metode linierisasi estimator varians untuk model - USU-IR

METODE LINIERISASI ESTIMATOR VARIANS UNTUK
MODEL PARAMETER DATA SURVEI RUWET
TESIS
Oleh
DAPOT SITUNGKIR
077021054/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
METODE LINIERISASI ESTIMATOR VARIANS UNTUK
MODEL PARAMETER DATA SURVEI RUWET
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara
Oleh
DAPOT SITUNGKIR
077021054/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
Judul Tesis
: METODE LINIERISASI ESTIMATOR VARIANS
UNTUK MODEL PARAMETER DATA SURVEI RUWET
Nama Mahasiswa : Dapot Situngkir
Nomor Pokok
: 077021054
Program Studi
: Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Ketua
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota
Direktur
(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)
Tanggal lulus: 28 Mei 2009
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
Telah diuji pada
Tanggal 28 Mei 2009
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Dr. Sutarman, M.Sc
Anggota
: 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
3. Drs. Open Darnius, M.Sc
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
ABSTRAK
Dalam pengambilan sampel survei, linierisasi Taylor sering digunakan untuk menentukan estimator varians dari estimator kalibrasi total dan parameter populasi berhingga nonlinier (atau sensus), seperti ratio, koefisien regresi dan koefisien korelasi, yang
dapat dinyatakan sebagai fungsi mulus dari total. Linierisasi Taylor umumnya dapat
diaplikasikan pada setiap rancangan pengambilan sampel, tetapi bisa menghasilkan
estimator varians ganda yang dirancang secara otomatis tak bias dalam pengambilan
sampel berulang. Pemilihan antara estimator-estimator varians membutuhkan pertimbangan seperti (i) perkiraan ketakbiasan untuk varians model estimator dengan
model yang diasumsikan, dan (ii) keabsahan dengan kerangka pengambilan sampel
berulang bersyarat. Demnati dan Rao (2002) mengkaji kasus respon yang hilang
bila digunakan penyesuaian atas nonrespon total dan imputation untuk nonrespon
item yang didasarkan pada fungsi mulus dari nilai-nilai yang diamati, khususnya
imputation ratio. Demnati dan Rao (2004) mengajukan pendekatan baru untuk
mengembangkan estimator varians linierisasi Taylor yang secara langsung menghasilkan estimator varians tunggal yang memenuhi pertimbangan di atas untuk
rancangan umum. Sewaktu menganalisa data survei, populasi berhingga kerapkali diasumsikan dihasilkan dari model superpopulasi, dan kesimpulan analitik atas
parameter-parameter model penting diperhatikan. Jika fraksi pengambilan sampel
kecil, maka varians pengambilan sampel menangkap hampir semua variasi yang dihasilkan oleh proses acak rancangan dan model. Akan tetapi, bila fraksi pengambilan
sampel tidak memenuhi syarat, varians model haruslah diperhitungkan untuk memperoleh kesimpulan yang sah atas parameter-parameter model dalam kedua proses acak. Tesis ini memfokuskan pada total taksiran varians dengan menggunakan
pendekatan Demnati-Rao bila sifat-sifat yang diperhatikan diasumsikan merupakan
variabel-variabel acak yang dihasilkan dari model superpopulasi. Juga diillustrasikan
metode dengan menggunakan estimator ratio dan estimator yang didefinisikan sebagai penyelesaian untuk persamaan penaksiran berbobot kalibrasi. Aplikasi pada
model Poisson dengan inflasi nol juga diberikan.
Kata kunci: Pengujian, persamaaan estimasi berbobot, estimator ratio
, Varians total, Inflated Poisson - Nol
i
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
ABSTRACT
In survey sampling, Taylor linearization is often used to obtain variance estimators for calibration estimators of totals and nonlinear finite population (or census)
parameters, such as ratios, regression and correlation coefficients, which can be expressed as smooth functions of totals. Taylor linearization is generally applicable to
any sampling design, but it can lead to multiple variance estimators that are asymptotically design unbiased under repeated sampling. The choice among the variance
estimators requires other considerations such as (i) approximate unbiasedness for the
model variance of the estimator under an assumed model, and (ii) validity under a
conditional repeated sampling framework. Demnati and Rao (2002) considered the
case of missing responses when adjustment for complete nonrseponses and imputation for item nonresponse based on smooth functions of observed values, in particular
ratio imputation, are used. Afterward, Demnati and Rao (2004) proposed a new approach to deriving Taylor linearization variance estimators that leads directly to a
unique variance estimator that satisfies the above considerations for general design.
When analyzing survey data, finite populations are often assumed to be generated
from super population models, and analytical inferences on model parameters are of
interest. If the sampling fractions are small, then the sampling variance captures
almost the entire variation generated by the design and model ramdom processes.
However, when the sampling fractions are not negligible, the model variance should
be taken into account in order to construct valid inferences on the model parameters
under both randomization processes. This thesis, focuses on total variance estimation
using the Demnati-Rao approach when the characteristics of interest are assumed to
be random variables generated from a superpopulation model. The writer illustrate
the method using ratio estimators and estimators defined as solutions to calibration
weighted estimating equations. Application to a zero-inflated Poisson model is also
given.
Keyword: Calibration, Weighted estimating equations; Ratio estimators;
Total variance; Zero inflated-Poisson.
ii
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
KATA PENGANTAR
Penulis menyampaikan rasa syukur yang tiada berhingga ke Hadirat Tuhan
Yang Maha Kuasa yang telah melimpahkan rahmat-Nya hingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.
Dalam menyelesaikan tesis ini penulis banyak mendapat dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
Prof. dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp.A(K) selaku Rektor dan
Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa. B, M.Sc selaku Direktur Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara (USU) yang telah memberi kesempatan kepada penulis
untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika ini.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister
Matematika SPs USU, juga sebagai Dosen Pembimbing-II yang telah memberikan
bimbingan dan petunjuk kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika SPs USU, yang telah memberikan bimbingan, arahan dan masukan sehingga
tesis ini dapat diselesaikan.
Dr. Sutarman, M.Sc sebagai Dosen Pembimbing I yang telah memberikan
bimbingan dan petunjuk kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan.
Seluruh Staf Pengajar Program Studi Magister Matematika SPs USU, yang
telah membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan sehingga selesai, dan Missiani, S.Si sebagai Staff administrasi.
iii
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
Teman-teman mahasiswa atas kerjasama dan kebersamaan yang terjalin indah
selama perkuliahan hingga selesai. Kepada orangtua penulis yang sangat penulis
cintai, atas segala kasih sayangnya dan perjuangan yang penulis rasakan selama
hidupnya.
Kepada istriku tercinta Dra.
Risma Hotma Ida Marpaung yang se-
lalu mendukung dan memberikan semangat yang luar biasa selama perkuliahan
dan selama penyusunan tesis ini, kepada anak-anakku juga Imam Rio Wahyudi
Situngkir, Adelina Marchelia Situngkir, dan Olivia Geraldine Situngkir.
Hanya syukur dan terimakasih yang penulis dapat sampaikan kepada semua pihak untuk dukungan doa, bimbingan maupun arahan yang penulis dapatkan selama
ini.
Semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya.
Medan, Mei 2009
Penulis,
Dapot Situngkir
iv
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Dapot Situngkir lahir di Paropo (Dairi) pada tanggal
20 Pebruari 1968 anak ke-empat dari empat bersaudara, nama ayah St. A. Situngkir
(+) dan ibu E. Br Simbolon (+). Tamat Sekolah Dasar (SD) pada tahun 1981 melanjut ke SMP Negeri 5 Medan, dan tahun 1982 pindah ke SMP Negeri 4 Medan, tapi
tamat dari SMP Negeri Tigalingga, Dairi pada tahun 1984. Kemudian masuk SMA
Negeri Sumbul tamat pada tahun 1987. Pada tahun 1987 melanjutkan pendidikan di
USU Medan pada Fakultas MIPA Jurusan Matematika Program Diploma III tamat
1990, melanjutkan pendidikan tingkat sarjana (Sarjana Pendidikan) di Universitas
Muslim Nusantara (UMN) Al - Washliyah Medan tahun 2004. Pada saat ini penulis
juga sedang mengikuti perkuliahan S2 pada Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara Program Magister Sains Jurusan Matematika. Riwayat pekerjaan dimulai sejak tahun 1991 menjadi guru PNS di SMA Negeri Labuhanhaji, Aceh Selatan
D.I Aceh dan pada tahun 1995 berpindah tugas ke SMA Swasta Nasrani 1 Medan
dengan status PNS-DPK hingga sekarang. Ketika di Aceh, tepatnya tahun 1993 s.d
1994 menjadi tenaga Tutorial pada program penyetaraan D1 bagi guru-guru SD di
Tapaktuan - Blang Pidie, sekaligus menjadi Guru Inti di SPKG Matematika Aceh
Selatan. Tahun Ajaran 1993/1994 PKS Kesiswaan di SMAN Labuhanhaji, dan di
SMA Swasta Nasrani 1 Medan, sejak tahun 1998 sampai dengan tahun 2003 menjadi
Wakil Kepala Sekolah, kemudian tahun 2003 sampai dengan 2008 diangkat menjadi
Kepala Sekolah. Penulis menikah dalam pemberkatan kudus di Gereja Efrata Martubung Medan tahun 1998 dengan istri tercinta Dra. Risma Hotma Ida putri
bungsu dari mertua saya W. Marpaung / N. br Siregar (+) dikaruniakan Tuhan 1
(satu) putra yang ganteng dan 2 (dua) putri yang cantik-cantik masing-masing kami
beri nama Imam Rio Wahyudi, Adelina Marchelia, dan Olivia Geraldine.
vi
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
Saat ini penulis bersama keluarga tinggal di rumah sederhana di jalan Veteran
Pasar X Gang Budi No. 23 Lingkungan V Kelurahan Kota Bangun Medan Deli,
Medan. Telepon (061) 6842442.
vii
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4 Kontribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5 Metodologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
BAB 3 ESTIMASI VARIANSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.1 Komponen dari Varians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2 Variabilitas Antar-Mean Kelompok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.3 Teknik Linierisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
BAB 4 PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.1 Varians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2 Data Survei Ruwet dengan Linearisasi Taylor . . . . . . . . . . . . .
19
vii
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
4.2.1 Kasus Umum Yang Paling Sederhana . . . . . . . . . . . . . .
21
4.2.2 Kasus dengan Parameter Tambahan . . . . . . . . . . . . . . .
22
BAB 5 KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
viii
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
DAFTAR TABEL
Nomor
3.1
Judul
Halaman
Mean dan Standar Deviasi dari Forced Mid-expiratory Flow (FEF)
dari lima kelompok koresponden berbagai kebiasaan merokok (200
orang per kelompok) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
7
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Linierisasi dalam matematika dan aplikasinya mengacu pada penaksiran linier
suatu fungsi pada satu titik. Dalam sistem dinamik, linierisasi adalah metode yang
digunakan untuk penaksiran stabilitas lokal dari titik keseimbangan pada sistem
persamaan differensial nonlinier. Metode Linierisasi sering juga digunakan dalam
berbagai bidang seperti industri, fisika, ekonomi dan ekologi.
Dalam tesis ini metode linierisasi yang digunakan adalah metode Linierisasi
Taylor. Metode ini merupakan metode yang terkenal dalam penaksiran varians (estimator variance) dalam statistik yang kompleks (ruwet) seperti estimator ratio,
estimator regresi dan estimator koefisien regresi logistik. Linierisasi Taylor umumnya dapat diaplikasikan pada setiap rancangan pengambilan sampel. Linierisasi ini
memungkinkan penaksiran varians tak bias untuk estimator linier, dari segi perhitungan juga lebih mudah. Berbeda dengan metode pengambilan sampel lain, seperti
Jackknife. Tetapi karena metode tersebut dapat menghasilkan estimator varians ganda yang rancangannya secara asimptot tak bias dengan pengambilan sampel berulang (Demnati dan Rao, 2005), maka pemilihan diantara estimator-estimator varians
membutuhkan pertimbangan seperti:
a. Perkiraan ketakbiasan untuk varians model estimator dengan model yang diasumsikan, dan
b. Keabsahan dengan kerangka pengambilan sampel berulang bersyarat.
1
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
2
Sebagai contoh, dalam hal pengambilan sampel acak sederhana dan estimator ratio ŶR = (ȳ/x̄)X dari total populasi Y , Royall dan Cumberland (1981) menunjukkan bahwa linierisasi estimator varians yang biasa digunakan adalah ϑL =
