materi-MATEMATIKA

BAB 1
MATRIKS
A. Determinan Matriks
Misalkan A adalah matriks kuadrat maka determinan matriks tersebut dinyatakan dengan
det(A) atau | A |. Determinan A dikatakan berordo n, jika A merupakan matriks kuadrat berordo
(n x n)
Cara menghitung nilai determinan suatu matriks :
1. Determinan Matriks berordo Satu
Misalkan A adalah matriks bujur sangkar berordo 1
A = [a11], maka det A = | A | = a11
2. Determinan Matriks berordo dua dan tiga (2x2, 3x3)
Determinan matriks yang berordo 2x2 didefinisikan sebagai :
A 
a11 a12
 a11 a22  a12 a21
a21 a22
Sebagai contoh :
  2  3
 adalah :
Determinan dari matriks A  
 1 4
A 
2 3
1
4
  2 4   3 1   5
Determinan matriks yang berordo 3x3
 a11 a12 a13 


Jika A   a 21 a 22 a 23  maka nilai determinan dari matriks A adalah:
a a

 31 32 a 33 
Dengan Cara Sarrus :
a11 a12 a13
a11 a12 a13 a11 a12
A  a21 a22 a23  a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33
a31 a32 a33 a31 a32
det A  a11 a22 a33  a12 a23 a32  a13 a23 a32  a13 a22 a31  a11 a23 a32  a12 a21 a33
Sebagai contoh :
1 0 3 


Jika matriks A   2 1 4  maka nilai determinannya adalah :
0 2 0


1 0 3
A  2 1 4
0 2 0
1 0 3 1 0

2 1 4
2 1
0 2 0
0 2
det A  1.1.0  0.4.0  3.2.2  3.1.0  1.4.2  0.2.0
det A  0  0  12  0  8  0  4
Catatan : Cara Sarrus hanya boleh digunakan pada matriks 3 x 3
3. Nilai Determinan dengan Kofaktor
Untuk mencari nilai matriks berordo nxn dapat diselesaikan dengan cara menggunakan
kofaktor, tetapi haruslah dikenal dulu minor dari elemen matriks. Minor dari elemen aij, dimana
aij merupakan satu elemen dari matriks kuadrat A, dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan sebagai
determinan dari bagian matriks A diluar baris ke-i dan kolom ke-j. Bilangan (-1)i+j . Mij
dinyatakan dengan cij dan disebut kofaktor dari elemen aij :
cij = (-1)i+j . Mij
Determinan dari matriks kuadrat A dengan ordo nxn dapat dihitung dengan mengalikan
elemen-elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan
hasil-hasil kali yang dihasilkan, yakni untuk setiap 1  i  n dan 1  j  n , maka :
A  a1 j c1 j  a2 j c2 j  ...  anj cnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j), dan
A  ai1 ci1  ai 2 ci 2  ...  ain cin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i)
Sebagai contoh :
1 0 3 


Jika matriks A   2 1 4  maka nilai determinannya adalah :
0 2 0


a) Dengan mempergunakan baris ke-1 (i=1)
Det A = | A | = a11 c11 + a12c12 + a13c13
M 11 
1 4
M 12 
2 4
M 13 
2 0
0 0
21
0 2
 1. 0  4.2   8
 2 . 0  4 .0  0
 2 . 2  1 .0  4
cij = (-1)i+j . Mij
c11 = (-1)1+1 . (-8) = -8
c12 = (-1)1+2 . (0) = 0
c13 = (-1)1+3 . (4) = 4
A  a11c11  a12 c12  a13 c13
 1. (8)  0 . 0  3. (4)
4
b) Dengan mempergunakan kolom ke-1 (j=1)
M 11 
1 4
M 21 
0 3
M 31 
0 3
2 0
2 0
 1. 0  4.2   8
 0 . 0  3 .2   6
 0 . 4  3 .1   3
1 4
cij = (-1)i+j . Mij
c11 = (-1)1+1 . (-8) = -8
c21 = (-1)2+1 . (-6) = 6
c31 = (-1)3+1 . (-3) = -3
A  a11c11  a 21 c 21  a31 c31
 1. (8)  2 . 6  0 .  3
4
Contoh Lain` :
3

