Persamaan, Pertidaksamaan Baris dan deret

PERSAMAAN
1. Pengertian
Persamaan adalah kalimat terbuka yang mengikutsertakan tanda sama dengan / =
Contoh :
2x + 1 = 0
3x² – 27 = 9
4x – 6 = 0
x+y=8
Adapun pengertian kalimat Terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat
dikatakan benar atau salah (kebenaran belum ditentukan).
Contoh :
x+2=5
x² - 6 = 10
dimana :
x
bilangan asli
∈ : dibaca ”anggota”
∈
2. Bentuk-bentuk Persamaan
a. Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan yang hanya ada 1 variabel dan pangkatnya adalah 1
Contoh :
x +3=0
3a + 6 = 2
Variabelnya Cuma 1, yaitu x
2x - 5 = 0
4 – 8a = -12
b. Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan yang variabelnya ada 2 dan berpangkat 1
Contoh :
x+y=4
2a – 7b = 9
Variabelnya ada 2, yaitu x dan y
c. Persamaan Kuadrat Satu Variabel
Persamaan yang jumlah variabelnya 1 berpangkat 2
Contoh :
x² - 4 = 0
3y² + 4y – 5 = 0
d. Persamaan Kuadrat Dua Variabel
Persamaan yang variabelnya ada 2 dan pangkat tertingginya adalah 2
Contoh :
x² + y² - 2xy = 27
4a² - 3b² + 5ab = 10
e. Persamaan Pangkat Tinggi
Persamaan dengan variabel yang berpangkat lebih dari 2
Contoh :
x³ + x² - x – 10 = 10
5x 4 – 2x³ + 4x² = 0
3. Persamaan Linear Satu Variabel
Bentuk umum persamaan ini adalah :
ax + b = c
dimana :
a≠0
x
: variabel
a, b, c : bilangan riil
Contoh :
2x + 4 = 10
dan
Maka penyelesaiannya,
5x – 7 = 8
Cara menyelesaikan soal-soal di atas perhatikan langkah-langkah di bawah ini:
Semua suku di sebelah kiri tanda ”=” disebut ruas kiri dan semua suku di sebelah
kanan tanda ”=” disebut ruas kanan
Setiap perpindahan suku, dari ruas kiri ke ruas kanan maupun sebaliknya (pada
operasi penjumlahan dan pengurangan) selalu diikuti dengan perubahan tanda (bila
positif maka menjadi negatif, atau sebaliknya)
Khusus untuk operasi perkalian dan pembagian, perpindahan suku dari ruas satu ke
ruas lainnya maka bila awalnya merupakan operasi perkalian maka berubah menjadi
operasi pembagian. Begitupula sebaliknya, bila awalnya pembagian, maka begitu
dipindahkan berubah menjadi operasi perkalian. INGAT !! Di sini tanda positif
maupun negatif tidak berubah
2x + 4 = 10
5x – 7 = 8
2x
= 10 - 4
5x
2x
=6
5x
=8+7
= 15
x
=
6
2
x
=
x
= 3
x
=3
15
5
4. Persamaan Linear Satu Variabel
Bentuk umum persamaan ini adalah :
ax + by = c
atau
px + qy = r
dimana :
x dan y disebut variabel
a, b, c, p, q, r adalah koefisien / bilangan
Cara menyelesaikan sistem persamaan linear Dua Variabel dapat dilakukan
dengan :
Metode Substitusi (memasukkan)
Metode Eliminasi (menghilangkan)
a. Metode Substitusi
Adalah penyelesaian dari dua persamaan linear dua variabel dengan cara
memaukkan atau menggantikan salah satu variabel dari persamaan satu ke
persamaan yang lainnya, atau sebaliknya.
Contoh :
5x + 2y =23 ......... (persamaan 1)
x + y = 7 ............... (persamaan 2)
Langkah penyelesaiannya :
1. Persamaan 2, yaitu x + y = 7 diubah menjadi x = 7 - y
2. Masukkan (substitusikan) nilai x = 7 – y ke persamaan 1, sehingga yang awalnya
adalah
5x + 2y = 23 menjadi
5 (7- y) + 2y = 23
35 – 5y + 2y = 23
-3y = 23 – 35
-3y = -12
y=
−12
−3
y=4
3. Substitusikan nilai y = 4 ke salah satu persamaan.
Misalkan persamaan 2, diperoleh :
x+4=7
x
=7–4
x
=3
Jadi, nilai yang memenuhi adalah :
x = 3 dan y = 4
b. Metode Eliminasi
Adalah suatu penyelesaian dari dua persamaan linear dengan dua variabel dengan
cara menghilangkan salah satu peubah.
