bab i bilangan kompleks

1. Bilangan Kompleks
BILANGAN KOMPLEKS
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem bilangan real, tetapi
sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk
persamaan. Oleh karena itu, perlu suatu jenis bilangan baru yang disebut bilangan
kompleks.
Pengertian bilangan kompleks, bidang kompleks dan sifat aljabar bilangan
kompleks yang diuraikan dalam bab ini diharapkan dapat menjadi dasar untuk mempelajari
bab-bab selanjutnya.
Oleh karena itu, setelah membaca Bab I, mahasiswa diharapkan
dapat
 mengerti definisi bilangan kompleks.
 mengerti sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan kompleks.
 menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub, eksponen, pangkat dan
akar.
1.1 Pengertian Bilangan Kompleks
Mengapa perlu bilangan kompleks ?
 x 2  1  0 mempunyai penyelesaian dengan x   .
 x 2  1  0  x 2  1 tidak mempunyai penyelesaian jika x   .
Sehingga
perlu
mengidentifikasi
suatu
bilangan
sehingga
x2 1  0
mempunyai
penyelesaian. Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem bilangan yaitu bilangan
kompleks.
Definisi
Bilangan
Kompleks
Bilangan kompleks z :
 merupakan pasangan berurut x, y  dengan x , y   .
Ditulis : z  x, y  .
 merupakan bilangan yang berbentuk x  iy dengan x , y  
dan i  0,1   1 .
Ditulis : z  x  iy .
Jika z  x, y   x  iy maka
x  Re z  = bagian riil z,
y  Im z  = bagian imajiner z,
i = satuan imajiner dan i 2  1 .
Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu
1. C = himpunan bilangan kompleks
1
1. Bilangan Kompleks
=
z

z  x  iy , x, y   & i 2  1 .
2. Jika Re z   0 dan Im z   0 maka z dinamakan bilangan imajiner murni.
3. Jika Re z   0 dan Im z   0 maka z merupakan bilangan riil.
4. Kesamaan bilangan kompleks.
Misalkan z1  x1  iy1 dan z 2  x2  iy 2 .
z1  z 2 jika dan hanya jika x1  x2 dan y1  y 2 .
a. z  10  2i
Contoh 1
Re z   10 dan Im z   2 .
b. z  i
Re z   0 dan Im z   1. □□
1.2 Bidang Kompleks
Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut
dapat disajikan sebagai titik
x, y 
(sumbu
y (sumbu imajinair).
riil)
dan
sumbu
x, y  ,
sehingga secara geometri
pada bidang kompleks (bidang xy), dengan sumbu x
Selain
itu,
bilangan
kompleks
z  x  iy  x, y  juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik
pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik x, y  .
y (sumbu imajinair)
• z  ( x, y )  x  iy
O
x (sumbu riil)
Gambar 1. Bidang kompleks
1.3 Operasi Aljabar
Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada bilangan
riil.
Operasi Aljabar
pada bilangan
kompleks
Misalkan z1  x1  iy1 dan z 2  x2  iy 2 .
a. Penjumlahan : z1  z 2  x1  x2   i  y1  y2 
b. Pengurangan : z1  z 2  x1  x2   i  y1  y2 
c. Perkalian :
2
1. Bilangan Kompleks
z1 z 2  x1  iy1  x2  iy 2 
 x1 x2  y1 y 2   i x1 y 2  x2 y1 
d. Pembagian :
z1
x x  y1 y 2
x y x y
 z1 z 21  1 22
 i 2 21 1 2 2 , z 2  0
2
z2
x2  y 2
x2  y 2
Perlu diperhatikan :
1.  z ( negatif z ).
Jika z  x  iy maka  z   x  iy .
2. z 1 
1
( kebalikan z )
z
Jika z  x  iy maka z 1 
Sifat Operasi
Aljabar
x
y
i 2
.
2
x y
x  y2
2
a. Hukum komutatif
z1  z 2  z 2  z1
z1 z 2  z 2 z1
b. Hukum asosiatif
z1  z 2   z3  z1  z 2  z3 
z1 z 2  z3  z1 z 2 z3 
c. Hukum distributif
z1 z 2  z 3   z1 z 2  z1 z 3
d. Elemen netral dalam penjumlahan ( 0  0  0 i )
z 0  0 z  z
e. Elemen netral dalam perkalian ( 1  1  0 i )
z .1  1. z  z
1.4 Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan
Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan
konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.
Definisi
modulus
(nilai mutlak)
 Modulus (nilai mutlak) z  x  iy didefinisikan sebagai bilangan
riil non negatif
x 2  y 2 dan ditulis sebagai
Modulus z =
z =
3
x2  y2 .
1. Bilangan Kompleks
Secara geometri, z menyatakan jarak antara titik x, y  dan titik asal.
Misalkan z1  x1  iy1 dan z 2  x2  iy 2 . Jarak antara z1 dan z 2 didefinisikan dengan
z1  z 2 
x1  x2 2   y1  y 2 2 .
Selanjutnya, persamaan
z  z0  R menyatakan bilangan kompleks z yang bersesuaian
dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat z 0 dan jari-jari R.
 Bilangan kompleks sekawan dari
Definisi bilangan
kompleks sekawan
z  x  iy didefinisikan
sebagai bilangan kompleks z  x  iy .
Secara geometri, bilangan kompleks sekawan z  x  iy dinyatakan dengan titik
x, y 
dan merupakan pencerminan titik x, y  terhadap sumbu riil.
Contoh 2
a. 3  4i  32  (4) 2  5 .
z  3  3i  2 menyatakan lingkaran dengan pusat z 0  3,3
b.
dan jari-jari R  2 .
c. Jika z  3  4 i maka z  3  4 i . □□
Sifat Modulus dan
Bilangan Kompleks
Sekawan
a.
z1 z 2  z1
z2
b. Re z   Re z   z
c. Im z   Im z   z
d.
e.
f.
z
z1
 1
z2
z2
zz
z  z
g. z1  z 2  z1  z 2
h. z1  z 2  z1  z 2
i.
z1 z 2  z1 z 2
j.
 z1  z1
  
