vektor - purwantowahyudi.com

C. Operasi Vektor
VEKTOR
A Definisi Vektor :
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Vektor PQ mempunyai titik pangkal P dan titik
ujung Q.
1. Penjumlahan dan pengurangan vektor
 a1 
 b1 
 a1 ± b1 
 
 


a ± b =  a 2  ±  b2  =  a 2 ± b2 
a 
b 
a ±b 
3 
 3
 3
 3
Q
untuk penjumlahan :
a
R
P
a ± b
B. Beberapa pengertian vektor :
b
P
1. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik
awalnya di 0.
 x
 
Jika A(x,y,z) maka OA = a =  y  dan
z
 
|a| =
Q
a
a + b = PQ + QR = PR
2. Perkalian skalar dengan vektor
x2 + y2 + z2
2. Vektor satuan adalah suatu vektor panjangnya satu.
Vektor arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z
berturut-turut adalah :
 a1   ka1 
  

k a = k  a 2  =  ka 2 
 a   ka 
 3  3
3. Besar atau panjang vektor
 0
1
 0
 
 
 
i =  0  ; j =  1  dan k =  0 
1
0
 0
 
 
 
a. | a | =
a1 + a 2 + a3
2
2
2
b. Jika P ( a1 , a 2 , a 3 ) dan Q ( b1 , b2 , b3 ) maka
3. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik
awalnya di 0.
Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor
itu mempunyai besar dan arah yang sama.
| PQ | =
(b1 − a1 ) + (b2 − a 2 ) + (b3 − a3 )
4. Perbandingan
m
P
n
A
 x1 
 x2 
 
 
 y1  =  y 2 
z 
z 
 1
 2
⇔
Q
x1 = x2
y1 = y 2
z1 = z 2
p =
a
p
n a + mb
m+n
b
a , p dan b adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B dan P
www.pintarmatematika.web.id - 1
2. Proyeksi vektor ortogonal
Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :
D. Perkalian Skalar dua Vektor
. a . b = | a | | b | cos α
 a.b 
.b
|c| = 
 | b |2 


Proyeksi vektor juga disebut vector poyeksi
a
α
G. Rumus-rumus tambahan :
b
α menyatakan sudut yang dibentuk oleh
2(a 2 + b 2 )− | a − b | 2
1. | a + b | =
vektor a dan b
bukti :
 a1 
 
a =  a 2  dan
a 
 3
Jika
 b1 
 
b =  b2  maka
b 
 3
| a + b | 2 = a 2 + b 2 + 2 | a || b | cosα
⇔ | a + b |= a 2 + b 2 + 2 | a || b | cos α ….(1)
| a − b | 2 = a 2 + b 2 − 2 | a || b | cosα
a . b = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3
⇔ 2 | a || b | cos α = a 2 + b 2 − | a − b | 2 …(2)
E. Besar sudut antara dua Vektor
Substitusi (2) ke (1)
cos α =
=
a.b
| a + b |= a 2 + b 2 + a 2 + b 2 − | a − b | 2
| a |.| b |
a1b1 + a 2 b2 + a3b3
a1 + a 2 + a 3 . b1 + b2 + b3
2
2
2
2
2
2
; 0 ≤ α ≤ 180
2(a 2 + b 2 )− | a + b | 2
2. | a - b | =
F. Proyeksi Ortogonal suatu vektor pada vektor :
Salah satu kegunaan dari perkalian scalar adalah
untuk menentukan proyeksi ortogonal dari
suatu vektor pada vector lain
bukti :
| a − b | 2 = a 2 + b 2 − 2 | a || b | cosα
⇔ | a − b |=
1. Proyeksi skalar ortogonal
A
a 2 + b 2 − 2 | a || b | cos α ….(1)
| a + b | 2 = a 2 + b 2 + 2 | a || b | cosα
a
⇔ − 2 | a || b | cos α = a 2 + b 2 − | a + b | 2 …(2)
θ
0
2(a 2 + b 2 )− | a − b | 2
=
0
c
| OC | = | c | =
b
Substitusi (2) ke (1)
C
a.b
B
| a − b |=
Proyeksi skalar ortogonal a
|b|
=
a 2 + b 2 + a 2 + b 2 − | a + b |2
2(a 2 + b 2 )− | a + b | 2
pada b
Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi
www.pintarmatematika.web.id - 2
Jawab:
Contoh Soal
Proyeksi vektor ortogonal u pada v adalah :
Soal-soal UN2010 – UN2012
 u.v 
.v
|c| = 
 | v |2 


UN2010
1. Diketahui koordinat A(0,0,0), B(–1,1,0), C(1, –2,2). Jika
sudut antara AB dan AC adalah α maka cos α =
AB = u = B – A = (2-3, 1-2 ,0 – (-1)) = (-1, -1, 1)
AC = v = C – A = (-1-3, 2-2 , 3 – (-1)) = ( - 4, 0, 4)
….
A.
1
2
2
C. 0
B.
1
2
D. -
E. -
1
2
2
=
1
4+ 4
 ( - 4 i -2 k ) = ( - 4 i +4 k )
4
 32 
=
cos α =
AB. AC
=
| AB | . | AC |
AC = C – A = (1, –2,2)
cos α =
=-
2
UN2011
(−1.1) + (1. − 2) + 0
(−1) + (1) + 0 . 1 + (−2) + 2
2
1
2
2
1
.4 (- i + k ) = - i + k
4
Jawabannya adalah B
AB = B – A = (–1,1,0)
=-
 u.v 


 | v |2  . v


 (−1. − 4) + 0 + (1.4) 
 ( - 4 i +4 k )


