GRAFIK FUNGSI GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Fungsi Trigonometri yang sederhana dapat digambarkan langsung grafiknya dengan jalan
mensubtitusikan harga-harga
harga x dan y kemudian buat gambar.
Fungsi trigometri yang tidak sederhana, tidak dapat digambarkan langsung grafiknya.
Untuk menggambarkan grafik fungsi ini ada beberapa syarat yang perlu dan cukup yaitu :
1. Sederhanakan fungsi itu;
2. Tentukan harga ekstrim
3. Tentukan titik potong kedua sumbu
4. Tentukan titik lainnya
Kemudian digambarkan selengkapnya
selengkapnya.
Contoh : 1. Gambarkan grafik Y = sin x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°
X
Y
0°
0
30°
0,5
60°
2,83
90°
1
120° 150° 180° 210° 240° 270°
0,86 0,5
0
-0,5 -0,86 -1
300°
-0,86
330° 360°
-0,5
0
2
Gambarkan grafik Y = 2 sin x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°
X 0° 30°
60°
Y
1,72
0
1
90° 120°
2
1,72
150°
180°
210°
240°
270°
300°
1
0
-1
-1,72
-22
-1,72
330° 360°
-1
0
3
Gambarkan grafik Y = cos x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°
X
Y
0°
1
30°
0,86
60°
0,5
90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
0
-0,5 -0,86 -1 -0,86 -0,5
0
0,5 0,86
1
Sb. Y
1
1/2√3
1/2
120°
0
30°
60°
150°
180°
210°
240°
270°
90°°
300°
330
330°
360°
Sb. X
-1/2
-1/2√3
-1
4
Gambarkan grafik Y = cos 2 x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°
X
Y
0° 30°
0 0,5
60°
-0,5
0,5
90°
0
120°
-0,5
150°
0,5
180°
1
210°
0,5
240°
-0,5
270°
-1
300°
-0,5
330°
0,5
360°
1
5
Gambarkan grafik Y = 2 cos x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°
X 0° 30° 60° 90° 120°
Y 2 1,72 1
0
-1
150°
-1,72
180°
-2
210°
-1,72
240° 270° 300° 330° 360°
-1
0
1
1,72
2
Soal dan penyelesaiannya
1
Gambarkan grafik Y = 2sin² x + 5 sin x -3 dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°
Y = 2 sin2x + 5 sinx-3
•
Titik potong pada sumbu x, y = 0
Y = 2 sin2x + 5 sinx-3
0 = 2 sin2x + 5 sinx-3
(2sinx - 1)
(sinx+3)
2sinx – 1 = 0
sinx+3=0
2sin =1
sinx=3
Sinx = ½
X = 30,150
Koordinat (30,0)(150,0)
•
Titik potong pada sumbu y, x = 0
Y = 2 sin2x + 5 sinx-3
Y = 2 sin2 0+ 5 sin 0-3
Y=3
Koordinat (0,-3)(180,-3)(360,-3)
•
Y max, sin x = 1
Y = 2 sin2x + 5 sinx-3
Y = 2 (1)2 + 5 (1)-3
Y=4
Koordinat (90,4)
Y min, sinx = -1
Y = 2 sin2x + 5 sinx-3
Y = 2 (-1)2 + 5 (-1)-3
Y = -6
Koordinat (270,-6)
Koordinat lain
X = 60,120 sin x = ½
Y = 2 sin2x + 5 sinx-3
Y = 2 (½)2 + 5 (½)-3
Y = 2,8
Koordinat (60,2.8)(120, 2.8)
•
•
X = 210,330 sin x = - ½
Y = 2 sin2x + 5 sinx-3
Y = 2 (-½)2 + 5 (-½)-3
Y = -5
Koordinat (210,-5)(330,-5)
5)
X = 240, 300 sin x = ½
Y = 2 sin2x + 5 sinx-3
Y = 2 (-½ )2 + 5 (-½ )-3
Y = 2 (3/4) – 5/2
–3
Y= -5,8
Koordinat (240, 5.8)(300,5.8)
X
Y
0°
-3
30°
0
60°
2,83
90°
4
120° 150° 180° 210°
2,83
0
-3
-5
240°
-5,83
270°
-6
300°
-5,83
330° 360°
0
-3
2
Gambarkan grafik Y = 2 sin 2x + 6 Cos
Cos² x -5 dalam interval 0° ≤ x ≤360°
360°
y = 2sin 2x + 6 cos2x5
= 2 sin 2x + 6(1- sin2 )- 5
= 2 sin 2x + 6sin2 )+1
X
0°
30°
60°
90°
120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
Y
1
2,5
-1,8
--5
-1,8
2,5
1
-2,2
-5,2
-5
-5,2
-2,2
1
3
Gambarkan grafik Y = 3 cos x + 7 sin x - 6
X
Y
0°
-3
30°
0,09
60° 90°
1,56 1
120°
-1,4
150°
-5,09
180° 210°
-9
-12,09
240°
-13,5
13,5
270°
-13
300°
-10,56
330°
-6,9
5
Gambarkan grafik Y = 2 sin² y +5 sin x cos x + 10 cos² x -7,9
y = 2sin 2x + 5 sin2x cosx + 10 cos2x – 7,9
= 2 sin2x + 5(1/2 sin 2x) + 10(1