 z2  z2
4
1. Bilangan Kompleks
k. Re z  
2
zz  z
l.
zz
zz
, Im z  
2
2i
m. Pertidaksamaan Segitiga : z1  z 2  z1  z 2
n.
z1  z 2  z1  z 2
o.
z1  z 2  z1  z 2
p.
z1  z 2    z n  z1  z 2    z n .
1.5 Bentuk Kutub
Bentuk kutub
bilangan kompleks
Bilangan kompleks z  x  iy dapat disajikan dalam koordinat
r,  .
Misalkan x  r cos dan y  r sin 
z  x  iy dapat dinyatakan dalam bentuk kutub
kutub
maka
z  r cos   i r sin   r cos   i sin  
 r cis 
dengan
r = modulus (nilai mutlak) z =
z
=
x2  y2 .
 = argumen dari z = arg z
= arc tg
y
y
, x  0.
x
• z = x+ iy
r
θ
x
Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan 2 (sesuai dengan
kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama (principal value) dari arg z ditulis
Arg z dengan    Arg z   adalah tunggal.
Jelas, arg z  Arg z  2n , n  0,  1,  2,  . Perlu diperhatikan bahwa :
z  r cos   i sin  
 r cis 
arg z  
z  r cos  i sin  
 r cis   
arg z  
5
1. Bilangan Kompleks
Operasi aljabar
bentuk kutub dan
sifat argumen
Misalkan z1  r1 cos1  i sin 1  dan z 2  r2 cos 2  i sin  2 
dengan r1  z1 , r2  z 2 , arg z1  1 , arg z 2   2 .
a. Perkalian
z1 z 2  r1r2 cis 1   2 
 z1 z 2 cis 1   2 
arg z1 z 2  arg z1  arg z 2 .
b. Pembagian z 2  0
z1 r1
z
 cis 1   2   1 cis 1   2  .
z 2 r2
z2
arg
z1
 arg z1  arg z 2 .
z2
c. Invers sebarang bilangan kompleks z  r e
z 1 
arg
Contoh 3
Diketahui z 
i
yaitu
1 1
 cis    .
z r
1
  arg z .
z
(1  i ) (1  i 3 )
. Tentukan bentuk kutub dari z dan z .
1 i
Penyelesaian :
Menggunakan sifat argumen diperoleh :
z
( 2 cis


) (2 cis )
4
3  2 cis      3   2 cis     .




