penerapan model black scholes untuk penentuan

PENERAPAN MODEL BLACK SCHOLES UNTUK PENENTUAN HARGA
OPSI BELI TIPE EROPA
Dwi Fatma Hanifah Suharyanti
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Brawijaya
Email: [email protected]
Abstrak. Opsi beli tipe Eropa adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegang saham untuk membeli saham dari penjual saham
pada waktu jatuh tempo dengan jumlah dan harga yang telah ditentukan. Dalam artikel ini, untuk menghitung harga opsi beli
menggunakan model Black Scholes. Tujuan dari artikel ini adalah merekonstruksi opsi beli model Black Scholes dan menerapkan
model Black Scholes untuk memperoleh harga opsi beli pada data perusahaan Yahoo! Inc.Model Black Scholes diterapkan pada
perusahaan Yahoo! Inc. pada tanggal 9 April 2013 sampai dengan 7 April 2014. Rekonstruksi opsi beli model Black Scholes
diperoleh dari model harga saham dimana pergerakan harga saham mengikuti proses Wiener. Rekonstruksi tersebut dipengaruhi oleh
lima variabel yaitu harga saham ( ), volatilitas ( ), waktu jatuh tempo ( ), suku bunga bebas risiko ( ) dan strike price( ).
Berdasarkan penerapan model Black Scholes pada data perusahaan Yahoo! Inc. diperoleh tingkat keakuratan terhadap harga opsi beli
di pasar sebesar 0.19296 dengan menggunakan Mean Square Error (MSE).
Kata kunci: ModelBlack Scholes, Opsi Beli.
1. PENDAHULUAN
Opsi adalah sebuah kontrak antara dua pihak dimana pihak pemegang kontrak (taker) mempunyai hak,
untuk memperjualbelikan suatu instrumen (underlying asset) dengan harga dan waktu tertentu (Halim,
2005). Berdasarkan jenis hak yang diberikan opsi dibedakan menjadi opsi beli (call option) dan opsi jual (put
option). Opsi beli (call option) adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya (taker) untuk
membeli saham dari penjual (writer) pada jumlah, waktu, dan harga yang telah ditentukan. Sementara itu,
opsi jual (put option) adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya (taker) untuk menjual saham
dari penjual (writer) pada jumlah, waktu dan harga yang telah ditentukan.
Berdasarkan waktu pelaksanaannya, opsi dibedakan menjadi dua yaitu opsi tipe Eropa dan opsi tipe
Amerika. Opsi tipe Eropa hanya bisa menggunakan haknya pada saat opsi jatuh tempo. Sementara itu, opsi
tipe Amerika menggunakan haknya sebelum dan saat jatuh tempo.
Model Black Scholes dikembangkan pada tahun 1973 oleh Fisher Black dan Myron Scholes dengan
tujuan untuk menentukan harga opsi beli dan jual. Model ini hanya dapat dilakukan pada penetapan harga
opsi tipe Eropa dimana tipe ini hanya dilaksanakan pada saat jatuh tempo.
Model Black Scholes mempunyai beberapa asumsi yaitu tidak memberikan pembayaran dividen, tidak
ada biaya transaksi, suku bunga bebas risiko, dan perubahan harga saham mengikuti pola acak. Perhitungan
nilai opsi dengan menggunakan model Black Scholes diperlukan lima variabel yang digunakan dalam
menentukan harga opsi yaitu harga saham ( ), strike price( ), waktu jatuh tempo opsi ( ) suku bunga
bebas risiko ( ) dan volatilitas harga saham ( ). Pergerakan harga saham dapat berubah secara acak pada
selang waktu tertentu. Oleh karena itu, pergerakan harga saham ( ), mengikuti gerak Brown atau proses
Wiener. Proses Wiener merupakan proses stokastik dimana suatu perubahan terjadi dalam waktu yang
singkat.
Pada artikel Fidayanti (2014) membahas “Metode Binomial Untuk Perhitungan Harga American Call
Option Tanpa Dividen”. Sementara itu, pada artikel ini yang dibahas adalah model Black Scholes untuk
penentuan harga opsi beli tipe Eropa. Pada artikel ini mengacu dari artikel Widyawati, dkk.(2013) yang
membahas tentang penggunaan model Black Scholes untuk penentuan harga opsi jual tipe Eropa. Berbeda
dengan artikel tersebut, pada artikel ini akan membahas harga opsi jual tipe Eropa serta membahas
rekomendasi untuk para investor.
