Materi Kalkulus

INTEGRAL
Kalkulus
Teknik Informatika
PENDAHULUAN
INTEGRAL
DIFERENSIAL
Contoh Integral
 Temukan anti turunan dari
f ( x)  4 x 3
4
F
(
x
)

x
 Dari teori derivarif kita tahu
Teorema A : Aturan Pangkat
 Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali
(-1), maka :
x
dx


r
1
r 1
x
r 1
C
 Jika r = 0 ?
 Perhatikan bahwa untuk anti derivatif suatu pangkat
dari x kita tambah pangkatnya dengan 1 dan
membaginya dengan pangkat yg baru.
 Anti turunan sering disebut dengan Integral Tak
Tentu
f ( x) dx, disebut tanda integral,
 Dalam notasi
sedangkan f(x) disebut integran


Teorema B : Kelinearan integral tak tentu

Andaikan f dan g mempunyai anti turunan
(integral tak tentu) dan k adalah konstanta,
maka
1.  k f(x) dx = k  f(x) dx
2.  [ f(x) + g(x) ] dx =  f(x) dx +  g(x) dx
3.  [ f(x) - g(x) ] dx =  f(x) dx -  g(x) dx
Teorema C Aturan pangkat yang diperumum
Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bil
rasional bukan (-1), maka :
 [ g ( x)]
u
r
r
g ' ( x) dx 
du 
1
r 1
u
1
r 1
r 1
[ g ( x)]
r 1
 C, r  1
C
RUMUS DASAR INTEGRAL
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
RUMUS DASAR INTEGRAL
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
RUMUS DASAR INTEGRAL
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
RUMUS DASAR INTEGRAL
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
CONTOH SOAL INTEGRAL BIASA
Tentukan :
1. Berapa nilai dari
2. Berapa nilai dari
3. Berapa nilai dari
4. Berapa nilai dari
9
4
10x

5
x
 100dx

2
3
19
60
x
(x

7)
dx

50x 4
 x 5  10 dx
 140x e
6
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
x7
dx
CONTOH SOAL INTEGRAL
TRIGONOMETRI

Berapa nilai integral dari :
 10 Sin 4x dx 
17
36
Sin
x Cos x dx 

 12 Tan 2x dx 
 8 Sin 3x Cos x dx 
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Integral Tentu
Teorema Kalkulus yg penting
Jika fungsi f(x) kontinu pada interval
b
a ≤ x ≤ b, maka f ( x)dx  F (b)  F (a)

a
dimana F(x) adalah integral dari fungsi f(x)
pada a ≤ x ≤ b.
CONTOH SOAL
 Berapa nilai dari integral berikut ?
 x

1
3
 3 x dx
2
 2 x  1 dx
2
 3x

2
1
 x
3
2

 1 dx
1
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contoh
  x

1
3
 3 x dx
2
Solusi
=  x  3x
4
 4
=
=
1


2 2
2
1 3
    4  6 
4 2
1
8
4
Contoh
  3x
2
2

 2 x  1 dx
1
Solusi
= x3  x 2  x 2
1

= 14-13 = 11

Contoh:Carilah area dibawah kurva dari fungsi
berikut ini
  x

3
2
 1 dx
1
Solusi
 x

3
A
2
 1 dx
1
3
 x3

 
 x
 3
1
1 
 9  3    1
3 
 12 
4
3
 10.67
Grafik
f ( x)  x 2  1
Area diantara dua kurva
Area diantara 2 kurva f(x) dan g(x)
b
A    f ( x)  g ( x)dx
a
Contoh
3
 Carilah area R yang berada diantara kurva y  x dan
kurva y  x 2
Solusi
Carilah titik pertemuan antara 2 kurva
2
x3  x 2
=> x x  1  0
 x
1
A
0
3

 x 2 dx
=> x=1 or x=0
1
1
1 1
 x 4 x3 




=> A     =  4 3  = 12
3 0
4
1
= 12
Contoh
 Carilah area yang dibatasi oleh garis y  4 x dan kurva
y  x 3  3x 2
Solusi
Carilah titik pertemuan: x 3  3x 2  4 x


x x 2  3x  4  0
xx  4x 1  0
x  0, x  4, x  1
 x

0
A
3
 x

1
 3 x  4 x dx 
2
4
3
 3 x 2  4 x dx
0
0
1
 x4
 x4

3
2
A 
 x  2x 
 
 x3  2 x 2 
 4
 4
 4
0
1
 1

4
A  0    4  (4) 3  2(4) 2     1  2 
4
 4

A   32  
3
4
A  32
3
4
Sifat-sifat Integral Tentu
INTEGRAL
Sifat-sifat Integral Tentu
INTEGRAL
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Metode Cakram
Metode Cakram
Metode Cakram
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contoh 1 (296/7)
TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contoh 2
Metode Kulit Tabung
Metode Kulit Tabung
Metode Kulit Tabung
Metode Kulit Tabung
Contoh
Latihan
Integral Partial
Berdasarkan pada pengitegralan rumus
turunan hasil dua kali fungsi :
Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat
dideferensiasi :
d(uv) = udv + vdu
udv = d(uv) – vdu
 udv  uv   vdu
Integral Parsial
37
Aturan yg hrs diperhatikan
1.
2.

Bagian fungsi yang dipilih sebagai dv harus
dapat segera diintegrasikan
vdu tidak boleh lebih sulit daripada udv

Contoh 1 :
 x cos xdx
a. Misal : u = x
dv = cos x dx
du = dx
v = sin x
Integral Parsial
38
Rumus integralnya :
 x cos x dx  x sin x   sin xdx
u
dv
u v
-
v du
= x sin x + cos x + c
b. Misal diambil :
u = cos x
dv = x dx
du = -sin x dx
v = x2/2
Rumus Integral Parsialnya :
x2
x2
 cos x x dx  (cos x) 2   2 ( sin x dx)
Penting Sekali
pemilihan u dan v
Integralnya lebih susah
Integral Parsial
39
Pengintegralan Parsial Berulang
Seringkali ditemui pengintegralan parsial berulang
beberapa kali
2
x
 sin xdx
Misal : u = x2
du = 2x dx
dv = sin x dx
v = -cos x
Maka :
2
2
x
sin
xdx


x
cos x  2  x cos xdx

- Tampak bahwa pangkat pada x berkurang
- Perlu pengintegralan parsial lagi
Integral Parsial
40
Dari contoh 1 :
x
2
sin xdx   x cos x  2( x sin x  cos x  c)
2
= -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x
+K
Integral Parsial
41
Contoh 3 :
e
x
sin xdx
Misal :
u = ex
dan dv = sinx dx
du = exdx
dan v = - cosx
Maka :
x
x
x
e
cos
xdx


e
cos
x

e

 cos xdx
Perlu penerapan integral parsial dalam integral kedua
e
cos
xdx




x
u = ex
dv = cos x dx
du = exdx
v = sin x
Integral Parsial
42
Sehingga :
e
x
cos xdx  e sin x   e sin xdx
x
x
Bila hasil ini disubstitusikan pada hasil pertama
e
sin
xdx

e
cos
x

e
sin
x

e
sin
xdx


x
x
x
x
2 e sin xdx  e cos x  e sin x  C
x
x
x
1 x
e
sin
xdx

e
(cos
x

sin
x
)

K

2
x
Integral Parsial
43