Integral Garis (Line Integral)

Pertemuan-20
Integral Garis
(Line Integral)
Ada persamaan c yang berbentuk:
Integral garis dari fungsi P & Q sepanjang lengkung c:
∫
( x′ , y ′ )
P( x, y )dx + Q( x, y )dy
( xo , yo )
Dimana P ( x, y ) dan Q ( x, y ) adalah fungsi-fungsi bernilai tunggal yang didefinnisikan di semua titik dari c.
Perhitungan integral garis:
1.
Jika c dalam bidang z = 0 diberikan sebagai y = f (x) dan dy = f ′ (x)dx sehingga persamaan
menjadi:
∫
x1
xo
2.
x = g ( y ) → dx = g ' ( y ) dy
∫
y1
yo
3.
P( x, f ( x))dx + Q( x, d ( x)), f ′( x)dx
P( g ( y ), y ) g ' (y) dy + Q( g ( y ), y ) dy
x = φ( t ) dan y = ϕ( t ) φ dan ϕ adalah fungsi dari t
∫
t2
t1
P(Q(t ), ϕ (t )) ⋅ Q′(t )dt + Q(Q(t ), ϕ (t )) ⋅ ϕ ′(t )dt
Sifat-sifat Integral Garis:
1.
2.
3.
∫
∫
P( x, y ) + Q( x, y ) = ∫ P( x, y )dx + ∫ Q( x, y )dy
c
( x1 , y1 )
( xo , y o )
∫
( x2 , y 2 )
( xo , y o )
c
c
P( x, y )dx + Q( x, y )dy = − ∫
( xo , y o )
( x1 , y1 )
P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫
( x1 , y1 )
∫
( x2 , y 2 )
( xo , y o )
( x1 , y1 )
P( x, y )dx + Q( x, y )dy
P( x, y )dx + Q( x, y )dy +
P( x, y )dx + Q ( x, y )dy
Contoh:
1.
Hitung
∫c
( x + y ) dx + (2x - y) dy , jika c adalah garis lurus antara (0, 0) ke (1, 1) !
Jawab:
Garis lurus dari (0,0) ke (1, 1) →y = x → dy = dx
x 1 =1
∫x
y =1
( x + x ) dx + ∫y = 0 (2 x − x ) dy
=0
0
x1 =1
x1 =1
1 21
x
0
x0 =0
x0 =0
2 0
1
1
1
= 12 − 0 2 + 12 − 0 2 = 1 + = 1
2
2
2
=∫
2 x dx + ∫
[
2.
1
x dx = x 2 +
] [
]
Hitung dengan Integral yang sama untuk c adalah garis parabola antara (0, 0) dan (1, 1) !
Jawab:
Garis parabola dari (0, 0) ke (1, 1) → y = x 2 → dy = 2x dx
∫
( x + y ) dx + ∫ (2 x − y ) dy
c
c
=∫
x =1
( x + x 2 ) dx + ∫
x =0
x =1
x =0
(2 x − x 2 ) 2x dx
1 2 1 31 4 3 2 41
x + x + x − x
2
3 0 3
4 0
1 1 4 1 5
= + + − =
2 3 3 2 3
=
3.