Contoh :
x + y = 9 ................... (1)
2x + 3y = 25 ........... (2)
Langkahnya :
1. Untuk menentukan nilai x, maka eliminasikan terlebih dahulu nilai y pada soal
dengan cara
x+y=9
2x + 3y = 25
X3
X1
3x + 3y = 27
2x + 3y = 25
x=2
2. Untuk menentukan nilai y yang diminta, maka eliminasikan x dengan cara
x+y=9
2x + 3y = 25
X2
X1
2x + 2y = 18
2x + 3y = 25
-y = -7
y=7
atau menggunakan cara campuran eliminasi dan substitusi, dimana
Untuk langkah no. 2 ini dalam mencari nilai y dapat digantikan dengan cara
substitusi kedalam salah satu persamaan.
Misalnya ke persamaan (1) yaitu x + y = 9, dan sudah diperoleh dari eliminasi
langkah 1 nilai x = 2. Maka gantilah nilai x pada persamaan (1) tersebut menjadi
2, sehingga:
2+y=9
y=9–2
y=7
Jadi, nilai yang memenuhi adalah :
x = 2 dan y = 7
PERTIDAKSAMAAN
1. Pengertian
Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang menggunakan tanda ketidaksamaan,
seperti: ≤, ≥, <, >, atau ≠.
dimana :
≤ dibaca kurang dari atau sama dengan
≥ dibaca lebih dari atau sama dengan
< dibaca kurang dari
> dibaca lebih dari
≠ dibaca tidak sama dengan
Contoh :
x–2<5
2a – 10 ≤ 0
8 – 2y > 6
12 – 3m ≥ 3
2. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Adalah suatu pernyataan yang menggunakan tanda ketidaksamaan dan hanya
mempunyai satu variabel dimana variabel tersebut berpangkat satu
Contoh :
x+3 >0
x – 2 ≤ 3x – 6
2y + 4 ≥ 5 + y
Sifat-sifat yang berlaku pada pertidaksamaan linear :
Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang
sama maka tanda pertidaksamaan tidak berubah
Jika Kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama maka
tanda tidak berubah
Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka
tanda berubah
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x – 4 ≤ 8
Jawab :
3x – 4 ≤ 8
3x
≤ 8+4
3x
≤ 12
x
≤
12
8
x
≤ 4
jadi himpunan penyelesaiannya = {x | x ≤ 4, x
∈
R}
dibaca : x dimana x lebih kecil atau sama dengan 4, dan x anggota bilangan Real
Contoh 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 20 – (4x + 4) ≤ - 8, x
Jawab :
20 – (4x + 4) ≤ - 8,
20 – 4x + 4 ≤ - 8,
–- 4x
≤ - 8 – 20 + 4
–- 4x
≤ - 24
–- 4x
≥ 24
x
≥
24
4
x
≥ 6
Himpunan penyelesaiannya = {x | x ≥ 6, x
∈
R}
∈
R
BARISAN & DERET
1. Barisan Aritmetika
Contoh :
1, 3, 5, 7, 9, ....
2, 5, 8, 11, 14, ....
beda = 2
beda = 3
1 1 3
1
1
,
,
, 1, 1 , 1 , .....
4 2 4
4
2
beda =
1
4
a. Ciri-ciri Barisan Arimetika
1. Merupakan urutan bilangan yang teratur
2. Mempunyai selisih (beda) yang sama
3. Tidak disertai dengan tanda operasi bilangan, seperti penjumlahan dan
pengurangan
b. Rumus Barisan Aritmetika
1. Bentuk umum barisan Aritmetika
a, a + b, a + 2b, a + 3b, .....
2. Rumus menentukan suku ke-n
Un = a + (n - 1) b
3. Rumus menentukan suku tengah
Ut =
dimana :
a
b
Un
n
Ut
Un-1
=
=
=
=
=
=
1
(a + Un)
2
suku pertama
beda (selisih antar suku)
suku ke-n
banyaknya suku
suku tengah
suku ke n - 1
2. Deret Aritmetika
Contoh :
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ....
