Aljabar Linear

Aljabar Linear
& Matriks
Pert. 7 - 8
Evangs Mailoa
Yang dipelajari hari ini:
•
•
•
•
Aritmatika Vektor
Konsep Geometrik
Titik, Garis dan Bidang
Perkalian Titik
Euclidean Vector Spaces I
There are two major topics in this module:
Euclidean n-Space, ℜn
Linear Transformations from ℜn to ℜm
Some Important
Properties of Vector Operations in ℜn
If u, v, and w are vectors in ℜn and k and s are scalars, then the
following hold: (See Theorem 4.1.1)
a) u + v = v + u
b) u + ( v + w ) = (u + v) + w
c) u + 0 = 0 + u = u
d) u + (-u) = 0
e) k(su) =(ks)u
f) k(u + v) = ku + kv
g) (k + s)u = ku + su
h) 1u = u
Pengenalan
y
• Koordinat
- 2D
Ini yang akan
sering digunakan
dalam dunia
komputer
x
y
- Aturan tangan kiri 3D
z
y
x
x
- Aturan tangan kanan 3D
z
Vektor
 Sebuah vektor mempunyai panjang dan arah.
 Vektor dinyatakan dengan cara yang sama
dengan koordinat titik:
• Point (5,10)
• Vector (5,10)
 Tetapi bagaimana perbedaannya?
Vektor
Sebuah titik mempunyai lokasi
P = (5,10)
v = (5,10)
Sebuah vektor tidak
mempunyai lokasi
Sebuah vektor adalah sebuah
lintasan antara satu titik
dengan titik yang lain
Vektor
Vektor dapat ditentukan
dengan pengurangan
koordinat titik
v=Q–P
P = (1,10)
v = (8-1,1-10)
v = (7, -9)
v
Q = (8,1)
Dengan kata lain,
v mengatakan pada kita
bagaimana untuk
mendapatkan dari P ke Q
Vektor
P = (1,10)
v
Q = (8,1)
 Definisi
 Perbedaan antara
dua titik adalah
sebuah vektor
v=Q-P
 Jumlah titik dan
vektor adalah titik :
Q=P+ v
Vektor
Quiz!
 Tentukan vektor dari P = (9,10) ke Q = (15,7) ?
• v = (6, -3)
 Tentukan titik dari hasil penambahan vektor
v = (9,-20) dengan titik P = (1,2) ?
• Q = (10, -18)
 Tentukan titik dari hasil penambahan vektor
v = (-9,35) dengan titik P = (-1,-2) ?
• Q = (-10, 33)
Operasi Vektor
Ada dua operasi dasar vektor:
 skala
• 8v
• jika v = (1,2) maka 8v = (8,16)
 tambah
•v+a
• v = (3,4), a = (8,1) maka v+a = (11,5)
Operasi Vektor
• Penskalaan vektor
v
2v
0.5v
-0.5v
Operasi Vektor
• Penambahan vektor
a
v
v+a
v
-a
a
v-a
v
Operasi Vektor
Operasi Vektor
Kombinasi Linier
 Penambahan vektor skala bersama-sama
• 8v + 2a
Definisi
 Kombinasi linier dari m vektor v1, v2,…,vm
adalah vektor:
 w = a1v1 + a2v2 + … + amvm
Operasi Vektor
Kombinasi Linier
 Contoh
• v = (1,2,3) dan a = (1,1,1)
• 2v + 3a = (2,4,6) + (3,3,3) = (5,7,9)
Operasi Vektor
• Kombinasi Linier
–Kombinasi Affine
• Jumlah semua komponen adalah satu
–a1 + a2 + … + am = 1
• Contoh: 3a + 2b – 4c (3+2-4=1)
• Penentuan kombinasi affine
–(1-t)a + (t)b
Operasi Vektor
• Pertanyaan
Tentukan koefisien untuk transformasi affine:
• ia + jb + Xc
• Berapakah koefisien c?
i+j+X=1
X = 1 – i – j maka
• ia + jb + (1-i-j)c
Operasi Vektor
• Kombinasi Linier
– Kombinasi Konvek
• Jumlah semua komponen satu … tetapi
• Semua koefisien harus diantara 0 dan 1
– Contoh.
• a1 + a2 + … + am = 1 dan
• 1 >= ai >= 0 untuk semua 1,…,m
– Contoh.
