analisis kestabilan model penipisan sumber daya hutan

ANALISIS KESTABILAN MODEL PENIPISAN
SUMBER DAYA HUTAN
OLEH PERKEMBANGAN INDUSTRIALISASI
Oleh:
Khairina Aryaputri 1206 100 041
Pembimbing:
Drs. Kamiran, M.Si
Drs. M. Setijo Winarko, M.Si
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
2010
Abstrak
Sebuah model matematika nonlinier disusun untuk mempelajari penipisan sumber
daya hutan yang disebabkan oleh penekanan populasi dan perluasan industrialisasi,
sehingga keseimbangan sumber daya hutan menurun dibandingkan dengan
keseimbangan kepadatan penduduk dan industrialisasi yang semakin meningkat.
Meskipun rata-rata pertumbuhan populasi (tetap ataupun migrasi) hanya sebagian
bergantung pada sumber daya hutan, tetap saja sumber daya hutan berpengaruh
sehingga terjadi kepunahan akibat besarnya tekanan populasi yang memperbesar
industrialisasi. Dalam Tugas Akhir ini, akan ditentukan analisis kualitatif dari model
penipisan sumber daya hutan yang bertujuan mengetahui adanya gangguan atau
tidak adanya gangguan melalui analisis stabilitas dari titik setimbang bebas gangguan
maupun titik setimbang endemik. Untuk menopang industrialisasi, pengendali
pertumbuhannya dibutuhkan untuk memelihara stabilitas ekologi.
Kata kunci : Sumber Daya Hutan, Tekanan Penduduk, Industralisasi, Kestabilan.
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sumber Daya Hutan
INDUSTRI
MANUSIA
PENIPISAN
1.2 Rumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana menganalisis model penipisan sumber daya hutan yang disebabkan
oleh pertumbuhan jumlah populasi dan meningkatnya industrialisasi
2. Bagaimana mensimulasikan kesetimbangan dan kestabilan dari model penipisan
sumber daya hutan tersebut
1.3 Batasan Masalah
Batasan yang digunakan dalam permasalahan di atas adalah:
1. Rata-rata penekanan populasi dianggap sebanding dengan kepadatan
penduduk.
2. Penipisan sumber daya hutan dianggap sebagai akibat dari reaksi populasi dan
industrialisasi.
1.4 Tujuan
Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Menganalisis model penipisan sumber daya hutan yang disebabkan adanya
peningkatan industrialisasi untuk menjaga keseimbangan ekosistem.
2. Mensimulasikan kestabilan model penipisan sumber daya hutan dengan software
Matlab.
1.5 Manfaat
Manfaat yang diharapkan pada tugas akhir ini adalah memberikan informasi kepada
pihak terkait bahwa penyelesaian bentuk kestabilan yang diberikan dapat
direalisasikan untuk menjaga keseimbangan ekosistem.
I
PENDAHULUAN
II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Penipisan Sumber Daya Hutan
(2.1)
Dengan:
adalah kepadatan keseluruhan sumber biomasa (hasil hutan) dengan
koefisien rata-rata pertumbuhan dan kapasitas
adalah kepadatan keseluruhan populasi (baik manusia dan ternak)
adalah penekanan kepadatan populasi
adalah kepadatan industrialisasi
Sedangkan,
koefisien rata-rata penipisan sumber daya hutan secara alami,
koefisien rata-rata kematian populasi secara alami,
rata-rata pertumbuhan kepadatan populasi,
koefisien rata-rata kesesuaian penipisan sumber daya hutan
dengan kepadatan populasi,
koefisien rata-rata pertumbuhan penekanan populasi,
koefisien rata-rata penipisan secara alami,
koefisien rata-rata penipisan yang disebabkan oleh membesarnya
industrialisasi,
koefisien rata-rata penipisan kepadatan sumber daya hutan yang
disebabkan oleh industrialisasi,
koefisien rata-rata pertumbuhan industrialisasi
rata-rata pertumbuhan industrialisasi untuk menekan populasi
koefisien rata-rata pengendali industrialisasi secara eksternal yang
dilakukan oleh pemerintah
2.2 Diagram kompartemennya:
2.3 Kestabilan Titik tetap
Titik Setimbang
Stabil
Sifat
Stabil Asimtotis
Tidak Stabil
2.4 Stabil Asimtotis Lokal
Kestabilan asimtotis lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan
dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan
oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang
dihitung di sekitar titik kesetimbangan.
