Penentuan Spektrum Energi dan Fungsi Gelombang Potensial

ISSN:2089 – 0133
Oktober 2012
Indonesian Journal of Applied Physics (2012) Vol.2 No.2 halaman 112
Penentuan Spektrum Energi dan Fungsi
Gelombang Potensial Morse dengan Koreksi
Sentrifugal Menggunakan Metode SWKB dan
Operator SUSY
Cari, Suparmi, Heti Marini
Pascasarjana Ilmu Fisika, Universitas Sebelas Maret
Email : [email protected]
Received 13-08-2012, Revised 28-09-2012, Accepted 05-10-2012, Published 29-10-2012
ABSTRACT
The purposes of the research are to determine the energy spectrum and wave function of
Morse with centrifugal term using SUSY quantum mechanics. The Morse with centrifugal
term potential is type of shape invariant potential. The energy spectrum of Morse potential
with centrifugal term is obtained using Supersymmetry - WKB (SWKB) quantization formula
and Supersymmetry Operator. The wave function is obtained using Supersymmetry Operator.
The energy spectrum obtained using SWKB quantization formula is equal to the result
obtained using Supersymmetry Operator. The ground statewave function is obtained from the
property of lowering operator that annihilates the ground state wave function.The first excited
state wave function is obtained by applying raising operator on the ground state wave function
and so the higher level excited state wave functions obtained by operating raising operator to
the nearest lower wave function. The energy spectrum obtained using SWKB quantization
formula is equal to the result obtained using Supersymmetry Operator. Both energy spectrum
and the wave function obtained are only approximation since the centrifugal term is
approximated by exponential function.
Keywords: Schrödinger equation, Morse potential, centrifugal term, supersymmetry of
quantum mechanics
ABSTRAK
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan spektrum energi dan fungsi gelombang potensial
Mors edengan faktor sentrifugal menggunakan metode supersimetri mekanika kuantum.
Potensial Morse dengan faktor sentrifugal merupakan potensial yang mempunyai sifat shape
invariance. Spektrum energi potensial Morse dengan faktor sentrifugal ditentukan dengan
menggunakan dua metode, yaitu metode kuantisasi supersimetri-WKB (SWKB) dan metode
operator supersimetri. Sedangkan fungsi gelombang ditentukan dengan menggunakan operator
supersimetri (SUSY). Spektrum energi untuk potensial Manning Rosen dengan faktor
sentrifugal yang diperoleh menggunakan formula kuantisasi SWKB untuk kondisi simetri
yang baik memberikan hasil yang sama dengan operator supersimetri. Fungsi gelombang
tingkat dasar diperoleh dari sifat-sifat operator penurun yang melenyapkan (anihilasi) fungsi
gelombang tingkat dasar. Sedangkan fungsi gelombang tereksitasi tingkat satu dan seterusnya
diperoleh dengan mengoperasikan operator penaik yang dioperasikan pada fungsi gelombang
satu tingkat dibawahnya. Baik spektrum energi maupun fungsi gelombang yang diperoleh
hanya bersifat pendekatan karena faktor potensial atau gaya sentrifugal didekati dengan fungsi
berbentuk eksponensial.
Kata kunci: persamaan Schrödinger, potensial Morse, faktor Sentrifugal, supersimetri
mekanika kuantum
Penentuan Spektrum Energi … halaman 113
PENDAHULUAN
Persamaan Schrödinger merupakan pilar penting dalam sistem mekanika kuantum.
Melalui persamaan Schrödinger dapat diketahui spektrum energi dan fungsi gelombang
suatu sistem partikel yang kemudian dapat digunakan untuk mendiskripsikan perilaku
partikel tersebut di alam semesta. Namun demikian, pada beberapa jenis potensial,
terutama jenis penyelesaian eksak dari pesamaan Schrödinger ini hanya mungkin untuk
momentum angular = 0. Tetapi ketika ≠ 0, persamaan Schrödinger hanya dapat
diselesaikan melalui sebuah pendekatan yang sesuai [1], seperti metode iterasi asimptotik
(AIM)[2-4], faktorisasi[5,6], metode ekspansi 1/N[7], metode Nikiforov-Uvarov[8], metode
supersimetri mekanika kuantum[9,11].
