
2
θ
⎛θ ⎞
dengan E (X (1) ) =
Var (X (1) ) = ⎜ ⎟
n
⎝n⎠
ψ X(
i =1
−
Sehingga fungsi kepadatan dari X (1) adalah:
Dengan menyamakan persamman di atas sama dengan nol
maka diperoleh MLE untuk θ adalah:
−n
2
= 1 − (1 − P[X 1 ≤ x ])
n
θ
θ →∞
untuk θˆ = X (1) = Min ( X 1 , X 2 ,..., X n )
Selanjutnya diperoleh:
1 n ⎤
⎡
xi ⎥
⎢− n log θ − θ i∑
=1
⎣
⎦
1 1 n
= −n + 2 ∑ xi
∑ xi < 0
i =1
jika dan hanya jika θ < 2θˆ
dan L(θ | x ) → 0 jika θ → 0 atau
θˆ = X (1) = Min ( X 1 , X 2 ,..., X n )
∂
=
∂θ
n
θ − 2 θ −3
lainnya. Sehingga L(θ | x ) mencapai maksimum pada:
⎡1
⎧ ⎛ x ⎞ ⎫⎤
∂
∂
log[L(θ | x )] =
log ⎢ n exp− ⎨∑ ⎜ i ⎟⎬⎥
∂θ
∂θ
⎩ i =1 ⎝ θ ⎠⎭⎦
⎣θ
n ⎛ x ⎞
−∑⎜ i ⎟ ⎤
∂ ⎡
1
i =1⎝ θ ⎠
⎢log
⎥
=
+ log e
∂θ ⎢ θ n
⎥⎦
⎣
n ⎛ x ⎞⎤
∂ ⎡
−n
=
⎜ i ⎟⎥
⎢log θ − i∑
=1 ⎝ θ ⎠ ⎦
∂θ ⎣
−
2
⎛ θ⎞
= ⎜1 − ⎟
⎝ n⎠
X (11 ) −θ
−1
= (1 − 2t )
−1
yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi
Khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 2.
Barekeng, Vol. 1, 2007
ESTIMASI PARAMETER 5
(
)
L(θ | x ) mencapai maksimum pada θˆ = c , karena itu
untuk − ∞ < θ ≤ c , maka MLE untuk θˆ adalah :
2n ˆ
2n
θ − θ = ( X i − θ ) ~ χ (22 )
Jadi terbukti bahwa
θ
θ
⎧ X (1) , Jika X (1) ≤ c
⎪
ˆ
θ =⎨
⎪ c , Jika X > c
(1)
⎩
Dari persamaan diperoleh:
⎛S⎞ θ
E ⎜ ⎟ = (n − 1)
⎝n⎠ n
2
⎛S⎞ θ
Untuk mendapatkan MLE dari
Var ⎜ ⎟ = 2 (n − 1)
⎝n⎠ n
2
⎛S⎞
⎛ S ⎞ ⎡ ⎛ S ⎞⎤
E ⎜ ⎟ = Var ⎜ ⎟ + ⎢ E ⎜ ⎟⎥
⎝n⎠
⎝ n ⎠ ⎣ ⎝ n ⎠⎦
2
sehingga didapatkan:
θˆ =
= θ (n − 1)
2
)
θ
merupakan estimator bias, maka diperoleh estimator
1
baru untuk θ , misalnya δ 1 = X (1) − 2
n
∑ [X
n
i =1
i
− X (1) ]
yang juga bias tapi bila prosedur dilakukan untuk setiap
pengambilan sampel n, {δ 1n } secara asimtotik tak bias
karena lim bias(δ 1n ) = 0 , sedangkan estimator tak bias
n→∞
untuk
1 n
∑ xi
n i =1
⎧1 n
⎪ n ∑ [X i − X (1) ] , Jika X (1) ≤ c
⎪ i =1
=⎨
⎪ 1 n
, Jika X (1) > c
⎪ ∑ [X i − c]
n
⎩ i =1
Sekarang dengan mengadopsi estimator
θ adalah:
1
n
[X
(n − 1) ∑
i =1
U2 = −
1 n
[X i − X (1) ]
(n ) ∑
i =1
i
δ 1 = X (1)
− X (1) ]
U1 = −
Sekarang diandaikan dalam pdf parameter lokasi θ
terbatas ke atas oleh c, θ ≤ c , dengan c suatu konstanta.
Akan tetapi dicari MLE dari θ .