2
Jika matriks A  
5

2

4 2 7

3 3 2
maka nilai determinannya adalah :
7 3 9

3 2 3 
Jawab :
Dengan menggunakan bari ke-1 (i=1)
3 3 2
 3 9
7 9
7 3 
c11  (1)11 7 3 9   1 3
3
2

3 3
3 2 
 2 3
3 2 3
 3 (9  18)  3(21  27)  2(14  9)
 3(9)  3(6)  2(5)
1
2 3 2
c12  (1)
1 2
 3 9
5 9
5 3 
5 3 9   1 2
3
2

2 3
2 3
2 2 

2 2 3
  2 (9  18)  3(15  18)  2(10  6)
  2(9)  3(3)  2(4)
  (18  9  8)
1
2 3 2
c13  (1)
1 3
 7 9
5 9
5 7
5 7 9   1 2
3
2

3 3
2 3
2 3

2 3 3
 2 (21  27)  3(15  18)  2(15  14)
 2(6)  3(3)  2(1)
 1
2 3 3
c14  (1)
1 4
 7 3
5 3
5 7 
5 7 3   1 2
3
3

3 2
2 2
2 3 

2 3 2
  2 (14  9)  3(10  6)  3(15  14)
  2(5)  3(4)  3(1)
  10  12  3
 1
A  a 11  a 12  a 13  a 14
 3(1)  4(1)  2(1) 7(1)
 2
Jadi det(A) = -2
Soal Latihan 1
1. Hitung determinan dari matriks – matriks berikut ini :
2 1 1 


a.  0 1 3 
1 4 4 


2
1 
k 1


k 2
3 
b.  2
 2
1
k  3 

2. Diketahui :
1 2 4


A  5 1 2
3 2 1


Hitung determinan matriks A dengan cara :
a. Sarrus
b. Kofaktor
- Menggunakan baris ke-1 (i=1)
- Menggunakan kolom ke-1 (j=1)
3. Carilah semua nilai  dimana determinan berikut sama dengan 0
4 
2  


3   
 3
1 2
 . Tentukan semua minor dan matriks kofaktor matriks P
4. Diberikan Suatu matriks P = 
3
4


5. Diberikan suatu matriks M =
1 2 1 


 2 3 0  . Tentukan semua minor dan matriks kofaktor
3 4 4


matriks M
6. Diberikan suatu matriks M =
1 6  3 


  2 7 1 . Tentukan semua minor dan matriks kofaktor
3 1 4 


matriks M
7. Dengan menggunakan kofaktor cari determinan dari matriks A berikut :
 2 3

A= 
 2 0
8. Dengan menggunakan kofaktor cari determinan dari matriks A berikut :
2 1 1 


A=  0 1 3 
1 4 4 


B. INVERS MATRIKS
a b 
 , maka matriks A akan mempunyai invers jika det(A)  0 atau  A = a.d –
Jika A = 
c d 
b.c  0.
Secara umum hubungan ini dinyatakan :
a b 
1  d  b
 , maka A-1 =


Jika A = 
det( A)   c a 
c d 
Keterangan :
A-1
= Invers dari matriks A
det(A) = determinan dari matriks A
Contoh:
3 5
 , tentukan A-1 !
Diketahui A = 
1
2


