Pemodelan Dan Simulasi Sistem Dinamika Propagasi Potensial

BAB 2
MODEL NEURON HODGKIN-HUXLEY
2.1
Potensial Membran
Saluran ionik pada membran terlihat sebagai pori makroselular. Saluran
tersebut dapat melewatkan molekul memasuki membran. Terdapat saluran antara
bagian dalam dan luar sel. Terdapat banyak tipe saluran ionik. Sebagai contoh,
kita bisa lihat itu dapat terbuka yang bergantung pada potensial atau menseleksi
molekul yang akan melewatinya. Dua diantaranya bergantung pada potensial yaitu
saluran sodium dan saluran potassium (Jackson MB 2006).
Disebut saluran sodium karena khusus untuk ion sodium. Faktanya,
mereka memiliki kekhususan: mereka bisa dalam keadaan aktif atau tidak aktif.
Saluran potassium terbuka dan tertutup dengan delay. Saluran leak (kebocoran)
selalu terbuka.
Neuron ditutupi sebuah membran yang membatasi bagian dalam sel dari
bagian luar sel. Dalam sel, konsentrasi ion berbeda dari cairan yang
mengelilinginya. Perbedaan konsentrasi menghasilkan potensial listrik yang
berperan penting dalam Dinamika neuronal.
Ketika neuron tidak mengirim sinyal, disebut “keadaan istirahat”. Dalam
kasus ini, bagian dalam neuron negative dibandingkan dengan bagian luarnya.
Saat istirahat, ion potassium (K+) dapat memasuki membran dengan mudah. Juga
saat istirahat, saluran sodium (Na+) mengalami kesulitan saat melewatinya.
Muatan negatif molekul protein di dalam neuron tidak dapat melewati membran.
Ketika beda potensial antara dalam dan luar neuron diukur, kita dapatkan
potensial istirahat. Potensial istirahat membran neuron adalah sekitar -70 mV,
artinya bagian dalam neuron memiliki potensial 70 mV lebih kecil dibandingkan
bagian luarnya. Ketika istirahat, terdapat lebih banyak ion sodium di luar neuron
dan lebih banyak ion potassium di dalam neuron (Corson N et al 2007).
Pada potensial equilibrium aliran ion melewati membran tidak berhenti,
ion selalu bergerak, tetapi yang memiliki nomor ionik sama akan mengalir dalam
6
arah yang sama. Keadaan equilibrium dapat diprediksi melalui persamaan Nernst,
pada membran sel berbentuk;
vS 
RT [ S ] out
ln
zF [ S ]inp
(1)
Potensial istirahat memberikan informasi kepada kita apa yang terjadi
ketika neuron istirahat. Potensial aksi terjadi ketika neuron mengirim informasi
melewati axon menjauhi tubuh sel. Ahli syaraf menggunakan nama lain, seperti
”spike” atau ”impulse” untuk potensial aksi. Potensial aksi adalah sebuah ledakan
dari aktivitas listrik yang terbentuk dengan arus depolarisasi. Artinya, sebuah
stimulus menyebabkan potensial istirahat bergerak ke arah 0 mV. Ketika
polarisasi naik sekitar -55 mV, neuron akan mengalami potensial aksi. Ini yang
disebut batas ambang. Jika neuron tidak melewati batas ambang, tidak terjadi
potensial aksi (Corson N et al 2007).
Potensial aksi disebabkan oleh pertukaran ion melewati membran neuron.
Sebuah stimulus awal menyebabkan saluran sodium terbuka. Karena banyak ion
sodium dibagian luar dan dibagian dalam neuron bernilai negatif dibandingkan
bagian luarnya, menyebabkan ion sodium menekan memasuki neuron. Karena
sodium bermuatan positif, neuron menjadi bermuatan positif dan terjadi
depolarisasi. Mengambil waktu sebelum saluran potassium terbuka. Ketika
keduanya terbuka, potassium menekan keluar sel, mengembalikan keadaan
depolarisasi. Dengan tiba-tiba, saluran sodium mulai menutup. Hal ini
menyebabkan potensial aksi kembali ke keadaan -70 mV (repolarisasi). Potensial
aksi seringkali melewati -70 mv (terjadi hiperpolarisasi) karena saluran potassium
terbuka terlalu lama. Secara bertahap, konsentrasi ionik kembali pada keadaan
istirahat dan potensial sel kembali menjadi -70 mV (Corson N et al 2007).
