integral fungsi trigonometri

Ex. Substitusi
Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
u = x2 + 6x
∫ cos xdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C
2
∫ sec xdx = tan x + C
Ex.
du
du
= 2 x + 6 = 2( x + 3) atau dx =
dx
2( x + 3)
Substitusi kan kedalam integral, shg
Jadi
(
=
1
∫x
2
( )
1
1
1
2
)
+ 6x + C
2
∫ tan xdx = − ln cos x + C
∫ cot xdx = ln sin x + C
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C
∫ csc xdx = − ln csc x + cot x + C
sin x3 dx
Let u = x3 then
∫ 2 sin udu = − 2 cos u + C = − 2 cos(x
Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
Substitusi
Ex.
)
 1 
2
∫ (x + 3) sin x + 6 x dx = ∫ ( x + 3)sin u 
 du
 2( x + 3) 
∫ ( 3cos x − 2sin x ) dx
= 3sin x + 2 cos x + C
)
(
Dapatkan ∫ ( x + 3)sin x 2 + 6 x dx
Penyelesaian:
Integral Fungsi Trigonometri
du
= dx
3x 2
∫ x 2 sin(x 3 )dx = 3 ∫ sin(u)du
1
( )
1
1
3
= − cos u + C = − cos x + C
3
3
3
4
1
∫ tan xdx = − ln cos x +?C
Mengapa
Integral mengandung (ax + b)
Tuliskan tan x sbg (sin x)/(cos x) dan tetapkan
u = cos x, shg:
∫
sin x
dx
cos x
sin x  du 
=
−

u  sin x 
du
=−
u
= − ln u + C
tan xdx =
∫
∫
∫
u = cos x
1
∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + C
du
= − sin x
dx
du
dan dx = −
sin x
Jadi
Ex.
= − ln cos x + C
5
π
( )
Ex. Hitung ∫ x sin x 2 dx
0
u = x 2 → du = 2 xdx → xdx =
1
∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C
∫ 7 sin ( 3x + 5) dx
7
= − cos ( 3 x + 5 ) + C
3
6
Integral mengandung (ax + b)
1
du
2
1
∫ tan ( ax + b ) dx = − a ln cos ( ax + b ) + C
Substitusi kan kedalam integral,
π
π
π
1   1

2
∫ x sin x dx = ∫ sin u  du  =  − cos u 
2   2
0
0
0
( )
1
∫ cot ( ax + b ) dx = a ln sin ( ax + b ) + C
π
1
∫ sec ( ax + b ) dx = a ln sec ( ax + b ) + tan ( ax + b ) + C
 1

 1
  1

= − cos x 2  = − cos π 2  − − cos 0 2 
 2
0  2
  2

1
1
= − cos π 2 +
2
2
1
∫ csc ( ax + b ) dx = − a ln csc ( ax + b ) + cot ( ax + b ) + C
7
8
2
Integral Tentu
π
6
∫ tan ( 2x ) dx
Ex. Hitung
0
Ex.
D
π
 1
 6
=  − ln cos ( 2 x ) 
 2
0
( ( )) −  − 12 ln cos ( 2 ( 0)) 
1
= − ln cos 2 π
6
2
)
Ex.Dapatkan ∫ x 2 + 1 sin (x + 1)dx
D
x +1
∫ (x
2
)
2
+
5x
cos ( 8 x )
−∫
5
1
sin ( 8 x )
8
5
5
x sin ( 8 x ) − ∫ sin ( 8 x ) dx
8
8
5
5
= x sin ( 8 x ) + cos ( 8 x ) + C
8
64
9
+
I
=
1 1 1
1
= − ln   + ln(1) = ln ( 2 )
2 2 2
2
(
Integrasi perper-bagian
Integration by Parts
Dapatkan ∫ 5 x cos ( 8 x )dx
10
Dapatkan ∫ e − x sin xdx
I
sin( x + 1)
D
e−x
sin x
− cos x
−
2x
− cos( x + 1)
+
2
− sin( x + 1)
−
− e− x
−∫
0
cos( x + 1)
+∫
e−x
( )
(
)
= (− x + 1)cos( x + 1) + 2 x sin( x + 1) + C
+ 1 sin( x + 1)dx = x 2 + 1 [− cos ( x + 1)] − 2 x[− sin( x + 1)] + 2[cos ( x + 1)] + C
= − x 2 − 1 + 2 cos( x + 1) + 2 x sin ( x + 1) + C
∫e
−x
I
+
− sin x
(
)
sin xdx = e − x (− cos x ) − − e − x (− sin x ) + e − x (− sin x )dx + C
(
)
∫
→ 2 e − x sin xdx = e − x (− cos x ) − − e − x (− sin x ) + C
∫
2
( )
1
1
→ e − x sin xdx = − e − x (− cos x ) − e − x (sin x ) + C
2
2
∫
11
12
3