∫c
Hitung
( x 2 − y 2 ) dx + 2xy dy , sepanjang kurva c yang persamaan-persamaannya : x = t 2 , y = t 3 ,
3
2
Jawab:
0≤t≤
dx = 2 t dt
dy = 3t 2 dt
∫
( x 2 + y 2 ) dx + 2xy dy
c
= ∫ ( x 2 + y 2 ) dx + ∫ 2 xy dy
c
=∫
c
3/ 2
t =0
(t − t ) (2t ) ⋅ dt + ∫
= 2∫
3/ 2
= 2∫
3/ 2
0
0
=
4
6
3/ 2
t =0
(t 5 − t 7 ) dt + 6 ∫
3/2
t =0
t 5 dt + 4 ∫
3/ 2
t =0
( )
2 (t 2 ⋅ t 3 ) 3t 2 ⋅ dt
t 7 ⋅ dt
t 7 dt
2 6 3 / 2 4 8 3 / 2 8505
t
+ t
=
6 0
8 0
512
Mengintegralkan sepanjang lengkung tertutup
Contoh
∫c
138
(3x − 4 y ) dx + (4x + 2y) dy
Kalkulus II
c adalah :
Dengan persamaan:
x2 y2
+
=1
4 2 32
0 ≤ t ≤ 2π
Lebih mudah fungsi x dan y diubah ke bentuk parameter t
x = 4 cos t → dx = −4 sin t dt
y = 3 sin t → dy = 3 cos t dt
∫ (3x − 4 y) dx + (4x + 2y) dy
c
2π
= ∫ (12 cos t − 12 sin t) (−4 sin t ⋅ dt) + (16 cos t + 6 sin t) (3cos t ⋅ dt )
t =0
=∫
2π
t =0
(- 48sin t ⋅ cos t + 48sin t + 48cos t + 18sin t ⋅ cos t ) dt
2
2
2π
= ∫ (48 − 30 sin t ⋅ cos t) dt
0
2π
= 48t + 30∫ cos t ⋅ d (cos t )
0
= 48t +
2π
30
cos 2 t
2
0
[
= [96π − 0] + 15[1 − 1 ]
]
= [48(2π ) - 48(0 )] + 15 cos 2 (2π ) − cos 2 (0 )
2
2
= 96π
Dalam mengintegralkan sepanjang lengkung tertutup ada DALIL GREEN
⎛ ∂Q
∂P ⎞
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠ dx dy
c
D
Bukti:
Integral Garis
139
∫
b
∫
x=a
=∫
f2( x )
y = f( x )
(
b
∂P
f
dy dx = ∫ dx P(x, y) f 2 ( x )
1( x )
=
x
a
∂y
[P( x, f 2 ( x)) − P( x, f1 ( x))] dx
b
a
=∫
SPN
P( x, y )dx − ∫
NRS
= −∫
→ ∫∫
∫
y =c
=∫
RSP
g2 ( y)
g1 ( y )
[
d
∂Q
dx dy
∂x
dy Q(x, y)
y =c
d
c
∂P
dy dx = ∫ P( x, y )dx
∂y
=∫
=∫
P( x, y )dx = − ∫ P( x, y )dx
NRS
d
∂Q
dx dy = ∫
y =c
∂x
D
P( x, y )dx
P( x, y )dx − ∫
NPS
∫∫
)
g2 ( y)
g1 ( y )
]
[Q( g 2 ( y), y) − Q( g1 ( y), y)] dy
Q( x, y )dy − ∫
RNP
=∫
RSP
→ ∫∫
Q( x, y )dy
Q( x, y )dy + ∫
PNR
Q( x, y )dy = ∫ Q( x, y )dy
c
∂Q
dx dy = ∫ Q( x, y )dy
c
∂x
Jadi terbukti:
∫
⎡ ∂Q ∂P ⎤
−
P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫∫ ⎢
dx dy
∂x ∂y ⎥⎦
D ⎣
Contoh:
1. Hitung dengan 2 cara
a. cara Integral garis biasa
b. cara Dalil GREEN (Teorema Green)
140
Kalkulus II
∫c
(2 xy − x 2 ) dx + (x + y 2 ) dy
C adalah kurva tertutup yang membatasi daerah:
y = x2 , x = y2
Jawab:
1.
