Pengantar Vektor - Tektro UNJANI 2011

Pengantar Vektor
Vektor
adalah
besaran
yang mempunyai
besar dan arah
Besar vektor
artinya panjang vektor
Arah vektor
artinya sudut yang dibentuk
dengan sumbu X positif
Vektor disajikan dalam bentuk
ruas garis berarah
Gambar Vektor
B
u
45
A
X
ditulis vektor AB atau u
A disebut titik pangkal
B disebut titik ujung
Notasi Penulisan Vektor
 Bentuk vektor kolom:
 3
u   
 4
atau
 1 


PQ    2 
 0 


 Bentuk vektor baris:
AB  3, 4 atau v   2, 3, 0
 Vektor ditulis dengan notasi:
i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k
VEKTOR DI
2
R
Vektor di R2
adalah
vektor yang terletak di satu
bidang
atau
Vektor yang hanya mempunyai
dua komponen yaitu x dan y
VEKTOR DI R2
Y
A(x,y)
yQ
j
a
x
O
i
P
i vektor satuan searah
sumbu X
j vektor satuan searah
sumbu Y
X
OP  PA  OA
OP  OQ  OA
OP = xi; OQ= yj
Jadi
OA =xi + yj
atau
a = xi + yj
Vektor di R3
Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di
ruang dimensi tiga
atau
Vektor yang mempunyai
tiga komponen
yaitu x, y dan z
Misalkan koordinat titik T di R3
adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
Z
S
zk
O
xi
P
X
T(x,y,z)
yj
Q
Y
OP + PR = OR atau
OP + OQ = OR
OR + RT = OT atau
OP + OQ + OS = OT
Z
S
zk
t
O
xi

X P
T(x,y,z)
Jadi
yj
OT = xi + yj + zk
Y
Q
R(x,y) atau t = xi + yj + zk
Vektor Posisi
Vektor posisi
adalah
Vektor yang
titik pangkalnya O(0,0)
Y
Contoh:
B(2,4)
Vektor posisi
b
a
O
A(4,1) titik A(4,1) adalah
X
 4
OA  a   
1
Vektor posisi titik B(2,4) adalah
OB  b  2i  4 j
Panjang vektor
Dilambangkan dengan
tanda ‘harga mutlak’
a1 

Di R2, panjang vektor: a   
a2 
atau a = a1i + a2j
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
a  a1  a 2
2
2
 x


Di R3 , panjang vektor: v   y 
z
 
atau v = xi + yj + zk
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
v  x y z
2
2
2
Contoh:
 3
1. Panjang vektor: a   4 
 
2
2
a

3

4
adalah
= 25 = 5
2. Panjang vektor: v  2i  j - 2k
adalah v  2  1  (2)
2
= 9 = 3
2
2
Vektor Satuan
adalah suatu vektor yang
panjangnya satu
Vektor satuan searah sumbu X,
sumbu Y , dan sumbu Z
berturut-turut
adalah vektor i , j dan k
1
 0
 0
 
 
 
i   0 , j   1  dan k   0 
 0
 0
1
 
 
 
Vektor Satuan
dari vektor a = a1i + a2j+ a3k
adalah
a
ea  a 
e
a
a1i  a2 j  a3 k
a1  a2  a3
2
2
2
Contoh: Vektor Satuan dari
vektor a = i - 2j+ 2k
adalah….
Jawab:
e
a
e
a
a

a

i  2 j  2k
12  (2) 2  2 2
e
a

i  2 j  2k
12  (2) 2  2 2
i  2 j  2k
e

e
 13 i  23 j  23 k
a
a
3
ALJABAR VEKTOR
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor
dengan
bilangan real
Kesamaan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka a1 = b1
a2 = b2 dan
a3 = b 3
Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....
Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a=b
1=x-y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y;  y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5
Penjumlahan Vektor
Misalkan:
 a1 
 b1 
 
 
a   a 2  dan b   b 2 
b 
a 
 3
 3
Jika: a + b = c , maka vektor
 a1  b1 


c   a 2  b2 
a b 
3 
 3
Contoh
 3 
 
a   - 2p  Diketahui:
 -1 
 
dan
Jika a + b = c , maka p – q =....
p
 
b  6
 3


5
 
 
c   4q 
2
 
jawab:
a+b=c
 3   p    5
     
 - 2p    6    4q 
 -1   3  2 
     
 3  p    5

  
   2 p  6   4 q 
 (1)  3   2 

  
 3  p    5

  
  2 p  6   4 q 
 (1)  3   2 

  
3 + p = -5  p = -8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q  q = 5½;
Jadi p – q = -8 – 5½
= -13½
Pengurangan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a - b = c , maka
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k
Perhatikan gambar:
Y
B(2,4)
vektor AB =
b
A(4,1) vektor posisi:
a
O
- 2
 
3
X
titik A(4,1) adalah:
 2
titik B(2,4) adalah: b   
 4
 4
a   
1
vektor AB =
 4
a   
1
- 2
 
3
 2
b   
 4
2 4
b  a       
4  1
- 2
 
3
 AB
Jadi secara umum: AB  b  a
Contoh 1
Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan
B(1,2,4). Tentukan komponenkomponen vektor AB
Jawab: AB  b  a
1  3   2
     
 2 -  5    3 
 4  2  2 
     
  2
 
Jadi AB    3 
 2 
 
Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ
(atau jarak P ke Q)
1
 
Jawab: P(1,2,-2)  p   2 
  2
 
  1
 
Q(-1,3,0)  q   3 
0
 
 - 1  1    2 
     
PQ = q – p =
 3  -  2   1 
 0   - 2  2 
     
2 
 
PQ    1 
  2
 
PQ  2  (1)  (2)
2
Jadi PQ  9  3
2
2
Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
 a1 
 
Misalkan: a   a 2 
a 
 3
 a1   m.a1 
  

c  m a 2    m.a 2 
 a   m.a 
3
 3 
dan
m = bilangan real
Jika: c = m.a, maka
Contoh
2
2
 
 
Diketahui: a   - 1 dan b   - 1
6
4
 
 
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab:  x1 
 2   x1   2 








misal x   x  
  1  2 x   3  1
2
x 
 3
6
 
2
x 
 3
4
 
 2   x1   2 
     
  1  2 x2   3  1 
 6  x   4 
   3  
 2   2 x1   6 
     
  1   2 x2     3 
 6   2 x   12 
   3  
2 – 2x1 = 6  -2x1 = 4  x1= -2
-1 – 2x2 = -3  -2x2 = -2  x2 = 1
6 – 2x3 = 12  -2x3 = 6  x3 = -3
Jadi
  2
 
vektor x   1 
  3
 