Vektor, Skalar

BAB. 3
(Skalar, Vektor)
7/24/2017
1
Pendahuluan.
Di dalam Fisika, pembicaraan suatu gejala [peris-
tiwa (alam)], diperlukan pengertian dasar yang
disebut besaran.
Dalam besaran (fisika), termuat (sesuatu yang
mengikutinya), misal nilai, sifat dan sistem besaran
 kita dapat membicarakan (gejala alam) yang
bersangkutan dengan kaitan tertentu.
Besaran fisika
7/24/2017
1. skalar (nilai)
2. vektor (nilai dan arah)
2
1. Besaran Skalar
Besaran skalar: besaran fisis yang hanya memiliki besar (kuantitas) saja, (satu
dimensi yaitu nilai).
Contoh.
Suhu, kelajuan, energi dan lain sebagainya.
7/24/2017
3
2. Besaran Vektor
Besaran vektor: besaran fisis yang memiliki dua
pengertian dasar yaitu besar (kuantitas) dan arah.
Contoh: gerak mobil, besaran vektornya yaitu kecepatan (terdapat arah perpindahan, nilai
kelajuan).
Besaran vektor digambarkan sebagai anak panah
(), (misal A → B).
A titik tangkap vektor, panjang panah (panjang
AB, nilai, besaran skalar) besar vektor, dan arah
panah (arah vektor), B ujung vektor.
7/24/2017
4
Lanjutan.
Jika titik tangkap vektor digeser sepanjang garis
kerja vektor tersebut, maka pengaruh vektor
tersebut tidak berubah.
!
A


A
B!
B
Besaran vektor yang tidak dikaitkan dengan sistem koordinat disebut vektor planimetrik.

Vektor A, ditulis A, A , A

Skalar vek tor A, ditulis A , A atau A
7/24/2017
5
Lanjutan.
Vektor satuan ditulis dengan tanda ˆ,
ˆ
Sehingga vektor satuan dari vektor A menjadi A
Vektor A ditulis dengan vektor satuan menjadi

A  A Aˆ
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu
satuan
Vektor B lawan vektor A, besar


AB
vektor A = vektor B, hanya arahnya berlawanan.

B   A Aˆ
7/24/2017
6
0perasi Vektor
1. Perkalian vektor dengan tetapan (k), hasilnya
vektor dengan besar k kali besar awal vektor.
k V   k V  kV Vˆ
A
k = 3, menjadi 3A
k = - 2, menjadi - 2A
Perkalian skalar dengan vektor dapat digunakan
untuk mencari linieritas.
7/24/2017
Contoh.
Tentukan nilai y dan z agar ketiga titik A (1, 2, 5); B
(4, y, 9) dan C (7, 10, z) menjadi satu garis lurus !
Penyelesaian.
Garis AC dinyatakan sebagai vektor,
A = 6 i + 8 j + (z - 5) k
Garis AB dinyatakan sebagai vektor,
B = 3 i + (y - 2) j + 4 k.
Tiga titik akan segaris jika AC = k AB atau A = k B,
6 i + 8 j + (z - 5) k = k [3 i + (y - 2) j + 4 k].
Dihasilkan persm, 6 = 3 k  k = 2 ;
7/24/2017
8
Lanjutan.
8 = 2 (y - 2)  y = 6
z - 5 = 8  z = 13.
Dengan demikian jika koordinat titik,
A (1, 2, 5); B (4, 6, 9) dan C (7, 10, 13) akan segaris.
7/24/2017
9
2. Penjumlahan dua vektor, (hasilnya vektor)
B
A
C
B