Kita lihat yang garis ‘bawah’ ( y = x 2 ) dari (0, 0) ke (1, 1)
y = x 2 → dy = 2x dx
1
∫
x =o
(2 x ⋅ x 2 − x 2 ) dx + (x + x 4 ) 2x dx
1
=∫
x =0
(2 x
3
)
− x 2 + 2 x 2 + 2 x 5 dx
2 4 1 3 2 3 2 6
x − x + x + x
4
3
3
6
=
1
=
0
1 1 2 1
− + +
2 3 3 3
7
6
=
Kita perhatikan yang garis ‘atas’ ( x = y 2 ) dari (1, 1) ke (0, 0)
x = y 2 → dx = 2y dy
∫
0
y =1
=∫
0
y =1
(2 y 2 y − y 4 ) (2y dy ) + (y 2 + y 2 ) dy
[4 y
4
]
− 2 y 5 + 2 y 2 dy =
4 5 2 6 2 3
y − y + y
5
6
3
0
1
17
⎡4 2 2⎤
=0−⎢ − + ⎥ = −
15
⎣5 6 3⎦
7 ⎛ 17 ⎞ 1
→ + ⎜− ⎟ =
6 ⎝ 15 ⎠ 30
2.
dengan Dalil Green
Q ( x, y ) = x + y 2
P ( x, y ) = 2 xy − x 2
Integral Garis
141
∂Q
=1
∂x
∂P
= 2x
∂y
x dipegang konstan :
0 ≤ x ≤1
x2 ≤ y ≤ x
∫∫
D
1
⎡ ∂Q ∂P ⎤
⎢ ∂x − ∂y ⎥ dx dy = ∫x = 0
⎣
⎦
x
∫y = x [1 − 2x ] dy dx
2
1
⎡
= ∫x = 0 dx ⎢ y − 2 xy
⎣
1
= ∫0
1
= ∫0
=
=
x
x2
⎤
⎥
⎦
[( x − x )− 2x( x − x )]dx
[ x − x − 2x x + 2x ]dx
2
2
2
3
2 3/ 2 1 3 4 5/3 2 4
x − x − ⋅x + x
3
3
5
4
1
0
2 1 4 1 1
− − + =
3 3 5 2 30
2. Hitung dari cara yang sama seperti soal 1 untuk
∫
c
( xy + y 2 ) dx + x 2 dy
dengan c dibatasi oleh y = x dan y = x 2
142
Kalkulus II
a. dengan Line Integral (Integral Garis)
(0,0) ke (1, 1) dengan persamaan garis: y = x 2 , dy = 2x dx
∫c (xy + y ) dx + x dy
1
=∫
( x 3 + x 4 ) dx + x 2 ⋅ 2 x dx
x =0
1
1
=∫
( x 3 + x 4 + 2 x 3 ) dx = ∫ (3x 3 + x 4 ) dx
x =0
0
2
=
3 4 1 5
x + x
4
5
2
1
=
0
3 1 19
+ =
4 5 20
(1, 1) ke (0, 0) dengan persamaan garis: y = x, dy = dx
∫c
0
( xy + y 2 ) dx + x 2 fy = ∫x =1 ( x 2 + x 2 ) dx + x 2 dx
0
= ∫1 3x 2 dx = x 2
→
b.
0
1
= 0 − 1 = −1
19
1
+ ( −1) = −
20
20
dengan Dalil Green
Q ( x, y ) = x 2
P ( x, y ) = xy + y 2
dQ
= 2x
dx
dP
= x + 2y
dy
Integral Garis
dengan y dipegang konstan
0 ≤ y ≤1
y≤x≤ y
143
∫
−1
y =0
y
∫
x= y
1
=∫
∫
y =0
1
=∫
y =0
1
⎛ ∂Q ∂P ⎞
⎜⎜
⎟⎟ dx dy = ∫
−
y =0
⎝ ∂x ∂y ⎠
y
x= y
1
( x − 2 y ) dx dy = ∫
y =0
∫
y
x= y
(2 x − x − 2 y ) dx dy
⎛1
⎞
dy ⎜ x 2 − 2 yx ⎟
⎝2
⎠
y
y
⎛1
⎞
2
⎜ ( y − y ) − 2 y ( y − y ) ⎟ dy
⎝2
⎠
1
1 ⎛ 1
1
3
1
2
⎞
= ∫ ⎜1 y 2 + y − 2 y y ⎟ dy = y 3 + y 2 − 2 y 2 y
0
2
6
4
5
⎝ 2
⎠
0
3 1 4
1
= + − =−
6 4 5
20
[lebih mudah jika x dipegang konstan]
c.