Jawab:
det(A) = ad – bc = 3.2 – 5.1 = 6 – 5 = 1
3 5
1  d  b
  A-1 =


A = 
det( A)   c a 
1 2
1  2  5  2  5

 =
= 
1   1 3    1 3 
 2  5
 .
Jadi, invers matriks A adalah 
 1 3 
Apakah setiap matriks mempunyai invers? Telah diuraikan di atas bahwa matriks yang
determinannya sama dengan nol (det = 0) tidak mempunyai invers dan disebut matriks
 6 3
 .
singular; misalnya B = 
 2 1
Invers sebuah matriks dapat digunakan untuk menyelesaiakn persamaan matriks.
Contoh:
Jika A matriks rdo 2x2, tentukan A dari :
3 
 2  1
 14

 A = 
 !
4 3 
  2  4
Jawab:
Untuk mencari matriks A, kedua ruas dikalikan dengan invers matriks.
 2  1
1  3 1 1  3 1
 adalah P-1 =
 

Invers matriks P = 
.
2  1   4 2  10   4 2 
4 3 
4 3
3 
1  3 1   14
1  3 1   2  1

 
 A =


 
10   4 2    2  4 
10   4 2   4 3 
1
5   4
1 0
1  40
2 


 A =

 = 
10   60  20    6  2 
0 1
1
 4
2 
 .
Jadi, matriks A = 
  6  2
C. Dua matriks yang saling invers.
Jika A dan B adalah dua buah matriks persegi yang berordo sama dan berlaku AB = BA = I
(matriks satuan), maka dikatakan b invers dari A (ditulis B = A-1) atau A invers dari B (ditulis
A = B-1).
Contoh:
 3 2
 dan B =
Diketahui A= 
7 5
 5  2

 . Apakah A invers dari B ?
 7 3 
Jawab:
 3 2   5  2   3.5  2.(7) 3.(2)  2.3   1 0 
 
 = 
 = I
 = 
AB = 
 7 5    7 3   7.5  5.(7) 7.(2)  5.3   0 1 
 5  2   3 2   5.3  (2).7 5.2  (2).5   1 0 
 
 = 
 = 
 = I
BA = 
  7 3   7 5   (7).3  3.7 (7).2  3.5   0 1 
Jadi, A invers dari B atau B invers dari A.
D. Invers Matriks Ordo 3x3
 a11

Misal A =  a 21
a
 31
a12
a 22
a 23
a13 

a 23  .
a33 
Invers matriks A yang berordo 3x3 dapat dicari dengan menggunakan aturan :
A-1 =
1
. Adj( A)
det( A)
Keterangan :
A-1
= Invers dari matriks A
Adj(A) = matriks Adjoin dari A
det(A) = determinan dari matriks
Cara menghitung determinan A adalah :
Cara I (metode sarrus)
a11
a12
det (A) = a 21
a 31
-
-
a 22
a13 a11
a 23 a 21
a 22
a 32
a 33 a31
a32
+
a12
+
+
= (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a32) – (a31a22a13) – (a32a23a11) – (a33a21a12)
Cara II (metode cramer)
a11
a12
det (A) = a 21
a 31
a 22
a 32
a13
a
a 23 = a11 22
a32
a 33
a23
a33
- a12
a 21 a 23
a31
a33
+ a13
a 21 a 22
a31
a32
= a11(a22a33-a32a23) – a12(a21a33-a31a23) + a13(a21a32-a31a22)
Cara menentukan matriks Adj(A) adalah :




Ajd(A) =  




a 22
a 23
a32
a 21
a33
a 23
a31
a 21
a33
a 22
a31
a32



a12
a13
a32
a11
a33
a13
a31
a11
a33
a12
a31
a32



a12
a 22
a11
a 21
a11
a 21
a13 

a 23 
a13 

a 23 
a12 

a 22 
Contoh:
2  1
 1


Hitunglah invers matriks A =  0  2 3  !
 3 4
5 

Jawab:
Pertama-tama kita hitung determinan A.
1
det(A) = 0
3
-
1 1
2 3 0
2
4
5 3
+
2
2
4
+
+
= [1.(-2).5] + [2.3.(-3)] + [(-1).0.4] – [(-3).(-2).(-1)] – [4.3.1] – [ 5.0.2]
= -10 – 18 + 0 + 6 – 12 – 0 = -34
atau
1
2
det(A) = 0  2
3 4
1
2 3
0 3
0 2
3 =1
-2
+ (-1)
3 5
3 4
4 5
5
= 1(-10-12) – 2(0-(-9)) + (-1)(0-6)
= -22 -18 + 6 = -34
Jadi, determinan A adalah -34.
Adjoin dari A adalah:
 2 3