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + ....
1
1
3
1
1
+
+
+1+1
+1
+ .....
4
2
4
4
2
c. Ciri-ciri Deret Arimetika
1. Bilangan teratur
2. Mempunyai selisih (beda) yang sama
3. Disertai tanda operasi bilangan penjumlahan atau pengurangan
d. Rumus Deret Aritmetika
1. Rumus menentukan jumlah suku ke-n
Sn =
n
(a + Un)
2
Atau
n
Sn =
(2a + (n – 1) b)
2
2. Rumus menentukan suku ke-n
Un = a + (n - 1) b
3. Rumus menentukan beda
b = Un – Un-1
dimana :
Sn
b
Un
= Jumlah suku ke-n
= beda (selisih antar suku)
= suku ke-n
3. Barisan Geometri
Contoh :
2, 4, 8, 16, 32, 64, ....
3, 6, 9, 12, 24, 48, 96, ....
1 1 1
1
1
,
,
,
,
, .....
2 4 8 16 32
a. Ciri-ciri Barisan Geometri
1. Merupakan kelipatan bilangan yang teratur
2. Mempunyai rasio (pembagi) yang sama
3. Tidak disertai dengan tanda operasi bilangan, seperti penjumlahan dan
pengurangan
b. Rumus Barisan Geometri
1. Bentuk umum barisan Geometri
a, ar, ar², ar³, ar 4 , .....
2. Rumus menentukan suku ke-n
Un = a + r n - 1
3. Rumus menentukan rasio
r=
suku _ ke − n
suku _ ke _ n − 1
atau
r=
dimana :
Un
r
a
Un
Un −1
= suku ke-n
= rasio
= suku pertama
4. Deret Geometri
Contoh :
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ....
3 + 6 + 9 + 12 + 24 + 48 + 96 + ....
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ .....
2
4
8
16
32
a. Ciri-ciri Deret Geometri
1. Merupakan penjumlahan atau pengurangan dari barisan geometri
2. Mempunyai rasio (pembagi) yang sama
b. Rumus Deret Geometri
a. Rumus menentukan jumlah suku ke-n jika r > 1
Sn =
a ( r n −1)
r −1
b. Rumus menentukan jumlah suku ke-n jika r < 1
Sn =
a (1 − r n )
1−r
Daftar Nilai TUGAS KOPDAR
Mata Pelajaran IPS – Semester 2
Kelas
3 AK
1
3 AK
2
Klmpk
1
5
3 AK
3
Anggota
Deni, dewi, evi, ima, lussiana,
lukman, putri
Arni, ahmad, hana, nurul, septian,
sri, tri, zainal
Komunitas
Palpirus
NILAI
95
Reog Ponorogo
97
Teman yovie & Nuno
99
Perguruan Silat Salemba
98
Bintaro Tiger Club
95
Andri, dini, eray, nanang, novi,
rozalia, septi, tri
Bonanza magic
95
Desi, harum, lisna, mega, muji,
nur, wandoko
Abdul, anis s., anis n., neng, siti,
tajudin, yuni
Zero Eight Automatic
99
Taekwondo Averus
98
Arum, hilda, iga, linda, mega,
romega, rizki, sanny, wilah
Theo, marya, sessy, bella, nadira,
hidayatul, agus, ismi, pandu
Vendettamoto
99
SL Never Die
99
Vinny, ambar, setyarini, defi,
lustia, brian, nurmala
Agung, ani, arpiah, chuniasih,
imro, nini, rahmat, ratna
Ami, atika, diana, febri, indra,
komala, fajar, sri
Dewi, merry, mutia, novita, novita
dwi, ulfa, wahyuningsih, wiwi
Tandjidor Scooter Club
98
Struggle Jakarta
95
The jak mania
99
Shotokaw 212
95
Cecep, dimas, endro, erna,
evy, siti, tika, yenti
Deddy, desi, dianah, divi,
nurhidayati, hendra, rifai,
martindo, sandri
Ahmad, andre, diana, hermawan,
irma, nursopian, ririn, siti
1
2
3
4
5
3 AP
1
1
2
3
4
5
3 AP
2
1
2
3
4
5
Jakarta, 29 Januari 2011
N. Agung W. Ardhoyo