Potensial Morse dengan faktor sentrifugal adalah salah satu jenis potensial shape
invariance yang berbentuk eksponensial. Potensial ini digunakan sebagai model
matematika untuk mendeskripsikan vibrasi dari molekul beratom dua. Sebelumnya
Persamaan Schrodinger dari potensial ini telah berhasil diselesaikan dengan metode iterasi
asimptotik (AIM) oleh O. M. Aldossary[2]. Sedangkan dalam paper ini, persamaan
Schrodinger untuk potensial Morse dengan faktor sentrifugal akan diselesaikan dengan
menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM). Secara umum
penyelesaian persamaan Schrodinger dengan menggunakan SUSYQM relatif lebih mudah
dibandingkan dengan menggunakan metode lain, karena dengan metode ini persamaan
Schrödinger yang merupakan persamaan differensial orde dua dapat difaktorkan menjadi
persamaan differesial orde satu sehingga penyelesaiannya akan lebih mudah.
Dalam SUSYQM, terdapat beberapa metode dalam menentukan spektrum energi,
diantaranya adalah metode operator supersimetri dan metode supersimetri – WKB
(SWKB)[9]. Kedua metode ini memiliki kekhasan masing-masing dalam proses
penyelesaiannya. Dalam paper ini digunakan kedua metode tersebut, dimana metode
operator supersimetri digunakan untuk menentukan spektrum energi dan fungsi
gelombang, sedangkan metode SWKB hanya digunakan untuk menentukan spektrum
energi.
METODE
Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM)
Pemeran utama supersimetri mekanika kuantum adalah operator supermuatan. Witten
mendefinisikan sistem supersimetri mekanika kuantum sebagai sistem yang terdiri dari
operator supermuatan (Qi) yang komut dengan Hamiltonian supersimetri (Hss)[10],
dan
Dengan
(1)
N adalah jumlah generator dan memenuhi hubungan anti komut.
Untuk sistem SUSY yang paling sederhana, N=2, dengan operator super muatan
didefinisikan sebagai [12],
dan
dan
(2)
Penentuan Spektrum Energi … halaman 114
Dimana σ1 dan σ2 adalah matriks dari Pauli, dan
, adalah momentum linear.
Sedangkan W(x) adalah superpotensial supersimetri yang merupakan fungsi x. Dengan
menggunakan Persamaan (1) dan (2) diperoleh,
(3)
dimana,
, dengan
(4a)
, dengan
(4b)
dan,
Dengan
dan didefinisikan sebagai pasangan Hamiltonian penurun dan Hamiltonian
penaik, sedangkan V-(x) dan V+(x) merupakan pasangan potensial supersimetri.
Berdasarkan Persamaan (4a) dan (4b) persamaan Hamiltonian dapat difaktorkan menjadi,
, dan
(5)
di mana,
(6)
Dengan,
disebut operator penaik (raising operator), dan
(lowering operator) [11-13].
sebagai operator penurun
Potensial Shape Invariance
Sepasang potensial supersimetri (SUSY), yaitu
dan
dapat dikatakan shape
invariance jika kedua potensial tersebut memiliki bentuk yang sama, hanya dibedakan
oleh sebuah parameter [9].
(7)
dengan,
(8a)
(8b)
dimana j = 0,1,2,.., sedangkan parameter a ditentukan secara rekursif (berturutan),
dan
adalah konstanta yang tidak bergantung dengan x.
Penentuan Spektrum Energi … halaman 115
Hubungan antara Hamiltonian standard dan Hamiltonian SUSY dinyatakan sebagai,
(9)
Maka berdasarkan persamaan eigen nilai diperoleh,
(10)
Dengan
merupakan energi tingkat dasar pada pasangan hamiltonian penurun.
Berdasarkan Persamaan (9) diperoleh hubungan antara V (x)dan V- (x) sebagai berikut,
(11)
dimana
sering dinyatakan sebagai Potensial Efektif (
). Sedangkan
ditentukan
dengan dugaan/ perkiraan secara intelektual berdasarkan bentuk potensial efektif sistem
terkait.
