Pemadanan Bilateral dengan Rancangan Bujursangkar Latin

 I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada
kondisi-kondisi
tertentu
keheterogenan unit percobaan tidak bisa
dikendalikan hanya dengan pengelompokkan
satu sisi keragaman unit-unit percobaan
namun memerlukan penanganan yang lebih
kompleks. Kondisi ini tentunya memerlukan
bentuk rancangan yang lain. Salah satu
rancangan yang mampu mengendalikan
komponen keragaman unit-unit percobaan
lebih dari satu sisi komponen adalah
rancangan bujursangkar latin (latin square).
Tulisan
ini
menawarkan
prosedur
sederhana yang dapat digunakan untuk
membangun
sekuen
(rangkaian)
dari
petemuan berpasang-pasangan diantara pelaku
yang berasal dari populasi yang finite
(terbatas) dengan menggunakan rancangan
bujursangkar latin tersebut. Proses pertemuan
yang dipelajari memiliki dua sifat, pertama
rangkaian dari pertemuan tersebut adalah
eksogen yang berarti bahwa setiap pelaku
bertemu dengan pelaku yang lain tepat satu
kali. Kedua, dalam setiap periode proses ini
memaksimumkan banyaknya dari pemasangan
dalam populasi.
Dalam ilmu ekonomi proses pertemuan
berpasang-pasangan
dengan
sifat
ini
digunakan untuk meyatakan konsep dari
persaingan dagang secara eksplisit.
Dalam mengembangkan prosedur untuk
menciptakan rangkaian pemasangan yang
diinginkan digunakan bentuk khusus dari
permutasi yang disebut involusi. Dengan
memanfaatkan beberapa hasil matematis dari
bujursangkar latin, alasan untuk bekerja
dengan objek matematika ini adalah proses
pemasangan yang merupakan cara untuk
membagi populasi X ke dalam himpunan
agen-agen yang disjoint secara berulangulang. Karena diketahui bahwa pertemuan
yang dipandang adalah bilateral, maka proses
pemasangan dapat dilihat sebagai rangkaian
involusi dari X ke X.
1.2 Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini
adalah memasangkan agen satu dengan agen
lainnya dalam populasi yang terbatas di mana
setiap agen bertemu dengan agen lainnya tepat
satu kali dengan memperagakan bagaimana
membangun bujursangkar latin sedemikian
rupa sehingga setiap baris, pada awalnya
adalah involusi dari baris pertama yang
akhirnya
didapatkan
suatu
matriks
pemadanan.
II. LANDASAN TEORI
2.1 Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan yang
disusun dalam bentuk persegi panjang atau
bujur sangkar yang tersusun dalam baris dan
kolom. Ukuran atau ordo dari suatu matriks
ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom
yang membentuknya.
Secara umum matriks dapat ditulis sebagai
berikut
2.2 Bujursangkar Latin
Definisi 1 (Bujursangkar Latin)
Diketahui ada n symbol berbeda,
bujursangkar latin adalah matriks
dengan entri simbol-simbol yang diketahui
yang disusun sedemikian rupa sehingga setiap
simbol muncul tepat satu kali dalam setiap
baris dan kolom.
[Aliprantis, et al 2006]
= elemen matrik A yang terletak pada
baris ke-i, kolom ke-j ; i=1,2,…,m ;
j=1,2,…..,n
= ukuran atau ordo matriks A, yaitu
Contoh 1 :
Diberikan himpunan simbol-simbol {1, 2,
3, 4} dan {@, #, $, &}, matriks
⎡ a11
⎢a
A = ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣ am1
a12
a22
M
am 2
L a1n ⎤
L a2 n ⎥⎥
O M ⎥
⎥
L amn ⎦
[Leon 2001]
⎡1
⎢2
⎢3
⎢
⎣⎢4
2 3 4⎤
3 4 1⎥
⎥ dan
4 1 2
⎥
1 2 3⎦⎥
⎡@
⎢$
⎢#
⎢
⎣⎢ &
#
$
&⎤
& @ #⎥
⎥
$ & @
⎥
@ # $ ⎦⎥
adalah dua contoh dari bujursangkar latin.
Tentu saja bila diketahui himpunan n simbol,