N 2 (n−1 − N −1 )s2z yang tidak mengubah varians bersyarat dari ŶR untuk x̄, berbeda
dengan estimator varians Jackknife θJ . Disini ȳ dan x̄ merupakan rata-rata sampel,
X adalah total populasi yang diketahui dari variabel tambahan x, 2g adalah sampel varians dari pengurangan zk = yk − (ȳ/x̄)xk dan (n, N) merupakan notasi dari
ukuran sampel dan populasi.
Pada linierisasi estimator varians Jackknife θJ , diperoleh linierisasi estimator
varians yang berbeda yaitu ϑJ = (X̄/x̄)2ϑL yang merupakan taksiran dari varians
bersyarat dan variansi tak bersyarat, dimana X̄ = X/N adalah rata-rata x. Sehingga
θJL atau θJ mungkin lebih digunakan ketimbang θL . Valliant (1993) memperoleh θJL
untuk estimator pasca-stratifikasi dan melakukan studi simulasi untuk menunjukkan
bahwa baik θJ maupun θJL memiliki sifat-sifat bersyarat yang baik dengan diketahui
taksiran jumlah pasca-strata. Srndal, Swensson dan Wretman (1989) menunjukkan
bahwa θJL rancangan asimptot takbias dan model asimptot takbias dalam pengertian
Em (ϑJL ) = Vm (Ŷ )R , dimana Em menotasikan ekspektasi model dan Vm (ŶR ) adalah
varians model dari ŶR dengan ”model ratio” : Em (yk ) = βxk ; k = 1, ..., N dan yk
tidak tergantung pada varians model Vm (yk ) = σ 2 xk , σ 2 > 0, sehingga θJL adalah
pilihan yang baik dari segi berbasis rancangan atau dari segi berbasis model.
Demnati dan Rao (2004) mengajukan pendekatan baru terhadap penaksiran
varians yang dapat dibenarkan secara teoritis dan dalam waktu yang bersamaan
menghasilkan secara langsung estimator variansi tipe-θJL untuk rancangan umum.
Demnati dan Rao (2004) mengaplikasikan metode dengan pendekatan berbasis ran-
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
3
cangan pada berbagai masalah, yang mencakup estimator kalibrasi regresi atas total
Y dan estimator lainnya yang didefinisikan secara eksplisit atau implisit sebagai
penyelesaian persamaan taksiran. Diperoleh estimator varians baru untuk kelompok
umum estimator kalibrasi yang mencakup rating ratio tergeneralisasi dan generalisasi estimator regresi. Kemudian diperluas metode pengambilan sampel dua fase
dan diperoleh estimator varians pengambilan sampel yang lebih memanfaatkan data
sampel pada fase pertama dibandingkan dengan linierisasi estimator varians konvensional.
Ketika menganalisis data survei, nilai populasi berhingga yaitu y = (y1, ..., yN )T
sering diasumsikan dan dihasilkan dari model superpopulasi, dan diupayakan kesimpulan analitik atas parameter-parameter model. Jika fraksi pengambilan sampel
dapat diabaikan, varians pengambilan sampel hampir mencakup keseluruhan varians yang dihasilkan proses rancangan dan model yang acak. Akan tetapi, bila fraksi
pengambilan sampel tidak kecil, maka varians model tidak dapat diabaikan dalam
perbandingan dengan total varians.
1.2 Rumusan Masalah
Penelitian ini membahas penggunaan metode linierisasi estimator varians untuk model parameter dari data survei ruwet dan memfokuskan pada total taksiran dengan menggunakan pendekatan Demnati-Rao bila sifat-sifat yang diasumsikan
merupakan variabel-variabel acak yang dihasilkan dari model superpopulasi.
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
4
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dalam penelitian ini adalah untuk melinierisasi estimator varians pada
model parameter dari data survei ruwet, kemudian mengilustrasikan metode menggunakan estimator ratio dan estimator yang didefinisikan tersebut merupakan penyelesaian untuk estimasi persamaan kalibrasi yang berbobot.
1.4 Kontribusi
Adapun kontribusi dalam penelitian ini adalah dapat membantu peneliti atau
pembuat keputusan untuk menentukan estimasi parameter model pada data survei
ruwet dengan menggunakan metode linierisasi estimator varians.
1.5 Metodologi
Penelitian ini bersifat literatur dan dilakukan dengan mengumpulkan informasi
dari referensi beberapa buku dan jurnal. Penelitian ini awalnya menjelaskan tentang
varians, data survei ruwet, program taklinier integer lalu teknik linierisasi. Selanjutnya diperlihatkan penggunaan metode linierisasi estimator varians untuk model
parameter dari data survei ruwet dan pengambilan kesimpulan.
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Demnati dan Rao (2002) menyatakan bahwa dalam survei sampel, linierisasi
Taylor sering digunakan untuk memperkirakan parameter populasi terbatas nonlinear seperti rasio, regresi dan koefisien korelasi yang dapat dinyatakan sebagai fungsi
mulus total. Hal ini umumnya berlaku untuk setiap sampel desain, namun dapat
menghasilkan lebih dari satu estimator varians yang secara asimptot ekivalen berdasarkan pengambilan sampel yang berulang. Pilihan antara estimator varians memerlukan pertimbangan lain seperti properti estimator varians bersyarat. Sebuah pendekatan baru untuk linierisasi Taylor untuk estimator varians diusulkan. Metode ini
berdasarkan representasi linierisasi Taylor dalam bentuk turunan parsial sehubungan
dengan bobot desain. Ini menyebabkan estimator varians dengan kondisi bersyarat
baik dan setuju dengan linierisasi estimator varians Jackknife ketika diberlakukan.
Selanjutnya ditentukan metode untuk berbagai problema, yang meliputi estimator
kalibrasi umum dari total serta estimator lainnya yang ditetapkan secara eksplisit
atau implisit sebagai solusi dari mengestimasi persamaan. Pendekatan dalam penelitian ini merupakan estimator varians yang baru untuk kelas umum dari estimator
kalibrasi termasuk rating ratio tergeneralisasi dan generalisasi estimator regresi.
Setelah itu Demnati dan Rao (2002) mengkaji kasus respon yang hilang bila digunakan penyesuaian atas nonrespon total dan imputasi untuk nonrespon item yang
berdasarkan pada fungsi mulus dari nilai-nilai yang diamati, khususnya imputasi
ratio.
5
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
6
Selanjutnya Demnati dan Rao (2003) menyatakan bahwa linerisasi Taylor umumnya berlaku untuk setiap sampel desain, tetapi dapat mengakibatkan beberapa estimator varians yang desain asimptot takbias berdasarkan pengambilan sampel berulang. Pilihan antara estimator varians memerlukan pertimbangan lain seperti (i)
mengaproksimasi ketakbiasan untuk model estimator varians dengan model yang diasumsikan (ii) keabsahan dengan kerangka pengambilan sampel berulang bersyarat.
Demnati dan Rao (2004) mengajukan sebuah pendekatan baru untuk linerisasi Taylor pada estimator varians yang mengarah langsung pada estimator variansi yang