( 16 + 16 ) 2


1
2
Jawab:
1
|c| =
2
1
=2
2
2
=
2
−3
3. Diketahui titik A (5, 1, 3), B (2, -1, -1) dan C (4, 2, -4).
Besar sudut ABC adalah....
2 .3
A. π
B.
C.
D.
2
Jawab:
Jawabannya adalah E
Vektor dan Trigonometri
UN2010
2. Diketahui titik A(3,2, –1), B(2,1,0), dan C(–1,2,3). Jika
A
AB wakil vektor u dan AC wakil v maka proyeksi
vector u pada v adalah ….
A.
1
(i + j +k )
4
B. - i + k
C. 4( j + k )
D. 4( i + j + k )
B
β
E. 8( i + j + k )
C
A (5, 1, 3), B (2, -1, -1) dan C (4, 2, -4)
=
-
2
−3
5
= −1 - 1 = −2
−1
3
−4
www.pintarmatematika.web.id - 3
E. 0
|
|
|
| = (−3) + (−2) + (−4) = √9 + 4 + 16 = √29
4
−1
5
= - = 2 - 1 = 1
−4
−7
3
| = (−1) + 1 + (−7) = √1 + 1 + 49 = √51
4
2
2
= - = 2 - −1 = 3
−4
−1
−3
| = 2 + 3 + (−3) = √4 + 9 + 9 = √22
0
4
2
5. Diketahui vektor = / 2 1 ; = −3 ; = −1 . Jika
−1
6
3
tegak lurus , maka hasil dari ( - 2 ) . (3 ) adalah....
UN2012
A. 171
B. 63
C. -63
D. -111
E. -171
Jawab:
BAB XX Vektor
aturan cosinus:
! " – "
Cos β =
%!
.
. "
–&'
.√ %√&'
=
tegak lurus
maka
0
4
/ 2 1 . −3 = 0
−1
6
=0
0
β = 90 =
A. ( − ) + *
B. ( − 3) + 2*
C. ( − 4) +4*
4p – 6 – 6 = 0
4p = 12
p=3
3
4
2
( - 2 ) . (3 ) = 2 2 – 2 −3 3 . 23 −1 3
−1
6
3
=2
3
8
= 2 2 – −6 3 .
−1
12
D. 2 ( − ) + *
E. 6 ( − 8) +6*
Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :
 a.b
|c | = 
 | b |2

=
=
(.!' !.)
&
.
6
−5
8 . −3 = -30 + (-24) + (-117)
9
−13
= -30 – 24 – 117 = -171
!' )
2
6. Diketahui vektor = −3
3
vektor dan adalah...
3
= −2 . Sudut antara
−4
UN2012
!(- ) !, )
(√,!
Jawabannya E

.b


(,. !(- )(- )! .,)
(
6
−3
9
=
Jawab:
=
=0
p. 4 + 2.(-3) + (-1).6 = 0
Jawabannya adalah B
UN2011
4. Diketahui vektor = 4 ( − 2) + 2* dan vektor
( − 6) + 4* . Proyeksi vektor pada
vektor adalah....
.
(2 ( − 6) + 4* )
(2 ( − 6) + 4* )
(2 ( − 6) + 4* )
= ( − 3) + 2*
=
'
A. 1350
B. 1200
dan
C. 900
D. 600
Jawab:
(2 ( − 6) + 4* )
a . b = | a | | b | cos α
cos α =
Jawabannya adalah B
=
a.b
| a |.| b |
a1b1 + a 2 b2 + a3b3
a1 + a 2 + a 3 . b1 + b2 + b3
2
2
2
www.pintarmatematika.web.id - 4
2
2
2
E. 450
=
2.3. + (−3).(−2) + (3).(−4)
2 + (−3) 2 + 3 2 . 3 2 + (−2) 2 + (−4) 2
6. + 6 − 12
2
=
=
2 2 + (−3) 2 + 3 2 . 3 2 + (−2) 2 + (−4) 2
0
2 2 + (−3) 2 + 3 2 . 3 2 + (−2) 2 + (−4) 2
=0
cos α = 0
α = 900
Jawabannya C
UN2012
7. Diketahui vektor
= 5( + 6) + * dan
2* . Proyeksi orthogonal vektor
A. ( + 2) + 2*
B. ( + 2) - 2*
C. . ( - 2) + 2*
pada
= ( - 2) adalah....
D. - ( + 2) + 2*
E. 2 ( + 2) - *
Jawab:
Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :
 a.b 
.b
|c| = 
 | b |2 


 5  1 
  
 6  − 2 
 1  − 2 
  
 1 
 
.  − 2
=
( 12 + (−2) 2 + (−2) 2 ) 2  − 2 
 
5 − 12 − 2
=
9
 1 
 1 
 
 
 − 2  = -1  − 2  =
 − 2
 − 2
 
 
 − 1
 
2
2
 
 − 1
 
 2  = - i +2 j +2 k
2
 
Jawabannya D
www.pintarmatematika.web.id - 5