PD Non Homogen - Binus Repository

Modul 10 (Pertemuan-10)
♦ P.D. Non Homogen [ f ( x ) ≠ 0 ]
Untuk menyelesaikan terdapat 2
langkah:
(i). Menyelesaikan P.D Tereduksi /
homogen → fungsi pelengkap
(ii).Menyelesaikan integral khusus
Maka jawab lengkap P.D = jawab
umum P.D Tereduksi + integral
khusus
Sedangkan untuk menyelesaikan
integral khusus ada 2 cara, yaitu:
a. dengan operator derivatif
b. dengan memisalkan bentuk umum
dari f ( x )
Yang akan kita bicarakan terbatas:
f ( x ) = ae kx
f ( x ) = a cos kx atau a sin lx
f ( x ) = a0 x n + a 1 x n− 1 + a 2 x n− 2 + ...
→ polynom
f ( x ) = gabungan fungsi-fungsi diatas
a. Integral khusus dengan operator D
Teori I: ( D − p1 )( D − p2 ) y = f ( x )
karakteristik
misal: z = ( D − p2 ) y
( D − p1 ) z = f ( x ) → Dz − p1z = f ( x )
z ′ − p1 z = f ( x )
uz ′ - p1 uz = ( uz ) ′ = u. f ( x )
dengan u = u( x ) → faktor integrasi
kiri P.D Eksak → u′ = − p1 u
du
= − p1 dx → ln u = − p1 x
u
u = e − p1x
′ = e − p1x . f x
uz
( )
( )
uz = ∫ e − p1x . f ( x ) dx
z = e p1x . ∫ e − p1x . f ( x ) dx = g( x )
( D − p2 ) y = z → jadi integral khusus:
y = e p2 x . ∫ e − p2 x . g( x ) dx
dst. analog untuk P.D yang ordernya
lebih tinggi
dapat digunakan langsung
Contoh:
1. y ′′ − 4 y = e 3 x , integral khusus?
Jawab:
( D − 2 )( D + 2 ) y = e 3 x , k = 3
misal:
( D + 2) y = z → ( D − 2) z = e 3 x
z = e 2 x ∫ e 2 x . ∫ e −2 x . e 3 x dx = e 2 x ∫ e x dx
z = e 3x
( D + 2) y = z → ( D + 2) y = e 3 x
y = e −2 x . ∫ e 2 x . e 3 x dx = e −2 x . ∫ e 5 x dx
1 −2 x 5 x 1 3 x
y= e
.e = e
5
5
1 3x
Jadi integral khusus: y = e
5
2. y ′′ − 4 y = 2 e x − e 3 x , integral khusus?
Jawab:
x − e 3x
D
−
2
D
+
2
y
=
2
e
(
)(
)
misal:
( D + 2) y = z → ( D − 2) z = 2 e x − e 3 x
(
)
z = e 2 x . ∫ e −2 x . 2e x − e 3 x dx
(
)
z = e 2 x .[ −2e − x − e x ] = −2e x − e 3 x
= e 2 x . ∫ 2e − x − e x dx
( D + 2) y = z → ( D + 2) y = − 2 e x − e 3 x
[
]
y = e −2 x . ∫ e 2 x −2e x − e 3 x dx
[
]
y = − e −2 x . ∫ 2e 3 x + e 5 x dx
2 3x 1 5 x 