tunggal sehingga memenuhi pertimbangan tersebut. Dalam penelitian ini merupakan perluasan dari Demnati dan Rao (2001) terhadap survei longitudinal yang
mengakibatkan pengamatan terikat dan bobot ganda pada unit yang sama. Selanjutnya dipertimbangkan berbagai desain sampel longitudinal, meliputi survei panel,
survei panel rumah tangga serta survei putaran.
Molina, Smith dan Sugden (2001) memperoleh rumus umum untuk fungsi ratarata dan varians dari data sampel yaitu diag (a(s))y dan untuk total sampel dengan
proses gabungan, dimana a(s) = (a1 (s)), ..., aN (s))T , ak (s) = 1 jika elemen k termasuk dalam sampel s dan ak (s) = 0 untuk lainnya. Tidak diragukan lagi bahwa
gabungan proses pemilihan sampel dan pembentukan populasi berhingga haruslah
menjadi dasar untuk kesimpulan analitik. Akan tetapi dibutuhkan metode yang bisa
diaplikasikan secara luas untuk penaksiran total varians.
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
BAB 3
ESTIMASI VARIANSI
3.1 Komponen dari Varians
Untuk menguraikan gagasan komponen-komponen varians, berikut ini dibahas
sebuah contoh dari ANOVA satu arah. Contoh ini menggambarkan ide tentang efek
tetap dan efek acak, pengambilan sampel dari beberapa populasi, dan ide tentang
beberapa pengukuran pada masalah yang sama.
Tabel 3.1 Mean dan Standar Deviasi dari Forced Mid-expiratory Flow (FEF) dari
lima kelompok koresponden berbagai kebiasaan merokok (200 orang per
kelompok)
Group
Tidak Perokok
Perokok passip
Perokok ringan
Perokok sedang
Perokok berat
Sumber
Mean
3,78
3,30
3,23
2,73
2,59
Standard Deviasi
0,79
0,77
0,78
0,81
0,82
Write dan Froeb (1980) tentang pengaruh merokok terhadap pernafasan
Efek Tetap
CONTOH: MEROKOK DAN FUNGSI PARU
White dan Froeb (1980) menggunakan ukuran dari fungsi paru (forced midexpiratory flow atau FEF) untuk mengetahui bagaimana merokok dapat mempengaruhi pernafasan. Untuk itu dipilih lima kelompok orang dengan berbagai kebiasaan merokok dan 200 orang dalam masing-masing kelompok. Dari tabel yang
7
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
8
telah disusun (White dan Froeb, 1980) diperoleh mean dan standar deviasi pada
masing-masing kelompok.
Dengan melihat kolom sebelah kanan dari atas ke bawah, varians yang diamati
dalam kelompok hampir sama, standar deviasi semuanya kira-kira 0,8. Sebaliknya,
rata-rata dan varians yang sebenarnya untuk masing-masing kelompok dan bentuk
distribusi pengukuran, mendekati distribusi Gauss maka akan diperoleh penjelasan
yang lengkap tentang masing-masing populasi. Selanjunya dapat ditarik kesimpulan
tentang hubungan antara berbagai populasi, misalnya ditaksir persentase waktu FEF
non-perokok yang dipilih secara acak akan lebih besar daripada FEF perokok berat
yang dipilih secara acak (sekitar 84
Model Satu-Arah Seimbang
Dalam model dengan gaya ANOVA klasik, reaksi yij untuk anggota j dari
kelompok i ditulis sebagai :
yij = µi + εij , i = 1, 2, . . . , I; j = 1, 2, . . . , J
Di mana ij yang tak berkorelasi mempunyai distribusi dengan rata-rata nol dan
varians σi2. Hanya ketiadaan korelasi dari ij yang merupakan asumsi serius. Selalu
dapat kita definisikan µi untuk menjadikan rata-rata ij sama dengan nol. Karena
ukuran sampel sama, rancangan disebut seimbang.
Bentuk µi dapat juga diuraikan menjadi dua komponen, yaitu :
µi = µ + αi
Kemudian model paralel dengan lapisan-lapisan, dengan µ merupakan mean dari
µi , nilai persekutuan dalam lapisan-lapisan model paralel dengan grand mean data
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
9
awal. Lambang α menyatakan bahwa penelitian mencakup semua populasi penting. Kemudian, bila diambil sampel populasi, digunakan ai (dan bukan αi ) untuk
menyatakan bahwa populasi yang diambil untuk penelitian tidak mencakup semua
populasi dalam superpopulasi.
Contoh merokok mempunyai I = 5 dan J = 200. Dengan demikian, misalnya
jika ij tak terikat I (dan bukan hanyak tak berkorelasi), distribusi FEF untuk tidak
perokok akan menjadi F1 (µ1, σ12) dan untuk perokok sedang F4 (µ4, σ42), untuk sebagian F . Jika F berdistribusi Gauss untuk µ1 , . . . , µ5 dan σ12, . . . , σ42 diketahui, dapat
diambil dan dibandingkan angka-angka distribusi ini, untuk tidak perokok dan perokok sedang dan akan diperoleh semua informasi yang dibutuhkan untuk memahami
masing-masing populasi perokok satu per satu, dan juga hubungan antar kelompok.
Untuk banyak analisa varians, asumsi Gauss memegang peran kecil. Untuk data pengukuran, distribusi rata-rata mungkin mendekati normal (Gauss), sekalipun
asumsi gagal untuk masing-masing pengukuran. Kemudian penafsiran frekuensi
distribusi F teoritis yang digunakan secara konvensional dalam pengujian tergantung pada asumsi normalitas, walaupun tingkat ketergantungan tidak mudah ditentukankan, tapi hal itu tidak menjadi masalah.
Jika variasi dalam masing-masing kelompok, σi2 berbeda dari satu kelompok dengan kelompok lain, maka akan ditentukan taksiran σi2 tersebut dari masing-masing
kelompok perlakuan. Selanjutnya, jika variasi antar kelompok yang satu dengan
kelompok yang lain hampir konstan (seperti contoh diatas), maka untuk menaksir
σ 2 cenderung diperoleh dari informasi kelima populasi. Karena yang dibahas adalah
sampel dan bukan populasi, maka nilai mean µi maupun σi2 tidak bisa diketahui dengan tepat. Dari segi analisa varians, dapat diketahui nilai-nilai seputar populasinya.
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
10
Adakalanya, jika σi2 bervariasi secara berarti, maka terdapat hubungan selain dari
kesamaan antara σi2 , sedemikian sehingga σ12 = 2σ22 = 3σ32, kemudian dapat digabungkan kembali informasi dari sampel-sampel untuk meningkatkan taksiran σi2.
3.2 Variabilitas Antar-Mean Kelompok
Dalam topik ini akan dibahas tentang variabilitas di dalam masing-masing
kelompok, selanjutnya juga dijelaskan tentang variasi kelompok dengan kelompok.
Satu ukuran keanekaragaman kelompok adalah variasi dari mean kelompok µi sekitar
P
rata-ratanya µ = Ii=1 µi |J efek tetap komponen varians kelompok dengan kelompok,
yaitu : τ 2 =
I
P
(µi − µ)2 / (I − 1)
i=1
nilai ini pada pokoknya adalah varians µi bila masing-masing µi diperlakukan sebagai pengukuran tunggal. Dengan demikian variabilitas yang terkait dengan nilai
Forced Mid-expitory Flow (FEF) untuk seseorang dalam salah satu kelompok mempunyai dua komponen, yaitu : (1) komponen τ 2 untuk variasi antar-kelompok dan
(2) komponen σi2 (i = 1, 2, . . . , 5) untuk variasi dalam kelompok.
Jika ditentukan data yang lebih rinci lagi, maka sebaiknya diuraikan komponen