3
4 3 4 
6


2 cis
4
 
z  2 cis   . □□
6
Selain dalam bentuk umum z  x  iy dan bentuk kutub z  r cos  i sin   , bilangan
kompleks z juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.
Bentuk
eksponen
Bentuk eksponen bilangan kompleks z  x  iy yaitu
z  re
dengan e
Operasi
aljabar
i
i
 cos  i sin  dinamakan rumus Euler.
Misalkan z1  r1 e
i 1
dan z 2  r2 e
6
i 2
.
1. Bilangan Kompleks
bentuk
eksponen
a. Perkalian
z1 z 2  r1 r2 e
i 1 i  2
i (   2 )
e
 r1 r2 e 1
b. Pembagian
z1 r1 i (1   2 )
 e
z 2 r2
c. Invers sebarang bilangan kompleks z  r e
z 1 
Bentuk
pangkat
yaitu
1 1  i
 e
z r
Misalkan z  r e
i
, maka menggunakan aturan pangkat seperti pada
bilangan riil diperoleh
z n  (r e
Rumus
Moivre
i
i n
i n
, n  0,  1,  2, 
)  rn e
Jika r  1 , maka bentuk pangkat di atas menjadi z n  ( e
atau ( e
i n
i n
,
) e
i n
i n
, n  0,  1,  2,  . Selanjutnya dapat ditulis dalam
) e
bentuk (cos   i sin  ) n  cos n  i sin n yang disebut Rumus Moivre .
1.6 Bentuk Akar
Bentuk
akar
Misalkan
z  r cis  , akar pangkat n dari bilangan kompleks z
1
ditulis z n atau n z . Jika diberikan bilangan kompleks z  0 dan n
1
bilangan bulat positif, maka diperoleh n buah akar untuk z n yaitu
  2k 
   2k
z  n r cos
 i sin
, k  0, 1, 2, , (n  1) .
k
n
n 

Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n
beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari n r .
7
1. Bilangan Kompleks
Contoh 4
Tentukan semua akar dari 3  8i dan gambarkan akar-akar tersebut
dalam bidang kompleks.
Penyelesaian :
Misalkan z  8 i , maka r  z  8 dan   arctg
8

 ,
0
2




  2k
  2k 

z  3  8 i  3 8 cos 2
 i sin 2
 , k  0, 1, 2.
k
3
3




Sehingga diperoleh






z  3 8 cos 2  i sin 2
0
3
3





 

  2cos ( )  i sin(  )  3  i .
6
6 




 

