bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Matematika merupakan induk dari ilmu pengetahuan. Hal ini dikarenakan
matematika sering diterapkan pada bidang ilmu lain. Optimisasi dan pemodelan
matematika menjadi alat bantu dalam menyelesaikan permasalahan di berbagai bidang, seperti fisika, ilmu komputer, dan biologi. Tidak hanya ilmu eksak, ilmu
sosial, seperti ekonomi, juga banyak menggunakan pemodelan matematika.
Salah satu bidang ilmu yang erat kaitannya dengan pemodelan matematika
adalah ilmu fisika. Banyak sekali fenomena alam yang terjadi dalam kehidupan
sehari-hari yang dapat dimodelkan, terutama fenomena yang dimodelkan dengan
persamaan diferensial parsial. Permasalahan aliran fluida sebagai contohnya. Dalam keadaan ideal yang stasioner, aliran fluida dapat dimodelkan dengan persamaan
Poisson. Bentuk umum dari persamaan Poisson dimensi dua adalah
∂ 2φ ∂ 2φ
+
= g(x, y).
∂x2 ∂y 2
Pada keadaan tertentu, terdapat syarat batas yang menyertai persamaan diferensial parsial. Hal ini menyebabkan solusi dari persamaan diferensial parsial
dapat dicari, baik secara analitik maupun numerik. Pada kenyataannya, tidak semua solusi dapat ditentukan secara analitik. Oleh karena itu, para peneliti banyak
mengembangkan metode numerik untuk mendapatkan pendekatan dari solusi analitiknya.
Metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan Poisson
adalah Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM). Metode ini merupakan perluasan dari metode elemen batas (Boundary Elements Method/BEM). Kedua metode ini mendiskritisasikan batas region menjadi beberapa elemen. Namun
1
2
pada DRBEM, titik kolokasi pada region diikutsertakan dalam perhitungan. Hal ini
dikarenakan persamaan Poisson memuat fungsi g(x, y) yang menyatakan sumber
aliran yang berada pada region.
Penentuan solusi numerik menggunakan DRBEM sulit dilakukan secara manual. Proses yang dilakukan secara berulang dan banyaknya elemen pendekatan
membuat para peneliti menggunakan bantuan program komputer dalam penyelesaiannya. Dalam buku karangan Ang (2007) dan Katsikadelis (2002) digunakan
bahasa pemrograman
FORTRAN.
Program lain yang dapat digunakan adalah
MATLAB.
Uraian yang telah dipaparkan penulis inilah yang melatarbelakangi penulisan skripsi mengenai Dual Reciprocity Boundary Element Method untuk menyelesaikan permasalahan aliran fluida dengan bantuan program MATLAB.
1.2. Rumusan Masalah
Permasalahan yang dirumuskan dalam skripsi ini adalah:
1. Menentukan solusi umum persamaan Laplace yang dilengkapi syarat batas
dengan BEM.
2. Menentukan solusi umum persamaan Helmholtz yang dilengkapi syarat batas
dengan DRBEM.
3. Mengimplementasikan langkah-langkah DRBEM dalam penyelesaian persamaan Helmholtz ke dalam program MATLAB.
4. Memodelkan permasalahan aliran fluida ke dalam bentuk persamaan Poisson.
5. Menentukan persebaran kecepatan aliran fluida dan perbandingannya dengan
solusi eksak.
1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Selain untuk memenuhi persyaratan kelulusan program Strata-1 (S1) program studi matematika Universitas Gadjah Mada, tujuan penulisan skripsi ini adalah
3
memberikan pengetahuan kepada pembaca mengenai DRBEM dan perbandingannya dengan solusi eksak. Penulis juga memaparkan contoh kasus sebagai aplikasi
dari metode ini. Dengan demikian, penelitian ini diharapkan dapat menjadi referensi dalam mengembangkan ilmu matematika, khususnya metode numerik untuk
penyelesaian masalah aliran fluida.
1.4. Tinjauan Pustaka
Dalam proses penyusunan skripsi ini, penulis mengacu pada buku karya Ang
(2007) yang membahas mengenai DRBEM. Teori yang berkaitan erat dengan DRBEM, seperti teorema Gauss-Green, teorema divergensi Gauss, dan fungsi Dirac
Delta, diambil dari buku karya Katsikadelis (2002). Aplikasi DRBEM pada masalah aliran fluida juga dibahas di dalamnya. Untuk teori mengenai masalah aliran
fluida dan beberapa contoh kasusnya, penulis merujuk pada buku karya Pritchard
(2011) dan Kreyzig (2011).
Dasar teori mengenai persamaan diferensial dan teorema Green diambil dari
buku karya Taylor dan Mann (1983) dan Ross (1984). Definisi vektor dan beberapa
operasinya dikutip dari buku karya Anton dan Rorres (2005). Penjelasan mengenai
fungsi basis radial diambil dari buku karya Chen dkk. (2014) serta tulisan karya
Zhang dan Zhu (1994).
1.5. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah studi literatur.
Penulis mempelajari referensi tentang penyelesaian persamaan Helmholtz dengan
DRBEM yang tercantum dalam buku karya Ang (2007). Dipelajari pula teori mengenai masalah aliran fluida yang dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan Poisson
sebagai bentuk khusus dari persamaan Helmholtz. Pada tahap akhir, penulis membuat program DRBEM pada MATLAB yang digunakan sebagai alat bantu dalam
penyelesaian masalah aliran fluida. Hasil dari studi literatur dikonsultasikan kepada
dosen pembimbing skripsi untuk dilakukan pengkoreksian sampai skripsi ini selesai
disusun.
4
1.6. Sistematika Penulisan
Sistematika dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut.
BAB I: PENDAHULUAN
Bab ini berisi tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan.
BAB II: DASAR TEORI
Bab ini memaparkan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam perumusan DRBEM.
BAB III: DUAL RECIPROCITY BOUNDARY ELEMENT METHOD
Bab ini menjelaskan tentang langkah-langkah penyelesaian persamaan Helmholtz
dengan DRBEM, serta alur pembuatan program DRBEM dengan MATLAB.
BAB IV: MASALAH ALIRAN FLUIDA DIMENSI DUA DAN PENYELESAIANNYA DENGAN DUAL RECIPROCITY BOUNDARY ELEMENT METHOD
Bab ini membahas mengenai pemodelan masalah aliran fluida ke dalam persamaan Poisson. Diberikan pula contoh kasus masalah aliran fluida dengan syarat
batas Dirichlet dan campuran, serta penyelesaiannya menggunakan DRBEM.
BAB V: KESIMPULAN
Bab ini berisi tentang kesimpulan dari pembahasan DRBEM dan aplikasinya pada
masalah aliran fluida. Disertakan pula saran dari penulis untuk penelitian lebih
lanjut.