2100601_MAT. DAS_Modul_004

MATEMATIKA DASAR 1B
Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id
LIMIT DAN KONTINUITAS FUNGSI
1. Limit Barisan
Definisi :
Bilangan-bilangan c1, c2, c3, …, cn disebut barisan bilangan tak hingga.
Cn disebut suku umum dari barisan.
Bilangan n , ( n = 1, 2, 3, … ) adalah nomor urut atau indeks yang menunjukkan letak bilangan
tersebut dalam barisan.
Catatan :
Suku umum dari barisan, yaitu Cn merupakan suatu fungsi dari n atau Cn = f (n)
Contoh :
Barisan : 1 , ½ , 1/3 , ¼ …..suku umumnya adalah 1/n.
Kita dapat menyebut barisan diatas sebagai barisan Cn = 1/n
Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id
Sifat-sifat Limit Barisan :
Bila Lim Cn = L dan Lim dn = m , maka :
n
n
1. Lim ( Cn + dn ) = Lim Cn Lim dn = L m
n
n
n
2. Lim ( Cn . dn ) = ( Lim Cn ) ( Lim dn ) = L . M
n
n
n
3. Lim 1 / Cn = 1/ Lim Cn = 1 / L
n
n
Bila semua suku Cn 0 dan L 0
4. Lim dn / Cn = ( Lim dn ) / ( Lim Cn ) = m / L
n
n
n
Bila semua suku Cn 0 dan L 0
5. Lim (Cn )P = ( Lim Cn )P = LP
n
n
Untuk sembarang P bilangan riil dan LP = ada .
6. Lim PCn = PLim Cn = PL
n
n
Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id
Contoh Soal :
1. Lim
n
n2
= Lim
1
2n + 2
n 2/n2 + 2/n2
=
1=0

2. Lim 1 + 2 + 3 + … + n = Lim ½ n ( 1 + n ) = Lim ½ n + ½ n = Lim 1/2n + ½ = 0 + ½ = 1/2
n
n
n
n
n2
n2
n2
1
n2 – 2n – 1 = Lim 1 – 2/n – 1/n
n 2n2 + n + 3
n 2 + 1/n + 3/n2
=1
3. Lim
4. Lim n2 + 1 = Lim 1/n + 1/n = = 0
n n3 – 1
n 1 – 1/n3
2
1
Limit Barisan Istimewa
1. Lim ( 1 + 1/n )n = e
n
Menggunakan “ Binomium Newton “
2. Lim ( 1 + n )1/n = e
n
Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id
2. Limit Fungsi
Definisi :
Suatu fungsi riil y = f (x) dikatakan mempunyai limit 1pada x = a , bila untuk sembarang bilangan
 > 0 ( Bagaimana pun kecilnya ) terdapat bilangan > 0 , sedemikian sehinggaf (x) – 1<
untukx – a < .
Catatan :
Dengan cara yang sama , di dapat pengertian – pengertian yang lain seperti :
Lim f (x) = 1 berarti f (x) 1 bila x
x
Lim f (x) = 1 berarti f (x) 1 bila x -
x
Atau ditulis sebagai Lim f (x) = 1
x
Lim f (x) = + berarti f (x) + bila x a , dapat dikatakan limitnya tak ada, atau
xa
mempunyai limit yang tak sebenarnya + .
Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id
Sifat-sifat Limit Fungsi :
Lim g (x) = m , a sebarang bilangan riil, boleh -, +
Bila Lim f (x) = L dan
xa
xa
1. Lim k f (x) = k Lim f (x) = k L ( k adalah sebarang bilangan riil )
xa
xa
2. Lim ( f (x) g (x) ) = Lim f (x) Lim g (x) = L m
xa
xa
xa
3. Lim f (x) g (x) = Lim f (x) Lim g (x) = L m
xa
xa
xa
4. Lim f (x)n = ( Lim f (x) )n = Ln , n bilangan asli
xa
xa
5. Lim 1 / g (x) = 1/ Lim g (x) = 1 / m , bila m 0
xa
xa
6. Lim f (x) / g (x) = ( Lim f (x) ) / ( Lim g (x) ) = L / m, bila m 0
xa
xa
n
xa
n
n
n
7. Lim f (x) = Lim f (x) = 1, asalakan 1 suatu bilangan riil
xa
xa
8. Lim Ln f (x) = Ln Lim f (x) = Ln L
xa
xa
Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id
Beberapa Limit Fungsi Yang Istimewa :
1. Lim Sin x = 1
x0
x
Bukti :
Lim Sin x = Lim Cos x = Cos 0 = 1
x0 x
x0
2. Lim Tg x = 1
x0 x
Bukti :
Lim Tg x = Lim Sin x
x0 x
x0 x Cos x
= Lim Sin x . Lim 1
x0 x
x0 Cos x
=1 . 1=1
3. Lim ( 1 + 1/x ) x = e
x
4. Lim ( 1 + x ) 1/x = e
x0
5. Lim ln ( 1 + x ) = 1
x0
x
Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id
Contoh Soal : Hal. 161 & 165
1. Lim 2x - 4 = 2 (2) – 4 = 0 = 0
x2 x + 3
2+3
5
x2 + 2x - 3 = Lim 1 + 2/x - 3/x2 = 1 = 1
x x2 - 2x + 3
x 1 - 2/x + 3/x2
2. Lim
1
3. Lim x2 – 1 = 1 – 1 = 0 = 0
x1
x+1
1+2 3
4. Lim
x3
x2 – 3x
x3 - 2x2 - 2x - 3
2x – 3
x3 3x2 - 4x - 3
= Lim
= 2 (3) - 3
3 (9) – 4 (3) – 2
= 3.
13
5. Lim ( x + h )2 - x2 = Lim ( x2 + 2hx + h2 ) – x2 = Lim 2x + h = 2x + 0 = 2x
h0
h0
h0
h
h
6. Lim 1 – Cos x
x0
3x2
= Lim Sin x = Lim Cos x = Cos 0 = 1
x0
x0
6x
6
6
6
7. Lim arc tg x = Lim 1 / ( 1 + x ) = 1
x0
x0
1
x
Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id
3. Kontinuitas Fungsi
Definisi :
Sebuah fungsi y = f (x) dikatakan kontinu pada x = a , jika untuk suatu bilangan < 0 , dapat
ditemukan bilangan > 0 sedemikian ehinggaf (x) – f (a) < untukx – a < .
Dengan perkataan lain : f (x) kontinu pada x = a bila ke-3 syarat – syarat dibawah ini
terpenuhi :
(1) f (a) terdefinisi ;
(2) Lim f(x) ada ;
xa
(3) Lim f (x) = F (a)
xa
Di dalam hal lain f (x) disebut diskontinu ( tidak kontinu ) ,
Asimtot
Asimtot Datar y = Lim f (x) = a
x
Asimtot Tegak y = Lim f (x) =
xa
Asimtot Miring y = ax2 + bx + c ; a, p 0
Ismail
px
+ q Muchsin, ST, MT
http://www.mercubuana.ac.idhttp://www.mercubuana.ac.idhttp://www.mercu
Contoh Soal :
1. y = 3x + 25
x+5
Jawab :
Asimtot Datar
 y = Lim 3x + 25 = Lim 3 + 25/x = 3
x x+5
x 1 + 5/x
Asimtot Tegak
 x + 5 = 0 x=-5
Titik potong sb x x = 0 3x + 25 = 0
x = - 25/3 ( -25/3 , 0 )
Titik potong sb y x = 0 , y = 3 (0) + 25 = 5 ( 0, 5 )
0+5
Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id
Ismail Muchsin, ST, MT http://www.mercubuana.ac.id