Perbandingan Kekonvergenan Beberapa Model

II LANDASAN TEORI
2.1
Pengertian Opsi
Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan
adalah opsi. Pengertian dari opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana salah
satu pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset
tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang
ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau akan
menggunakan
haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan
menghasilkan keuntungan, baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari
tersebut.
2.2
Aset yang Mendasari Opsi
Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain
opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option) opsi berjangka
(future option) dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan
aset berbasis indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset
berbasis mata uang asing dengan kurs tertentu, opsi berjangka adalah suatu opsi
dengan aset berbasis kontrak berjangka. Sedangkan opsi saham adalah suatu opsi
dengan aset yang mendasarinya adalah saham.
2.3
Nilai Opsi
2.3.1 Nilai intrinsik
Nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan
investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi
dengan segera tidak positif, maka nilai intrinsik adalah nol. Untuk opsi call, nilai
intrinsik akan positif jika harga saham yang terjadi (S T) lebih besar dari pada harga
eksekusi (K). Sedangkan untuk opsi put nilai intrinsik akan positif jika harga saham
berlaku (ST) kurang dari harga eksekusi (K).
2.3.2 Nilai waktu
Nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau
premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar
kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuat. Opsi Eropa
6
tidak mempuyai nilai waktu karena eksekusi dilaksanakan hanya saat waktu jatuh
tempo.
2.4
Tipe Opsi
Terdapat dua tipe opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put.
Suatu opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset
tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan (strike price,
exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put memberikan hak
kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga
yang telah ditentukan sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi call tersebut
ada empat hal utama:
1 Harga aset yang mendasari yang akan dibeli
2 Jumlah aset yang mendasari yang dapat dibeli
3 Harga eksekusi aset yang mendasari
4 Tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut dengan expiration date.
Pada kontrak opsi put empat hal tersebut hampir sama dengan yang tertuang dalam
opsi call.
Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu
pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika.
Misalkan harga awal (pada saat disetujui kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo T dan
harga eksekusi (harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo) adalah K, serta
c
c t, S
menyatakan harga opsi call Eropa, dan p
p t, S
menyatakan harga
opsi put Eropa. Nilai intrinsik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat
dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi, yaitu
c
Jika ST
max ST
K,0 .
K , opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan
mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga ST yang lebih
besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlah ST
K . Jika ST
K opsi call
dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila ST
K opsi call
dikatakan dalam keadaan out of the money. Kondisi payoff dari opsi put Eropa
adalah
7
p
Jika ST
max K ST , 0 .
K , opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak menggunakan
haknya. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang dikenal
dengan put call parity, dapat dinyatakan sebagai berikut:
c Ke
rT
p S
dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko.
Apabila C
C t, S
menyatakan harga opsi call Amerika dan P
P t, S
menyatakan harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu maturity untuk call
adalah:
C
max S T
K,0 .
Sedangkan untuk opsi put
P
2.5
max K
S T ,0 .
Keuntungan Opsi
Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa
manfaat:
1 Manajemen risiko: penerbit dari put atas suatu aset yang mendasari dapat
melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko
portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun
drastis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian.
2 Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi
call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau
tidak hingga masa jatuh tempo.
3 Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika
dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila
diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga
cenderung turun maka akan membeli opsi put.
4 Diversifikasi:
dengan
melakukan
perdagangan
opsi
dapat
memberikan
kesempatan kepada investor untuk melakukan diversifikasi portofolio untuk
tujuan memperkecil risiko investasi portofolio.
8
5 Penambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan memperoleh
tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi, yaitu berupa premi dari opsi
tersebut.
2.6
Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi
2.6.1 Harga aset yang mendasari dan harga eksekusi
Jika suatu opsi call dieksekusi pada suatu waktu di masa yang akan datang,
pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi.
Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasarinya
meningkat dan kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sementara pada opsi
put, pembayaran atas eksekusi hak sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga
aset yang mendasarinya.
2.6.2 Tanggal jatuh tempo
Untuk tipe Amerika, dari kedua macam opsi baik opsi call maupun opsi put
menjadi lebih berharga jika jatuh temponya semakin meningkat. Sementara untuk
tipe Eropa nilai terhadap opsi baik call mupun put tidak terpengaruh dengan jatuh
tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi hak.