10(1- sin2x ) -7,9
= 5/2 sin 2x – 8 sin2x- 2,1
X 0° 30°
Y 2,1 2,3
60°
4,8
90°
-5,9
120°
4,8
150°
2,3
180°
2,1
210°
-2,06
240°
-6,06
6,06
270°
-5,19
300°
-6,06
330°
-2,06
FUNGSI CYCLOMETRI
Fungsi Cyclometri merupakan invers/ balikan dari fungsi Trigonometri
Fungsi Trigonometri
Fungsi Cyclometri
Y = sin α
α = arc sin Y
Y = cos α
α = arc cos Y
Y = tag α
α = arc tag Y
Y = cotg α
α = arc cotg Y
Y = sec α
α = arc sec Y
Y = cosec α
α = arc cosec Y
Misal : Y = sin α
½ = sin α
α = are sin ½
Perhatikan gambar Segitiga ABC berikut :
C
1
P
α
B
A
sin α = cos α =
cotg =
cosec =
= tag =
=
sec =
=
Fungsi Cyclometri
α = arc sin P
α = arc cos α = arc tag
α = arc cotg
α = arc sec
α = arc cosec Contoh :
1. = arc cos (-1/2). Tentukan fungsi trigonometri
2. Hitunglah
a. Cotg (arc sin a )
b. Sin (arc tg b)
Jawab :
1. α = arc cos (-1/2)
-1/2 = cos α
Y = cos α
2
-1
Y = cos 120
sin α = -1/2
cos α =
tag α =
cotg α =
sec α = -2
cosec α =
2. a. cotg (arc sin a)
misal : α = are sin a
sin α = a
1
a
cotg (arc sin a) = cotg a
=
b. sin (arc tg b)
misal : β = are tg b
tg β = b
sin (arc tg b) = sin β
=
=
b
1
Penjumlahan Pada Fungsi Cyclometri
1. arc sin p + arc sin (-p) = 0
2. arc cos p + arc cos (-p) = 3. arc cotg p + arc cotg (-p) = 4. arc sin p + arc cos p = ½ 5. arc tg p + arc cotg p = ½ Jumlah dan Selisih Pada Fungsi Cyclometri
1. arc sin p - arc sin q = arc sin [p -q ]
2. arc sin p + arc sin q = arc sin [pq- + ]
3. arc cos p – arc cos q = arc cos [p -q - ]
4. arc cos p + arc cos q = arc cos [pq- 5. arc tg p – arc tg q = arc tg
6. arc tg p + arc tg q = arc tg
7. arc cotg p + arc cotg q = arc tg
8. arc cotg p – arc cotg q = arc tg
Sudut Rangkap Pada Cyclometri
1. 2 arc sin p = arc sin (2p2 - 1) +
2
2. 2 arc cos p = arc cos (2p - 1)
3. 2 arc tg p = arc tg (
4. 2 arc cotg p = are cotg )+
)
Soal dan Penyelesaiannya
1. Buktikan
a. Tan (arc sin p) =
Bukti :
1
Misal : arc sin p = α
p
Sin α = p
Tan (arc sin p) = tan α
=
(terbukti)
b. Tan (arc cos p) =
Bukti :
Misal : arc cos p = α
Cos α = p
Tan (arc cos p) = tan α
=
(terbukti)
2. arc tan = ……?
Jawab : are tan
5
4
α
sin α
=
cos α
=
tag α
=
cotg α =
3
sec α
=
cosec α =
3. Sin (arc tan ½ )…..?
Jawab :
Misal : arc tg ½ = 1
Tg = ½
2
Sin (arc tg ½ ) = sin =
4. Cos (arc sin ¼ ) = …..?
Jawab :
Misal : arc sin ¼ = Sin = ¼
4
α
1
Cos (are sin ¼ ) = cos Cos =
5. Tan (arc cotan 2)=…..?
Jawab :
Misal : arc cotan 2 = Cotan = 2
Tan (arc tan 2) = tan =½
1
α
2
6. Buktikanlah :
2 arc tan 4/3 = !" + arc tan 7/24
Bukti :
2 arc tan
= arc tan
= are tan
= arc tan
$ %
$
%
# & '( )
) )
*
%
+
+
= arc tan
+
2 arc tan = arc tan
+
(terbukti)
7. 3 arc tan = - arc tan
+
Bukti :
3 arc tan = 2 are tan
+ arc tan
= + ( arc tan
+
= + arc tan (
= - arc tan
+
)
+
3 arc tan = - arc tan
)+
= + arc tan + arc tan )
, $
$ %
, $
$ %
+
(terbukti)
8. Hitunglah x dari persamaan
a. arc cos
+ arc cos
+
= arc cos x
jawab :
are cos ( -. # & / # & 0 = arc cos x
+
+
12
-# arc cos
12
-#
arc cos
12
arc cos
2
arc cos (
-
2
34
& 140
34
= arc cos x
3
& 140
= arc cos x
= arc cos x
= arc cos x
2
jadi, x =
b. arc sin
4
+ arc sin = arc sin x
jawab :
4 are sin ( -. # & / . # & / + )= arc cos x
arc sin (
+
arc sin
+
2
2
arc cos -
-# -
2
32
2
+
+
1
4
& 0 + ) = arc cos x
31
= arc cos x
= arc cos x
jadi, x = 2
c. arc tan
+
+ arc tan
4
= arc tan x
jawab :
'5 '
', )
'5 '
', )
)+
arc tan (
%'5
$)%
$56%5,
$)%
arc tan
arc tan -
+1
4
arc tan -
.