varians dalam kelompok menjadi bagian-bagian, misalnya satu bagian untuk test
yang dilakukan dalam satu hari, dan satu bagian lain untuk perilaku jangka panjang
dari sebuah objek. Selanjutnya untuk memperoleh informasi lebih banyak lagi, maka
kelompok tersebut masih dapat lagi dibagi, mungkin satu untuk daerah tempat
tinggal dan satu untuk kelompok dalam daerah lain.
Jika jumlah pengukuran dalam masing-masing kelompok kecil, maka nilai taksiran τ 2 dan σi2 tidak dapat ditentukan dengan jelas, hal ini terjadi jika sampel untuk
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
11
populasi masing-masing kelompok berukuran 1, sehingga tidak dapat dipisahkan nilai dari τ 2 dengan σi2 , demikian juga nilai σi2 tidak bisa ditaksir hanya dari data saja.
Apabila ukuran masing-masing kelompok diperbesar, mean sampel untuk kelompok
ke-I yi , maka nilai taksiran µi akan lebih dekat, sehingga nilai τ 2 dan σi2 juga lebih
baik, dan nilai taksiran σi2 secara terpisah untuk masing-masing kelompok dapat
ditentukan dengan taksiran takbias biasa.
Taksiran Varians untuk Populasi I
Taksiran varians untuk populasi I ditentukan dengan :
σ̂i2 =
J
X
j=1
(yij − yi· )2 / (J − 1), yi· =
X
yij /J
j
Untuk kemudahan pencekatan lambang d̂iletakkan diatas σ dan bukan di atas σ 2
secara keseluruhan, yang akan dianggap sebagian orang sebagai notasi yang lebih
deskriptif dan lebih tepat.
3.3 Teknik Linierisasi
Pertimbangan problema NLIP dimana J = J dan anggap fungsi objektif F
dan fungsi kendala f adalah polinomial. Teknik linierisasi secara luas digunakan
untuk problema-problema seperti ini. Semua dasar untuk masalah non biner, teknik
seperti ini terdiri dari dua langkah transformasi. Langkah pertama adalah dengan
mengubah formulasi non biner menjadi formulasi biner atau formula 0-1. Dengan
kata lain, variabel integer x digantikan oleh biner y. Asumsikan bahwa masingmasing xj memiliki batas atas terhingga yaitu uj , persamaan untuk x dapat ditulis
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
12
sebagai :
xj =
tj
X
2i yij
i=0
(3.1)
yij = 0, 1, i = 0, . . . , tj
dimana tj adalah integer positif terkecil, u ≤ 2tj+1 1
Langkah kedua adalah mereduksi program polinomial 0-1 ke program linier 0-1
dengan memperkenalkan variabel 0-1 yang baru untuk menggantikan bagian-bagian
cross product. Dimana bentuk y n (dimana y = 0 atau 1) dapat disederhanakan
menjadi y.
Ambil Q sebagai variabel himpunan 0-1, kemudian setiap perbedaan hasil
Πj∈Qyj dari variabel 0-1 akan digantikan dengan variabel 0-1 yang baru yaitu yQ.
Untuk membuktikan yQ = 1 jika dan hanya jika Πj∈Qyj = 1, kita mengambil dua
bentuk kendala baru
−
X
yj + yq + q − 1 > 0
(3.2)
X
yj qyQ ≥ 0
(3.3)
yQ = 0 atau 1
(3.4)
j∈Q
dan
j∈Q
dimana q jumlah elemen pada Q.
Masalah kelinieran dapat disederhanakan dengan menggunakan beberapa anggota standart, seperti algoritma Balas.
Bagaimanapun, program linier 0-1 yang baru di formulasikan pada harga yang
signifikan. Untuk setiap bagian cross product, sebuah variabel biner harus ditam-
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
13
bahkan dua pembuktian. Dimana harga variabel dan bukti akan naik secara merata
untuk program nonlinier 0-1 yang kecil.
Hasil Linierisasi Alternatif yang linier 0-1, program polynomial telah diusulkan
oleh Glover dan Woolsey (1973,1974), di dalam suatu usaha untuk memperluas cakupan permasalahan nonlinier di mana pendekatan linier yang diubah terbukti efektif.
Karena kesukaran memprogram permasalahan bilangan bulat (dan mixed-integer)
sering dipertahankan pada banyaknya bilangan bulat variabel, mereka menggantikan
polynomial terminologi perkalian oleh kontinu variabel yQ ∈ [0, 1] sebagai ganti 0-1
variabel. Batasannya
yj > yq, ∀j ∈ Q
ditambahkan untuk membuktikan (3)
Bentuk (3.5) menentukan harga 0 sampai yQ dimana yj = 0 untuk semua
j ∈ Q, dan dari (3.2), yQ = 1 untuk semua j ∈ Q.
Bagaimanapun, dalam kaitan dengan (3.5), banyaknya batasan akan meningkat
secara drastis, walaupun variabel yang biner akan tinggal yang sama dalam jumlah.
Untuk menyelesaikan masalah ini, diberikan petunjuk lebih lanjut, misalnya memberi masing-masing yQ status suatu variabel kontinu di dalam suatu pertunjukan
economical lebih jauh.
Misalkan Kj menandakan satuan himpunan berisi yj , dan misalkan nj menandakan
banyaknya unsur-unsur di Kj , kemudian batasan format
nj yj >
X
yQ
(3.5)
Q∈Kj
mungkin mengganti persamaan (3.3). Adalah mudah untuk menunjukkan bahwa
persamaan (3.6) akan memberi lebih sedikit batasan dibanding persamaan (3.3).
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
14
Glover (1975) mempunyai prosedur diberi lebih lanjut untuk mengurangi banyaknya batasan dan variabel baru yang diperkenalkan untuk mengakomodasi cross
product. Ia telah menunjukkan variabel kontinu tunggal wj boleh menggantikan
n
P
satu himpunan kwadrat xi
cij xj dimana xi = 0 atau 1, untuk semua i ∈ N =
j=1
{1, . . . , n}. Oleh karena itu, batasan
D̄i xi > wi > D i xi
(3.6)
dan
X
dij xj − Di (1 − xj ) > wi >
j
X
dij xj − D̄i (1 − xi )
(3.7)
j
dimana
Di
n
X
min(dij , 0)
j=1
dan
D̄ i
n
X
max(dij , 0)
j=1
ditentukan bahwa wi jika xi = 0
P
dij xj jika xi = 1
dan wi =
Ini adalah suatu peningkatan luas bandingkan dengan Teknik Watters, ketika kita
dapat mengamati bahwa hanya n variabel kontinu baru dan 4n batasan tambahan
akan ditambahkan jika teknik ini telah diberlakukan bagi suatu standard program
bilangan bulat kwadrat. Bagaimanapun, lebih kecil, seperti perumusan secara khas
menyediakan relaksasi berlanjut agak lemah dan pemusatan adalah lambat (Mcbride
dan Yormark, 1980a,b).
Fungsi multilinier hanya menyatakan ulang nilai dari fungsi g(x) dalam variabel
0 dan 1. Secara aljabar, fungsi multilinier f (x) dapat ditulis dalam bentuk :
g(x) =
X
at Πj∈Nt xj , xj = 0 atau 1, j ∈ Nt
t∈N
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
(3.8)
15
dimana at , t ∈ N adalah bilangan real dan Π adalah symbol perkalia. Oleh karena
itu program nonlinier 0 dan 1 melibatkan fungsi dengan bilangan real yang dapat
dinyatakan dalam bentuk multilinier yaitu :
min {F (x)|fi(x) ≤ 0, i ∈ K, x biner}
(3.9)
dimana F dan f adalah fungsi multilinier.
Linearisasi program multilinier tidak membutuhkan variabel baru (Granot dan
Hammer, 1971). Pada awalnya disebut generalized covering problem yang dapat
ditulis dalam bentuk berikut:
Minimize cT x̄
(3.10)
Subject to Ax̄α ≥ 1
(3.11)
dan integer 0 ≤ x̄ ≤ 1
(3.12)
αj
α
dimana A adalah
 matriks 0-1, x̄ = (1x) adalah vector 0-1 dan x̄ = equiv(x̄j )

