Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA

Soal-Soal dan Pembahasan
Matematika IPA
SNMPTN 2012
Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
1. Lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 25 menyinggung garis y = 4 di titik...
A. ( -6, 4 )
B. ( 6 , 4)
C. ( -1, 4 )
D. ( 1, 4 )
E. ( 5 , 4 )
Jawab:
BAB XI Lingkaran
Masukkan nilai y=4 pada persamaan
(x + 6)2 + (4 + 1)2 = 25
(x + 6)2 = 25 – 25 = 0
x = -6
Didapat titik x = -6 dan y = 4  (-6,4)
Jawabannya A
2. Jika 2x3 – 5x2 – kx + 18 dibagi x - 1 mempunyai sisa 5, maka nilai k adalah...
A. -15
B. -10
C. 0
D. 5
E. 10
Jawab:
BAB XII Suku Banyak
Metoda Horner
x3
x= 1
2
2
x2
x
-5
-k
18
2
-3
-3 - k
-3
( -3- k)
+
= kalikan dengan x =1
(15 – k)  sisa =5
15 – k = 5
k = 15 – 5 = 10
Jawabannya E
www.belajar-matematika.com
1
3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, y = 1, dan x = 2 adalah...
A. ∫ (1 −
B. ∫ (
C. ∫ (
)
D. ∫ (1 −
− 1)
Jawab
BAB XVI Integral
E. ∫ (
− 1)
)
− 1)
Buat sketsa gambar untuk mengetahui batas luas:
terlihat bahwa bidang luasnya (arsiran) bagian atasnya adalah y = x 2 dan bagian
bawahnya y = 1 dengan dibatasi oleh batas atas x = 2 dan batas bawah x =1.
Dalam notasi integralnya :
b
b
b
a
a
a
L =  y2 dx -  y1 dx =  ( y 2  y1) dx
∫ (
− 1)
Jawabannya C
4.
(
(
A.
B.
)
)
= ....
C.
E.
D.
www.belajar-matematika.com
2
Jawab:
BAB VII Trigonometri
(
(
)
)
=
=
=
+
2 sin cos
=1
=
2
Jawabannya E
5. Lingkaran (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25 memotong sumbu –x di titik A dan B. Jika P adalah titik
pusat lingkaran tersebut, maka cos ∠APB = ...
A.
C.
B.
D.
E.
Jawab:
BAB XI Lingkaran dan BAB VII Trigonometri
Sketsa gambar:
Lingkaran dengan pusat (3,4)
APB merupakan segitiga.
www.belajar-matematika.com
3
Untuk menjawab soal ini digunakan teorema di bawah ini:
Aturan sinus dan cosinus
C

