LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA
MATEMATIKA
Pertemuan III
Yang Akan dipelajari:
-Implikasi logis
-Biimplikasi logis
-Teorema-teorema dalam logika
- Konvers, Invers, Kontraposisi
- Penarikan kesimpulan
Implikasi Logis
• Suatu implikasi pq dikatakan logis bila
untuk alasan p yang benar, kesimpulan q
juga benar.
• Suatu implikasi p(x)q(x) dikatakan logis
bila untuk nilai-nilai x yang membuat p(x)
benar, untuk nilai-nilai x tersebut, q(x) juga
benar
Contoh Implikasi Logis
p(x): x+3<0
q(x): x2+4x+3>0
p(x)q(x): Jika x+3<0, maka x2+4x+3>0
p(x) benar untuk x<-3
q(x) benar untuk x<-3 atau x>-1
Karena untuk x<-3 p(x) benar dan q(x) juga
benar,maka p(x)q(x) merupakan implikasi
logis
Tetapi… q(x)p(x) bukan merupakan
implikasi logis… mengapa?
Manakah yang merupakan
implikasi logis?
x: ABC segitiga sama sisi
y: Besar masing-masing sudut segitiga ABC 60o
xy logis/ tidak logis?
logis
r: x2=4 s: 3+x=5
Tidak logis
rs ?
sr ?
logis
p(pvq) ?
logis
p(p^q) ?
Tidak logis
Biimplikasi Logis
• Suatu biimplikasi p  q dikatakan logis
bila untuk p benar, q juga benar.
• Suatu Biimplikasi p(x)  q(x) dikatakan
logis bila untuk nilai-nilai x yang membuat
p(x) benar, untuk nilai-nilai x tersebut, q(x)
juga benar, dan sebaliknya untuk nilai-nilai
x yang membuat q(x) benar, untuk nilainilai x tersebut, p(x) juga benar
Manakah yang Biimplikasi
logis?
• |x-1|<2  -1<x<3
– Ke arah kanan : benar
– Ke arah kiri : benar juga, jadi biimplikasi logis
• x adalah bilangan prima jika dan hanya
jika x adalah bilangan bulat
– Ke arah kanan : benar
– Ke arah kiri : salah, jadi bukan biimplikasi
logis
TEOREMA
1. Hukum idempoten (kesamakuatan)
a. p ^ p  p
b. p v p  p
2. Hukum asosiatif
a. (pq)r  p (qr)
b. (pvq)vr  pv(qvr)
3. Hukum komutatif
a. p  q  q  p
b. pvq  qvp
4. Hukum distributif
a. p(qvr) (pq)v(pr)
b.pv(qr)(pvq)(pvr)
Lanjutan TEOREMA
5. Hukum Komplemen
a. p  ~p  S
b. p v ~p  B
6. Hukum Identitas
a. p  B  p
(p  S  S) b. pvS  p
(pvB  B)
7. Hukum Involusi (ingkaran ganda)
~(~p) p
8. Hukum De Morgan
a. ~(p  q) ~pv~q
b. ~(pvq) ~p  ~q
9. pq~pvq pq(~pvq) (~qvp)
PR
•
•
•
•
Lat 9 hal 178 no. 5 b, c, d, e, h
Catatan:
~(pq)  ~ (~p  q)  p  ~q
~(pq)  p  ~q
 ~p  q atau:
 ~[(pq)  (qp)]
 (p ~q)  (q ~p)
INVERS, KONVERS,
KONTRAPOSISI
implikasi konvers
p
q ~p ~q p q
invers
q p ~p ~q
Kontraposisi
~q ~p
B B S S
B
B
B
B
B S S B
S
B
B
S
S B B S
B
S
S
B
S S B B
B
B
B
B

CONTOH
1. Konvers dari “Jika ada semut maka ada gula”
Jika ada gula maka ada semut
2. Invers dari : p(p v q) ~p  ~(pvq)  ~p (~p~q)
3. Kontraposisi dari : Jika ada guru tidak hadir
maka semua murid bergembira
Jika ada murid yang tidak bergembira maka semua
guru hadir
4. Invers dari Jika semua siswa pintar maka
semua guru senang.
Jika ada siswa yang tidak pintar maka ada guru yang
tidak senang
5. Invers dari konvers pernyataan: ~p (pq)
~(pq) p
Penarikan kesimpulan:
Modus ponens
Premis 1 : p  q
Premis 2 : p
Kesimpulan  q
Contoh : - Jika hari cerah saya pergi
- hari cerah
[(p 
Kesimpulan : saya pergi
B B
B S
S B
S B
q )  p]  q
B
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
B
S
Modus Tolens
Premis 1 : p  q
Premis 2 : ~q
Kesimpulan  ~p
Contoh : - Jika hari cerah saya pergi
- saya tidak pergi
[(p 
Kesimpulan : hari tidak cerah
B B
B S
S B
S B
q )  ~q ]  ~p
B
S
B
S
S
S
S
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
B
B
Silogisme
Premis 1 : p  q
Premis 2 : q  r
Kesimpulan  p  r
Contoh : - Jika hari cerah saya pergi
- Jika saya pergi maka rumah kosong
Kesimpulan : Jika hari cerah maka rumah kosong.
- 1<2
- 2<3
Kesimpulan : 1<3
Apakah argumen berikut sah?
~p v q
p
q
pq
~r ~q
pr
pq
qr
~r
 ~p
SAH
SAH
SAH