X 1 , X 2 ,.., X n adalah variabel random iid dari
exp( θ ), dengan − ∞ < θ ≤ c , maka:
Misalkan
1
θ
e
−
1
n2
∑ [X
n
i =1
i
− X (1) ]
Dalam ruang parameter tak terbatas, dapat dibentuk
estimator untuk θ dalam ruang parameter terbatas
(misalkan δ 2 ) sebagai berikut:
2. Estimator Parameter Distribusi Eksponensial Pada
Lokasi Terbatas
f (x | θ ) =
θ diperoleh
∂
dengan cara menyamakan
log[L(θ | x )] dengan 0,
∂θ
x
θ
dan fungsi kemingkinannya adalah
1
⎧x ⎫ n
L(θ | x ) = n exp− ⎨ i ⎬∏
θ
⎩ θ ⎭ i =1
1
⎧n x ⎫
= n exp− ⎨∑ i ⎬
θ
⎩ i =1 θ ⎭
Jika diketahui, dan diambil sampel maka kita tidak dapat
mengamati xi yang lebih kecil dari θ karena L(θ | x )
θ naik dengan fungsi
indikator yang bernilai 1 untuk xi ∈ (θ , ∞ ) dan 0 untuk
lainnya, dan diketahui bahwa − ∞ < θ < ∞ , θˆ = X .
adalah perkalian satu fungsi dari
(1)
Tetapi untuk − ∞ < θ ≤ c , jika X (1) > c maka nilai ini
jelas di luar parameter, sehingga untuk X (1) > c ,
⎧
⎪
, Jika X (1) ≤ c
δ1
⎪
δ2 = ⎨
⎪
1 n
[X i − c] , Jika X (1) > c
c
−
⎪
2 ∑
⎩ n i =1
Dan para estimator tersebut sekarang akan dibandingkan
terhadap kriteria Mean Square Error (MSE), dengan kata
lain dicari risiko masing-masing estimator terhadap fungsi
kuadratis, dengan memanfaatkan idenpedensi dari X (1)
dan S
Terlebih dahulu dibanding θˆ dengan δ 1 yang keduanya
merupakan bias dalam ruang parameter tak terbatas.
Dengan kriteria MSE diperoleh:
2
⎡
S
⎛
⎞ ⎤
2
MSE θˆ − MSE (δ1 ) = E ⎢(X (1) − θ ) − ⎜ X (1) − 2 − θ ⎟ ⎥
n
⎝
⎠ ⎥⎦
⎢⎣
()
=
=
Dari
θ2
(n − 1)⎛⎜ 2 − n ⎞⎟
n2
θ2
n3
⎝ n ⎠
(n − 2 + n )
2
persamaan
()
(1)
........................... (1)
dapat
menunjukan
bahwa
MSE (δ 1 ) < MSE θˆ sehingga dapat dinyatakan bahwa
δ1
lebih baik daripada θˆ .
Selanjutnya perbandingan
berikut:
δ1
dengan
δ2
adalah sebagai
2
⎡⎛
⎡⎛
1
S
⎞ ⎤
MSE (δ 1 ) − MSE (δ 2 ) = E ⎢⎜ X (1) − 2 − θ ⎟ ⎥ − E ⎢⎜ c − 2
n
n
⎠ ⎦⎥
⎣⎢⎝
⎣⎢⎝
n
∑ [X
i =1
i
2
⎞ ⎤
− c] − θ ⎟ ⎥
⎠ ⎦⎥
6 TALAKUA
=
ESTIMASI PARAMETER
(n + 1) E ⎡(X
n
⎢
⎣
(1)
− c)−
(n − 1) (X
n
(1)
− c) −
L(θ , α (δ 1 ) + (δ 2 )) − α (L(θ , δ 1 + (1 − α )L(θ , δ 2 )))
2S
(2c − 2θ )⎤⎥
n2
⎦
Karena X (1) dan S adalah independen, dan secara
kondisional
2
MSE (δ 1 ) − MSE (δ 2 ) =
n + 1 ⎡θ 2 (n − 1) θ 2 2
⎛ S ⎞⎤
− (2c − 2θ )E ⎜ ⎟⎥
⎢ −
n ⎣n2
n n2 n
⎝ n ⎠⎦
θ⎤
4θ (n + 1) ⎡
=
⎢nc − θn − 4 ⎥
n4
⎣
⎦
Hasil di atas menunjukan bahwa MSE (δ 1 ) < MSE (δ 2 )
sehingga dapat disusun teorema berikut:
Maka perbandingan antara δ 3 dan δ 4 menghasilkan:
2
⎡⎛ S
⎞ ⎤
MSE (δ 3 ) − MSE (δ 4 ) = E ⎢⎜ 2 − θ ⎟ ⎥ −
⎠ ⎥⎦
⎣⎢⎝ n
2
⎡⎛
1 n
⎞ ⎤
E ⎢⎜ c − 2 ∑ [X i − c ] − θ ⎟ ⎥
n i =1
⎠ ⎦⎥
⎣⎢⎝
Karena MSE (δ 4 ) =
Maka MSE(δ 5 ) =
(
)
< 0 karena α 2 − α < 0
θ
θ2
n
2
−
θ2
n 2n
θ2
MSE (δ 6 ) =
−
n n(n + 1)
2
=
2n − 1 2
θ
2n 2
=
θ2
(n + 1)
MSE (δ 6 ) < MSE (δ 5 ) < MSE (δ 4 ) = MSE (δ 3 )
Semuanya menuju nol apabila n menuju ∞ , dengan kata
lain estimator yang konsisten dalam kuadrat rata-rata.
