GERAK HARMONIK SEDERHANA

GERAK HARMONIK SEDERHANA
Gerak harmonik sederhana adalah gerak bolak-balik benda melalui
suatu titik kesetimbangan tertentu dengan banyaknya getaran benda dalam
setiap sekon selalu konstan. Gerak harmonik dapat dinyatakan dengan grafik
posisi partikel sebagai fungsi waktu berupa sinus atau kosinus. Contoh gerak
harmonik antara lain adalah gerakan benda yang tergantung pada sebuah
pegas, dan gerakan sebuah bandul.
Untuk memahami getaran harmonik, kita dapat mengamati gerakan
sebuah benda yang diletakkan pada lantai licin dan diikatkan pada sebuah
pegas (Gambar 1).
Gambar 1. Gerak benda pada lantai licin dan terikat pada pegas untuk posisi
normal (a), teregang (b), dan tertekan (c)
Anggap mula-mula benda berada pada posisi X = 0 sehingga pegas tidak
tertekan atau teregang. Posisi seperti ini dinamakan posisi keseimbangan.
Jika benda ditarik ke kanan kemudian dilepaskan, maka pegas akan menarik
benda kembali ke arah posisi keseimbangan (X = +). Sebaliknya, ketika
benda ditekan ke kiri (X = –) kemudian dilepaskan, maka pegas akan
mendorong benda ke kanan, menuju posisi keseimbangan.
Gaya yang dilakukan pegas untuk mengembalikan benda pada posisi
keseimbangan disebut gaya pemulih. Besarnya gaya pemulih menurut
Robert Hooke dirumuskan sebagai berikut.
Fp = -kX
Tanda minus menunjukkan bahwa gaya pemulih selalu pada arah yang
berlawanan dengan simpangannya. Jika digabungkan persamaan di atas
dengan hukum II Newton, maka diperoleh persamaan berikut.
k
a    X
Fp = -kX = m a
atau
m
1
Terlihat bahwa percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan
dengan simpangan. Hal ini merupakan karakteristik umum getaran harmonik.
Syarat suatu gerak dikatakan getaran harmonik, antara lain:
1. Gerakannya periodik (bolak-balik).
2. Gerakannya selalu melewati posisi keseimbangan.
3. Percepatan atau gaya yang bekerja pada benda sebanding dengan
posisi/simpangan benda.
4. Arah percepatan atau gaya yang bekerja pada benda selalu mengarah
ke posisi keseimbangan.
1. Periode dan Frekuensi Getaran Harmonik
a. Periode dan Frekuensi Sistem Pegas
Pada dasarnya, gerak harmonik merupakan gerak melingkar beraturan
pada salah satu sumbu utama. Oleh karena itu, periode dan frekuensi pada
pegas dapat dihitung dengan menyamakan antara gaya pemulih (F = -kX)
dan gaya sentripetal (F = -4π2 m f2 X).
-4π2 m f2 X= -kX
4π2 m f2 = k
Jadi frekuensinya adalah :
1 k
f
2 m
Dan periodenya adalah :
m
T  2
k
Keterangan :
f : frekuensi ( s-1 )
T : periode ( s )
k : konstanta pegas ( N/m )
m : massa beban ( kg )
Contoh soal 1 :
Jika massa beban yang digantung pada ujung bawah pegas 1 kg, maka
periode getarannya 3 sekon. Jika massa beban dilipatkan menjadi 4 kg,
maka tentukan periode getarannya!
Penyelesaian :
Diketahui :
m1 = 1 kg
T1 = 3 s
m2 = 4 kg
Ditanyakan: T2 = ...?
2
Jawab:
Hubungan periode pegas T, massa beban m dinyatakan dengan
rumus:
m2
2
T2
k