Dengan mengulang prosedur sifat shape invariance, diperoleh generalisasi persamaan
Hamiltonian sebagai berikut,
, dengan k = 0, 1, 2,…
(12)
Dengan membandingkan Persamaan (8) dan (9), diketahui bahwa
Sehingga spektrum energi eigen nilai dari H- dapat digeneralisasi menjadi,
.
(13)
Sifat operator penaik dan penurun secara umum diketahui bahwa operator penaik bila
dioperasikan pada suatu fungsi gelombang menghasilkan fungsi gelombang satu tingkat di
atasnya. Sedangkan untuk operator penurun jika dioperasikan pada suatu fungsi
gelombang menghasilkan fungsi gelombang satu tingkat di bawahnya[9, 12].
Berdasarkan sifat operator penurun, yaitu jika operator penurun dioperasikan pada fungsi
gelombang tingkat dasar maka hasilnya harus nol, karena tidak ada lagi fungsi gelombang
dibawahnya tingkat dasar
. Sedangkan sifat operator penaik
(14)
atau,
Sehingga diperoleh persamaan fungsi gelombang tingkat dasar sebagai berikut,
Penentuan Spektrum Energi … halaman 116
(15)
dengan N adalah faktor normalisasi. Dan,
(16)
dengan N adalah faktor normalisasi. Berdasarkan sifat operator penaik diatas maka, fungsi
gelombang tingkat atasnya satu dan seterusnya (
menggunakan operasi berantai operator penaik
dasar
dapat ditentukankan dengan
terhadap fungsi gelombang keadaan
.
(17)
Sehingga secara umum persamaan gelombang tereksitasi tingkat ke-n dapat dituliskan
sebagai berikut
(18)
Formula Kuantisasi Supersimetri – WKB (SWKB)
SWKB merupakan supersimetri yang terinspirasi dari metode semiklasik WKB. Berikut
adalah ulasan singkat mengenai konversi matematis metode semiklasik WKB menjadi
SWKB. Formula kuantisasi pendekatan semiklasik WKB pada orde terendah untuk
potensial sistem satu dimensi
adalah[9],
(19)
Dalam SUSY, Hamiltonian tingkat terendah dapat dinyatakan dengan Hamiltonian
Penurun (H -). Sehingga Persamaan (19) dapat ditulis
(20)
Dimana n = 0, 1, 2, ....dan a, b adalah titik balik. Dengan penjabaran sederhana diperoleh,
(21)
Persamaan (18) merupakan persamaan umum tingkat energi SWKB untuk kondisi simetri
yang baik (unbroken symetry).
Potensial Morse dengan Faktor Sentrifugal
Potensial
Morse
merupakan
potensial
hiperbolik,
yang
dinyatakan[2,14],
Penentuan Spektrum Energi … halaman 117
;
(22)
dimana, D merupakan energi disosiasi (peruraian), r adalah jarak orbital elektron terhadap
inti dari molekul beratom dua, dan ro adalah jarak keseimbangan antar inti atom.
Sedangkan dan α adalah konstanta penyesuaian.
Persamaan Schrodinger satu dimensi untuk potensial Morse dengan faktor sentrifugal
diperoleh dari persamaan Schrodinger sistem tiga dimensi pada bagian radial[15] ,
(23)
Jika fungsi gelombang dinyatakan sebagai
, dan
, maka diperoleh
(24)
Jika masing-masing ruas pada Persamaan (24) dikalikan dengan
persamaan menjadi,
, dengan
maka
(25)
Atau dapat ditulis,
(26)
Berdasarkan Persamaan (26), potensial effektif dari potensial Morse dapat dituliskan
sebagai berikut,
(27)
dengan
merupakan faktor gaya sentrifugal. Dimana
orbital dengan.
