Vektor

 Vektor : Besaran fisik yang memiliki besar
dan arah
Contoh: kecepatan, percepatan, gaya,
momentum, medan magnet, medan listrik
Skalar : Besaran fisik yang hanya memiliki
besar saja (tidak memiliki arah)
Contoh: waktu, suhu, panjang, luas, volum,
massa
Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya
tertentu. (Arah garis menunjukkan arah vektor
dan panjang garis menunjukkan besar vektor)
Vektor dinyatakan dgn huruf ū, u, u (bold), atau
u (italic).
Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke
B, maka ditulis dengan lambang u = AB
Notasi u dibaca “vektor u”
• Vektor sebagai pasangan bilangan
u = (a,b) atau u = (a,b,c)
• Vektor sebagai kombinasi vektor satuan i, j, k
u = ai + bj atau u = ai + bj + ck
• Panjang vektor u (norma dari v) ditentukan
oleh rumus:
2
2
2
2
u = a + b atau u = a + b + c
2
Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka
u + v = (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
u – v = (a,b) + (-c,-d) = (a - c, b - d)
Contoh:
u = (3,-2) dan v = (-2,3)
u + v = (1,1)
u – v = (5,-5)
Catatan: Operasi ini juga berlaku untuk vektor di R3
Misalkan u = (a,b), k dan l adalah sembarang
skalar maka:
ku = (ka,kb)
(k+l)u = ku + lu
Contoh
• u = (-4,2) -3u = (12,-6)
Catatan: Operasi ini juga berlaku untuk vektor di R3
Vektor satuan adalah sebuah vektor yang
didefinisikan sebagai satu satuan vektor.
Jika digunakan sistem koordinat Cartesian
(koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x dan
sumbu y dan sumbu z.
Vektor satuan pada sumbu x adalah i, vektor
satuan pada sumbu y adalah j dan pada sumbu z
adalah k.
Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnya
adalah satu satuan
Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka:
u∙v = ||u|| ||v|| cos θ
Dimana:
||u|| = panjang vektor u
||v|| = panjang vektor v
θ = sudut antara vektor u dan v
Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka:
||u × v|| = ||u|| ||v|| sin θ
Dimana:
||u|| = panjang vektor u
||v|| = panjang vektor v
θ = sudut antara vektor u dan v
Misalkan: u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3).
u ⋅ v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Contoh:
Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)
tentukanlah u∙v !
Solusi: u ⋅ v = u1v1 + u2v2 + u3v3
= (−1)(2) + (3)(−4) + (−2)(1)
= −2 + (−12) + (−2) = −16
Misalkan: u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) maka:
i
j
u × v = u1 u2
v1 v2
k
u2 u3
u1 u3
u1 u2
u3 =
i−
j+
k
v2 v 3
v1 v3
v1 v2
v3
Contoh:
Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)
tentukanlah u×v !
u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)
i
j k
u× v = −1 3 −2
2 −4 1
3 −2 −1 −2 −1 3
=
i−
j+
k
−4 1
2 1
2 −4
= [3(1) −(−2)(−4)] i −[(−1)(1) −(−2)(2)] j +[(−1)(−4) −3(2)] k
= (3 − 8)i −(−1 + 4) j +(4 −6)k
=−5i − 3j −2k
Jika u dan v adalah vektor tak nol maka :
u⋅ v
cos θ =
u v
Contoh
Tentukan (θ) sudut antara vektor u dan v jika:
u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)
Solusi
u ⋅ v = (2, −1,1) ⋅ (1,1,2)
= (2)(1) + ( −1)(1) + (1)(2)
= 2 −1 + 2 = 3
cos θ =
u⋅ v
=
u v
u = 22 + ( −1)2 + 12 = 6
v = 12 + 12 + 22 = 6
3
1
= ⇔ θ = 60o
6 6 2
Jika u dan v adalah vektor tak nol maka :
(i) θ lancip jika dan hanya jika u ⋅ v > 0
(ii) θ tumpul jika dan hanya jika u ⋅ v < 0
(iii) θ =
π
2
jika dan hanya jika u ⋅ v = 0
Contoh
Tentukan apakah u dan v membentuk sudut
lancip, tumpul, atau ortogonal
u = (7, 3, 5) dan v = (-8, 4, 2)
Solusi
u ⋅ v = (7)( −8) + (3)(4) + (5)(2)
= −56 + 12 + 10
= −34 < 0
Jadi, u dan v membentuk sudut tumpul
1. Misalkan u = (1,2,3), v = (2,-3,1), dan w = (3,2,-1).
Carilah komponen-komponen dari:
a. 2u+3v
b. 7v – 3w
c. 2v – (u + w)
2. Hitunglah panjang (norma) vektor v jika:
a. v = (3,4)
b. v = (-8,7,4)
3. Misalkan u = (1,-3,2), v = (1,1,0), dan w = (2,2,-4). Tentukanlah:
a. u + v
b.
u+v
c.
1
w
w
4. Tentukanlah u ⋅ v dan u × v dan cosθ (θ sudut antara u dan v)
jika diketahui:
a. u = (1,-3,7) dan v = (8,-2,-2)
b. u = (4,1,6) dan v = (-3,0,2)
c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5)
5. Tentukan apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul,
atau ortogonal jika diketahui:
a. u = (1,-3,7) dan v = (8,-2,-2)
b. u = (4,1,6) dan v = (-3,0,2)
c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5)
Vektor di R2
•
1)
2)
3)
u = (a,b) , v = (c,d)
u + v = (a+c, b+d)
u - v = (a-c, b-d)
Norma (besar) vektor u
u = a2 + b2
4) Perkalian Titik (dot
product)
5) Perkalian Silang (cros
Product)
Vektor di R3