A
A+B=B+A=C
C2 = A2 + B2 + 2 A B cos 
7/24/2017
10
Contoh.
Diketahui dua buah vektor, besar masing-masing 5 dan 8 satuan. Berapakah besar jumlah
dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit
30o ?
Penyelesaian.
C2 = 52 + 82 + 2 (5)(8) cos 30o
= 25 + 64 + 80 (1/2 3 ) satuan
= (89 + 40 3 ) satuan = 157,-
satuan
Jadi panjang (besar) vektor C = 12,- satuan
7/24/2017
11
Contoh.
Gunakan kaidah penjumlahan vektor. Buktikan
bahwa dua garis berat pada suatu segitiga ber-
potongan dengan perbandingan panjang 2 : 1!
Penyelesaian.
AB = c
AC = b
b + CB = c,  CB = C - b
C
b
F
D
AD = AC + ½ CB
AD = b + ½ (c – b)
A
7/24/2017
E
c
B
CE = CA + AE = - b + ½ c
12
Sambungan.
AF = k AD = ½ k c + ½ k b
CF = ℓ CE = ½ ℓ c - ½ ℓ b
Akhirnya dihasilkan ½ k c = ½ ℓ c → k = ℓ .
Diperoleh pernyataan ½ k b = (1 - ℓ) b atau
→ ½k= 1 - ℓ = 1 - k
Dengan demikian dihasilkan 1½ k = 1 atau k = 2/3
Sehingga AF = 2/3 AD akhirnya diperoleh
FD = 1/3 AD.
FD 1

Sehingga terbukti jika AF : FD = 2 : 1 atau
AF 2
7/24/2017
13
Penjumlahan Beberapa Vektor.
R=A+B+C+D
Penjumlahan dengan cara poligon vektor.
7/24/2017
14
Hukum Penjumlahaan.
R=A+B=B+A
Hukum komutatif
7/24/2017
15
Lanjutan.
Hukum Asosiatif,
7/24/2017
A + (B + C) = (A + B) + C
16
3. Pengurangan dua vektor, hasilnya vektor
Pengurangan, adalah penjumlahan dengan lawan
vektornya.
B
A
-A
B + (- A) = D
D

B

A
D2 = A2 + B2 + 2 A B cos 
D2 = A2 + B2 - 2 A B cos 
7/24/2017
17
Hukum Pengurangan, vektor Anti Komutatif
A – B = A + (- B)
= - (B – A)
D
B
B-A
-A
-B
7/24/2017


A
A-B
18
Contoh.
Diketahui dua buah vektor besar masing-masing
(A), 5 dan (B), 8 satuan. Berapakah besar selisih
(A – B), jika kedua vektor tersebut membentuk
sudut apit 30o ?
Penyelesaian.
D2 = 52 + 82 - 2 (5)(8) cos 30o
= 25 + 64 - 80 (1/2 3 ) satuan
= (89 - 40 3 ) satuan = 20,-
satuan
Jadi panjang (besar) vektor D = 4,- satuan
7/24/2017
19
Tabel Penjumlahan Vektor
Vektor
Besar sudut dengan sb.
sb x
sb y
sb z
Fx
ΣFx
R  Fx2  Fy2  Fz2
F

cos  
x
R
dst.
Fy
ΣFy
Fz
ΣFz
4. Dot product dua vektor, hasilnya skalar.
A
.
A
.
B, hasilnya = besar vektor A kali vektor B
dan cos sudut antara A dan B
B = A B cos 
B
A

B cos 
7/24/2017
A
21
Contoh.
Diketahui dua buah vektor besar masing-masing
A, (5) dan B, (8 satuan). Hitunglah nilai A . B
dari dua vektor tersebut jika membentuk sudut
apit 30o ?
Penyelesaian.
A
7/24/2017
.
B
= (5)(8) cos 30o = 20
3 satuan
22
4. Cross product dua vektor, hasilnya vektor.
A x B = C
C

A
dan
C

B
C = A B sin 
C
BxA=-C
B

7/24/2017
A
23
Lanjutan.
A x B didefinisikan sebagai vektor (C) dengan C tegak lurus pada kedua vektor (A dan B) dan nilainya
sama dengan luas jajaran genjang yang sisi-sisinya
A dan B.
B
B sin 