2.6.3 Volatilitas
Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat
ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa datang.
Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset
yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan. Pemilik dari suatu
opsi call memperoleh manfaat dari kenaikan harga tetapi dibatasi oleh risiko
penurunan harga. Begitu pula bagi pemegang opsi put yang memperoleh manfaat
dari penurunan harga tetapi dibatasi oleh risiko kenaikan harga.
2.6.4 Suku Bunga Bebas Risiko (Risk free interest rate)
Suku bunga bebas risiko mempengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat suku
bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan akan mempengaruhi harapan
kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini saham). Dengan mengasumsikan
bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun jika suku bunga
bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi call akan
selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga bebas risiko.
9
2.6.5 Dividen
Dividen yang diharapkan selama opsi masih berlaku akan mempunyai
pengaruh terhadap pengurangan harga aset yang mendasari pada tanggal pembagian
dividen. Tanggal pembagian dividen dapat memberikan sentimen negatif bagi nilai
opsi call, tetapi baik untuk meningkatkan nilai opsi put.
2.7
Persamaan Black-Scholes
Fischer Black dan Myron Scholes dalam merumuskan nilai suatu opsi
mendasarkan pada beberapa asumsi, yaitu:
1
Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai
fungsi kepekatan peluang lognormal.
2
Tidak ada biaya transaksi dan pajak.
3
Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku.
4
Tidak terdapat peluang arbitrage.
5
Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu.
6
Short selling diijinkan.
7
Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh
tempo.
Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan
beberapa istilah, yaitu:
Definisi 2.1 (Proses Stokastik)
Proses stokastik X
X t ,t
H
adalah suatu koleksi (himpunan) dari peubah
acak. Untuk setiap t pada himpunan indeks H, X t adalah suatu peubah acak dan t
sering diinterpretasikan sebagai waktu (Ross 1996).
Definisi 2.2 (Gerak Brown)
Proses stokastik X
1 X 0
H disebut proses gerak Brown jika:
0.
2 Untuk 0 t1
bebas.
X t ,t
t2
t n peubah acak X ti
X ti
1
, i 1, 2,3,..., n saling
10
3 Untuk setiap t
0, X t
2
berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian
t
(Ross 1996).
Definisi 2.3 (Gerak Brown Geometris)
Jika
X t ,t
adalah gerak Brown, maka proses stokastik
0
eX
yang didefinisikan Z t
t
Z t ,t
0
disebut gerak Brown geometris (Ross 1996).
Definisi 2.4 (Proses Wiener)
Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1 (Niwiga 2005).
Definisi 2.5 (Proses Wiener Umum)
Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai
berikut (Hull 2003):
dX t
(2.1)
a dt b dW (t )
adt disebut sebagai komponen deterministik dan b dW (t ) menyatakan komponen
stokastik, serta W (t ) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing
menyatakan rataan dan standar deviasi dari X.
Definisi 2.6 (Proses Ito’)
Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu
fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Proses Ito’ dapat dinyatakan sebagai berikut
(Hull 2003):
a X t , t dt b X t , t dW t
dX t
(2.2)
Lema 2.1 (Lema Ito’)
Misalkan proses X t
adalah
kontinu serta turunan-turunan
kontinu, maka Y t
dY t
dengan
memenuhi persamaan (2.2) dan fungsi Y t
ft X t , t dt
f X t ,t
f t X t , t , f X X t , t , f XX X t , t
f X t , t memenuhi persamaan berikut (Gihman 1972):
fX X t , t dX t
1
fXX
2
X t , t dX t
2
,
(2.3)
11
f
, fX
t
ft
2
f
, f XX
X
f
X2
dan
dt
2
dW t dt
0, dW t
dt dW t
2
dt
Definisi 2.7 (Model Harga Saham)
Jika S harga saham pada waktu t, µ adalah parameter konstan yang menyatakan
tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan
volatilitas harga saham, maka
model dari perubahan harga saham, yaitu (Hull 2003):
dS t
S t dt
(2.4)
S t dW t .
Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan BlackScholes. Misalkan X(t) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (2.1).
