Solusi dari quis 1 Aljabar Lanjut

Solusi dari quis 1 Aljabar Lanjut - 8 Februari 2011
1. Himpunan matriks Mn×n bukanlah sebuah lapangan karena:
(a) Tidak komutatif terhadap operasi perkalian. Sebagai contoh:
1 2
1 1
1 1
1
6=
3 4
0 0
0 0
3
2
4
(b) Tidak semua matriks mempunyai invers terhadap perkalian.
2. Misalkan V = span{v1 , v2 , . . . , vn } dan W = span{v1 , v2 , . . . , vn , w}. Akan dibuktikan V = W .
(a) ambil u ∈ V maka u = α1 v1 + · · · + αn vn , untuk suatu α1 , . . . , αn . Maka u = α1 v1 + · · · + αn vn + 0 · w.
Sehingga u ∈ W . Jadi terbukti V ⊆ W .
(b) ambil y ∈ W , maka y = α1 v1 + · · · + αn vn + βw untuk suatu α1 , . . . , αn dan β. Karena w adalah
kombinasi linier dari v1 , . . . , vn maka tulis w = a1 v1 + · · · + an vn . Akibatnya,
y = α1 v1 + · · · + αn vn + β(a1 v1 + · · · + an vn ),
y = (α1 + βa1 )v1 + · · · + (αn + βan )vn ,
sehingga y ∈ V . Jadi terbukti W ⊆ V .
Karena V ⊆ W dan W ⊆ V terbukti V = W .
3. Akan dilakukan eliminasi Gauss pada matriks tersebut yakni:
 
 

1 3 3 2
1
1
3 3 2
 2
6 9 7 ∼ 0 0 3 3 ∼ 0
0 0 6 6
0
−1 −3 3 4
3
0
0
3
1
0

2
1 
0
(a) col(A) = span{(1, 2, −1), (3, 3, 6)} dengan dimensinya 2.
row(A) = span{(1, 3, 3, 2), (0, 0, 1, 1)} dengan dimensinya 2.
Untuk mencari ruang nol, kita gunakan matriks eselon diatas menjadi:




 
x1
1 3 3 2
0
 x2 
 =  0 .
 0 0 1 1 
 x3 
0 0 0 0
0
x4
Akibatnya, x4 = t, x3 = −t, x2 = s dan x1 = −3s + t. Jadi null(A) = span{(1, 0, −1, 1), (−3, 1, 0, 0)}
dengan dimensinya 2.
(b) Akan dilakukan eliminasi Gauss pada matriks

 
1 2 −1
 3 6 −3  

∼
 3 9
3  
2 7
4
AT
1
0
0
0
2
0
3
3
 
−1
1
 0
0 
∼
6   0
6
0
2
1
0
0

−1
2 

0 
0
Sehingga

1 2
 0 1

 0 0
0 0




−1
0
y
1
 0
2 
  y2  = 
 0
0 
y3
0
0




Sehingga, y3 = t, y2 = −2t dan y1 = 5t. Jadi null(AT ) = span{(5, −2, 1)} dengan dimensinya 1.
4.
(i) Ambil w1 , w2 ∈ T (U ) sebarang. Karena w1 ∈ T (U ) maka terdapat u1 ∈ U sehingga w1 = T (u1 ). Begitu
pula dengan w2 , pasti terdapat u2 ∈ U dimana w2 = T (u2 ). Akan dibuktikan w1 + w2 ∈ T (U ), artinya
akan dibuktikan terdapat u ∈ U sehingga w1 + w2 = T (u).
Perhatikan bahwa w1 + w2 = T (u1 ) + T (u2 ). Karena T linier maka w1 + w2 = T (u1 + u2 ). Karena U
subruang maka u1 + u2 ∈ U . Jadi pilih u = u1 + u2 sehingga w1 + w2 = T (u). Jadi terbukti terdapat
u ∈ U sehingga w1 + w2 = T (u). Jadi terbukti bahwa w1 + w2 ∈ T (U ).
(ii) Ambil w1 ∈ T (U ) dan α ∈ F sebarang. Karena w1 ∈ T (U ) maka terdapat u1 ∈ U sehingga w1 = T (u1 ).
Akan dibuktikan αw1 ∈ T (U ), artinya akan dibuktikan terdapat u ∈ U sehingga αw1 = T (u).
Perhatikan bahwa αw1 = αT (u1 ). Karena T linier maka αw1 = T (αu1 ). Karena U subruang dan u1 ∈ U
maka αu1 ∈ U . Jadi pilih u = αu1 sehingga αw1 = T (u). Jadi terbukti terdapat u ∈ U . Jadi terbukti
αw1 ∈ T (U ).
Karena T (U ) tertutup terhadap penjumlahan vektor (i) dan perkalian dengan skalar (ii) maka terbukti bahwa
T (U ) adalah subruang dari W .