LAPORAN TUGAS AKHIR Topik Tugas Akhir: Kajian

LAPORAN TUGAS AKHIR
Topik Tugas Akhir:
Kajian Matematika Murni
GENERALISASI METODE PENGKONSTRUKSIAN PERSEGI AJAIB
ORDER GENAP DENGAN ELEMEN PENYUSUN BILANGAN
RASIONAL
TUGAS AKHIR
Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Malang
sebagai Salah Satu Prasyarat untuk Mendapatkan
Gelar Sarjana Pendidikan Matematika
Oleh:
YENI ROHMA YANTI
NIM: 201010060311137
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
2014
i
ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan
petunjuk dan hidayah-Nya sehingga penyusunan dan penulisan Tugas Akhir yang
berjudul “ Generalisasi Metode Pengkonstruksian Persegi Ajaib Order Genap
Dengan Elemen Penyusun Bilangan Rasional” ini dapat terselesaikan dengan baik
dan tepat waktu. Penelitian ini disusun sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan
gelar Sarjana Pendidikan Matematika.
Dalam penyusunan dan penulisan Tugas Akhir ini, peneliti banyak
mendapat bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu, pada kesempatan ini, penulis
mengucapkan terima kasih yang mendalam kepada:
1. Dr. Baiduri, M. Si, selaku Dosen Pembimbing I yang telah meluangkan waktu
dan kesabaran dalam membimbing penyelesaian skripsi ini.
2. Dr. Moh. Mahfud Effendi, M.M, selaku Dosen Pembimbing II yang telah
meluangkan waktu dan kesabaran dalam membimbing penyelesaian skripsi ini.
Semoga Allah SWT menunjukkan jalan dan memberikan cahaya-Nya, serta
melapangkan dada kita dengan limpahan iman dan keindahan tawakal kepada-Nya.
Peneliti menyadari bahwa penyusunan dan penulisan laporan tugas akhir ini masih
jauh dari sempurna, untuk itu saran dan kritik dari pembaca yang sifatnya
membangun sangat peneliti harapkan guna penyempurnaannya. Semoga laporan
Tugas Akhir ini dapat berguna bagi orang yang membacanya.
Malang, 23 Oktober 2014
Penulis
vii
DAFTAR ISI
Halaman Judul................................................................................................... i
Lembar Persetujuan .......................................................................................... ii
Lembar Pengesahan ........................................................................................ iii
Halaman Pernyataan Keaslian......................................................................... iv
Halama Motto....................................................................................................v
Halaman Persembahan .................................................................................... vi
Kata Pengantar ............................................................................................... vii
Abstrak .......................................................................................................... viii
Daftar Isi............................................................................................................x
Daftar Tabel ................................................................................................... xii
Daftar Gambar ............................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ...........................................................................................1
1.2 Rumusan Masalah ......................................................................................5
1.3 Pembatasan Masalah ..................................................................................5
1.4 Tujuan Kajian .............................................................................................6
1.5 Manfaat Kajian ...........................................................................................6
1.6 Metode Kajian ............................................................................................6
BAB II KAJIAN TEORI
2.1 Konfigurasi Ajaib .......................................................................................8
2.2 Persegi Ajaib ..............................................................................................9
2.2.1 Definisi dan Notasi Persegi Ajaib .......................................................9
2.2.2 Sejarah Persegi Ajaib ........................................................................10
2.2.3 jenis-jenis Persegi Ajiab ....................................................................11
2.2.3.1 Persegi Ajaib Order-3 ...........................................................11
2.2.3.2 Persegi Ajaib Order-4 ...........................................................13
2.2.3.3 Persegi Ajaib Order-5 ...........................................................15
2.2.3.4 Persegi Ajaib Order-6 ...........................................................16
x
2.3 Klasifikasi Persegi Ajaib ..........................................................................16
2.3.1 Persegi Semi Ajaib (Semi Magic Square) .........................................17
2.3.2 Persegi Ajaib Baku (Normal Magic Square) ....................................17
2.3.3 Persegi Ajaib Simetris (Symetric Magic Square) ..............................18
2.3.4 Pan Magic Square .............................................................................19
2.3.5 Persegi Ajaib Konsentric ...................................................................20
2.4 Metode Konstruksi Persegi Ajaib ............................................................21
2.4.1 Metode Siames (De La Loube’re Method) ........................................21
2.4.2 Metode Strachey ................................................................................23