b

a

A
c
B
Aturan cosinus
1. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos 
2. b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos 
3. c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 
Kita pakai rumus (3)
c = AB = 6
a = b = AP = PB = √3 + 4 = √25 = 5
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos P
2ab cos P =
+
−
cos P =
=
=
=
. . .
Jawabannya A
6. Grafik fungsi f(x) = ax3 – bx2 + cx + 12 naik jika....
A. b2 – 4ac < 0 dan a > 0
B. b2 – 4ac < 0 dan a < 0
C. b2 – 3ac > 0 dan a < 0
D. b2 – 3ac < 0 dan a > 0
E. b2 – 3ac < 0 dan a < 0
Jawab:
BAB XV Differensial
www.belajar-matematika.com
4
Syarat fungsi naik
( )>0
3ax2 - 2bx + c > 0
 fungsi naik ( - , 0, + )
* variabel x2 > 0
3a > 0
a>0
*D<0
 karena
( ) > 0 , maka tidak ada titik potong dan singgung di sb x
sehingga D < 0
(-2b)2 – 4.3a.c < 0
4b2 – 12.a.c < 0
b2 – 3 ac < 0
didapat a > 0 dan b2 – 3 ac < 0
Jawabannya D
7.
= ....
→0
A. -1
C. 1
B. -0
√
D.
E. √3
Jawab:
XIV Limit Fungsi
→0
=
→0
=
=
=
→0
→0
1 . 1.
=
= =1
Jawabannya C
www.belajar-matematika.com
5
8. Enam orang bepergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. masingmasing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing
adalah 4 orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua
mobil tersebut adalah...
A. 10
B. 14
C. 24
D. 54
E. 96
Jawab:
BAB X Peluang
Dari 6 orang, 2 orang sebagai pemilik mobil dan mengemudikan mobil masingmasing.
Sehingga yang dicari adalah probabilitas untuk 6 – 2 = 4 orang.
Masing-masing mobil mempunyai kapasitas untuk 4 orang termasuk pengemudi.
Jumlah cara yang mungkin:
Mobil 1
1.
2.
3.
Mobil 2
3 orang
2 orang
1 orang
1 orang
2 orang
3 orang
ada 3 cara penyusunan :
C 34 , C 24 dan C14
Banyak cara penyusunan adalah total 3 cara penyusunan tsb:
C 34 + C 24 + C14 =
4!
4!
4!
+
+
3!(4  3)! 2!(4  2)! 1!(4  1)!
= 4 + 6 + 4 = 14 cara
Jawabannya B
9. Di dalam kotak terdapat 3 bola biru, 4 bola merah dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola
tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali
banyak bola putih yang terambil adalah ....
A.
C.
B.
D.
www.belajar-matematika.com
E.
6
Jawab:
BAB X Peluang
Peluang banyak bola merah terambil = PM
Peluang banyak bola putih terambil = PP
Peluang banyak bola biru terambil
= PB
Peluang yang dicari adalah peluang terambilnya 4 bola merah, 2 bola putih dan 1
bola biru.
Peluangnya = P (PM ∩ PP ∩ PB ) =
=
=
!(
!
)!
!(
=
!(
!
!
)!
)!
!(
!
)!
=
Jawabannya B
10. Diberikan limas T.ABC dengan AB = AC = BC = 12 dan TA = TB = TC = 10. Jarak
dari titik T ke bidang ABC adalah....
A. 2 √13
B. √13
C. 8
D. 5 √3
Jawab:
BAB VIII Dimensi Tiga
E. 4 √3
T
10
A
TO = √
12
10
C
O
12
D
B
−
www.belajar-matematika.com
7
Teorema titik berat:
TA = 10
AO = AD
DO = AD
AD = √
−
 BD = ½ BC = ½ .12 = 6
AD = √12 − 6
= √144 − 36
=√108 = 6√3
AO = AD = .6 √3 = 4√3
TO = √
=
−
10 − (4√3 )
= √100 − 48
= √52 = 2√13
Jawabannya A
11. Nilai cos x – sin x > 0 jika ....
A.
<x<
D.
B.
<x<
E.
C.
<x<
<x<
<x<
Jawab:
BAB VII Trigonometri
cos x – sin x > 0
cos x – sin x = 0
cos x = sin x
x = 450 =
atau x = 2250 =
www.belajar-matematika.com
8
gunakan garis bilangan:
cos x – sin x > 0
++ --- ------
-- ++
++++
π
0
<x ≤ 2π
atau
daerahnya adalah 0≤ x <
jawaban yang memenuhi adalah
2π
<x<
<x ≤ 2π
karena masuk di daerah
Jawabannya E
12. Diketahui vektor
dan vektor
membentuk sudut
sama dengan dua kali panjang
. Jika panjang proyeksi
, maka perbandingan panjang
pada
terhadap panjang
adalah...
A. 1 : 2cos
B. 2 : cos
C. 2cos : 1
D. 1 : cos
E. cos
:2
Jawab:
BAB XX Vektor
Proyeksi skalar ortogonal / Panjang Proyeksi
U