A
A
7/24/2017
24
Contoh.
Diketahui dua buah vektor besar masing-masing
A, (5) dan B, (8) satuan. Berapa A x B dari dua
vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ?
Penyelesaian.
A
x B
=C
C
C = (5)(8) sin 30o = 20 satuan
CA
dan
CB
B
A
7/24/2017
25
Sistem Koordinat Cartesian.
Y
Cartesian dua dimensi
A (x, y)
(y)
(x)
0
X
Letak titik A ditentukan oleh nilai x dan y.
7/24/2017
26
Sistem Koordinat Cartesian.
Z
Cartesian tiga dimensi
A (x, y, z)
(z)
0
X
(y)
(x)
Y
Letak titik A ditentukan oleh nilai x, y dan z.
7/24/2017
27
Vektor dan sistem Koordinat.
Z
Cartesian tiga dimensi
A (x, y, z)
V
(C k)
0
(B j)
X
(A i)
Y
0A vektor posisi V = A i + B j + C k
i, j, k vektor satuan dalam arah sumbu X+, Y+, Z+
7/24/2017
28
Lanjutan.
Dalam sistem koordinat letak suatu titik dapat
dinyatakan sebagai vektor.
Vektor yang menyatakan letak suatu titik disebut dengan vektor letak (vektor posisi).
Letak titik A, dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian tiga dimensi persm-nya menjadi,
Z
A(x, y, z)
(0A) = R = x i + y j + z k
R
0
y
7/24/2017
X
z
x
Y
29
0perasi vektor dengan sistem koordinat.
1. Penjumlahan.
A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
Jika A + B = C, maka C dinyatakan sebagai
C = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k
7/24/2017
30
Contoh.
A=5i+8j+2k
B=i+3j-4k
Hitung A + B ?
Penyelesaian.
Jika A + B = C, maka C dinyatakan sebagai
C = (5 + 1) i + (8 + 3) j + (2 - 4) k
= 6 i + 11 j - 2 k
7/24/2017
31
2. Pengurangan.
A = Ax i + A y j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
Jika A - B = D, maka D dinyatakan sebagai
D = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz) k
7/24/2017
32
Contoh.
A=5i+3j+k
B=7i+2j+4k
Hitung A – B ?
Penyelesaian.
Jika A - B = D, maka D dinyatakan sebagai
D = (5 - 7) i + (3 - 2) j + (1 - 4) k
=-2i+j -3k
7/24/2017
33
3. Dot product.
A = Ax i + A y j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
0perasi A
.
B, hasilnya skalar dan skalar tersebut
dinyatakan sebagai
A . B = [Ax i + Ay j + Az k] . [Bx i + By j + Bz k]
= (Ax)(Bx) i . i + (Ax)(By) i . j + (Ax)(Bz) i . k
+ (Ay)(Bx) j . i + (Ay)(By) j . j + (Ay)(Bz) j . k
+ (Az)(Bx) k . i + (Az)(By) k . j + (Az)(Bz) k . k
7/24/2017
34
Lanjutan.
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0o = 1
i.j = i.k=j.i =j.k = k.i=k.j
=(1)(1) cos 90o = 0
A
.
B hasilnya menjadi,
= (Ax)(Bx) + (Ay)(By) + (Az)(Bz)
= skalar
A
.
7/24/2017
B = B . A
35
Contoh.
A=5i+3j+k
B=7i+2j+4k
Hitung A . B ?
Penyelesaian.
A . B = C, maka C dinyatakan sebagai
C = (5)(7) + (3)(2) + (1)(4)
= 35 + 6 + 4 = 45
7/24/2017
36
4. Cross product.
A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
0perasi A x B, hasilnya vektor dan vektor tersebut dinyatakan sebagai
A x B = [Ax i + Ay j + Az k] x [Bx i + By j + Bz k]
= (Ax)(Bx) i x i + (Ax)(By) i x j + (Ax)(Bz) i x k