T1
m1
2
k
T2  T1
m2
m1
4
1
=6s
3
2. Persamaan Getaran Harmonik
Persamaan gerak harmonik sederhana didapatkan dari proyeksi gerak
melingkar beraturan pada sumbu-x atau sumbu-y.
a. Simpangan Getaran Harmonik
Simpangan getaran harmonik sederhana dapat dianggap sebagai
proyeksi partikel yang bergerak melingkar beraturan pada diameter
lingkaran. Gambar berikut melukiskan sebuah partikel yang bergerak
melingkar beraturan dengan kecepatan sudut ω dan jari-jari A. Anggap
mula-mula partikel berada di titik P.
Gambar 2. Proyeksi gerak melingkar beraturan terhadap sumbu Y
merupakan getaran harmonik sederhana.
Pada saat t = 0, partikel berada di titik P, setelah t sekon berada di Q.
Besarnya sudut yang ditempuh adalah:
2π t
θ  ωt 
T
Simpangan gerak harmonik sederhana merupakan proyeksi titik Q pada
salah satu sumbu utamanya (sumbu Y). Jika simpangan itu dinyatakan
dengan sumbu Y, maka:
3
Y  A sin θ  A sin ω t  A sin
2π t
T
Keterangan :
Y = simpangan gerak harmonik sederhana (m)
A = amplitudo (m)
T = periode (s)
ω = kecepatan sudut (rad/s)
t = waktu (s)
Besar sudut ( θ ) dalam fungsi sinus disebut sudut fase. Jika partikel mulamula berada pada posisi sudut θo, maka persamaanya dapat dituliskan
sebagai berikut.
 2π t