Persamaan ini
dapat dikembangkan menjadi (2.2). Selanjutnya akan ditentukan
model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran
dividen pada saham. Misalkan S(t) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat
proses Ito’, perubahan S(t) akan memiliki nilai harapan drift rate
S . Parameter
menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan
S t dt disebut
komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor
ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah
S t dW t , dengan
menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan
tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah
berbentuk (2.4), yaitu: dS t
S t dt
S t dW t .
Dengan (2.4) ini, dapat diterapkan lema Ito’ untuk suatu fungsi V(t,S), yaitu
nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh:
dV
S
V
S
V
t
1
2
2
2
S2
V
dt
S2
S
V
dW t .
S
(2.5)
Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan
pada saham dan derivatif.
menjual
Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi dan
V
saham. Misalkan
S
adalah nilai portofolio yang didefinisikan oleh
12
V
S.
S
V
(2.6)
Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai
d
V
dS.
S
dV
(2.7)
Dengan mensubstitusikan persamaan (2.3) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh
2
1
2
V
t
d
V
dt .
S2
2
S2
(2.8)
(lihat lampiran 1)
Return dari investasi sebesar
pada saham tak berisiko akan memiliki
pertumbuhan sebesar r dt dalam selang waktu dt . Agar tidak terdapat peluang
arbitrage, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (2.8), yaitu:
V
t
r dt
1
2
2
V2
dt .
S2
2
S2
(2.9)
Substitusi Persamaan (2.6) ke dalam (2.9), menghasilkan
V
rS dt
t
rV
1
2
2
2
S2
V
S2
rS
1
2
V
t
V
S
V
t
2
2
S2
rV
V2
dt .
S2
0.
(2.10)
Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai Persamaan Black-Scholes.
2.8 Formulasi Harga Black-Scholes
Hull (2003) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi
analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula
Black-scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral.
Untuk sebuah opsi call Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh
tempo adalah
Eˆ max S T
(2.11)
K ,0 . .
Didefinisikan g(ST) adalah fungsi kepekatan peluang dari ST , maka
Eˆ max S T
K ,0
ST
K
K g ST dST .
(2.12)
13
Misalkan G
ln S , maka
G
S
1 2G
,
S S2
1
S
0
1
2
1
G
dan
S2
t
0 . Berdasarkan Lema Ito’
diperoleh
G
S
1
2
dan
Karena
1
2
2
2
2
S2
2
S
1
dz
S
dz .
dt
konstan maka G
dan variansi
1
dt
S2
ln S mengikuti gerak Brown dengan rataan
.
Berdasarkan Persamaan (2.3),
dS
merupakan tingkat pengembalian dari harga
S
saham. Bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat
deterministik adalah
dt . Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat
deterministik adalah pengembalian dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank
yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga
saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta
diganti dengan r. Karena G
ln S berubah dari 0 sampai dengan T dan G
mengikuti gerak Brown, maka ln S berdistribusi normal dengan rataan r
dan variansi
dapat
1
2
ln S
2
T
2
T.
Misalkan pada waktu t
ln S 0 dan pada waktu T nilai G ln ST ,
0 nilai G
maka pada selang waktu 0 sampai dengan T, ln ST
ln S 0
adalah berdistribusi
normal dengan rataan dan varian seperti di atas, sehingga diperoleh:
ln ST
ln S 0 ~ N
1
2
r
2
T,
T
atau dapat dituliskan ln ST berdistribusi normal dengan
ln ST ~ N ln S 0
r
1
2
2
T,
T .
Dengan demikian ln ST berdistribusi normal dengan rataan
14
ln S 0
m
1
2
r
2
T
dan standar deviasi
s
T.
(2.13)
Selanjutnya didefinisikan juga sebuah peubah Q dengan
ln ST
Q=
m
T
(2.14)
.
Substitusi m dari Persamaan (2.13) ke dalam Persamaan (2.14) diperoleh
1
Q
ln ST
T
ln S 0
2
1
T
r
2
T,
maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan
fungsi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan h(Q), yaitu
1
e
2
hQ
Q2 / 2
(2.15)
.
(lihat lampiran 2)
Persamaan (2.14) dinyatakan menjadi
eQ
ST
T
m
.