4 5

0 3

Adj(A) =  
 3 5
2
 0
  3 4




2
4
1
1
5
1
3 5
1 2
3
Invers dari matriks A adalah :
4
1

2 3 
 22  14 4 
1 1  
2
 3

 =  9
3
0 
  6  10  2
1
2  

0  2 

2
A-1 =
1
. Adj ( A)
det( A)
Diperoleh :
 22
 22  14 4   34
9
1 
A-1 =
9
2
 3 = 

 34
 34
  6  10  2  6
 34
14
34
2

34
10
34
4
34 
3 

34 
2 
34 

Soal Latihan 2
1. Hitunglah !
a.
5
2 3
6
b. 1
3
1 3
4
1
1
0
5
2. Tentukan invers matriks-matriks berikut !
 3 2

a. 
10 7 
 4 8

b. 
 3 6
 2 4

c. 
4 7
3. Tentukan matriks adjoin dari:
 2 3  4


P = 0  4 2 
1 1 5 


4. Tentukan invers matriks-matriks berikut !
2 0 3 


a.  1 4 5 
 0 2 1


1 0 1


b.  2 3 7 
 4 1 6


5. Tentukan matriks X ordo 2x2 sehingga A.X = B, jika :
2 1
 dan B =
A = 
 3 4
 5 7


11 3 
6. Tentukan matriks X ordo 2x2 sehingga X.A = B, jika :
2 1
 dan B =
A = 
 3 4
 5 7


11 3 
E. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dengan invers Matriks
ax  by  p
Untuk persamaan linear berbentuk : 
 cx  dy  q
Dapat diubah menjadi perkalian matriks sebagai berikut :
 a b  x   p 

     dengan masing-masing ruas dikalikan invers matriks
 c d  y   q 
a b 


c d 
diperoleh :
1
1
 a b   a b  x   a b   p 

 
   
  
 c d   c d  y   c d   q 
1
 1 0  x   a b   p 
   
  
 
 0 1  y   c d   q 
 x
1  d  b  p 
  

 
 y  ad  bc   c a  q 
Contoh:
4 x  5 y  17
Selesaikan persamaan : 
dengan menggunakan invers matriks !
 2 x  3 y  11
Jawab:
 4 5  x  17 

    
 2 3  y   11 
 x
1  3  5 17  1   4    2 
  

       
 y  12  10   2 4  11  2  10   5 
Jadi x = -2 dan y = 5.
Soal Latihan 3
1. Tulislah sistem persamaan linear berikut dalam bentuk persamaan Matriks
 2x  y  4
a.
3x  4 y  14
 2x  y  3
b.
3x  2 y  1
 3x  y  3
c.
2 x  2 y  2
2 x  3 y  6
2 Diketahui Sistem persamaan linear 
2 x  3 y  9
a) Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode Matriks
b) Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode Eliminasi
c) Metode manakah yang lebih cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas
d) Gambarlah garis lurus untuk tiap-tiap persamaan linear pada satu diagram
e) Apakah yang dapat disimpulkan tentang penyelesaian persamaan linear dengan
kedudukan kedua garis untuk setiap sistem persamaan
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut dengan matriks !
2 x  3 y  1
a. 
 3x  y  5
 1 x  13 y  9  0
b.  2
x y20
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut dengan matriks !
 2x  y  z  5

a.  x  2 y  3 z  9
 x  3y  z  0

 x yz 3

b. 2 x  y  z  5
x  2 y  z  7