 x̄αj if αj = 1
j
sehingga: x̄j =

 xj if αj = 0
Sebagai alternatif, Granot dan Granot (1980) menggunakan teknik liniearisasi yang
sama, tetapi pada setiap tahap algoritma menyelesaikan problema covering linier
sehingga relaksasi dari problema tersebut kendala yang memiliki subset yang kecil
dari kendala pada problema covering yang sama. Tujuan utama algoritma ini adalah
dapat diatur untuk mencegah produksi kendala covering yang berlebihan.
Belakangan ini, Balas dan Mazzola (1984a,b) sudah memperkenalkan suatu
linierisasi MLP baru bagi suatu padanan yang dihimpun mencakup masalah, gunakanlah hanya variabel yang asli, terutama sekali untuk suatu multilinier untuk
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
16
format
g(x) =
X
i∈N
at
Y
xj 6 b, xj = 0 atau j ∈ Nt
(3.13)
j∈Nt
Mereka menggambarkan suatu famili dari ketidaksamaan linier setara dengan
persamaan (3.9) itu berisi linierisasi yang lebih ringkas (atau lebih kecil jumlah
mencakup batasan) tentang yang MLP dibanding yang didasarkan pada disamaratakan mencakup ketidaksamaan. Perhitungan mengalami regenerasi secara acak
menghasilkan multilinier 0-1 program dengan 20 batasan dan 50 variabel diperkenalkan. Applicabilas ini mendekati ke permasalahan lebih besar dan memerlukan
penyelidikan lebih lanjut.
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
BAB 4
PEMBAHASAN
4.1 Varians
Varians σ 2 (d∗ ) = E (d∗ − E[d∗ ])2 dapat diperoleh dengan menggunakan nilai
2
asimptot dari E(d∗ ), dihitung deret taylor dari (d∗ − E[d∗ ]) dalam (w/n − SE (d)).
Kemudian diambil nilai ekspektasi dengan mengganti (w/n−SE (d))k dengan momen
pusat diperoleh (wikipedia, 2008):
σ 2 (d∗ ) =
µ2
0
SE (d)2 n
SE ”(d)
−
SE ”(d)µ22
4
+ µ3 SE0 (d)2
SE0 (d)6 n2
+O
1
n3
Estimator yang paling efektif, diantara semua estimator yang mungkin adalah
yang mempunyai nilai varians yang minimum, variansnya adalah sebagai berikut:
2
σ 2 (d∗ ) = F n(d) + O n12 dimana F (d) = S 0 µ(d)
2 . Dengan menghitung nilai ekspekE
tasi tentunya meminimumkan F (d) dan akan memberikan nilai asimptot (dalam n)
estimator yang optimal. Ada beberapa pilihan untuk meminimumkan, dapat menurunkan E terbaik untuk:
a. Jarak yang diberikan d, contohnya min F (d)
Eij
b. Sebuah norm untuk range jarak untuk d = 0 sampai 200, contoh dengan
R 200
min 0 F (t)dt
Eij
c. Memaksimalkan range jarak, untuk d = 0 sampai 200, contoh min max F (d).
Eij d=0...200
17
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
18
Hasil estimasi OLS sering disebut dengan istilah BLUE (Best Linier Unbiased
Estimator). Sederhananya, hasil estimasi yang bersifat BLUE adalah (Gujarati,
2003):
1. Efisien, artinya hasil nilai estimasi memiliki varians yang minimum dan tidak
bias.
2. Tidak bias, artinya hasil nilai estimasi sesuai dengan nilai parameter.
3. Konsisten, artinya jika ukuran sampel ditambah tanpa batas maka hasil nilai
estimasi akan mendekati parameter populasi yang sebenarnya.
Dalam statistik, estimator merupakan fungsi sampel data yang dapat diobservasi dan digunakan untuk mengestimasi parameter populasi yang tidak diketahui.
Estimasi merupakan hasil dari aplikasi fungsi untuk sampel data. Banyak estimator yang berbeda yang mungkin yang menghasilkan parameter. Beberapa kriteria
digunakan untuk memilih diantara estimator, meskipun sering kriteria tidak dapat
digunakan untuk satu estimator terhadap estimator yang lain. Untuk mengestimasi
parameter, prosedur yang biasa digunakan adalah sebagai berikut (wikipedia, 2008):
a. Memilih sampel acak populasi
b. Menghitung titik estimasi parameter
c. Menghitung ukuran keragaman, sering digunakan interval kepercayaan
d. Mengasosiasikan ukuran estimasi dari keragaman
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
19
4.2 Data Survei Ruwet dengan Linearisasi Taylor
Terdapat sejumlah ketentuan dari asimptot yang ekivalen terhadap penurunan
penaksiran deret Taylor dari varians untuk statistik yang ruwet. Binder dan Patak
(1994) memberi landasan teori untuk metode yang diturunkan. Bagaimanapun,
banyak metode yang dapat diturunkan untuk contoh praktis menggunakan teknik
straightforward. Berikut ini merupakan contoh sederhana pendekatan menggunakan
estimator ratio dari populasi total :
ŶR = R̂X,
untuk R̂ = Ŷ /X̂, dan Ŷ =
P
(4.1)
wk yk , dimana S merupakan himpunan yang meng-
k∈S
indikasikan kecocokan pada unit sampel dan wk merupakan bobot pengambilan, jika
P
dinormalkan, maka
wk merupakan estimator populasi total (Binder, 1996).
Contoh wk = 1/πk dimana πk merupakan probabilitas pada order pertama, dan
didefinisikan bahwa X̂ analogi ke Ŷ . Pada pers (4.1) jika kedua ruas diturunkan,
diperoleh:
dŶR = (dR̂)X,
(4.2)
dimana
(dR̂) =
(dŶ )
Ŷ
(dX̂)
X̂
X̂ 2
i
1 h
(dŶ ) − R̂(dX̂ )
=
X̂
−
(4.3)