(2.16)
Perubahan batas integral pada sisi kanan dari persamaan (2.12), dari integral menurut
ST menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut:
Jika ST
, maka Q =
Jika ST
K maka K = e
.
Q
T
m
sehingga Q =
ln K
m
.
T
Dengan menggunakan persamaan (2.15), (2.16),
misalkan s =
Eˆ max ST
perubahan batas integral dan
T , maka Persamaan (2.12) menjadi:
e Qs
K ,0
m
K h Q dQ
ln K m / s
=
e Qs
m
h(Q) dQ – K
(ln K m ) / s
e Qs
=
(ln K m ) / s
h(Q) dQ
(ln K m ) / s
m
1
2
e
Q2 / 2
dQ – K
h(Q) dQ
(ln K m ) / s
15
1
=
2
(ln K m ) / s
(ln K m ) / s
em
=
( Q s )2
em
s2
1 (
e
2
s2 / 2
s2 / 2
dQ – K
h(Q) dQ
2m) / 2
dQ – K
h(Q) dQ
(ln K m ) / s
(ln K m ) / s
=
2m) / 2
(ln K m ) / s
1 (
e
2
=
Q2 2Qs
e(
( Q s )2 ) / 2
dQ – K
h(Q) dQ
(ln K m ) / s
h(Q s ) dQ – K
(ln K m ) / s
h(Q) dQ,
(ln K m ) / s
sehingga persamaan (2.12) dapat dinyatakan dengan
Eˆ max S T
s2 / 2
em
K ,0 =
h(Q s ) dQ – K
(ln K m ) / s
h(Q) dQ.
(2.17)
(ln K m ) / s
Jika N(x) menyatakan notasi dari fungsi distribusi normal baku kumulatif maka
em
s2 / 2
h(Q s) dQ = em
2
T /2
[1 N [(ln K
m) / s
s ]]
(ln K m ) / s
= em
2
T /2
[ N [( ln K
m) / s s ]].
Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di atas
disubstitusi dengan Persamaan (2.13) dan s =
em
s2 / 2
h(Q s) dQ em
2
T , maka diperoleh
2
T /2
N
ln K ln S0
N
ln S 0 / K
r
N
ln S 0 / K
r
r
2
(ln K m ) / s
2
em
2
em
2
ln S 0 / K
T
2
em
T /2
2
T
2
T /
2
T /2
T /2
N d1 ,
2
dengan d1
T /
r
2
T /
T.
Dengan alasan yang serupa di atas, maka
2
T /
T
T
T
16
K
h( Q) dQ
ln K m
s
K 1 N
(ln K m ) / s
ln K
s
KN
m
Dengan mensubstitusikan m dan s pada persamaan (2.13) ke dalam persamaan di atas
diperoleh
2
h(Q) dQ
K
ln K ln S0
KN
r
2
(ln K m ) / s
T /
T
2
ln S 0 / K
KN
r
T /
2
T
= KN d 2 ,
2
dengan d 2
ln S 0 / K
r
T /
2
T,
sehingga Persamaan (2.12) menjadi
em
Ê [max(ST – K, 0)]
e ln S0
r
2
/2T
= S 0 e rT N d1
2
T /2
N d1
2
T /2
KN d 2
N d1
KN d 2
KN d 2 .
(2.18)
Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang
dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas
risiko yang dapat dinyatakan sebagai
c
e
rT
Eˆ max S T
K ,0 .
(2.19)
Dengan substitusi Persamaan (2.18) dan (2.19) diperoleh
formula Black-
Scholes untuk opsi call Eropa tanpa membayarkan dividen pada saat kontrak opsi
dibuat, yaitu
c
S 0 N d1
Ke
rT
N d2 .
(2.20)
dengan
2
d1
ln S 0 / K
r
2
T /
T dan
17
2
d2
2.9
ln S 0 / K
r
2
T /
T
d1
T.
Pengertian Model Binomial
Model binomial adalah suatu
bentuk cara penentuan harga opsi, yang
mengasumsikan bahwa sebuah saham hanya bisa memiliki dua nilai yang mungkin
pada saat kadaluwarsa opsi. Saham tersebut mungkin meningkat (up) hingga harga
tertinggi atau turun (down)
tampaknya
merupakan
hingga harga terendah (Bodie 1997). Meskipun
penyederhanaan
yang
berlebihan,
tetapi
cara
ini
memungkinkan untuk lebih dekat memahami model-model yang lebih rumit dan
realistik.