Karena
, maka
(27) dapat ditulis,
adalah bilangan kuantum
, sehingga Persamaan
(28)
Dengan mengekspansikan faktor
diperoleh,
(29)
Persamaan (29) ini dirubah dalam bentuk eksponensial. Dengan asumsi bahwa suku ke-4
dan seterusnya sangat kecil, maka penyelesaian ini diambil sampai suku ke-3 saja.
Dimisalkan suatu persamaan eksponensial sebagai berikut,
Penentuan Spektrum Energi … halaman 118
(30)
dimana,
, dan
(31)
Jika Persamaan (31) disubtitusikan ke dalam Persamaan (30) diperoleh,
(32)
Dengan membandingkan komponen ruas kiri dan ruas kanan dari Persamaan (32) dapat
diperoleh,
;
(33a)
(33b)
Dan,
(33c)
Dengan metode subtitusi diperoleh,
;
; dan
(33d)
Dengan mensubtitusikan Persamaan (33d) ke dalam Persamaan (30), maka Persamaan
(29) dapat dituliskan sebagai berikut,
(34)
Sehingga secara lengkap persamaan potensial efektif untuk potensial Morse dapat
dituliskan kembali sebagai,
(35)
atau,
(36)
Penentuan Spektrum Energi … halaman 119
dengan,
(37a)
(37b)
(37c)
Berdasarkan bentuk persamaan potensial efektif tersebut, maka Persamaan superpotensial
untuk potensial Morse dengan faktor sentrifugal dapat dimisalkan sebagai berikut,
(38)
Jika Persamaan (38) dioperasikan ke Persamaan (11), diperoleh
(39)
Sehingga persamaan superpotensialnya dapat dituliskan kembali,
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penentuan Spektrum Energi dengan Metode Kuantisasi SWKB
Dengan mengoperasikan Persamaan (40) ke dalam Persamaan (21) diperoleh,
(41)
atau dapat ditulis,
(42)
Jika dimisalkan,
maka,
, sehingga Persamaan (42) dapat ditulis kembali,
(43)
atau dapat ditulis,
Penentuan Spektrum Energi … halaman 120
(44)
Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut:
(45)
dimana solusinya adalah,
(46)
Jika
, maka
dan dapat di cari dengan menggunakan rumus,
(47)
sehingga diperoleh,
(48)
dan,
(49)
Jika Persamaan (48) dan (49) disubtitusikan ke Persamaan (41), maka diperoleh,
(50)
Dengan penjabaran sederhana diperoleh,
(51)
Penentuan Spektrum Energi … halaman 121
Dengan subtitusi Persamaan (51) dan (39) ke dalam Persamaan (10), diperoleh persamaan
umum spektrum energi untuk potensial Morse dengan faktor sentrifugal dengan
menggunakan metode kuantisasi SWKB sebagai berikut,
(52)
Penentuan Spektrum Energi dengan Metode Operator Supersimetri
Penentuan spektrum energi potensial Morse dengan faktor sentrifugal dengan
metode operator SUSY diperoleh berdasarkan pada sifat shape invariance. Dengan
menggunakan Persamaan (8a) dan (8b), dapat ditentukan pasangan potensial supersimetri
dan
(53)
(54)
Dari Persamaan (53) dan Persamaan (54), diketahui bahwa
dan
(55)
Berdasarkan sifat shape invariance Persamaan (7) diperoleh
(56)
Untuk pasangan potensial tingkat atasnya satu dan seterusnya dapat ditentukan dengan
mengoperasikan Persamaan (55) pada Persamaan (7).Kemudian dengan meggunakan
Persamaan (13) diperoleh,
(57)
Dengan subtitusi Persamaan (39) dan (57) ke dalam Persamaan (10), diperoleh persamaan
umum spektrum energi untuk potensial Morse dengan faktor sentrifugal dengan
menggunakan metode operator SUSY sebagai berikut,
(58)
Penentuan Fungsi GelombangPotensial Morse dengan faktor sentrifugal
Penyelesaian persamaan gelombang ini dimulai dari persamaan gelombang tingkat dasar.