Y  A sin θ  A sin (ω t  θ o )  A sin 
 θo 
 T

Sudut fase getaran harmoniknya adalah sebagai berikut.
 t θ 
 2π t

θ  (ω t  θ o )  
 θ o  atau
θ  2π   o 
 T

 T 2π 
Contoh soal 2 :
Sebuah titik materi melakukan gerak harmonik dengan amplitudo 5 cm.
Berapakah simpangannya pada saat sudutnya 30°?
Jawab
Diketahui: A = 5 cm dan θ = 30°.
y = A sin θ = 5 sin 30° = (5 cm)(1/2) = 2,5 cm.
Contoh soal 3 :
Sebuah benda melakukan gerak sederhana dengan periode T. Berapakah
waktu yang diperlukan benda agar simpangan sama dengan ½
amplitudonya?
Jawab:
Y = A sin θ
1
A = A sin θ
2
1
sin θ =
2
1
θ = π
6
2π t 1
 π
T
6
1
t
T
12
4
b. Kecepatan Getaran Harmonik
Kecepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh
dari turunan pertama persamaan simpangan.
dy d
vy 
 (A sin ωt )
dt dt
v y = ω A cos ω t
Karena nilai maksimum dari fungsi cosinus adalah satu, maka kecepatan
maksimum (vmaks ) gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut.
vmaks = ω A
c. Percepatan Getaran Harmonik
Percepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh
dari turunan pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua persamaan
simpangan.
dv y d
d(cos ωt)
ay 
 (ω A cos ωt )  ω A
dt
dt
dt
ay = ω A (-ω sin ωt )
ay = -ω2 A sin ωt
ay = -ω2 Y
Karena nilai maksimum dari simpangan adalah sama dengan amplitudonya
(y = A), maka percepatan maksimumnya (amaks ) gerak harmonik sederhana
adalah sebagai berikut.
amaks = - ω2 A
Contoh soal 4 :
Sebuah benda bermassa 2 gram digetarkan menurut persamaan y = 0,05 sin
300t (semua satuan dalam SI). Tentukan kecepatan dan percepatan benda
pada saat t = 0,6 s.
Jawab :
Diketahui:
m = 2 g,
Y = 0,05 sin 300t → ω = 300
t = 0,6 s.
Kecepatan:
v = dy/dt
= ω A cos ωt
= (300)(0,05)(cos 300 . 0,6)
= 15 cos 180°
= -15 m/s.
5
Percepatan:
a = dv/dt = ω2 A sin ω t
= (300)2 (0,05)(sin 300 . 0,6)
= (300)2 (0,05) sin 180°
= 0.
Contoh soal 5 :
Sebuah partikel bergerak harmonik sederhana dengan frekuensi 50 Hz dan
mempunyai amplitudo 0,2 m.
Hitunglah
a. kecepatan dan percepatan partikel pada titik seimbang,
b. kecepatan dan percepatan partikel pada simpangan maksimum, dan
c. persamaan simpangan gerak harmonik!
Penyelesaian :
Diketahui :
f = 50 Hz
A = 0,2 m
Ditanyakan :
a. v y dan ay = ... ? (pada titik seimbang)
b. v y dan ay = ... ? (pada simpangan maksimum)
c. Persamaan simpangan = ... ?
Jawab:
a. Pada titik seimbang, simpangan (y) = 0 sehingga θ = ω t = 0 dan θo = 0.
1 1
T 
 2 x 10 -2 s
f 50
ω = 2π f
= 2π × 50
= 100π rad/s
Kecepatan partikel pada titik seimbang
v y = A ω cos (ω t + θo )
Karena θ = ω t = 0 dan θo = 0
v y = A ω cos 0
= 0,2 × 100 π x 1
= 20π m/s
Percepatan partikel pada titik seimbang
ay = -A ω2 sin 0
=0
b. Pada simpangan maksimum, θ = ω t = 90° dan θo = 0
v y = A ω cos (θ + θo)
= 0,2 × 100π cos (90° - 0°)
=0
6
ay = -A ω2 sin (90° + 0)
= -0,2 x (100π )2 + 0
= -2.000π2 m/s 2
c. Persamaan simpangan
y = A sin(ω t + θ o )
= 0,2 sin (100π t)
3. Energi Gerak Harmonik Sederhana
Benda yang melakukan gerak harmonik sederhana memiliki energi
potensial dan energi kinetik. Jumlah energi potensial dan energi kinetik
disebut energi mekanik.
a. Energi Kinetik Gerak Harmonik
Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh benda yang melakukan
gerak harmonik sederhana karena kecepatannya.
Karena Ek =
1
mv y2 dan v y = A ω cos ω t, maka :
2
1
m (A ω cos ω t)2
2
1
= m A2 ω2 cos2 ω t
2
Ek =
Energi kinetik maksimum pada gerak harmonik dicapai ketika berada di titik
setimbang. Sedangkan energi kinetik minimum dicapai ketika berada di titik
balik.
b. Energi Potensial Gerak Harmonik
Besarnya energi potensial adalah energi yang dimiliki gerak harmonik
sederhana karena simpangannya. Secara matematis energi potensial yang
dimiliki gerak harmonik dirumuskan sebagai berikut.
1 2
ky
2
1
= m ω2 (A sin ωt)2
2
1
= m ω2 A2 sin2 ωt
2
Ep =
Energi potensial maksimum pada gerak harmonik dicapai ketika berada di
titik balik. Sedangkan energi kinetik minimum dicapai ketika berada di titik
setimbang.
c. Energi Mekanik
Energi mekanik sebuah benda yang bergerak harmonik adalah jumlah
energi kinetik dan energi potensialnya.
7
Em = Ek + Ep
1
1
m A2 ω2 cos2 ωt + m ω2 A2 sin2 ωt
2
2
1
= m ω2 A2 ( cos2 ωt + sin2 ωt )
2
1
= m ω2 A 2
2
=
Berdasarkan persamaan di atas, ternyata energi mekanik suatu benda yang
bergetar harmonik tidak tergantung waktu dan tempat. Jadi, energi mekanik
sebuah benda yang bergetar harmonik dimanapun besarnya sama.
Contoh Soal 5 :
Benda yang massanya 400 g bergetar harmonik dengan amplitudo 5 cm dan
frekuensi 100 Hz. Hitunglah energi kinetik, energi potensial, dan energi
mekaniknya (energi total) saat simpangannya 2,5 cm!
Penyelesaian :
Diketahui :
m = 400 g = 0,4 kg
A = 5 cm = 0,05 m
f = 100 Hz
Y = 2,5 cm
Ditanyakan :
a. Ek = ...?
b. Ep = ...?
c. Em = ...?
Jawab:
a. Energi kinetik
Y  A sin θ
Y
sin θ 
A
2,5