2.10 Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio)
Rasio lindung nilai adalah perbandingan dari pergerakan yang mungkin dari
nilai opsi dan saham pada akhir periode. Rasio itu adalah
cu cd
uS 0 dS 0
(2.21)
dengan cu dan cd adalah nilai opsi yang mengacu saat harga saham naik atau turun,
sedangkan uS0 dan dS0 merupakan harga saham dalam dua kondisi setelah terjadi
perubahan naik atau turun. Jika investor menerbitkan satu opsi dan memegang
lembar saham, maka nilai portofolio tidak akan dipengaruhi oleh harga saham akhir.
Portofolio itu sering disebut portofolio bebas risiko ( riskless portofolio).
2.11 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret
Perhitungan nilai opsi call Eropa menggunakan metode binomial dengan suku
bunga diskret, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga sekarang saat
T 1
maka harga saham pada saat T akan bergerak naik dengan faktor u atau akan
bergerak turun dengan faktor d dengan 1 d 1 1 u .
ST
ST ,u
(1 u ) ST
1
S T ,u
(1 d ) ST
1
1
Jika cT menyatakan nilai opsi call pada waktu T, maka:
18
cT
cT ,u
maks{0,(1 u ) ST
1
K}
cT ,d
maks{0,(1 d ) ST
1
K}
1
Pada waktu T 1 dapat dibentuk portofolio leverage yang terdiri atas saham S
dan obligasi sebesar B yang akan memberikan payoff yang sama seperti payoff
opsi call pada waktu T :
ST
(1 u ) ST
1
(1 r ) B
(1 d ) ST
1
(1 r ) B
B
1
Dengan menyamakan payoff dari opsi call dan payoff dari portofolio leverage pada
waktu T diperoleh:
(2.22)
(1 u ) ST
1
(1 r ) B
cT ,u
(1 d ) ST
1
(1 r ) B
cT ,d .
Setelah diselesaikan sistem persamaan linier
(2.23)
pada (2.22) dan (2.23) di atas
diperoleh:
cT ,u cT ,d
(u d ) ST
(2.24)
1
(1 u )cT ,d
B
(1 d )cT ,u
(2.25)
(u d )(1 r )
dengan
menyatakan rasio lindung nilai, artinya untuk membentuk portofolio yang
bebas risiko maka diperlukan perbandingan, yaitu sejumlah
saham dan satu opsi
call.
Langkah selanjutnya, jika pada waktu T , opsi call dan portofolio leverage
memberikan payoff yang sama, maka pada T 1 harus memiliki nilai yang sama
pula. Maka substitusikan persamaan (2.24) dan (2.25) dalam persamaan berikut,
diperoleh
cT
1
ST
1
B
cT ,u cT ,d
(u d ) ST
( r d )cT ,u
ST
(1 u )cT ,d (1 d )c T ,u
1
1
(u r )cT ,d
(u d )(1 r )
(u d )(1 r )
.
(2.26)
19
r d
, dan 1 p
u d
Dengan mensubstitusikan p
cT
(1 p) cT ,d
pcT ,u
1
u r
diperoleh
u d
(2.27)
(1 r )
Dengan cara yang sama bisa diturunkan nilai opsi call Eropa dengan metode
binomial 2 periode , 3 periode dan n periode yaitu
cT
cT
p 2 cT ,uu
2
(1 p)2 cT ,dd
(2.28)
(1 r)2
p3cT ,uuu 3 p2 (1 p) cT ,uud
3
3 p(1 p)2 cT ,udd
(1 p)3 cT , ddd
(2.29)
(1 r )3
n
n
j 0
cT
2 p(1 p) cT ,ud
n
j
p j (1 p)n j ( ST
K)
(2.30)
(1 r )n
2.12 Model Binomial Dengan Suku Bunga Kontinu
Perhitungan nilai opsi call Eropa menggunakan metode binomial dengan suku
bunga kontinu, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga sekarang saat T 1
maka harga saham pada saat T akan naik dengan faktor kenaikan u dan akan turun
dengan faktor penurunan d dengan
d
1 u , demikian juga
terhadap
nilai
opsinya yaitu dari f menjadi fu dan fd
S 0u
fu
f
S0
S0 d
fd
dengan S0 merupakan harga saham saat waktu T 1 , fu dan fd adalah harga opsi
pada
fd
T
waktu
maks(0, S 0d
yang
didefinisikan
sebagai
fu
maks(0, S0 u K )
K ) dengan K merupakan harga eksekusi pada waktu T .