2.4.3 Metode LUX......................................................................................27
2.4.4 Metode Diagonal Lozenge (Double Even) ........................................31
2.5 Konsep Dasar Persesgi Ajaib ...................................................................34
2.5.1 Barisan Dan Deret Aritmatika ...........................................................34
2.5.2 Jumlah Ajaib Pada Persegi Ajaib ......................................................35
2.5.3 Penjumlahan Pada Matriks ................................................................37
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Menentukan Pola Bilangan Penyusun Persegi Ajaib ...............................40
3.2 Generalisasi Jumlah Ajiab Pada Persegi Ajaib Baku ...............................41
3.3 Konstruksi Persegi Ajaib Order Genap Pada Jumlah Ajaib
Tergeneralisai ...........................................................................................44
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan ..............................................................................................77
4.2 Saran .........................................................................................................77
DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................78
xi
DAFTAR TABEL
Tabel 1.1 Persegi Ajaib Order-4.....................................................................2
Tabel 1.2 Persegi Rumus Bilangan Persegi Ajaib Order-4 Bersyarat ............3
Tabel 1.3 Persegi Rumus Bilangan Persegi Ajaib Order-5 Bersyarat ............4
Tabel 2.1 Jumlah Ajaib Persegi Ajaib Order-𝑛 ............................................38
𝑡
Tabel 3.1 Rumus Jumlah Ajaib Setelah di Generalisasi Dengan Beda 𝑢 .....43
1
Tabel 3.2 Rumus Jumlah Ajaib Setelah di Generalisasi Dengan Beda 𝑢 .....43
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Persegi Ajaib Order-𝑛 .............................................................10
Gambar 2.2
Kura-Kura Persegi Ajaib Lo Shu ............................................11
Gambar 2.3
Figur Persegi Ajaib Zhuang Zi ................................................12
Gambar 2.4
Persegi Ajaib Chautisa Yatra...................................................12
Gambar 2.5
Persegi Ajaib Fagrada Famili ..................................................13
Gambar 2.6
Melencolia-i Dan Persegi Ajaib Durer ....................................14
Gambar 2.7
Persegi Ajiab Mars Amulet .....................................................15
Gambar 2.8
Persegi Ajaib Rasa’il Ikhwan Al-Safa .....................................16
Gambar 2.9
Semi Magic Square Order-4 ....................................................17
Gambar 2.10 Persegi Ajaib Baku Order-4 ....................................................17
Gambar 2.11 (a) Association Magic Square Order-4 dan (b) Bukan
Association Magic Square Order-4 .........................................18
Gambar 2.12 Pan Magic Square Order-4 .....................................................19
Gambar 2.13 Consentric Magic Square Order-5 ..........................................20
Gambar 2.14 Persegi Ajaib Hasil Konstruksi Metode Siames ......................23
Gambar 2.15 Pembagian Persegi Menjadi Empat Bagian ABCD ................24
Gambar 2.16 Hasil Konstruksi Metode Siames ............................................25
Gambar 2.17 Konstruksi Metode Strachey Order-10 ....................................26
Gambar 2.18 Hasil Konstruksi Metode Strachey Order-10 ..........................27
Gambar 2.19 Metode LUX ............................................................................27
Gambar 2.20 (a) Persegi 10 × 10 dan (b) Persegi 10 × 10 Yang Telah
Dibagi Dalam Petak 2 × 2 Hingga Membentuk Persegi 5 ×
5 ...............................................................................................29
Gambar 2.21 Persegi 5 × 5 Yang Diberi Tanda LUX ..................................30
Gambar 2.22 (a) Konstruksi Persegi Ajaib Metode LUX dan (b) Hasil
Konstrusi Metode LUX ...........................................................32
Gambar 2.23 Persegi Order-4 ........................................................................33
Gambar 2.24 Konstruksi Metode Diagonal Lozenge Order-4 .......................34
Gambar 2.25 Hasil Konstruksi Metode Diagonal Lozenge Order-4 .............34
xiii
Gambar 3.1
Hasil Konstruksi Persegi Ajaib Order-4 Dengan Metode
Diagonal Lozenge ....................................................................45
Gambar 3.2
Perhitungan Jumlah Ajaib Persegi Ajaib Order-4 ...................47
Gambar 3.3
Hasil Persegi Ajaib Order-4 Dengan 𝜇4 = 24 ........................49
Gambar 3.4
Hasil Konstruksi Persegi Ajaib Order-6 (a) Dengan Metode
Strachey dan (b) Dengan Metode LUX ...................................58
Gambar 3.5
Perhitungan Jumlah Ajaib Persegi Ajaib Order-6 ...................56
Gambar 3.6
Hasil Persegi Ajaib Oerdee-6 Cara a Dengan 𝜇4 =
Gambar 3.7
Hasil Persegi Ajaib Oerdee-6 Cara b Dengan 𝜇4 =
Gambar 3.8
Hasil Konstruksi Persegi Ajaib Order-8 Dengan Metode
33
4
33
4
............61
............64
Doagonal Lozenge ...................................................................65
Gambar 3.9
Hasil Persegi Ajaib Order-8 Dengan 𝜇4 = 110 ......................73
xiv
DAFTAR PUSTAKA
Al-Ashhab, Saleem. 2006. Nonconsecutive Magic Squares 4 × 4. Journal of The
Islamic University (on-line), Vol. 14, No. 1, Hal. 63-72 (http://www.