Catatan bahwa pers (4.2) tidak memasukkan turunan total dari X. Populasi
total dari variabel X, karena X diasumsikan tetap dan diketahui.
Langkah selanjutnya, mengganti semua turunan total dari jumlah yang diestimasi dengan penyimpangan dari nilai ekspektasinya. Disisi sebelah kanan, disubP
situsi untuk (dŶ ), ekspresi ( wk yk − Y ), dan lainnya. Untuk jumlah ŶR , diganti
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
20
dŶR dengan ŶR Y . Dari pers (3.2) dibentuk kembali langkahnya, menghasilkan:
ŶR − Y =
X hX
X̂
wk yk − Y
− R̂
X
wk xk − X
i
(4.4)
Dilihat bahwa ekspresi ini terdiri dari sejumlah bobot estimator, secara eksplisit
P
P
wk xk ), dimana wk s adamenunjukkan keterikatannya pada wk0 s, ( wk yk dan
lah implisit dalam ekspresi X̂ dan R̂ .
Untuk langkah terakhir, diisolasikan zk , didefinisikan dengan menulis kembali pers
(4.4) sebagai:
ŶR − Y =
X
wk zk + bentuk lain yang tergantung secara eksplisit pada wk
Disini diperoleh,
zk =
catatan bahwa
P
X
X̂
(yk − R̂xk )
(4.5)
wk zk mempunyai bentuk estimasi populasi total dari variabel z.
Sekarang, untuk memperoleh varians ŶR , dimasukkan variabel baru z kedalam
k sampel, dan menggunakan prosedur standard untuk mengestimasi varians total
diaplikasikan untuk variabel ini. Diasumsikan bahwa varians estimator dengan propertis yang baik cocok untuk pola sampel.
Ringkasan umum metode adalah sebagai berikut:
a. Andaikan T menjadi T̂ dan mengambil turunan totalnya.
b. Ganti turunan total dari T̂ , dT̂ , dengan T̂ T , ganti semua turunan total dari
jumlah yang diestimasi dengan penyimpangan dari nilai ekspektasinya, dengan
P
mensubsitusi (dŶ ), ekspresi ( wk yk − Y ), dan lainnya.
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
21
c. Langkah terakhir mengisolasi zk , kemudian menulis kembali hasil langkah b
P
sebagai: ŶR − Y = wk zk + bentuk lain yang tergantung secara eksplisit pada
wk
d. Akhirnya, untuk memperoleh estimasi varians dari T̂ , dimasukkan variabel
baru zk ke dalam tiap-tiap sampel, dan menggunakan prosedur standard untuk
estimasi total varians, diaplikasikan untuk variabel ini.
4.2.1 Kasus Umum Yang Paling Sederhana
Untuk sampel satu fase merupakan kasus umum yang paling sederhana, dimana estimator dapat diekspresikan sebagai fungsi turunan dari total estimasi untuk
variabel survey tertentu, beberapa yang boleh diturunkan variabel pada unit level
penarikan akhir. Dalam masalah ini, pendekatan yang diberikan adalah:
T̂ = g(Ŷ1 , ..., Ŷm)
"
#
X ∂g(Ŷ )
(dŶi )
(dT̂ ) =
∂ Ŷi
"
#
X ∂g(Ŷ ) X
(
wk yik − Yi )
T̂ − T =
∂ Ŷi
i
k
X
=
wk zk + ...
#0
"
#
"
X ∂g(Ŷ )
∂g(Ŷ )
dimana zk =
yik =
yk
∂
Ŷ
∂
Ŷ
i
i
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
Metode ini berbeda dengan metode Taylor standard. Perbedaan utama adalah
bagaimana pers (4.8) diajukan. Pada metode standard, turunan parsial dievaluasi pada nilai ekspektasi sebelum zk diturunkan, maka komponen zk tersebut tidak
diketahui yang merupakan estimator yang disubsitusikan. Untuk estimator ratio,
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
22
pers (4.1) akan menghasilkan X/X̂ tak terlihat dari zk pada pers (4.5) karena nilai
ekspektasi dari X/X̂ adalah tunggal. Ekspresi R̂ digunakan untuk mengestimasi R
yang dibutuhkan dalam turunan zk .
Kott (1990) mengargumentasikan bahwa varians estimator untuk ratio yang
diturunkan mempunyai kondisi propertis yang baik dibandingkan dengan estimator
yang diluar faktor X/X̂. Rao (1995) menunjukkan bahwa metode ini setuju dengan
yang diperoleh dari linearisasi Jackknife. Konjuktor ini merupakan turunan parsial
pada pers (4.8) yang dievaluasi pada Ŷ dari Y , linearisasi dekat dengan statistik
yang asli T̂ . Sehingga menghasilkan varians yang baik.
Catatan bahwa pers (4.9) untuk zk , semua bentuk secara langsung mengobservasi sampel, sehingga tidak ada subsitusi estimator untuk jumlah yang tidak
diketahui.
4.2.2 Kasus dengan Parameter Tambahan
Untuk banyak contoh, estimator paling mudah didefinisikan dalam bentuk yang
memasukkan penggunaan yang hanya digunakan untuk menyederhanakan definisi parameter. Untuk estimator ratio, R̂ merupakan contoh untuk parameter tambahan.
Pada kasus ini, persamaan eksplisit untuk estimator dari parameter tambahan memungkinkan. Metode umum dalam kehadiran parameter tambahan dapat dituliskan
sebagai:
T̂ = g1 Ŷ1 , . . . , Ŷm , λ̂ , di mana λ̂ = g2 Ŷ1 , . . . , Ŷm ,
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
(4.10)
23
Dimana


X ∂g1 Ŷ , λ̂

 dŶi
=
∂ Ŷi


X ∂g1 Ŷ , λ̂

 dλ̂j
+
∂ λ̂j
(4.11)


X ∂g2j Ŷ

 dŶi ,
dλ̂j =
∂ Ŷi
i
T̂ − T =
∂g
Ŷ
,
λ̂
X 1
+
=
Dimana
dT̂
!
X
wk yik − Yi
∂ Ŷi
k
X ∂g1 Ŷ , λ̂ X ∂g2j Ŷ
X
X
∂ λ̂i
i
(4.12)
∂ Ŷi
wk yik − Yi
!
k
wk zk + . . . ,
0
0 


∂g1 Ŷ , λ̂
∂g1 Ŷ , λ̂
∂g2 Ŷ
 yk + 
 yk
 
zk = 
∂ Ŷ
∂
Ŷ
∂ λ̂
(4.13)