Dengan mensubtitusi Persamaan (40) ke dalam Persamaan (14) diperoleh persamaan
gelombang tingkat dasar sebagai berikut,
Penentuan Spektrum Energi … halaman 122
(59)
dengan mengoperasikan operator penaik
pada Persamaan (6) , dan subtitusi Persamaan
(40), dan (59) ke Persamaan (15), fungsi gelombang terkesitasi tingkat satu diperoleh
sebagai berikut,
(60)
KESIMPULAN
Spektrum energi untuk potensial Morse dengan faktor sentrifugal yang diperoleh
menggunakan formula kuantisasi SWKB untuk kondisi simetri yang baik memberikan
hasil yang sama dengan operator supersimetri. Dengan mengaplikasikan operator tangga
turun pada fungsi gelombang tingkat dasar diperoleh fungsi gelombang tingkat dasar,
sedangkan fungsi gelombang tingkat atas satu diperoleh dengan menggunakan operator
tangga naik yang dioperasikan pada fungsi gelombang tingkat dasar dan seterusnya. Baik
spektrum energi maupun fungsi gelombang yang diperoleh hanya bersifat pendekatan
karena faktor potensial atau gaya sentrifugal didekati dengan fungsi berbentuk
eksponensial.
UCAPAN TERIMA KASIH
Penelitian ini didukung oleh Hibah Penelitian Tim Pascasarjana (HPTP) Universitas
Sebelas Maret Surakarta dengan nomor kontrak No. 2345/UN27.16/PN/2012
DAFTAR PUSTAKA
1 Sameer M. Ikhdair. 2009. Rotation and Vibration of Diatomic Molecule in the
Spatially-Dependent Mass Schr¨odinger Equation with Generalized q-Deformed Morse
potential”, arXiv:0904.4366v1.
2 O. M. Al Dossary. 2007. Morse Potenstial Eigen-Energies Through The Asymtotic
Iteration Method. Int. J. Qua. Chem, Vol. 107, pp. 2040-2046.
3 O. Bayrak, et. al. 2007. Exact Analytical Solutions to the Kratzer Potential by the
Asymptotic Iteration Method. Int. J. Qua. Chem, Vol. 107, 5pp. 40–544.
4 M. Aygun , et. al. 2007. Solution of the Radial Schrödinger Equation for the Potential
5
6
7
8
Family
using the Asymptotic Iteration Method. arXiv:mathph/0703040v1, 13 Mar 2007.
J. Sadeghi. 2007. Factorization Method and Solution of the Non-Central Modied
Kratzer Potential. Acta Physica Polonica A, No.1, Vol. 112.
Shi-Hai Dong. 2007. Factorization method in Quantum Mechanics. Springer, Mexico.
R. H. Hammed. 2012. Approximate Solution of Schrödinger Equation With Manning –
Rosen Potential in Two Dimensions by Using the Shifted 1/N Expansion Method.
Journal of Basrah Researches (Sciences), Vol 38. No. 1.
Akaninyene D. Antia, et. al. 2010. Exact Solutions of the Schrödinger Equation with
Manning-Rosen Potential Plus a Ring-Shaped Like Potential by Nikiforov-Uvarov
Method. European Journal of Scientific Research, Vol.46 No.1, pp.107-118.
Penentuan Spektrum Energi … halaman 123
9 F. Cooper, et. al. 2001. Supersymetry in Quantum Mechanics. World Scientific,
Singapore.
10 E. Witten. 1981. Dynamical Breaking of Supersymmetry. Nucl. Phys., B185, pp. 51355.
11 C. M. Fabre and D. Gu´ery-Odelin. 2010. A Class of Exactly Solvable Models to
Illustrate Supersymetry and Test Approximation Schemes in Quantum Mechanics.
12 Suparmi. 2011. Mekanika Kuantum II. Jurusan Fisika Fakultas MIPA, Universitas
Sebelas Maret Surakarta.
13 R. de Lima Rodrigues. 2002. The Quantum Mechanics SUSY Algebra: An Introductory
Review.
14 Siegfried Flügge. 1971. Practical Quantum Mechanics I. Springer-Verlag Berlin
Heidelberg, New York.
15 David J. Griffiths. 1995. Introduction to Quantum Mechanics. Prentice Hall, USA.