z  2 cos ( )  i sin( )  2 i .
1
2
2 

7
7 

z  2 cos ( )  i sin(
)   3 i .
2
6
6 

2
y
z1
x
z2
. □□
z0
Ringkasan
Bilangan kompleks z  x  iy mempunyai bentuk kutub z  r cis  , dan bentuk
eksponen z  r e
i
, dengan   arg z .
8
1. Bilangan Kompleks
2. FUNGSI ANALITIK
Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila f (z ) ada di semua titik
pada suatu lingkungan z0. Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks
w
= f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan persamaan Cauchy – Riemann. Sebelum
mempelejari persamaan Cauchy-Riemann akan diperkenalkan terlebih dahulu
pengertian tentang limit fungsi dan turunan fungsi pada bilangan kompleks.
Oleh karena itu, setelah membaca Bab 2, mahasiswa diharapkan dapat
 Mengerti definisi fungsi analitik
 Menghitung nilai limit dari fungsi kompleks
 Menentukan kekontinuan fungsi
 Mencari turunan fungsi
 Menentukan fungsi analitik dan fungsi harmonik
2.1 Fungsi Peubah Kompleks
9
1. Bilangan Kompleks
Definisi
Misalkan S himpunan bilangan kompleks. Fungsi kompleks f pada S
adalah aturan yang mengawankan setiap z  S dengan biangan
kompleks w.
Notasi w = f(z).
Dalam hal ini, S disebut domain dari f dan z dinamakan variabel
kompleks.
Misalkan w = u + iv adalah nilai fungsi f di z = x + iy, sehingga
u + iv = f(x + iy).
Masing-masing bilangan riil u dan v bergantung pada variabel riil x dan y, sehingga
f(z) dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari variabel riil x dan y, yaitu
f(z) = u(x,y) + iv(x,y).
Jika koordinat polar r dan θ pada x dan y digunakan, maka
u + iv = f(reiθ),
dimana w = u + iv dan z = reiθ. Sehingga f(z) dapat ditulis menjadi
f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ).
Contoh 1
Misalkan w = f(z) = z2 +3z.
Tentukan u dan v serta hitung nilai dari f pada z = 1 + 3i. Nyatakan juga u
dan v dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
Misal z = x + iy, sehingga
f ( z )  f ( x  iy )  ( x  iy ) 2  3( x  iy )  x 2  3x  y 2  i(2 xy  3 y)
Jadi u  x 2  3x  y 2 dan v  2 xy  3 y .
Untuk z = 1 + 3i maka f ( z )  f (1  3i)  (1  3i) 2  3(1  3i)  5  15i .
Jadi u(1,3) = -5 dan v(1,3) = 15.
Jika koordinat polar digunakan dimana z = reiθ, maka
f ( z )  f (re i )  (re i ) 2  3(re i )  r 2 e 2i  3re i
 r 2 cos 2  ir 2 sin 2  3r cos   3ir sin 
 r 2 cos 2  3r cos   i (r 2 sin 2  3r sin  )
Jadi u  r 2 cos 2  3r cos  dan v  r 2 sin 2  3r sin  .
2.2 Pemetaan / Transformasi
10
1. Bilangan Kompleks
Sifat-sifat dari fungsi bernilai riil dapat dilihat dari grafik fungsinya. Tetapi
untuk w = f(z), dimana w dan z bilangan kompleks, tidak ada grafik yang
menyatakan fungsi f karena setiap bilangan z dan w berada di bidang bukan di
garis bilangan.
Definisi
Transformasi
Korespondensi antara titik-titik di bidang-z dengan titik-titik
di bidang-w disebut pemetaan atau transformasi dari titiktitik di bidang-z dengan titik-titik di bidang w oleh fungsi f.
Pemetaan dapat berupa:

Translasi / pergeseran

Rotasi / perputaran

Refleksi / pencerminan
Sebagai contoh, pemetaan

w = z + 1 = (x+1) +iy, dimana z = x + iy, mentranslasikan / menggeser setiap
titik z satu satuan ke kanan.


 
w  iz  r exp i   , dimana z = reiθ dan i = eiπ/2, merotasi / memutar
2 

setiap titik taknol z ke kanan dari pusatnya berlawanan arah jarum jam.

w  z  x  iy merefleksikan / mencerminkan setiap titik z = x + iy pada sumbu
riil.
2.3 Limit
Secara umum definisi limit dalam kompleks sama dengan definisi limit pada bilangan
riil dalam kalkulus. Kalau pada bilangan riil bila x mendekati x0 hanya mendekati sepanjang
garis riil sedangkan pada bilangan kompleks bila z mendekati z0 akan mendekati dari semua
arah dalam bidang kompleks.
Definisi Limit
lim f ( z)  w0 dibaca “limit f(z) untuk z menuju z0 sama
z  z0
dengan w0 “, dan didefinisikan sebagai berikut:
lim f ( z )  w0    0   0  0  z  z 0   berlaku
z  z0
11
1. Bilangan Kompleks
f ( z)  w0   .
Secara geometri definisi di atas mengatakan bahwa untuk setiap lingkungan- dari
w0, yaitu |w - w0|<  ada suatu lingkungan- dari z0, yaitu 0 < |z - z0| < 
sedemikian sehingga setiap titik z pada image w berada pada lingkungan-.
Perhatikan Gambar 1 di bawah ini.
Gambar 1
Dalam hal ini

Jika limit tersebut ada, maka limitnya tunggal

z mendekati z0 dari berbagai arah atau lintasan

Jika untuk lintasan yang berbeda, nilai f(z) untuk z menuju z0 berbeda maka
lim f ( z) tidak ada
z z0

f(z) tidak disyaratkan terdefinisi di z = z0
12
1. Bilangan Kompleks
Contoh 2
Misalkan f ( z ) 
iz
i
, z  1 . Buktikan lim f ( z )  .
z 1
2
2
Bukti:
Ambil ε > 0 sebarang. Pilih   2  z  1   berlaku
f ( z) 
i
iz i
i ( z  1) i z  1 1 z  1
  


2
2 2
2
2
2

z 1
2


2

2

2
Jadi untuk setiap z dan  positif berlaku f ( z ) 
i
  bila
2
0  z  1  2 , lihat gambar 2.
Sehingga menurut definisi limit terbukti lim f ( z ) 
z 1
i
.
2
Gambar 2
Contoh 3
Misalkan f ( z ) 
z
. Buktikan lim f ( z ) tidak ada.
z0
z
Bukti:
Akan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan yang berbeda.