iugzaza.edu.ps/ara/research/, diakses 20 April 2011).
Alvian, Rosy. 2012. Azimat Numerik. Skripsi S1 S1 SAINS Matematika.
Universitas Islam Negeri Malang.
Ball, W.W. Rouse. 1926. Mathematical Recreations and Essays, Tenth Edition.
London: Macmillan and Co.
Boindi, Billy. 2011. Konstruksi Persegi Panjang Ajaib. Skripsi S1 SAINS
Matematika. Universitas Indonesia.
Bolt, Brian. 2004. Mathematical Amusement Arcade. Cambridge: Cambridge
University Press.
Cox, Simon. 2009. Decoding The Lost Symbol. Terjemahan Oleh Arfan Archyar.
2010. Jakarta: PT Mizan Publika.
Hendarto, Cahyono. 2006. Metode Pengkonstruksian Persegi Ajaib. Gammatika
Tahun 2011 No.2: 149-162.
Jahannathan, B. Sree. 2005. Magic Squares for All Success, E-book (on-line),
(http://www.spiritualmindpower.com/files/magic_squares.pdf, diakses 18
April 2011).
Kirmani, M. Zaki & N.K. Singh. 2005. Encyclopedia Of Islamic Science And
Scientists. New Delhi: Global Vision Publishing House.
Masruroh, Tutik. 2013. Generalisasi Jumlah Ajaib Pada Persegi Ajaib Order Lima.
Skripsi S1 Pendidikan. Universitas Muhammadiyah Malang.
Matematika. Pembuktian Rumus Deret Aritmatika, (on-line), (matematika.com,
diakses 11 Juli 2014).
Moler, Cleve. 2009. Magic Squares, (on-line), (http://www.mathworks.com/
moler/exm/chapters/magic.pdf, diakses 18 April 2011).
Mujtahidah, Adila. 2013. Azimat Gabungan Antara Alfabetik Dan Numerik. Skripsi
S1 SAINS Matematika. Universitas Islam Negeri Malang.
Pickover, Clifford A.. 2002. The Zen of Magic Square, Circles, and Stars. New
Jersey: Princeton University Press.
78
Poole, David. 2006. Linear Algebra: A Modern Introduction. Canada:
Transcontinental Printing.
Rohmawati, Yunita. 2012. Azimat Alfabetik. Skripsi S1 S1 SAINS Matematika.
Universitas Islam Negeri Malang.
Simon, William. 1964. Mathematical Magic. New York: Charles Scribner’s Sons.
Stephens, Daryl L.. 1993. Matrix Properties of Magic Squares. A professional
paper submitted of the requirements of master of science in the graduate
school. Texas Woman's University.
Swetz, Frank J.. Legacy of the Luoshu: The 4,000 Year Search for the Meaning of
the Magic Square of Order Three. Wellesley: A K Peters.
Tung, Khoe Yao. 2011. Memahami Teori Bilangan Dengan Mudah Dan Menarik.
Jakarta: PT Gramedia Widiasarana Indonesia.
Vakil, Ravil. 1996. A. Mathematical Mosaic Patterns & Problem Solving.
Burlington: Bredan Kelly Publishing Inc.
Watkins, John J.. 2004. Across the Board: The Mathematics of Chessboard
Problems. New Jersey: Princeton University Press.
Wiki. Kubus Rubrik, (on-line), (wikipedia.org, diakses 30 Juni 2014).
Yahya, Yusuf, Suryadi, dan Agus S. 2010. Matematika Dasar Untuk Perguruan
Tinggi. Jakarta: Ghalia Ondonesia.
Yulinto, Dedi. 2011. Generalisasi Jumlah Ajaib Pada Persegi Ajaib Order Empat.
Skripsi S1 Pendidikan. Universitas Muhammadiyah Malang.
Zaelani, Ahmad, Cucun Cunayah, dan Etsa Indra Irawan. 2009. Matematika Untuk
SMA/MA. Bandung: Yrama Widya.
79