0
R
| OR | = | | =
|
.
|
V
 Proyeksi skalar ortogonal
pada
Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi
| |= 2| |
2| |=
=
|
.
|
|
cos
|
www.belajar-matematika.com
9
cos
2| |=
cos
=
| |
 2 : cos
Jawabannya B
13. Vektor
dicerminkan terhadap garis y = x. Kemudaian hasilnya diputar terhadap titik
asal 0 sebesar
matriks A = ...
A.
B.
C.
cos
− sin
0 1
1 0
cos
sin
sin
cos
cos
sin
− sin
cos
> 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor
0 1
1 0
D.
− sin
cos
0
1
E.
1
0
cos
− sin
sin
cos
1 0
cos
0 −1 − sin
0
−1
sin
cos
. Jika
=A
, maka
−1
0
Jawab:
BAB XXI Transformasi Geometri dan BAB VII Trigonometri
0 1

Pencerminan terhadap garis y = x, Matriksnya = M1 = 
1 0
Rotasi terhadap titik asal 0 sebesar > 0 searah jarum jam, Matriksnya =M2 =
Teori yang ada adalah rotasi berlawanan dengan arah jarum jam:
x = r cos α
y = r sin α
Jika rotasi searah dengan arah jarum jam maka:
x = r cos α
y = - r sin α
sehingga :
= r cos ( α + )
= r cos α cos
- r sin α sin
= x cos + y sin
=- - r sin ( α + )
= - r sin α cos
- r cos α sin
= y cos - x sin
www.belajar-matematika.com
10
 x' 
 cos 
 '  = 
y 
  sin 
 
sin  

cos  
 cos 
Matriknya = M2 = 
  sin 
Matriks A = M2. M1
 cos 
= 
  sin 
 x
 
 y
sin  

cos  
sin    0 1 


cos    1 0 
Jawabannya A
14. Diberikan persamaan sin x =
,
. Banyak bilangan bulat a sehingga persamaan
,
tersebut mempunyai penyelesaian adalah....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 6
Jawab:
BAB V Pertidaksamaan
Persamaan mempunyai penyelesaian jika | sin x | ≤ 1
-1 ≤ sin x ≤ 1
-1 ≤
,
,
Untuk
≤1
,
,
≤1
− 1,5 ≤ 2 − 0,5
a – 1,5 – 2 + 0,5a ≤ 0
1,5a – 3,5 ≤ 0
1,5a ≤ 3,5
a≤
a≤
,
,
........(1)
www.belajar-matematika.com
11
Untuk -1≤
− (2 − 0,5 ) ≤
−2 + 0,5a ≤
,
,
− 1,5
− 1,5
-2 + 0,5a – a + 1,5 ≤ 0
-0,5 – 0,5a ≤ 0
-0,5 ≤ 0,5a
-1 ≤ a
a ≥ -1....(2)
dari (1) dan (2) didapat nilai a:
-1 ≤ a ≤
Himpunan Penyelesaian yang merupakan bilangan bulat adalah {-1, 0, 1, 2 }
Jumlahnya adalah 4
Jawabannya D
15. Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak dari
selang [0,3], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah...
A. 1
C.
B.
D.
E. 0
Jawab:
p(x) = ax2 + bx + 1
p(x) tidak mempunyai akar apabila D < 0
b2 – 4. a. 1 < 0
b2 < 4a
a>
asumsikan bahwa y = a dan b = x sehingga dapat dibuat grafik sbb:
www.belajar-matematika.com
12
a>
adalah daerah yang diarsir
(nilai a dan b yg memenuhi)
ingat bahwa range a dan b
adalah 0 s/d 3
sehingga banyak kemungkinan
sampelnya adalah :
luas persegi = 3 x 3 =9 n(S)
Luas yang diarsir = luas persegi – luas yg tidak terarsir
Luas yang tidak terarsir = ∫
=
Luas yang diarsir = 9 P(A) =
( )
( )
=
=
=
db
| =
=
. 33 =
=
n(A)
=
Jawabannya B
www.belajar-matematika.com
13