Pendekatan sepanjang sb-x positif, dalam hal ini y = 0.
lim f ( z ) 
z 0

lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
x  iy
x  i.0
 lim
 lim 1  1 .
(
x
,
0
)
x  iy
x  i.0 x0
Pendekatan sepanjang sb-y positif, dalam hal ini x = 0.
lim f ( z ) 
z 0
x  iy
0  i. y
 lim
 lim  1  1 .
( x , y ) ( 0 , 0 ) x  iy
( 0 , y ) 0  i. y
y 0
lim
13
1. Bilangan Kompleks

Pendekatan sepanjang garis y = x.
lim f ( z ) 
z 0
lim
( x , x ) ( 0 , 0 )
x  iy
x  i.x
x(1  i) 1  i
.
 lim
 lim

x

0
x

0
x  iy
x  i.x
x(1  i) 1  i
Karena pendekatan sepanjang arah yang berbeda menghasilkan
nilai yang tidak sama maka lim f ( z ) tidak ada.
z0
Teorema 1 Andaikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 , ω0 = u0 + iv0 maka
lim f ( z )  0

z  z0
Bukti:
(  ) Misalkan
lim
( x , y ) ( x 0 , y 0 )
lim
( x , y )  ( x0 , y 0 )
u( x, y)  u0
u ( x, y )  u 0
  0 1 ,  2  u  u 0 
v  v0 


2
dan
dan
lim
( x , y ) ( x 0 , y 0 )
lim
( x , y )  ( x0 , y 0 )
v( x, y)  v0
v( x, y )  v0 , artinya
,0  ( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   1
,0  ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   2
2
Pilih   min( 1 ,  2 ) .
Karena
(u  iv)  (u0  iv 0 )  (u  u0 )  i(v  v0 )  u  u0  v  v0
dan
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( x  x0 )  i( y  y0 )  ( x  iy )  ( x0  iy 0 )
 
maka (u  iv )  (u 0  iv 0 )     bila
2 2
0  ( x  iy )  ( x0  iy 0 )   .
Jadi lim f ( z)  0 .
z  z0
() Misalkan lim f ( z)  0 , artinya
z  z0
  0  (u  iv)  (u0  iv 0 )   bila 0  ( x  iy )  ( x0  iy 0 )   .
Perhatikan bahwa
u  u 0  (u  u 0 )  i (v  v0 )  (u  iv )  (u 0  iv 0 )
v  v0  (u  u 0 )  i (v  v0 )  (u  iv )  (u 0  iv 0 )
dan
( x  iy )  ( x0  iy 0 )  ( x  x0 )  i( y  y0 )  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2
Sehingga u  u0  
dan
v  v0   bila
0  ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   .
Jadi
lim
( x , y )  ( x0 , y 0 )
u ( x, y )  u 0
dan
14
lim
( x , y )  ( x0 , y 0 )
v ( x, y )  v 0 .
1. Bilangan Kompleks
Teorema 2 Andaikan lim f ( z)  A , lim g ( z)  B maka
z  z0



z  z0
lim  f ( z )  g ( z )  A  B .
z  z0
lim f ( z) g ( z )  AB .
z  z0
lim
z  z0
f ( z) A
 .
g ( z) B
2.4 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak hingga.Bidang
kompleks yang memuat titik tersebut disebut bidang kompleks yang diperluas.
Teorema 3
Jika z0 dan w0 titik-titik pada bidang z dan w, maka
1
1) lim f ( z )   jhj lim
0
z  z0
z  z0 f ( z )
1
2) lim f ( z )  w0 jhj lim f    w0
z 
z 0
z
1
3) lim f ( z )   jhj lim
0
z 
z 0
f (1 / z )
Bukti:
1) Misalkan lim f ( z )   , artinya   0  f ( z ) 
z  z0
1