7
2.2
Model Sirkuit Hodgkin – Huxley
Model ini menggunakan sirkuit listrik yang memiliki kandungan fisis
seperti konduktivitas ionik yang digambarkan dengan sebuah elemen sirkuit
berupa resistor (Hodgkin AL & Huxley AF 1952; Marquie P 2004). Tegangan
melewati membran memiliki analogi tegangan yang melewati resistor. Salah satu
penggambaran pori ionik yang selektif terhadap arus ionik. Akan kembali dibahas
bahwa konduktivitas pori tergantung dari tegangan.
Gambar 2. Model sirkuit membran Hodgkin-Huxley
Dalam sirkuit yang analogi dengan axon, hambatan aliran ionik melewati
membran digambarkan dengan gK, gNa, dan gL. Hambatan dari gerakan ionik di
dalam axon pada suatu arah digambarkan dengan elemen longitudinal dengan
hambatan persatuan panjang, bernilai tetap dan lebih tinggi dari medium
dibandingkan dengan bagian luar membran (axon memiliki jari-jari yang kecil
sehingga hambatannya menjadi besar). Ukuran finite dari membran diasosiasikan
dengan kandungan kapasitansinya yang sebanding dengan muatannya. Kita harus
ingat, bahwa bentuk axon adalah silinder, sehingga perlu adanya modifikasi dalam
menganalogikan.
Terdapat sebuah hubungan
q ( x, t )  2aCv ( x, t )
(2)
Sekarang kita asumsikan tegangan jepit digunakan pada axon sehingga
q = q(t), i = i(t), dan v = v(t) kemudian setiap titik dari axon memiliki tegangan
yang sama secara serempak. Berarti muatan tidak akan bergerak longitudinal. Ini
8
hanya dapat berubah dengan arus yang membawa ion melewati membran sel.
Dalam kasus ini, perubahan muatan internal rata-rata dapat ditulis,
dq
  2 aI i
dt
(3)
Arus i dapat diekspresikan menjadi penjumlahan INa, IK,dan IL (sodium,
potassium dan ion lainnya) yang berelasi dengan beda potensial yang
menyebabkannya. Seperti persamaan berikut;
dq
 2a ( I Na  I K  I L )
dt
(4)
I Na  g Na (v  v Na )
(5)
I K  g K (v  v K )
I L  g L (v  v L )
Dimana vNa, vK dan vL menggambarkan potensial membran karena adanya
berkontribusi dari ion Na, K, dan L. Lebih jauh, persamaaan (4) dapat ditulis
kembali sebagai,
dv
1
  g Na (v)(v  v Na )  g K (v)(v  v k )  g L (v  v L )  I eks 
dt
C
(6)
Dengan asumsi bahwa gL konstan. Pada titik ini Hodgkin-Huxley dan Katz
menganalisis listrik secara langsung dan menghitung mekanisme yang mungkin
dari konduktivitas ionik yaitu g Na dan g K. Setelah membuat trial and error model,
dengan kerja keras dipecahkan melalui kalkulkator mekanik. Mereka menemukan
bahwa diperlukan tiga buah variabel n, m dan h
pada Dinamika ion pori.
Hipotesis ini secara kuantitatif mungkin berkaitan dengan penggambaran
konsentrasi pada protein yang harus diberikan untuk membuka atau menutupnya
sebuah pori. Bagaimanapun, persamaan ini menggunakan data experimen bukan
berasal dari pemahaman dasar dari mekanisme molekular (Jackson MB 2006).