2. METODOLOGI
Pengambilan data diakses dari www.finance.yahoo.com pada perusahaan Yahoo! Inc.(YHOO) yang
dilakukan pada tanggal 25 Maret 2014. Proses ini dimulai dengan menganalisis harga penutupan saham
harian YHOO untuk periode 9 April 2013 sampai dengan 7 April 2014. Perhitungan harga opsi beli model
Black Scholes dilakukan dengan menggunakan software Microsoft Excel.Tujuan pada artikel ini adalah
melakukan rekonstruksi model Black Scholes dengan menggunakan asumsi bahwa harga saham berdistribusi
lognormal dan menerapkan model Black Scholesuntuk memperoleh harga opsi beli pada data perusahaan
YHOO.
311
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Fungsi Payoff dari Opsi Beli Tipe Eropa
Fungsi payoff opsi beli tipe Eropa dinyatakan sebagai berikut
(
)
atau dapat dijabarkan sebagai berikut
{
dimana merupakan harga opsi beli pada saat jatuh tempo,
merupakan harga saham pada saat jatuh
tempo, dan merupakan strike price.
Menurut Dickson (2009), harga opsi beli secara umum dapat dituliskan sebagai berikut
(1)
(
))
(
dimana
merupakan nilai harapan atau ekspektasi.
3.2 Distribusi lognormal
(
) dan mempunyai interval
Jika
merupakan distribusi normal,
(
). Misalkan
maka dapat dikatakan bahwa mempunyai distribusi lognormal,
maka dikatakan berdistribusi lognormal, karena logaritma naturalnya, yaitu
mempunyai distribusi
normal. Fungsi kepadatan probabilitas untuk distribusi lognormal dapat dinyatakan sebagai berikut
(
( )
untuk
dan
(2)
)
√
.
3.3 Model Harga Saham
Pergerakan harga saham diasumsikan sebagai suatu proses stokastik dikarenakan harga saham yang
berubah secara acak pada selang tertentu. Oleh karena itu, model pergerakan harga saham mengikuti proses
Wiener atau gerak Brown. Menurut Glasserman (2004), model pergerakan harga saham dapat ditulis sebagai
berikut
(3)
(
)
,
dengan
= harga saham pada saat
atau pada saat jatuh tempo
= harga saham pada saat
= tingkat suku bunga bebas risiko
= volatilitas harga saham
= proses Wiener.
3.4 Rekontruksi model Black Scholes pada harga opsi beli tipe Eropa
Persamaan (3) digunakan untuk merekonstruksi harga opsi beli model Black Scholes. Oleh karena itu,
diperoleh
)
((
dengan
(
). Mean( ) dari
)
(
adalah
)
dan variansi (
) dari
adalah
. Oleh karena itu, standar deviasinya ( ) adalah √ . Selanjutnya, mean dan standar deviasi dari
disubtitusikan ke fungsi kepadatan probabilitas (fkp) berdistribusi lognormal pada persamaan (2) dari
diperoleh
(
)
(
)
√
(
(
)
√
(
)
√
)
(4)
312
Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh
(
∫
(
) (
)
√
)
√
Pangkat dari eksponen dimisalkan menjadi , kemudian diturunkan terhadap
diperoleh
.
Batas
bawah
integrasi
untuk
yaitu
,
diubah
menjadi
batas
bawah
integrasi
untuk
√
menjadi . Oleh karena itu, diperoleh sebagai berikut
(
Jika dimisalkan
opsi beli tipe Eropa yaitu
(
√ )
√ dan
)
, maka persamaan model Black Scholes untuk harga
(
)
(
)
(5)
3.5 Penerapan Model Black Scholes
Data yang digunakan dalam artikel ini diperoleh data penutupan saham pada perusahaan YHOO di
pasar pada tanggal 7 April 2014 adalah $33.07, dengan tingkat suku bunga bank sentral Amerika pada saat
itu adalah 3%, nilai volatilitas harga saham adalah 31.36%, waktu jatuh tempo opsi saham tersebut sampai
tanggal 3 Juli 2014 dan strike price yang berbeda-beda. Data tersebut digunakan untuk menghitung harga
opsi beli dengan model Black Scholes dengan formula pada persamaan (5). Harga opsi beli yang dihitung
menggunakan model Black Scholes dibandingkan dengan harga opsi beli di pasar. Selanjutnya dihitung
tingkat keakuratannya dengan menggunakan Mean Square Error (MSE). Jika harga opsi beli yang dihitung
menggunakan model Black Scholes lebih rendah daripada harga opsi beli di pasar, maka para investor
disarankan untuk menjual sejumlah opsi beli. Jika sebaliknya, maka para investor disarankan untuk membeli
sejumlah opsi.
