ma1101 matematika 1a

MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra Gunawan
Semester II, 2016/2017
20 Januari 2017
Kuliah yang Lalu
7.1 Aturan Dasar Pengintegralan
Mengetahui bentuk integral baku dan dapat
mengubah bentuk integral yang diberikan ke
bentuk integral dengan substitusi peubah
7.2 Pengintegralan Parsial
Menghitung integral dengan teknik
pengintegralan parsial
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Sasaran Kuliah Hari Ini
7.3 Integral Trigonometri
Menghitung beberapa integral trigonometri
7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan
Menghitung integral dengan teknik substitusi
yang merasionalkan
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
7.3 INTEGRAL TRIGONOMETRI
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Bentuk Integral yang Akan Dibahas
n
sin
x
.
dx

 cos mx cos nx.dx
 cos
n
tan
 x.dx
 sin
n
m
x.dx
 cot
n
x cos x.dx
n
x.dx
 sin mx cos nx.dx
m
n
tan
x
sec
x.dx

 sin mx sin nx.dx
m
n
cot
x
csc
x.dx

1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Bentuk  sin x.dx dan  cos x.dx
n
n
1. Tentukan  cos x.dx
Jawab:
5
4
 cos x.dx   cos x cos x.dx
5
cos2 x + sin2 x = 1
  (1  sin 2 x) 2 d (sin x)
  (1  2 sin x  sin x)d (sin x)
2
4
 sin x  23 sin 3 x  15 sin 5 x  C.
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
6
2. Tentukan (a)  cos 2 x.dx dan (b)  sin 4 x.dx.
Jawab:
2x–1
cos
2x
=
2cos
2
1 cos 2 x
(a)
cos
x
.
dx


 2 dx
 2x  14 sin 2 x  C.
(b)
1/24/2014
4
sin
 x.dx  ...
(c) Hendra Gunawan
7
3. Tentukan  sin 4 x cos3 x.dx
Jawab:
4
3
4
2
sin
x
cos
x
.
dx

sin
x
(
1

sin
x)d (sin x)


  (sin 4 x  sin 2 x)d (sin x)
3
1
  sin x  sin x  C.
1
3
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
8
4. Tentukan  cos 2 x sin 4 x.dx
Jawab:
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
9
5. Tentukan
Jawab:
 sin 4 x cos 2 x.dx
sin 4 x cos 2 x  12 (sin 6 x  sin 2 x);
Karena itu
 sin 4 x cos 2 x.dx 
1
2
 (sin 6 x  sin 2 x)dx
 12 ( 16 cos 6 x  12 cos 2 x)  C
  121 cos 6 x  14 cos 2 x  C.
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
10
6. Tentukan
Jawab:
 sin 4 x sin 2 x.dx
sin 4 x sin 2 x  12 (cos 2 x  cos 6 x);
Karena itu
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
11
 tan
7. Tentukan
Jawab:
2
x.dx
tan x  sec x  1;
2
2
Karena itu
 tan
2
x.dx   (sec x  1)dx
2
 tan x  x  C.
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
12
8. Tentukan
Jawab:
 tan
3
 tan
3
x.dx
x.dx   tan x(sec x  1)dx
2
  tan x sec x.dx   tan x.dx
2
sec2 x dx = d(tan x)
 tan x  ln | cos x | C.
1
2
1/24/2014
2
(c) Hendra Gunawan
13
9. Tentukan  tan 3 x sec 4 x.dx
Jawab (Cara I):
 tan
3
x sec x.dx   tan x(tan x  1) sec x.dx
4
3
2
2
  (tan x  tan x)d (tan x)
5
3
 tan x  tan x  C.
1
6
1/24/2014
6
(c) Hendra Gunawan
1
4
4
14
10. Tentukan  tan 3 x sec 4 x.dx
Jawab (Cara II):
 tan
3
x sec x.dx   tan x sec x sec x tan x.dx
4
2
3
  (sec x  1) sec x.d (sec x)
2
3
 sec x  sec x  C.
1
6
1/24/2014
6
(c) Hendra Gunawan
1
4
4
15
6. Tentukan
Jawab:
1/24/2014
 sec
3
x.dx
(c) Hendra Gunawan
16
MA1201 MATEMATIKA 2A
7.4 TEKNIK SUBSTITUSI YANG
MERASIONALKAN
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Integral yang Mengandung Bentuk
Akar
Integral seperti

1
1 x
dx dapat dihitung dgn
substitusi peubah u = √x. Dalam hal ini, u2 = x,
sehingga 2u.du = dx. Jadi

1
1 x
dx   12uu du   (2  12u )du
 2u  2 ln | 1  u | C
 2 x  2 ln(1  x )  C.
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
18
Contoh/Latihan
1. Tentukan

1
x 3 x
dx
Jawab: Misal u6 = x. Maka …
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Integran mengandung bentuk
a2  x2 , a2  x2 , x2  a2
Untuk menghitung integral dengan integran
yang mengandung bentuk
a  x , lakukan substitusi x = a sin t
2
2
a  x , lakukan substitusi x = a tan t
2
2
x  a , lakukan substitusi x = a sec t
2
1/24/2014
2
(c) Hendra Gunawan
20
Contoh/Latihan
2. Tentukan  4  x 2 .dx
Jawab: Misal x = 2 sin t. Maka dx = 2 cos t dt,
dan 4 – x2 = 4(1 – sin2 t) = 4 cos2 t, sehingga

4  x .dx   4 cos t.dt
2
2
= ...
1/24/2014
(c) Hendra Gunawan
21
2. Tentukan

dx
4 x
Jawab: Misal x = 2 tan t. Maka dx = 2 sec2 t dt,
dan 4 + x2 = 4(1 + tan2 t) = 4 sec2 t, sehingga
2
dx
2 sec t
 4  x 2   2 sec t dt   sec t.dt
= ln |sec t + tan t| + C
2
 ln |
1/24/2014
1
2
4  x  2x | C.
(c) Hendra Gunawan
2
22
3. Tentukan
x
dx
x 9
Jawab: Misal x = 3 sec t. Maka dx = …
1/24/2014
2
2
(c) Hendra Gunawan
23
4. Tentukan

dx
x  2x  5
Jawab: x2 + 2x + 5 = (x+1)2 + 4.
Misal x + 1 = 2 tan t. Maka …
1/24/2014
2
(c) Hendra Gunawan
24
PR (kumpulkan Rabu, 25/1)
1. Tentukan tan4 𝑥 𝑑𝑥.
2. Tentukan
1/24/2014
𝑥 2 − 16 𝑑𝑥.
(c) Hendra Gunawan
25