Hodgkin-Huxley mendefinisikan,
9
g Na  g Na m 3 h
(7)
gK  gK n4
(8)
Dimana g adalah parameter konduktivitas yang konstan. Mereka
mengajukan n, m dan h sensitif terhadap tegangan pada jembatan protein. Mereka
membuat persamaan diferensial yang bergantung tegangan, yang digambarkan,
dn
  n ( v )(1  n)   n ( v ) n
dt
(9a)
dm
  m (v )(1  m)   m ( v) m
dt
(9b)
dh
  h ( v )(1  h)   h ( v ) h
dt
(9c)
Dengan beberapa variabel yang diasumsikan,
 m (v )  0.1(v  40)(1  e (v  40 ) / 10 ) 1 ,  m (v )  4e
 ( v  65 ) / 18
 h (v)  0.07e  ( v  65) / 20 ,  h (v)  (e  ( v 35) / 10  1) 1
(10a)
(10b)
 n (v)  0.01(v  55)(1  e  ( v 55) / 10 ) 1 ,  n (v)  0.125e  ( v 65) / 80 (10c)
Nilai konstanta lain yang terdapat pada persamaan yaitu g Na = 120, g K = 36
dan g L = 0.3 mmho cm-2, vNa = 50 mV, vK = -77 mV dan vL = -54.4 mV. Dari
persamaan diatas (6 dan 9) terdapat empat persamaan diferensial biasa yang
terkopel sehingga berdimensi (v, n, m, h) yang merupakan inti persamaan
Hodgkin-Huxley.
Kesuksesan dalam model ini adalah yaitu kemampuannya untuk
memprediksi secara akurat hasil dari banyak pengamatan eksperimen.
2.3
Pengaruh Suhu Pada Model Hodgkin Huxley
Model Hodgkin Huxley original dikembangkan berdasarkan hasil
eksperimen pengukuran pada suhu 6.30C. untuk suhu yang berbeda maka terdapat
10
faktor koreksi terhadap variabel  dan  , dan sangat efektif untuk banyak
aplikasi (Fitzhugh R 1966; Kuang S 2008).
Faktor koreksi tersebut adalah berupa mengkalikan bagian kanan
persamaan (9) dengan faktor suhu k,
k  3 (T 6.3) / 10
2.4
(11)
Propagasi Potensial Aksi
Untuk propagasi potensial aksi, membrannya tereksitasi di atas ambang.
Di bawah kondisi ini, persamaan sebagai berikut :
im  cm
v m
 iion v m , t 
t
(12)
dengan iion adalah arus ionik tiap unit panjang. Melalui substitusi Persamaan (12)
ke Persamaan kabel (lampiran 1) berikut :
1  2 vm
 im
ri  re x 2
(13)
Diperoleh persamaaan atas-ambang yang sesuai adalah. :
v
1  2 vm
 c m m  iion (v m , t )
2
ri  re x
t
(14)
Pada kondisi ini, untuk kasus khusus serat lingkar dengan radius a,
parameter rm, cm, dan ri pada Persamaan (14) bisa diekspresikan dalam bentuk Rm,
Cm, dan σi, yaitu secara berurutan, resistansi membran dikali unit luas, kapasitansi
per unit luas, dan konduktivitas intraselular:
r m = Rm
2a
cm = 2πaCm
ri =
1
a 2
i
11
Dengan potensial membran lagi-lagi dinyatakan dalam bentuk deviasi dari
nilai potensial diamnya (resting potential), Vr. Jika diasumsikan kabel melingkar
dan re = 0, didapatkan,
a i  2 v m
v
 C m m  I ion (v m , t )
2
2 x
t
(15)
Dengan Iion adalah arus ionik tiap unit luas membran. Dengan mengganti
nilai Iion, didapatkan
a i  2 m

 C m m  g K ( m  Vr  E K )  g Na ( m  Vr  E Na )  g L ( m  Vr  E L ) (16)
2
2 x
t
Variasi pada konduktansi g K dan gNa diberikan oleh persamaan (7) dan (8)
(Hodgkin AL & Huxley AF 1952; Gulrajani RM 1998; Muratov CB 2008).