2.4.1 Akar-Akar Persamaan Karakteristik
Jika J adalah matriks yang berukuran n×n maka vektor tak nol dinamakan vektor
karakteristik dari J jika memenuhi : Jx = x
(2.3)
Untuk suatu skalar  disebut nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektor
karakteristik yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai karakteristik matriks J yang berukuran n×n, maka dapat
dituliskan kembali persamaan (2.3) sebagai Jx = Ix atau ekuivalen dengan
(J - I)x = 0, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika J - I| = 0.
Jika matriks
maka (2.3) dapat ditulis
Akar-akar karakteristiknya adalah
2.4.2 Kriteria Kestabilan Routh – Hurwitz
Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk
menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari
persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara
langsung.
I
PENDAHULUAN
II
TINJAUAN PUSTAKA
III
METODOLOGI
Studi Pendahuluan
Menyusun Asumsi Model
Mencari Daerah
Penyelesaian dan Titik
Setimbang
Titik Setimbang Bebas
Gangguan
Titik Setimbang Endemik
Akar-Akar Karakteristik
Analisis Kestabilan
Penarikan Kesimpulan
dan Saran
I
PENDAHULUAN
II
TINJAUAN PUSTAKA
III
METODOLOGI
IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
4.1 Deskripsi dan Asumsi Model Penipisan Sumber Daya Hutan
a. Sumber biomassa
Sumber biomassa dipengaruhi oleh penipisan sumber biomassa itu sendiri secara alami
, akibat kepadatan penduduk , dan akibat industrialisasi . Apabila kepadatan populasi
meningkat, dapat memicu pertumbuhan industrialisasi dan pada akhirnya terjadi
penipisan sumber biomassa. Sehingga persamaan sumber biomassa yang dipengaruhi
faktor-faktor di atas adalah:
b. Kepadatan populasi
Kepadatan populasi dipengaruhi oleh kematian populasi (manusia dan ternak) dan
pertumbuhan kepadatan populasi akibat adanya sumber biomassa yang berarti
apabila sumber biomassa meningkat, dapat memicu pertumbuhan populasi disekitar
sumber biomassa karena populasi memanfaatkan sumber biomassa untuk memenuhi
kelangsungan hidupnya. Sehingga persamaan kepadatan populasi yang dipengaruhi
faktor-faktor di atas adalah:
c. Penekanan kepadatan populasi
Penekanan kepadatan populasi dipengaruhi oleh kematian yang dialami
populasi itu sendiri , penipisan yang disebabkan membesarnya industrialisasi
dan pertumbuhan penekanan populasi . Sehingga persamaan penekanan
kepadatan populasi yang dipengaruhi faktor-faktor di atas adalah:
d. Industrialisasi
Pertumbuhan industrialisasi dipengaruhi oleh sumber biomassa (yang
berarti industrialisasi akan meningkat apabila terdapat lahan hutan yang
memadai), pertumbuhan sumber industrialisasi itu sendiri dan kegiatan
pemerintah sebagai pengendali industrialisasi ( (dalam memberikan ijin atas
pengeksploitasian dan pengeksplorasian oleh pihak-pihak yang terkait).
Sehingga persamaan kepadatan populasi yang dipengaruhi faktor-faktor di
atas adalah:
Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut dapat disusun diagram kompartemen sebagai berikut:
Berdasarkan diagram kompartemen di atas, model penipisan sumber daya hutan yang
disebabkan oleh penekanan penduduk dan industrialisasi adalah
Pada persamaan kedua model (4.1), adalah fungsi pertumbuhan populasi yang
mempunyai dua bentuk:
1.
yang merupakan pertumbuhan populasi secara logistik
dengan angka pertumbuhan intrinsik dan kapasitas pendukung .