5
= 0,5
θ = 30o
cos θ = cos 30o = 0,866
θ=ωt
ω = 2π f
8
Ek =
=
=
=
=
1
m (A ω cos ω t)2
2
1
m (A 2π f cos θ)2
2
1
m 4 π2 f2 A2 cos2 θ
2
1
m 4 π2 f2 A2 cos2 30º
2
1
x (0,4) x 4 x (3,14)2 x (100)2 x (0,05)2 x (0,866)2
2
= 147,894 J
b. Energi potensial
1
2
1
=
2
1
=
2
1
=
2
Ep =
m ω2 A2 sin2 ωt
m 4 π2 f2 A2 sin2 θ
m 4 π2 f2 A2 sin2 30o
x (0,4) x 4 x (3,14)2 x (100)2 x (0,05)2 x (0,5)2
= 49,298 J
c. Energi Mekanik
Cara I :
Em = Ep + Ek
= 147,894 + 49,298
= 197,192 J
Cara II :
1
m ω2 A2
2
1
= m 4 π2 f2 A2
2
1
= x (0,4) x 4 x (3,14)2 x (100)2 x (0,05)2
2
Em =
= 197,192 J
9
4. Susunan Pegas
Dua buah pegas atau lebih dapat disusun seri, paralel, atau gabungan
seri dan paralel. Berikut hal-hal yang berkaitan dengan susunan pegas seri
dan paralel.
a. Susunan Seri
Untuk memudahkan pembahasan, diambil pegas-pegas yang tetapan
pegasnya sama. Rumus dasar yang digunakan adalah rumus modulus
Young dan Hukum Hooke (k = EA/X). Jadi, tetapan pegas berbanding lurus
dengan luas penampang pegas A, modulus Young E, dan berbanding
terbalik dengan panjang pegas X. Persamaan ini menyatakan tetapan pegas
tunggal.
Gambar 1. Pegas disusun seri.
Jika dua buah pegas disusun secara seri seperti terlihat pada Gambar di
atas, maka panjang pegas menjadi 2X. Oleh karena itu, persamaan
pegasnya (ks ) menjadi seperti berikut.
Jadi, bila 2 pegas yang tetapan pegasnya sama dirangkaikan secara seri,
maka susunan ini akan memberi tetapan pegas susunan sebesar ½ k.
Sedangkan untuk n pegas yang tetapannya sama dan disusun seri, maka
berlaku persamaan berikut
Contoh Soal :
Dua buah pegas yang disusun secara seri berturut-turut besar konstantanya
200 N/m dan 100 N/m. Apabila pada pegas tersebut diberi beban 40 N,
hitunglah pertambahan panjang pegas!
Penyelesaian :
Diketahui :
a. k1 = 200 N/m
b. k2 = 100 N/m
c. F = 40 N
Ditanyakan : ∆x = ...?
10
Jawab:
1
1
1