2.5
Hipotesis Propagasi “Seragam”
Untuk mencari solusi dari potensial aksi propagasi, bagaimanapun, harus
dipecahkan persamaan differensial parsial (16). Pada tahun 1952, dengan hanya
menggunakan kalkulator mekanik sebagai panduannya, Hodgkin dan Huxley
tidak memecahkan Persamaan (16). Namun, dengan dibantu pengamatan
eksperimennya, mereka mengasumsikan bahwa potensial aksi muncul dengan
kecepatan konstan  sepanjang akson, dan, karena sifat regeneratif dari membran,
tanpa adanya penurunan atau distorsi pada bentuk gelombangnya. Propagasi tanpa
penurunan dengan kecepatan konstan ini dinamakan propagasi “seragam” .
Sebagai hasilnya, dapat ditulis
 2 m
1  2 m

x 2  2 t 2
Persamaan (17)
terkenal sebagai “persamaan
(17)
gelombang”,
yang
menunjukkan posisi dari potensial aksi pada dua tempat sepanjang akson pada
12
waktu 0 dan t. Jika dimisalkan saat t = 0, variasi ruang dari potensial aksi
sepanjang akson diberikan oleh ύm(x), di bawah dua asumsi dari Hodgkin dan
Huxley, dapat dengan mudah dilihat bahwa untuk tiap nilai x dan t, harus
diperoleh hubungan
 m ( x, t )   m ( x  t )
(18)
Akibatnya bisa ditulis turunan berikut:
 m
 2 m
 v 'm ,
 v "m
x
x 2
(19)
2 m
v m
  2v "m
 v ' m ,
2
t
t
(20)
dengan persamaan awal menyatakan turunan dari ύm terhadap nilai (x –  t).
Jelas, dari Persamaan (19) dan (20), vm memenuhi persamaan gelombang
Persamaan (17). Dengan melakukan substitusi Persamaan (17) ke dalam
Persamaan (16), didapatkan
ai d 2vm
dv
 Cm m  gK vm  Vr  EK   gNavm  Vr  ENa   gL vm Vr  EL 
2
2
2 dt
dt
(21)
Jika Persamaan (16) merupakan persamaan turunan parsial, maka
persamaan (21) adalah persamaan turunan biasa. Hodgkin dan Huxley
memecahkan Persamaan (21) dengan menggunakan prosedur trial-and-error yang
melibatkan penerkaan nilai awal untuk kecepatan  , dan menghitung hasil vm(t).
Pemilihan nilai  awal yang salah mengakibatkan nilai vm(t) yang mendekati takhingga. Solusi konvergen dari vm(t) hanya dihasilkan untuk nilai  yang sesuai
dengan kecepatan propagasi yang diamati pada pengamatan eksperimental pada
bahan akson gurita. Lebih jauh lagi, solusi bentuk gelombang vm(t) dari nilai  ini
sangat mirip dengan bentuk gelombang dari potensial aksi eksperimental,
sehingga melengkapi pengabsahan yang indah dari hipotesis propagasi seragam.
(Gulrajani RM 1998; Muratov CB 2008).
13
Dengan mengasumsikan karakteristik membran (Cm, gK, g Na, gL) tetap tak
berubah, setiap solusi dari Persamaan (21) tetap merupakan solusi jika nilai
aσi/2Cm  2 konstan (=1/K). Lalu, kecepatan propagasi yang baru didapatkan
dengan berbagai cara selain yang mempengaruhi membran, misalnya, yang
didapatkan dengan merubah konduktivitas aksoplasmik atau dengan mengubah
diameter akson, yang harus memenuhi hubungan
 Ka i
  
 2C m



1/ 2
(22)
Hubungan di atas pertama kali didemonstrasikan oleh Hodgkin dan
Huxley (1952), selama akson diasumsikan propagasi seragam.
Dapat dilihat
bahwa kecepatan propagasi sebanding dengan akar kuadrat dari radius akson
(Muratov CB 2008).