bila
0 < |z – z0| < δ ............…………………………………..(#).
1
Akan dibuktikan lim
 0.
z  z0 f ( z )
Titik w = f(z) berada di suatu lingkungan-ε ,yaitu |w| > 1/ε
dari ∞ bila z ada di lingkungan 0 < |z – z0| < δ dari z0.
Sehingga persamaan (#) dapat ditulis menjadi
1
 0   bila 0 < |z – z0| < δ.
f ( z)
1
Jadi lim
 0.
z  z0 f ( z )
2) Misalkan lim f ( z )  w0 ,
z 
artinya   0  f ( z)  w0   bila |z| >1/δ.............(*).
1
Akan dibuktikan lim f    w0 .
z 0
z
Pada persamaan (*) rubah z dengan 1/z, maka akan
15
1. Bilangan Kompleks
1
diperoleh f    w0   bila 0 < |z – 0| < δ.
z
1
Jadi lim f    w0 .
z 0
z
3) Misalkan lim f ( z )   ,
z 
artinya   0  f ( z ) 
1

bila |z| > 1/δ ……………....(**).
1
 0.
z 0
f (1 / z )
Pada persamaan (**) rubah z dengan 1/z, maka akan
1
diperoleh
 0   bila 0 < |z – 0| < δ.
f (1 / z )
1
Jadi lim
 0.
z 0
f (1 / z )
Akan dibuktikan lim
2.5 Kekontinuan
Definisi Kontinu
Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z0 jika



lim f ( z ) ada
z z 0
f(z0) ada
lim f ( z )  f ( z 0 )
z  z0
Dengan kata lain f(z) kontinu di z = z0 jika
lim f ( z )  f ( z 0 )    0   0  z  z 0   berlaku
z  z0
f ( z)  f ( z0 )   .
Fungi kompleks f(z) dikatakan kontinu pada region D jika f(z) kontinu pada tiap
titik z dalam D. Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kontinu di z0 = x0 + iy0 ,
 u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (x0,y0)

lim
( x , y )  ( x0 , y 0 )
Sifat-sifat fungsi
kontinu
u ( x, y )  u ( x 0 , y 0 )
dan
lim
( x , y )  ( x0 , y 0 )
v ( x, y )  v ( x 0 , y 0 ) .
1) Fungsi konstan kontinu pada bidang kompleks
2) Jika f dan g kontinu pada daerah D maka
16
1. Bilangan Kompleks
a) f+g kontinu
b) f-g kontinu
c) f.g kontinu
d) f/g kontinu kecuali di z 0  D sehingga g(z0) = 0.
2.6 Turunan
Definisi Turunan
Turunan fungsi f di z0, ditulis dengan f ( z 0 ) didefnisikan
sebagai berikut:
f ( z 0 )  lim
z 0
f ( z 0  z )  f ( z 0 )
jika limitnya ada.
z
Notasi untuk turunan f di z adalah f ( z ) 
d
f ( z) .
dz
Aturan turunan pada bilangan riil berlaku juga pada bilangan kompleks.
Aturan
Turunan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Contoh 4
d
(c )  0
dz
d
( z)  1
dz
d
c( f ( z )  cf ( z )
dz
d n
( z )  nz n 1 , z  0, n  
dz
d
 f ( z )  g ( z )  f ( z )  g ( z )
dz
d
 f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z )
dz
d  f ( z )  f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z )

dz  g ( z ) 
g ( z )2
Tentukan turunan dari fungsi berikut:
1. f(z) = (2z2 + i)5
2. f ( z ) 
( z  i)
pada i
z i
17
1. Bilangan Kompleks
Penyelesaian :
1. Dengan menggunakan aturan turunan (4) dan aturan rantai
diperoleh f ( z )  5(2 z 2  i) 4 .4 z  20 z (2 z 2  i) 4 .
2. Dengan menggunakan aturan turunan (7) diperoleh
f ( z ) 
f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z )
g ( z)
2

1( z  i)  ( z  i)1
z  i 
2

2i
( z  i) 2
Sehingga untuk z = i diperoleh
f (i ) 
Aturan
Rantai
2i
2i
1
 2   i.
2
2
(i  i )
4i
Misalkan f mempunyai turunan di z0, dan g mempunyai turunan di
f(z0). Maka fungsi F(z) = g[f(z)] mempunyai turunan di z0, dan
F ( z0 )  g [ f ( z0 )]. f ( z0 ).
Dengan kata lain, jika w = f(z) dan W = g(w) = F(z), maka
menurut aturan rantai
dW dW dw