(4.14)
untuk kasus dimana parameter tambahan di definisikan hanya secara implisit
melalui persamaan estimasi, maka generalisasinya adalah:
T̂ = g Ŷ1 , . . . , Ŷm , λ̂
Dimana
Û Ŷ1 , . . . , Ŷm , λ̂ = 0

0


X ∂g1 Ŷ , λ̂
X ∂g1 Ŷ , λ̂




dT̂ =
dλ̂
dŶi +
∂ Ŷi
∂ λ̂
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
(4.15)
(4.16)
(4.17)
24
dimana pengambilan turunan total dari pers (4.16) dan mengisolasikan (dλ̂), diperoleh:

−1


∂ Û Ŷ , λ̂
X ∂ Û Ŷ , λ̂




dŶi
dλ̂ = −
∂ λ̂
∂ Ŷi
T̂ − T =
wk yik − Yi
∂ Ŷi
k
#
!
0 "
X
∂ Û X ∂ Û
∂g
∂ λ̂
=
X
∂g
Dimana
zk =
!
X ∂g X
−
∂ Ŷ
∂ λ̂
i
∂ Ŷi
wk yik − Yi
yk −
∂g
∂ λ̂
0 "
!
k
wk zk + . . . ,
0
(4.18)
(4.19)
∂ Û
∂ λ̂
#0 "
∂ Û
∂ Ŷ
#0
yk
(4.20)
terlihat bahwa pers (4.20) merupakan generalisasi dari bentuk sebelumnya untuk zk
yang diberikan pada pers (4.9) dan (4.14).
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
BAB 5
KESIMPULAN
Untuk estimator parameter-parameter model yang didefinisikan sebagai penyelesaian untuk persamaan penaksiran berbobot kalibrasi (Generalalized Regression
Estimator,disingkat GREG), penulis mengkaji taksiran total varians, dengan mengasumsikan bahwa karakteristik yk pada populasi berhingga dihasilkan dari model
superpopulasi. Dengan menggunakan pendekatan Demnati dan Rao (2004) diperoleh estimator varians linierisasi. Estimator varians yang diajukan secara otomatis
menjaga ”bobot-g”. Estimator ini juga tetap sah dengan misspesifikasi variansi model yk , dengan mengasumsikan bahwa model kovarians yk dan yt sama dengan 0
untuk k 6= t.
25
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
DAFTAR PUSTAKA
Balas, E. and Mazzola, J. B. (1984a), ”Nonlinear 0-1 Programming : Linearization
Techniques, and II Dominance Relations and Algorithm”, Math.Progr. 30:1-21.
Balas, E. and Mazzola, J. B. (1984b), ”Nonlinear 0-1 Programming : Linearization
Techniques, and II Dominance Relations and Algorithm”, Math.Progr. 30:22-45.
Binder, D.A. and Patak, Z. (1994). ”Use of estimating functions for interval estimation
from complex surveys”, Journal of the American Statist/ca/Assoc/affon, 89,
1035-1043.
Binder, D. A. (1996), ”Taylor Linearization For Single Phase And Two Phase Samples:A Cookbook Approach”, R.H. Coats Building, 11-”A”, Ottawa, Ontario,
Canada, K1A 0T6, pp. 132-137.
Demnati, A. and Rao, J. N. K. (2001),? Linearization Variance Estimators for Survey
Data, Methodology Data Branch Working Paper, SSMD-2001-010E, Statistics
Canada.
Demnati, A. and Rao, J. N. K. (2002), ”Linearization Variance Estimators for Survey
Data”, SSC Annual Meeting, Proceedings of the Survey Methods Section, pp. 8792.
Demnati, A. and Rao, J. N. K. (2002), ”Linearization Variance Estimators for Survey Data With Missing Responses”, Proceeding of the Section Survey Research
Methods, American Statistical Association, pp. 736-740.
Demnati, A. and Rao, J. N. K. (2003), ”Linearization Variance Estimators for Longitudinal Survey Data”, Survey Methodology, pp. 138-143.
Demnati, A. and Rao, J. N. K. (2004), ”Linearization Variance Estimators for Survey
Data (with discussion)”, Survey Methodology, 30, pp. 17-34.
Demnati, A. and Rao, J. N. K. (2005), ”Linearization Variance Estimators for Model Parameters From Survey Complex Data”, Proceedings of Statistics Canada
Symposium 2005 Methodological Challenges for Future Information Needs, Catalogue no. 11-522-XIE.
Glover, F. (1975), ”Improved Linear Integer Programming Formulations of Nonlinear
Integer Problems. Management Sci. 22: 455-460.
Glover, F. and Woolsey, E. (1973), ”Further Reduction of Zero-One Polynomial Programming Problems to A Zero-One Linear Programming Problems”, Operations
Reseacrh 21: 56-160.
Glover, F. and Woolsey, E. (1974), ”Converting the 0-1 Polynomial Programming
Problem to a 0-1 Linear Programming”, Management Sci. 22: 180-182.
Granot, D. and Granot, F. (1980), ”Generalized Covering Relaxation for 0-1 Programs”, Operations research 28: 1442-1449.
26
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008
27
Granot, F. and Hammer, P. L. (1971), ”On the Use of Boolean Functions in 0-1
Programming”, Methods for Operations Research 12: 154-184.
Gujarati, D., 2003, ”Ekonometrika Dasar”, Alih bahasa: Sumarno Zain, Erlangga,
Jakarta.
Kott, P.S. (1990), ”Estimating the conditional variance of a design consistent regression estimator”, Journal of Statistical Planning and Inference, volume 24, pp.
287-296.
Mcbride, R. D. and Yormark, J. S. (1980a), ”An Implicit Algorithm for Quadratic
Integer Programming”, Management Sci. 26: 282-296.
Mcbride, R. D. and Yormark, J. S. (1980b), ”An Implicit Algorithm for Quadratic
Integer Programming”. Management Sci. 26: 784-795.
Molina, E. A., Smith, T. M. F. and Sugden, R. A. (2001), ”Modeling Overdispersion
for Complex Survey Data”, International Statistical Review, 69, pp. 373-384.
Rao, J.N.K. (1995). Private communication.
Royall, R. M., and Cumberland, W. G. (1981), ”An Empirical Study of the Ratio
Estimator and Estimators of its Variance”, Journal of the American Statistical
Association, 76, pp. 66-77.
Särndal, C.-E., Swensson, B., and Wretman, J.H. (1989), ”The Weighted Residual
Technique for Estimating the Variance of the General Regression Estimator of
the Finite Population Total”, Biometrika, 76, pp. 527-537.
Valliant, R. (1993), ”Postsratification and Conditional Variance Estimation”, Journal
of the American Statistical Association, 88, pp. 89-96.
Wikipedia (2008), ”Estimators and Variance of Estimators” http://www.google.com.
Dapot Situngkir : Metode Linierisasi Estimator Varians Untuk Model Parameter Data Survei Ruwet, 2009
USU Repository © 2008