+
4
+4
+1
4
+
= arc tan x
= arc tan x
+
= arc tan x
= are tan x
jadi, x = -
+1
+
Misal : α = arc tan + arc tan
4
9. Hitunglah :
a. Tan (arc tan + arc tan )
Jawab :
''
%
' '
%
= arc tan (
= arc tan
)+
5
(
5
(
+
= arc tan -1 +
α = 1350 + 900
α = 2250
= tan (arc tan + arc tan )
= tan α
=1
b. cos (arc tan + arc tan )
Jawab :
Misal : α = arc tan + arc tan
''
%
' '
%
)+
= arc tan (
= arc tan
5
(
5
(
+
= arc tan -1 +
α = 1350 + 900
α = 2250
= cos (arc tan + arc tan )
= cos α
= - "
c. Sin (arc tan
3
– are cos
Jawab :
Misal : α = are cos
Cos α =
Tan α =
α = arc tan
)
3
= sin (arc tan
5( 5
%% '
5( 5
%% '
= sin (arc tan
0
(,<'(5
%)(
(,(
%)(
= sin (arc tan
= sin (arc tg
789:7; )
2+
3+3
)
)
= sin (arc tg )
= sin α
=
d. Tg (arc tg + arc cos )
Jawab :
Misal : α = arc tg
Tg = α
Cos α =
α = arc cos
= tg (arc cos
+ arc cos )
= tg (are cos (
= tg (arc cos (
-. # & / # & 0
3
+
-# & 0)
3
= tg (arc cos (
3
3
= tg arc cos
= tg (arc cos
+
- 0 )
=
-
=3
12
)
= tg (α)
=
1=
4
=
= 2,47
e. cotan (arc tan + arc tan )
Jawab :
= Cotan (2 arc tan )
= cotan (arc tan
' %
'
%
# & )
1 = cotan (arc tan - )
4 = cotan (arc tan + )
0
0
= cotan (-53 +90 )
= cotan 370
=1,33
10. Sin (arc cos + arc cos 0)
Jawab :
= Sin (arc cos + arc cos 0)
= sin (α)
=0
jawab :
'
)
%
= are tan
+
+ 2 (arc tg + arc tan
= are tan
+
+ 2 (arc tg + arc tan )
= are tan
+
+ 2 (arc tan
= are tan
= are tan
+ 2 (arc tan 0
+
+ arc tan = are tan
+ arc tan
11.are tan
+
+
+
)
1 ' $
%
'$
%
4 )
2
'
)
%
"
)
+ (arc tg + 2 arc tan
)
jawab :
'
)
%
= are tan
+
+ 2 (arc tg + arc tan
= are tan
+
+ 2 (arc tg + arc tan )
= are tan
+
+ 2 (arc tan
= are tan
= are tan
+ 2 (arc tan 0
+
+ arc tan = are tan
+ arc tan
12.2 arc cos
+
+
)
1 ' $
%
'$
%
4 )
2
'
)
%
+ arc cotan
= arc cos 2 #
"
)
3
+ arc cos
3
+
+
2
– 1 + arc cotan
+ arc cos
&
= (arc cos
= arc cos
= arc cos
= arc cos
+ arc cos
+
.
= arc cos
= arc cos
= arc cos
3
+
+3
3
+
21
3
+
3
+
– -@ #
--
21+1 24
–
23
1=1
3
3
+
3
+
21
+ arc cos
34 3
+ arc cos
= arc cos [
) + arc cotan
–-> 0
?> 0
? + arc cotan
--
+
& A > 3
0
?
+
23
312=1
+0
3
+
13. cos arc sin p = misal : arc sin p = α
sin α = p
p
cos α = jadi cos α = cos arc sin p = (terbukti)
14. Sin arc cos p = Misal : arc cos p = α
Cos α = p
Sin α = Jadi
sin α = sin arc cos p = 1
(terbukti)
15. Tg arc cos p = Jawab:
Misal arc cos p = α
1
Cos α = p
Tg α =
α
Jadi
Tg α =
Tg arc cos p =
16. Cos arc sin
p
(terbukti)
Jawab :
Misal arc sin = α
3
1
Sin α = α
Cos arc sin = cos α
=
17. Tg arc sin
2√2
)/3
Jawab :
Misal arc sin
=α
Sin α =
Tg α =
3
-
3
α
B
Tg arc sin
=
18.Cos arc sin
= tg α
3
Jawab :
Misal arc sin = α
Sin α =
Cos α =
Jadi arc sin = cos α
=
2
1
α