ks k1 k2
1
1


200 100
3

200
200
ks 
 66,67 N/m
3
Menurut Hukum Hooks :
F = ks ∆x
F
ks
40

66,67
x 
= 0,60 m
= 60 cm
b. Susunan Paralel
Bila pegas disusun paralel, maka panjang pegas (X) tetap. Sedangkan
luas penampang pegas berubah dari A menjadi 2A, bila pegas yang disusun
sebanyak dua buah.
Gambar 2. Pegas disusun paralel.
Jadi, untuk dua buah pegas yang disusun secara paralel, tetapan pegasnya
(kp) menjadi seperti berikut.
Bila ada n pegas yang tetapan pegasnya sama disusun secara paralel, maka
akan menghasilkan pegas yang lebih kuat. Karena tetapan pegasnya
menjadi lebih besar.
Contoh Soal :
Dua buah pegas yang disusun pararel berturut-turut mempunyai konstanta
sebesar 200 N/m dan 300 N/m. Jika diujungnya diberi beban sebesar 4 kg
dan g = 10 m/s2, maka hitunglah pertambahan panjang pegas!
11
Penyelesaian :
Diketahui :
a. k1 = 200 N/m
b. k2 = 300 N/m
c. m = 4 kg
d. g = 10 m/s2
Ditanyakan: ∆x = ...?
Jawab:
kp = k1 + k2
= 200 + 300
= 500 N/m
Menurut Hukum Hooks :
F = kp ∆x
x 

F
kp
4 x 10
500
= 0,08 m
= 8 cm
5. Bandul Sederhana
Sebuah bandul sederhana terdiri atas sebuah beban bermassa m yang
digantung di ujung tali ringan (massanya dapat diabaikan) yang panjangnya
l. Jika beban ditarik ke satu sisi dan dilepaskan, maka beban berayun melalui
titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain. Jika amplitudo ayunan kecil,
maka bandul melakukan getaran harmonik. Perhatikanlah Gambar berikut
Sebuah beban bermassa m tergantung pada seutas kawat halus kaku
sepanjang A dan massanya dapat diabaikan. Apabila bandul itu bergerak
vertikal dengan membentuk sudut θ, seperti terlihat pada Gambar b, gaya
pemulih bandul tersebut adalah mg sin θ. Secara matematis dapat dituliskan
12
Oleh karena sin θ 
y
, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

berikut.
Contoh Soal :
Sebuah ayunan sederhana memiliki panjang tali 40 cm dengan beban 100
gram. Tentukanlah besar gaya pemulihnya jika benda disimpangkan sejauh 4
cm dan percepatan gravitasi di tempat itu = 10 m/s2.
Jawab
Diketahui:
l = 40 cm,
m = 100 g = 0,1 kg
y = 4 cm,
g = 10 m/s2
Besar gaya pemulih pada ayunan adalah :
F = mg sin θ
y

= mg ( )
= 0,1 x 10 x
4
40
= 0,1 N
Periode dan Frekuensi Bandul Sederhana
Persamaan gaya pemulih pada bandul sederhana adalah F = -mg sin
θ. Oleh karena sin θ 
y
y
, maka persamaannya dapat ditulis F = -mg ( ).


Karena persamaan gaya sentripetal adalah F = -4π2 mf2 y, maka diperoleh
persamaan sebagai berikut.
Fsentripetal = Fpemulih
y

-4π2 mf2 y = -mg ( )
4π2 f2 =
g

Dari persamaan diatas, ternyata diketahui bahwa periode dan frekuensi
bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul,
tetapi hanya bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi
setempat.
13
Contoh Soal :
Sebuah ayunan bandul sederhana memiliki panjang tali 64 cm, massa beban
0,1 kg. Saat beban diberi simpangan 10 cm dan dilepaskan, terjadi getaran
selaras (g = 10 m/s2). Hitunglah periode ayunan dan kecepatan maksimum
benda tersebut!
Penyelesaian :
Diketahui :
a. l = 64 cm = 0,64 m
b. m = 0,1 kg
c. A = 10 cm = 0,1 m
d. g = 10 m/s2
Ditanyakan :
a. T = ...?
b. vmaks = ...?
Jawab:
l
a. T  2
g
0,64
10
 2 0,064
= 2π x 0,25
= 0,5π s
 2
b. vmaks = ω A
 2π 

A
 T 
 2π 

 x 0,1
 0,5π 
= 0,4 m/s
14