Tabel 1 Rekomendasi investor opsi beli saham YHOO
Strike price
(US$)
31.00
31.50
32.00
32.50
33.00
33.50
34.00
34.50
35.00
35.50
36.00
36.50
37.00
37.50
38.00
39.00
39.50
40.00
Harga opsi beli Black
Scholes (US$)
3.30328
2.989038
2.694477
2.419769
2.164875
1.929563
1.713418
1.515867
1.336193
1.173568
1.027073
0.89572
0.778481
0.674305
0.582139
0.429707
0.367461
0.313282
MSE
Harga opsi beli di
pasar (US$)
2.82
2.07
3.85
2.9
2.57
2.26
2.14
1.6
1.27
0.92
1.1
0.4
0.94
0.78
0.64
0.42
0.3
0.27
Error
0.48328
0.91904
1.155523
0.480231
0.405125
0.330437
0.426582
0.084133
0.06619
0.25357
0.072927
0.49572
0.161519
0.105695
0.057861
0.00971
0.06746
0.04328
0.19296
Rekomendasi
investor
Beli
Beli
Jual
Jual
Jual
Jual
Jual
Jual
Beli
Beli
Jual
Beli
Jual
Jual
Jual
Beli
Beli
Beli
Berdasarkan Tabel 1 harga opsi beli ketika strike price-nya $31, $31.5, $35, $35.5, $36.5, $39.5, dan
$40 para investor disarankan untuk membeli sejumlah opsi beli. Sementara itu, harga opsi beli ketika strike
price-nya $32, $32.5, $33, $33.5, $34, $34.5, $36, $37, $37.5, dan $38 para investor disarankan untuk
menjual opsi beli.
5. KESIMPULAN
1.
Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan bahwa.
Rekonstruksi opsi beli model Black Scholes diperoleh dari model harga saham dimana pergerakan
harga saham mengikuti proses Wiener. Rekonstruksi tersebut dipengaruhi oleh lima variabel yaitu
313
2.
harga saham ( ), volatilitas ( ), waktu jatuh tempo ( ), suku bunga bebas risiko ( ), dan strike
price ( ).
Berdasarkan penerapan model Black Scholes pada data perusahaan Yahoo! Inc. diperoleh error
terhadap harga opsi beli di pasar sebesar 0.19296 dengan menggunakan Mean Square Error (MSE).
Sementara itu, para investor disarankan untuk membeli opsi beli ketika strike price-nya sebesar
US$ 31, US$ 31.5, US$ 35, US$ 35.5, US$ 36.5, US$ 39, US$ 39.5, dan US$ 40. Sementara itu, para
investor disarankan untuk menjual opsi beli ketika strike price-nya sebesar US$ 32, US$ 32.5,
US$ 33, US$ 33.5, US$ 34, US$ 34.5, US$ 36, US$ 37, US$ 37.5, dan US$ 38.
6. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Mila Kurniawaty, Endang Wahyu Handamari, dan
Kwardiniya A. atas bimbingan, saran, motivasi, nasihat serta kesabaran selama penyusunan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Dickson, D., Hardy, M. dan Waters, H., (2009), Acturial Mathematics for Life Contingent Risks, Cambridge
University Press, New York.
Fidayanti, A., (2014), Metode Binomial Untuk Perhitungan Harga American Call Option Tanpa Dividen,
Skripsi, FMIPA Universitas Brawijaya, Malang.
Glasserman, P., (2004), Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer, Berlin.
Widyawati, Setyahadewi, N. dan Sulistianingsih, E.,(2013), Penggunaan Model Black Scholes Untuk
Penentuan Harga Opsi Jual Tipe Eropa, Buletin Ilmiah Math, Stat, dan Terapannya (Bimaster), 2, hal.
13-20.
314