+ (Ay)(Bx) j x i + (Ay)(By) j x j + (Ay)(Bz) j x k
+ (Az)(Bx) k x i + (Az)(By) k x j + (Az)(Bz) k x k
7/24/2017
37
Lanjutan.
i x i = j x j = k x k = (1)(1) sin 0o = 0
ixj =- jxi =k
Jxk=- kxj=i
kxi = -ixk=j
Dengan demikian A x B menjadi,
A x B = i [(Ay)(Bz) - (Az)(By)]
+ j [(Az)(Bx) - (Ax)(Bz)]
+ k [(Ax)(By) - (Ay)(Bx)]
7/24/2017
38
Contoh.
A=5i+3j+k
B=7i+2j+4k
Hitung A x B ?
Penyelesaian.
A x B hasilnya menjadi
A x B = i [(3)(4) - (1)(2)]
+ j [(1)(7) - (5)(4)]
+ k [(5)(2) - (3)(7)]
A x B = 10 i - 13 j - 11 k
7/24/2017
39
Contoh.
Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor yang
masing-masing bentuk sebagai berikut:
A = 5 i + 2 j , [bertitik tangkap pada koordinat
(1, 2, 3)]
B = - j + 2 k , [bertitik tangkap pada koordinat
(2, 2, 3)]
C = - 4 i - k , [bertitik tangkap pada koordinat
(1, 3, 1)]
Berapakah resultan vektor tersebut dan dimana
letak titik tangkapnya ?
7/24/2017
40
Penyelesaian.
V = A + B + C = (5 - 4) i + (2 – 1) j + (2 – 1) k
=i+j+k
(X i + Y j + Z k) × (i + j + k) =
i (Y - Z) + j (Z - X) + k (X - Y)
(X i + Y j + Z k) × (i + j + k) =
(i + 2 j + 3 k) × (5 i + 2 j)
+ (2 i + 2 j + 3 k) × (- j + 2 k)
+ ( i + 3 j + k) × (- 4 i - k)
(i + 2 j + 3 k) × (5 i + 2 j) = - 6 i + 15 j – 8 k
(2 i + 2 j + 3 k) × (- j + 2 k) = - 6 i + 3 j + 2 k
7/24/2017
41
Sambungan.
(i + 3 j + k) × (- 4 i - k) = - 3 i - 3 j + 12 k
(Y - Z) i + (Z - X) j + (X - Y) k = - 15 i + 15 j + 6 k
Berlaku bentuk persm:
Y - Z = - 15,
Z - X = 15 dan
X-Y=6
Dihasilkan X = 3, Y = - 3 dan Z = 18.
Dengan demikian titik tangkap resultan vektor tersebut menjadi, (3, - 3, 18)
7/24/2017
42
Resultan banyak vektor dalam ruang.
R = V1 + V2 + .........+ Vn
R = Σ Vi
Jika rc letak titik tangkap resultan gaya, maka berlaku,
rc x V = r1 x V1 + .............+ rn x Vn
r1 ........rn koordinat letak titik tangkap masing-masing gaya
7/24/2017
43
Berat.
Berat (w) merupakan salah satu dari bentuk resultan gaya-gaya sejajar [arah sama (sejajar)].
Berlaku, R x F = Σ (ri x Fi)
0
r1
r3
r2
F1
R
w = Σ mi g
m X
i i
X 
M
F2
F3
F
7/24/2017
m Y
i i
Y 
M
m z
i i
z
M
koordinat
tiga

dimensi
44
Contoh.
Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor sebagai
berikut A = 5 i + 2 j bertitik tangkap pada koordinat (1, 2, 3), B = - j + 2 k koordinat (2, 2, 3) dan
C = - 4 i – k koordinat (1, 3, 1). Berapakah resultan vektornya dan dimana letak titik tangkapnya.
Jawaban.
R=A+B+C=i+j+k
(x i + y j + z k) x (i + j + k) =
(i + 2 j + 3 k) x (5 i + 2 j)
+ (2 i + 2 j + 3 k) x (- j + 2 k)
+ (i + 3 j + k) x (- 4 i - k
7/24/2017
= - 15 i + 15 j + 8 k
45
Lanjutan.
Dari hasil perkalian silang trsebut diperoleh persm,
y – z = - 15, z – x = 15 dan y – x = 8
Dihasilkan nilai x = - 4 , y = 4 dan z = - 19.
 Koordinat titik tangkap resultan gaya terletak
pada posisi (- 4, 4, - 19)
7/24/2017
46
7/24/2017
47