KESIMPULAN DAN SARAN
⎡
⎤
2
⎝n⎠ ⎣
⎝ n ⎠⎦
2
(n − 1) θ 2 + θ
=
n2
n2
θ2
= 2 ((n − 1) + 1)
n
θ2
= 2 (n )
n
θ2
=
n
Maka MSE (δ 3 ) = θ
n
Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan dari bab-bab sebelumnya
dapat disimpulkan bahwa
1. Tujuan dari estimasi titik adalah menghasilkan suatu
bilangan yang harganya dekat dengan parameter yang
tidak diketahui, Estimator parameter pada lokasi
2.
2
3.
Fungsi kerugian kuadratis L (θ | δ ) =
(δ − θ )2
adalalah
konveks tegas dalam δ .
Bukti
Diberikan α (0 < α < 1) dan L(θ | δ )
terbatas bergantung pada nilai n sampel dan θˆ
merupakan estimator bias.
Mean dan Variansi jika parameter berada pada selang
takterbatas berturut-turut adalah E ( X ) = θ dan
n
2
⎛θ ⎞
Var ( X ) = ⎜ ⎟
⎝n⎠
Dengan menggunakan metode Mean Square Error
(MSE) diperoleh beberapa estimator, yang bila
prosedur estimasi serupa untuk setiap pengambilan
sampel n terhadap estimator-estimator tersebut.
Semuanya menuju nol apabila n menuju ∞ , dengan
kata lain estimator yang konsisten dalam kuadrat
rata-rata. Dapat ditunjukan sebagai berikut :
MSE (δ 1n ) =
1). L(θ , α (δ 1 ) + (δ 2 )) = [(αδ 1 + (1 − α )δ 2 ) − θ ]
2
= (αδ 1 + (1 − α )δ 2 ) − 2θ (αδ 1 + (1 − α )δ 2 ) − θ
2
)
dapat dinyatakan:
Karena MSE (δ 3 ) = MSE⎛⎜ S ⎞⎟ = Var ⎛⎜ S ⎞⎟ + bias⎛⎜ S ⎞⎟
⎢
⎥
Lema 1
2
θ2
⎡0⎤
= −E ⎢ 2 ⎥
⎣n ⎦
=0
⎝n⎠
2
L(θ , α (δ 1 ) + (δ 2 )) < α (L(θ , δ 1 + (1 − α )L(θ , δ 2 )))
yang berarti L(θ | δ ) adalalah konveks tegas.
X (1) > c , maka X (1) − c ~ exp(θ ) ,
sehingga E (X (1) − c )2 = θ , maka diperoleh:
n2
)(
(
= α 2 − α δ 1 + 2δ 1δ 2 + δ 2
Terbukti,
2
θ2
n3
(n − 2 + n )
MSE (δ 3n ) = MSE (δ 4 n ) =
2n − 1 2
θ
MSE(δ 5n ) =
2n 2
2). α (L(θ , δ 1 + (1 − α )L(θ , δ 2 ))) = α (δ 1 − θ )2 + (1 − α )(δ 2 − θ )2
θ2
MSE (δ 6 ) =
(n + 1)
2
2
2
= αδ 1 + (1 − α )δ 2 − 2αθδ 1 + 2(1 − α )θδ 2 + δ 2
dengan
2
θ2
n
MSE (δ 6 ) < MSE(δ 5 ) < MSE (δ 4 ) = MSE (δ 3 )
Barekeng, Vol. 1, 2007
DAFTAR PUSTAKA
Andi, H. N. dan Abdurrauf, R, (1994), Teori Statistika
Untuk Ilmu-Ilmu Kuantitatif, Penea Karya AksaraJakartarbit Bhata
Bain, L. J, (1992), Introduction To Probability And
Mathematical Statistics, PWS-KENT Publishing
Company.
Dudewicz, E. J. dan Mishra, S. N, (1998), Statistika
Matematika Modern, ITB Bandung.
Roussas, G. G, (1973), A First Course in Mathematical
Statistics, Addison-Wesley Publishing Company,
Massachusetts.
Walpole, R. E. dan Myers, R. H, (1995), Ilmu Peluang
dan Statistik Untuk Insinyur dan Ilmuan, ITB
Bandung.
ESTIMASI PARAMETER 7