.
dz
dw dz
Contoh 5
Tentukan turunan dari fungsi
f(z) = (2z2 + i)5 dengan
menggunakan aturan rantai!
Penyelesaian:
Misalkan w = 2z2 + I dan W = w5. Maka menurut aturan rantai
dW dW dw

= (5w4)(4z) = 20z(2z2 + i)4.
dz
dw dz
2.7 Persamaan Cauchy – Riemann
Persamaan Cauchy – Riemann merupakan persamaan yang sangat penting
pada analisis kompleks. Karena persamaan ini digunakan untuk menguji
keanalitikan suatu fungsi kompleks
w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y).
18
1. Bilangan Kompleks
Definisi Persamaan
Cauchy - Riemann
Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya
jika turunan parsial pertama dari u dan v
memenuhi
persamaan Cauchy – Riemann, yaitu
ux  vy
u y  v x
dengan u x 
Contoh 6
u
x
uy 
u
y
vx 
v
x
vy 
v
.
y
Misalkan f(z) = z2 = x2 – y2 + 2ixy.
Apakah f(z) analitik untuk semua z ?
Penyelesaian :
f(z) analitik jika memenuhi persamaan Cauchy – Riemann,
ux  vy
u y  v x .
Perhatikan bahwa
u = x2 – y2 dan v = 2xy. Maka ux = 2x = vy dan uy = -2y = -vx. Karena
memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk semua z.
Teorema 4
Misalkan f(z) = u (x,y) + iv (x,y) terdefinisi dan kontinu di suatu
lingkungan dari z = x + iy dan mempunyai turunan di z maka ux ,
vy , uy , vx ada dan memenuhi persamaan Cauchy - Riemann
ux  vy
Teorema 5
u y  v x .
Jika dua fungsi kontinu yang bernilai riil u(x,y) dan v(x,y)
mempunyai turunan parsial pertamanya kontinu dan memenuhi
persamaan Cauchy – Riemann dalam domain D maka fungsi
kompleks f(z) = u (x,y) + iv (x,y) analitik di D.
19
1. Bilangan Kompleks
Contoh 7
Apakah f(z) = z3 analitik?
Penyelesaian
Perhatikan bahwa
u = x3 – 3xy2 dan v = 3x2y – y3. Maka ux = 3x2 – 3y2 = vy dan
uy = -6xy = -vx. Karena memenuhi persamaan C-R maka f analitik
untuk semua z.
2.8 Fungsi Analitik
Definisi Fungsi
Analtik
Fungsi f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau reguler atau
monogenik) di titik z0 apabila f’(z) ada di semua titik pada
suatu lingkungan z0.
Teorema 5
Misal f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Andaikan
i.
ux , vy , uy , vx kontinu di semua titik dalam lingkungan
tertentu N dari titik z0
ii.
persamaan Cauchy- Riemann u x  v y
u y  v x berlaku
di setiap titik di N
maka f(z) analitik di z0.
Contoh 8
Buktikan f(z) = | z | 2 tidak analitik
Bukti:
Karena f hanya mempunyai turunan di z = 0 atau f’(z) tidak
ada pada persekitaran z = 0.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan

Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik pada S.

Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi menyeluruh
/fungsi utuh (entire function).

Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan titik pada
bidang datar yang membuat f analitik.
20
1. Bilangan Kompleks
Contoh 9
Misalkan f ( z ) 
z3  z 1
. Apakah f(z) analitik?
z2 1
Penyelesaian:
f’(z) ada di semua z kecuali di z2 + 1 = 0 atau z = ± i. Jadi
f(z) analitik kecuali di z = ± i.
Definisi Titik
Singular
Titik z0 dinamakan titik singular bagi f jika dan hanya jika
f gagal menjadi analitik pada z0 tetapi setiap lingkungan z0
memuat paling sedikit satu titik yang membuat f analitik.
Contoh 10
Misalkan f ( z ) 
2z  1
. Tentukan titik singular dari f dan
z3  z
tentukan dimana saja f(z) analitik!
Penyelesaian:
f’(z) ada di semua z kecuali di z3 + z = 0 atau di z = 0
dan di z = ± i . Sehingga titik singular dari f adalah di
z = 0 dan
di z = ± i.
f(z)
analitik
di
semua z
kecuali di z3 + z = 0 atau di z = 0 dan di z = ± i .
2.9 Fungsi Harmonik
Definisi Fungsi
Harmonik
Fungsi riil H(x,y) yang mempunyai turunan parsial orde 1
dan 2 yang kontinu dan memenuhi persamaan Laplace
H xx ( x, y )  H yy ( x, y )  0 disebut fungsi Harmonik.
Contoh 11
Misalkan u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy. Apakah u dan v
fungsi harmonik?
Penyelesaian:
21
1. Bilangan Kompleks
Perhatikan bahwa:
ux = 2x
vx = 2y
uxy = 0
vxy = 2
uy = -2y
vy = 2x
uyx = 0
vyx = 2
uxx = 2
vxx = 0
uyy = -2
vyy = 0
Karena ux = 2x = vy , uy = -2y = -vx , uxx + uyy = 2 + (-2) = 0
dan vxx + vyy = 0 + 0 = 0 dimana u dan v memenuhi
persamaan Laplace maka u dan v fungsi harmonik.
Definisi Fungsi
Harmonik Sekawan
Misalkan f(z) = u + iv. v disebut fungsi harmonik sekawan
Contoh 12
Misalkan u(x,y) = y3 – 3x2y. Tentukan fungsi harmonik
dari u jika u fungsi harmonik dan v fungsi harmonik.
sekawan dari u.
Penyelesaian:
ux = -6xy dan uy = 3y2 – 3x2. Menurut persamaan cauchy –
Riemann diperoleh -6xy = ux = vy.
v( x, y )   (6 xy)dy  3xy 2  h( x)
Sehingga
atau
……….(1)
vx = -3y2 + h’(x).
Syarat persamaan Cauchy – Riemann yang kedua harus
dipenuhi, yaitu uy = -vx. Sehingga

3 y 2  3 x 2    3 y 2  h( x )

3 y 2  3 x 2  3 y 2  h( x )
h ( x)  3 x 2
h( x)   3 x 2 dx  x 3  c
Dari (1) dan (2) diperoleh
22
..........…………………………(2)
1. Bilangan Kompleks
v(x,y) = -3xy2 + x3 + c yang merupakan fungsi harmonik
sekawan dari u.

Contoh 13
Misalkan v  x 2  y 2

2
. Apakah fungsi tersebut harmonik?
Jika ya, tentukan fungsi analitik sekawan dari
f(z) = u (x,y) + iv (x,y).
Penyelesaian:
Akan diselidiki apakah v merupakan fungsi harmonik atau
bukan.
Perhatikan bahwa:
vx = 2(x2 – y2 )2x = 4x3 – 4xy2
vy = 2(x2 – y2 )(-2y) = -4x2 + 4y3
vxx = 12x2 – 4y2 dan vyy = -4x2 + 12y2 .
vxx dan vyy kontinu pada semua z, tetapi tidak memenuhi
persamaan Laplace, yaitu
vxx + vyy = 8x2 + 8y2 = 8(x2 +y2 ) ≠ 0. Jadi v bukan fungsi
harmonik.
Soal – soal Latihan
1. Tuliskan
fungsi
f ( z)  z 
1
z
,z  0
kedalam
bentuk
f(z) =
u(r,θ) + iv(r,θ).
2. Misalkan a dan b konstanta kompleks. Gunakan definisi limit untuk
membuktikan
23
1. Bilangan Kompleks
a) lim (az  b)  az 0  b
z  z0
b) lim ( z 2  b)  z 0  b
2
z  z0
3. Buktikan teorema 2 pada bagian 2.3
4. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan lim z n  z 0
z  z0
n
dimana n
bilangan asli.
5. Tentukan f (z ) pada persamaan
a) f ( z )  (1  4 z 2 ) 3
b) f ( z ) 
(1  z 2 ) 4
z2
,z  0
z2

6. Misalkan u dan v bilangan riil dan misalkan f ( z )   z
 0
bila
bila
z  0 . Buktikan
z0
bahwa fungsi tersebut memenuhi persamaan Cauchy – Riemann pada z =
(0,0).
24