2.
sebagai konstanta. Pada kasus ini konstanta
pertumbuhan populasi dalam suatu habitat.
adalah migrasi
4.2 Analisis untuk kasus
4.2.1 Daerah Penyelesaian Model
Dari persamaan pertama model (4.1)
Dari persamaan ketiga model (4.1)
Maka
Maka
Dari persamaan kedua model (4.1)
Maka daerah penyelesaian dari model adalah
Maka
4.2.2 Titik Setimbang dari Model
Titik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Titik-titik setimbang
diperoleh dari
,
,
dan
sehingga diperoleh
Dalam hal ini ada dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas gangguan dan titik
setimbang endemik, yaitu
Bebas Gangguan :
Endemik
:
4.2.3 Matriks Jacobian Model
Dengan
4.2.4 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas Gangguan
4.2.4.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Akar-akar karakteristiknya adalah:
Tidak Stabil
4.2.4.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Penyederhaan yang dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan matriks di atas
seperti di bawah ini:
Akar-akar karakteristiknya adalah:
Tidak Stabil
4.2.5 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemik
4.2.5.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Penyederhaan yang dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan matriks di atas
seperti di bawah ini:
Akar-akar karakteristiknya adalah:
Stabil
Tidak Stabil
4.2.5.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
BerdasarkanTeorema Liapunov didapat bahwa :
a. Saat
Stabil jika
b. Saat
Stabil jika
4.3 Analisis untuk kasus
4.3.1 Daerah Penyelesaian Model
Dari persamaan pertama model (4.1)
Dari persamaan kedua model (4.1)
Dari persamaan ketiga model (4.1)
4.3.2 Titik Setimbang dari Model
Titik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Titik-titik setimbang
diperoleh dari
,
,
dan
sehingga diperoleh
dan
Dalam hal ini ada keduanya merupakan titik setimbang endemik
4.3.3 Matriks Jacobian Model
Dengan
4.3.3.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Penyederhaan yang dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan matriks di atas
seperti di bawah ini:
Akar-akar karakteristiknya adalah:
Tidak Stabil
Stabil
Tidak Stabil
Stabil
4.3.3.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Penyederhaan yang dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan matriks di atas
seperti di bawah ini:
Dengan memasukkan parameter yang ada
berikut:
Stabil
dapat dianalisa sebagai
,
4.4 Simulasi
4.4.1 Untuk kasus
Pada percobaan pertama diberikan nilai:
Maka akan didapat hasil sebagai berikut:
,
Pada percobaan kedua diberikan nilai:
Maka akan didapat hasil sebagai berikut:
4.4.2 Untuk kasus
Pada percobaan pertama diberikan nilai:
Maka akan didapat hasil sebagai berikut:
Pada percobaan kedua diberikan nilai:
Maka akan didapat hasil sebagai berikut:
I
PENDAHULUAN
II
TINJAUAN PUSTAKA
III
METODOLOGI
IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari analisis yang dilakukan pada model penipisan sumber daya hutan, maka dapat
diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Persamaan kedua pada model sumber daya hutan,
adalah fungsi pertumbuhan
populasi yang mempunyai dua bentuk:
a.
Pada kondisi ini diperoleh titik kesetimbangan bebas gangguan adalah
dan
sedangkan titik kesetimbangan endemiknya adalah
dan
b.
Pada kondisi ini diperoleh titik kesetimbangan endemiknya, yaitu:
dan
2. Pada populasi sumber daya hutan didapat Basic Reproduction Number
5.2 Saran
Pada pembahasan Tugas Akhir ini telah dijelaskan model matematika penipisan
sumber daya hutan untuk mengetahui adanya gangguan atau tidak sehingga untuk
ke depannya dapat diteliti lebih lanjut pada upaya pengendalian dan pencegahannya.
I
PENDAHULUAN
II
TINJAUAN PUSTAKA
III
METODOLOGI
IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
V
PENUTUP
DAFTAR PUSTAKA
[1] B. Dubey. 2006. Modelling Depletion Of Forestry Resources By Population And
Population Pressure Augmented Industrialization. J. Math. Biol. 36 pp 3003-3014
[2] Finizio, N. dan Landas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern
Applications. California: Wadsworth
[3] J.B. Shukla, H.I. Freedman, V.N. Pal, O.P. Misra, M. Agarwal, A. Shukla, 1989,
Degradation and subsequent regeneration of a forestry resource: a mathematical
model, Ecol. Model. 44 pp 219–229.
[4] James, J.R. Tweedy, B.G. and Newby, L.C. 1993. Efforts by industry to improve the
environmental safety of pesticides. Ann. Rev. of Phytopathol., 31:423-439.
[5] J.B. Shukla, H.I. Freedman, V.N. Pal, O.P. Misra, M. Agarwal, A. Shukla, 1989,
Degradation and subsequent regeneration of a forestry resource: a mathematical
model, Ecol. Model. 44 pp 219–229.