• .9v + .1w
• .25v + .75w
Operasi Vektor
• Kombinasi Linier
–Kombinasi Konvek
• Set semua kombinasi konvek dari dua
vektor v1 dan v2 adalah:
v = (1-a)v1 + av2
Operasi Vektor
• Kombinasi Linier
– Kombinasi Konvek
– v = (1-a)v1 + av2 dapat ditulis
lagi:
• v = v1 + a(v2-v1)
• Ini menunjukkan bahwa vektor
v akan menjadi v1 ditambah
beberapa versi skala dari
penggabungan v1 dengan v2
v2
v2 – v1
v
a(v2 – v1)
v1
Operasi Vektor
Semua nilai v
akan terletak di
kawasan ini
• Kombinasi Linier
– Kombinasi Konvek
– Diberikan 3 vektor v1, v2 dan
v3 maka kombinasi akan
menjadi:
– v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3
Contoh:
– v = 0.2v1 + 0.3v2 + 0.5v3
v3
v2
0.5v3
0.3v2
0.2v1
v1
Operasi Vektor
Semua nilai v
akan terletak di
kawasan ini
• Kombinasi Linier
– Kombinasi Konvek
• Diberikan 3 vektor v1, v2
dan v3 maka kombinasi
akan menjadi:
– v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3
Contoh :
– v = 0.5v1 + 0.5v2 + 0v3
v3
v2
0.5v2
0.5v1
v1
Operasi Vektor
• Besar
– Adalah panjang vektor
– Ditentukan menggunakan teorema Pitagoras
– Masih ingatkan akan teorema ini?
h
a
b
h

a b
2
2
Operasi Vektor
• Besar
– Teorema Pitagoras:
v
Koordinat y
|v|  x  y
2
Koordinat x
2
Operasi Vektor
• Besar
 Teorema Pitagoras:
Contoh:
Berapakah besar v = (5,10)?
|v| = sqrt(52+102) = sqrt(25+100) = sqrt(125)
= 11.18
Operasi Vektor
• Besar
P = (1,10)
v
Q = (8,1)
Operasi Vektor
• Vektor Normal
 Kadang kala sangat berguna untuk menskala
vektor menjadi vektor satuan sehingga
panjangnya adalah satu.
 Vektor normal disimbulkan dengan a topi: â.
 Yaitu pembagian koordinat vektor dengan
panjang vektor.
 â = a/|a|
Operasi Vektor
Contoh:
Berapakah vektor normal a = (1,5,3) ?
• |a| = sqrt(12 + 52 + 32) = 5.916
• â = (1/5.916, 5/5.916, 3/5.916)
= (0.169, 0.845, 0.5)
Operasi Vektor
• Perkalian titik
– Digunakan untuk menyelesaikan masalah
geometri dalam grafika komputer.
– Berguna untuk menentukan perpotongan
garis dengan vektor.
Operasi Vektor
• Perkalian titik
– Dihitung dengan perkalian dan
penambahan nilai baris dengan nilai
kolom.
– Definisi
• Perkalian titik dua vektor v٠w adalah:
n
v w
i 1
i
i
Operasi Vektor
 Perkalian titik
 Jika diketahui v = (v1,v2) dan w = (w1,w2)
 Perkalian titik, v ٠ w akan menghasilkan:
• (v1w1+v2w2)
 Contoh, v = (2,1) dan w = (3,5) maka v ٠ w akan
menghasilkan :
• 2*3 + 1*5 = 11
 Contoh, v = (2,2,2,2) dan w = (4,1,2,1.1), v ٠ w akan
menghasilkan :
• 2*4 + 2*1 + 2*2 + 2 * 1.1 = 16.2
Linear Operators for Rotation
Linear Operators for Rotation
Linear Operators for Rotation
Linear Operators for Rotation
Operasi Vektor
Perkalian titik
Contoh: Cari sudut antara (5,6) dan (8,2)
• cos(Ө ) = ĉ ٠ ê
• ĉ = c/|c| = (5,6) / sqrt(52+62)
= (5,6) / 7.8
= (0.64,0.77)
• ê = e/|e| = (8,2) / sqrt(82+22)
= (8,2) / 8.25
= (0.8,0.24)
• ĉ ٠ ê = 0.8248
• Ө = cos-1(0.8248) = 34.43
c
e
Ө
Operasi Vektor
 Perkalian titik
 Tegaklurus atau orthogonal atau normal?
• Dua vektor tegaklurus jika sudut yang
dibentuk anatar vektor ini adalah 90
derajad.
• jika e ٠ c > 0 sudut antara dua vektor
kurang dari 90o
• jika e ٠ c = 0 ; dua vektor tegaklurus
• jika e ٠ c < 0 sudut antara dua vektor lebih
dari 90o
e
c
e
c
e
c
Operasi Vektor
Perkalian titik
 Vektor-vektor yang berada pada
sumbu koordinat adalah tegak
lurus:
(0,1,0)
(1,0,0)
(0,0,1)
Cara penulisan:
vektor satuan
Operasi Vektor
Perkalian titik
 Sembarang vektor 3D dapat ditulis sebagai
kombinasi skalar dari 3 vektor satuan:
 (a,b,c) = ai + bj + ck
 (3,2,-1) = 3(1,0,0) + 2(0,1,0) – 1(0,0,1)
j=(0,1,0)
i=(1,0,0)
k=(0,0,1)
Mau bertanya..?