−
2
x
= −e
 3 e + 5 e 
2 x 1 3x
y = − e − e → integral khusus
3
5
3. y ′′ − 4 y = 2 e −3 x − e x , integral khusus?
Teori II: f ( x ) = e kx
1. ( D − p) . e kx = De kx − p . e kx
( D − p) . e kx = k . e kx − p. e kx
( D − p) . e kx = ( k − p) . e kx
seolah-olah D diganti dengan k
2. ( D − p) −1 → invers dari ( D − p)
( D − p) − 1 .( D − p) . f ( x ) = f ( x )
( D − p) −1 .( D − p) . e kx = e kx
( D − p) −1 .( D − p) . e kx =
( D − p) − 1 =
1
( k − p)
1
. e kx
k− p
1
1
=
→ berarti D dapat
( D − p) ( k − p) diganti dengan k
karena:
[
]
a0 . D n + a 1 . D n− 1 + ...+ a n y = f ( x )
F ( D) . y = e kx
e kx
maka integral khusus: y =
F ( D)
Contoh:
(
)
1. y ′′ − 4 y = e 3 x → D 2 − 4 y = e 3 k
e 3k
e 3x
y=
=
,k = 3
D 2 − 4 ( D − 2 )( D + 2 )
e 3k 1 3x
= e
y=
1.5 5
2. y ′′ − 4 y = 2e x − e 3 x , integral khusus?
Jawab:
2e x − e 3 x
y=
( D − 2 )( D + 2 )
2e x
e 3x
−
=
( D − 2 ) ( D + 2 ) ( D − 2 )( D + 2 )
2e x e 3 x 2e x
y=
−
=
−1.3 1.5
−3
2 x 1 3x
integral khusus: y = − e − e
3
5
b. Integral khusus dengan pemisalan /
bentuk umum f ( x )
Contoh:
1. y ′′ − 4 y = e 3 x
misal:
y = ae 3 x , y ′ = 3 ae 3 x , y ′′ = 9 ae 3 x
P.D →
→ 9 ae 3 x − 4 ae 3 x ≡ e 3 x
1
→ 5a = 1 → a =
5
1 3x
jadi integral khusus: y = e
5
2. y ′′ − 4 y = 2 e x − e 3 x ,
integral khusus?
Jawab :
misal: y = ae x + be 3 x
y ′ = ae x + 3 be 3 x
y ′′ = ae x + 9 be 3 x
P.D
ae x + 9 be 3 x − 4 ae x − 4 be x
→
≡ 2e x − e 3 x
−3 ae x + 5 be 3 x ≡ 2e x − e 3 x
2
− 3a ≡ 2 → a = −
3
1
5b − 1 → b = −
5
2 x 1 3x
integral khusus: y = − e − e
3
5
3. y ′′ − 4 y = 2 e −3 x − e x ,
integral khusus ?
dengan pemisalan
4. y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 2e x − 3e −3 x ,
integral khusus ?
dengan pemisalan
♣ Integral khusus, jika f ( x ) memuat
sin ax, cos ax atau kedua-duanya
Contoh:
1. y ′′ + 4 y = sin 3 x
a. - dengan teori I → panjang
- dengan teori II, berdasar :
D sin ax = a .cos ax
D 2 sin ax = − a 2 sin ax
D 3 sin ax = − a 3 cos ax
D 4 sin ax = − a 4 sin ax
D cos ax = − a sin ax
D 2 cos ax = − a 2 cos ax
→ D2 = − a 2
D 3 cos ax = − a 3 sin ax
D 4 cos ax = − a 4 cos ax
→ D4 = − a 4
(
)
berarti: D 2 + 4 y = sin 3 x
y=
sin 3 x
D2 + 4
sin 3 x
,a = 3
1
sin 3 x
y=
=
= − sin 3 x
5
− a 2 + 4 −9 + 4
jadi integral khusus:
1
y = − sin 3 x
5
b. dengan pemisalan
y ′′ + 4 y = sin 3 x , misal:
y = a sin 3 x
y ′ = 3 a cos 3 x
y ′′ = −9 a sin 3 x
−9 a sin 3 x + 4 a sin 3 x = sin 3 x
1
−5 a = 1 → a = −
5
jadi integral khusus:
1
y = − sin 3 x
5
2. y ′′ + 2 y = 2 sin x − 3 cos 2 x ,
integral khusus?
Jawab:
a. - dengan teori I → panjang
- dengan teori II:
D 2 + 2 y = 2 sin x − 3 cos 2 x
(
y=
)
2 sin x − 3 cos 2 x
D2 + 2
2 sin x 3 cos 2 x
=
−
D2 + 2 D2 + 2
2 sin x 3 cos 2 x
−
y=
−a2 + 2 −a2 + 2
2 sin x 3 cos 2 x
=
−
−1 + 2 −4 + 2
jadi integral khusus:
1
y = 2 sin x + 1 cos 2 x
2
b. dengan pemisalan:
y = a sin x + b cos 2 x
y ′ = a cos x − 2 b sin 2 x
y ′′ = − a sin x − 4 b cos 2 x
y ′′ + 2 y = 2 sin x
− a sin x − 4 b cos 2 x + 2 a sin x + 2 b cos 2 x
= 2 sin x − 3 cos 2 x
a=2
1
− 2 b = −3 → b = 1
2
jadi integral khusus:
1
y = 2 sin x + 1 cos 2 x
2
3. y ′′ + 5 y ′ + 6 y = 3 cos 2 x ,
integral khusus?
Jawab: dengan teori I dan II
panjang / sulit
dengan pemisalan:
y = a cos 2 x → y ′ = −2 a sin 2 x
y ′′ = −4 a cos 2 x
y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 3 cos 2 x
−4 a cos 2 x + 10 a cos 2 x + 6 a cos 2 x
≡ 3 cos 2 x
1
12 a = 3 → a =
4
1
jadi integral khusus: y = cos 2 x
4
4. y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 2 sin 3 x − cos 2 x ,
integral khusus?
5. y ′′′ − 2 y ′ + y = 2 sin x − cos x ,
integral khusus?
♣ Integral khusus untuk f ( x ) =
polinom
contoh:
1. y ′′ − 4 y = x 2 − 3 x
a. - dengan teori I → panjang
- dengan teori II
(
)
D2 − 4 y = x 2 − 3x
y=
x 2 − 3x
D2 − 4
=
1
D2 − 4
(
(
x 2 − 3x
)
1 1 2 2