Hitung
∫ [5xy dx + x dy ]
3
dengan batas y = x 2 dan y = 2x
Jawab:
y=y
x 2 = 2x
x 2 − 2x = 0
x ( x − 2) = 0
x=0 ,x=2
P = 5xy
Q = x2
∂P
= 5x
∂y
∂Q
= 3x 2
∂x
144
x dipegang konstan
0≤x≤2
x 2 ≤ y ≤ 2x
Kalkulus II
∫
5 xy dx + x 3 dy = ∫
∫
2
x =0
=∫
2
=∫
2
=∫
2
dx ⎡3x 2 y − 5 xy
⎢⎣
x =0
x =0
0
[3x
2z
y = x2
2x
x2
2
]
− 5 x dy dx
⎤
⎥⎦
3 x 2 (2 x − x 2 ) − 5 x (2 x − x 2 ) dx
(6 x
3
)
− 3x 4 − 10 x 2 + 5 x 3 dx = ∫
3
11
1
= − x5 + x 4 − x3
5
4
10
2
=−
0
2
0
(− 3x
4
)
+ 11x 3 − 10 x 2 dx
96 80 176
28
−
+
=−
5
3
4
15
Soal:
I. Integral Garis
1.
∫c
y dx + x 2 dy ; c adalah kurva x = 2t, y = t 2 − 1 , 0 ≤ t ≤ 2
Jawab:
2.
∫c
100
3
( x + 2 y ) dx + ( x − 2 y ) dy ; c adalah ruas garis dari (1, 1) ke
(3, -1)
Jawab: 0
3.
∫
c
y 3dx + x 3 dy ; c adalah kurva siku-siku dari (-4, 1) ke (-4, -2), ke (2, -2)
Jawab: 144
4.
Hitung
( 4, 2 )
∫(1, 1)
( x + y ) dx + (y − x) dy sepanjang :
a. Parabola y 2 = x
Jawab:
b.
34
3
Sebuah garis lurus
Jawab: 11
c. Garis-garis lurus dari (1, 1) ke (1, 2) dan kemudian ke (4, 2)
Jawab: 14
d. Kurva x = 2 t 2 + t + 1 , y = t 2 + 1
Jawab:
Integral Garis
32
3
145
II. Integral garis lengkung dalam bidang
Hitung dalam 2 cara:
1.
∫
c
2 xy dx + y 2 dy ; dengan s kurva tertutup yang dibentuk oleh: y =
dan (4, 2)
Jawab: −
2.
∫
c
64
15
(2 x + y 2 ) dx + (x 2 + 2 y ) dy dengan c kurva tertutup yang dibentuk oleh y = 0, x = 2 dan y =
Jawab:
3.
x
dan y = x antara (0, 0)
2
x3
4
72
35
Hitung ∫ ( 2 x − y + 4) dx + (5y + 3x − 6) dy mengitari sebuah segitiga di dalam bidang xy dengan titi-titik
di (0, 0), (3, 0), (3, 2) yang dilintasi di dalam arah yang berlawanan dengan arah perputaran jarum jam
!
Jawab: 12
4.
∫
c
( x 2 − xy 3 ) dx + (y 2 − 2 xy ) dy ; c adalah bujursangkar dengan titik-titik sudut (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0,
2)
Jawab: 8
5.
∫c
( x 2 + 4 xy ) dx + (2x 2 − 3y ) dy dengan c ellips 9 x 2 + 16 y 2 = 144
Jawab: 0
-oo0oo-
146
Kalkulus II