Portofolio yang dibentuk adalah posisi long untuk sejumlah
short untuk satu opsi call
S0
dan
S 0u
fu
S0 d
fd
f
saham dan posisi
20
Portofolio akan menjadi bebas risiko ketika
S 0u
fu
S 0d
f d , sehingga
diperoleh nilai
fu fd
S 0 u S0 d
.
(2.31)
Nilai portofolio pada waktu T adalah
ini merupakan present value dari
S 0u
S 0u
f u , sehingga nilai portofolio pada saat
f u yaitu ( S 0 u
fu )e
rT
, dengan r adalah
suku bunga bebas risiko.
Ekspresi lain dari portofolio pada saat ini adalah
S0
f . Sehingga dengan
membandingkan di antara dua pernyataan di atas diperoleh
f
( S0 u
fu ) e
rT
S0
( S0 u
fu ) e
rT
S0
f
Substitusikan nilai
f
(2.32)
..
pada persamaan (2.32)
f u fu
f
fu
S0 ( u
S0 u
S 0u S0 d
S0 u S0 d
f
e rT d
fu
u d
f
pf u
(1
e rT d
)fd e
u d
(1 p ) f d e
fu ) e
rT
rT
rT
(2.33)
e rT d
dan untuk pembahasan selanjutnya p disebut sebagai peluang
u d
dengan p
risiko netral.
Dengan langkah-langkah yang dilakukan seperti di atas, untuk metode
binomial dengan dua periode, diperoleh
fu
pf uu
(1 p ) f ud e
r t
fd
pf du
(1 p ) f dd e
r t
f
pf u
dengan p
(1 p) f d e
(2.34)
(2.35)
rT
(2.36)
er t d
u d
Substitusikan persamaan (2.34) dan (2.35) ke dalam (2.36) diperoleh harga opsi call
dengan model binomial dua periode adalah
f
p 2 fuu
2 p(1 p) f ud
(1 p ) 2 f dd e
2r t
.
(2.37)
21
Untuk penentuan harga opsi call dengan metode binomial tiga periode dirumuskan
p 3 fuuu 3 p 2 (1 p) f uud 3 p (1 p) 2 f udd (1 p) 3 f ddd e
f
3r t
(2.38)
.
Sehingga untuk n periode pada metode binomial dengan waktu kontinu diperoleh
n
f
j 0
n j
p (1 p)n j ( Sn
j
K)
e nr t .
(2.39)
T
n
dengan t
2.13 Kekonvergenan
Untuk melihat kembali tentang kekonvergenan, maka akan diberikan beberapa
definisi yang berkaitan dengan barisan dan limit sebagai berikut (Purcell 1997):
Definisi 2.8 (Barisan Bilangan Real)
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dari N ke R. Misalkan
X :N
R
adalah suatu barisan bilangan real dengan
X (n)
xn
n
N.
xn disebut suku ke-n dari barisan X. Barisan X bisa dilambangkan dengan
X
{ xn }n =1 = { xn }n
N
={ xn } .
(2.40)
Definisi 2.9 (Limit Barisan)
Misalkan
{xn }n=1 adalah barisan bilangan real. Barisan {xn }n=1 dikatakan
R untuk n menuju tak hingga, jika
mempunyai limit L
0, n0 ( )
N,
sehingga
xn
L
,
n
(2.41)
n0 .
Barisan {xn }n =1 mempunyai limit L, dituliskan dengan lambing lim xn
n
L
Definisi 2.10 (Barisan Konvergen)
Jika barisan bilangan real {xn }n=1 mempunyai limit L, maka barisan {xn }n =1
dikatakan konvergen ke L