y = − −
D  x − 3x *
 4 16

1 2 3
1
y = − x + x − ( 2)
4
4
16
integral khusus:
1 2 3
1
y = − x + x−
4
4
8
)
* − 4 + D2 1
1 2
1− D
4
1 2
D
4
1 2 1 4
D −
D
4
16
1 4
D
16
1 1 2
=− −
D
4 16
b. dengan pemisalan:
bentuk
misal: y = ax 2 + bx + c → umum
dari
y ′ = 2 ax + b
f ( x)
y ′′ = 2 a
y ′′ − 4 y = x 2 − 2 x
→ 2 a − 4 ax 2 − 4 bx − 4 c ≡ x 2 − 3 x
1
− 4a = 1 → a = −
4
3
− 4 b = −3 → b =
4
1
2a − 4 c = 0 → c = −
8
integral khusus:
1 2 3
1
y= − x + x−
4
4
8
♣ Integral khusus jika f ( x )
merupakan gabungan: e kx ,sin dx ,
polinom
Contoh:
1. y ′′ − 4 y = 2 e x − 3 cos 3 + 4 x − 1
jb. misal: y = ae x + b cos x + cx + d
y ′ = ae x + b sin x + c
y ′′ = ae x − b cos x
ae
x
− b cos x − 4 ae
x
− 4 b cos − 4 cx − 4 d
≡ 2 e x − 3 cos x + 4 x − 1
2
−3 a = 2 → a = −
3
3
−5 b = −3 → b =
5
−4 c = 4 → c = −1
1
−4 d = −1 → d =
4
integral khusus:
2 x 3
1
y = − e + cos x − x +
3
5
4
Silahkan mencari dengan teori I
atau teori II
2. y ′′ − 9 y = x . e 2 x
jb. dengan teori I
(
)
D 2 − 9 y = ( D + 3)( D − 3) y = x . e 2 x ,
mis: ( D − 3) y = z
( D + 3) . z = x . e 2 x
→ z = e −3 x ∫ e 3 x . xe 2 x dx
z = e −3 x ∫ e 5 x . x dx
1  5x 1 5x 
x
3
−
=e
.  xe − e 
5
5

1 2x 
1
z = e x − 

5
5
1 2x 
( D − 3) y = z → ( D − 3) y = e  x −
5
1 2x 
1
3
x
−
3
x
. e  x −  dx
y=e ∫e
5

5
1 3x − x 
1
y = e ∫ e  x −  dx

5
5
1
1 3x  − x 

−
x
= e − e  x −  − e 

5
5


1 2x 
4
y = e − x − 
5
5

4  2x
 1
→ y = − x −  e
 5
25 
1

5
♣ Keadaan f ( x ) memuat e kx yang
telah menjadi jawab P.D Homogen
Contoh:
1. y ′′ − 4 y = 3 e 2 x
jb.
- dengan teori II secara langsung
gagal
- dengan pemisalan y = ae 2 x
gagal
- dengan teori I
( D − 2)( D + 2) y = 3e 2 x , misal
( D + 2) y = z
( D − 2) z = 3 e 2 x
→ z = e 2 x ∫ e −2 x .3 e 2 x dx
z = e 2 x ∫ 3 dx = 3 xe 2 x
( D + 2) y = z
→ ( D + 2) y = 3 x . e 2 x
y = e −2 x ∫ e 2 x .3 xe 2 x dx
y = 3 e −2 x ∫ xe 4 x dx
 1 4x 1 4x 
−
2
x
= 3e
xe −
e
 4
3 2x 
1
y = e x − 
4
4

16
