Jurnal MSA Vol. 5 No. 1 Ed. Jan

Solusi Persamaan Diferensial Biasa dengan Metode Runge-Kutta Orde Lima
Fardinahi
STKIP YPUP Makassar, [email protected]
ABSTRAK, Penelitian ini merupakan studi literatur
dengan menggunakan metode numerik yang digunakan
untuk menentukan solusi persamaan diferensial biasa
i
dengan bentuk
y '  f x, y  dengan suatu nilai awal
yx0   y0 yang diberikan.
Metode numerik yang digunakan yaitu metode RungeKutta Orde Lima. Prinsip kerja dari metode tersebut pada
dasarnya adalah menyelesaikan persamaan diferensial
biasa dengan menentukan himpunan titik-titik x, y
dimana untuk menentukan sebuah titik maka kita
menggunakan satu titik sebelumnya. Hasil dari penelitian
ini menunjukkan bahwa metode Runge-Kutta Orde Lima
dapat dignakan untuk menentukan solusi persamaan
diferensial biasa dan memiliki tingkat ketelitian yang
relatif tinggi


Kata Kunci: Persamaan diferensial biasa, metode RungeKutta, Masalah nilai awal
1. PENDAHULUAN
Persamaan diferensial merupakan mata kuliah
yang cukup strategis karena berkaitan dengan
bagian-bagian sentral dalam matematika seperti
dalam analisis, aljabar, geometri dan bagain
sental lain yang akan sangat berperan dalam
pengenalan konsep maupun pemecahan masalah
yang berkaitan dengan dunia nyata.
Solusi persamaan diferensial dapat ditentukan
dengan menggunakan dua metode yaitu metode
analitik dan metode numerik. Metode analitik
memberikan solusi sejati yaitu solusi yang
memiliki galat (error) sama dengan nol
sedangkan dengan metode numerik kita
memperoleh solusi yang menghampiri solusi
sejati. Namun solusi hampiran dapat dibuat
seteliti yang kita inginkan.
Sayangnya, metode analitik hanya unggul untuk
sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu
persoalan yang memiliki tafsiran geometri
sederhana. Bila metode analitik tidak dapat lagi
diterapkan, maka solusi persoalan dapat dicari
dengan menggunakan metode numerik. Metode
tersebut diantaranya adalah metode Euler,
metode Deret Taylor, dan metode Runge-Kutta.
Metode Runge-Kutta merupakan metode yang
lebih praktis dari pada metode deret Taylor
karena dengan metode Runge-Kutta kita tidak
perlu mencari turunan fungsi yang lebih tinggi.
Kita hanya mengevaluasi fungsi pada titik
terpilih untuk setiap selang langkah. Sedangkan
dari segi ketelitian, hasil yang diperoleh dari
metode Runge-Kutta lebih teliti dibandingkan
metode Euler. Tingkat ketelitian dari metode ini
dipengaruhi oleh ordenya. Semakin besar
ordenya maka semakin teliti hasil yang
diperoleh..
2. TINJAUAN PUSTAKA
Metode Runge-Kutta Orde Lima merupakan
metode numerik yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah persamaan diferensial
yang berbentuk masalah nilai awal.
Masalahnilaiawaladalahpersamaandiferensial
yang
berkaitandengannilaiawal
(nilaiawaladalahsyaratbatas di satutitik)yang
berbentuk y '  f x, y  dengan sebuah nilai awal
yx0   y0 , dengan fungsi f bergantung pada x
dan y , (Talib, 2003:4)
Pada umumnya metode numerik diturunkan
berdasarkan penghampiran fungsi ke dalam
bentuk polinom. Alat utama untuk membuat
polinom hampiran adalah Deret Taylor.Misalkan
f kontinu pada selang tertutup a, b dan
f 1 , f 2  , menyatakan turunan pertama,
kedua, dan seterusnya yang juga kontinu pada
selang tersebut. Misalkan x r  a, b , maka untuk
nilai xr 1 disekitar xr dengan x r 1  a, b ,
f xr 1  dengan r  0,1,2,, n dapat diperluas
(diekspansi) ke dalam deret Taylor sebagai
berikut:
30
JURNAL MSA VOL. 5 NO. 1 ED. JAN-JUNI 2017
f xr 1  f xr 
xr 1  xr  f 1x  xr 1  xr 2 f 2x  xr 1  xr n f n x 
1!
r
r
2!
n!
Jika dimisalkan xr 1  xr  h , maka
dapat juga ditulis sebagai berikut:
h
h2
f xr 1   f xr   f 1 xr  
f
1!
2!
2 
xr    h
n
n!
r
f xr 1 
2 
xr    h
n
n!
dengan h  xr 1  xr dan r  0,1,2,, n
Selanjutnya persamaan (4.1) disamakan dengan
deret Taylor orde enam yaitu:
f n xr   
Selanjutnya jika f xr 1   y r 1 maka deret Taylor
tersebut dapat ditulis:
h
h2
yr 1  yr  f 1 xr  
f
1!
2!
 x  p5h, yr  q51k1h  q52k2h  
k6  f  r

 q53k3h  q54 k4 h  q55k5h

f n xr   
h 1
h 2  2
h3
f  xr , yr  
f  xr , yr   f
1!
2!
3!
h5  5 
h6  6 
 f  xr , yr   f  xr , yr 
5!
6!
yr 1  yr 
h4
f
4!
 4
 xr , yr 
f f dy

x y dx
f 1 xr , y r  
Ketelitian suatu metode numerik diselidiki

dengan cara menentukan galat. Misalkan a
menyatakan nilai dari hasil metode numerik dan
a menyatakan nilai dari hasil metode analitik,
maka galat (ɛ) mutlak didefinisikan sebagai

f 2  xr , y r  
2 f
 2 f dy  2 f

2

y x dx y 2
x 2
f 3 xr , y r  
f  4  xr , yr  
  a  a .(Paduppai, 2006:6)
3. METODOLOGI
Langkah-langkah penentuan solusi persamaan
diferensial dengan metode runge-kutta dilakukan
sebagai berikut: menentukan formula dari
Metode Runge-Kutta Orde Lima, menyelesaikan
masalah nilai awal dengan Metode Runge-Kutta
Orde Lima dan metode analitik serta menentukan
galat Metode Runge-Kutta Orde Lima.
4 f
 4 f dy
 4 y  dy 
4 3
6 2 2  
4
x
x y dx
x y  dx 
f 5  xr , yr  
2
4
5 f
5 f dy
5 y  dy 
5 4
10 3 2  
54
x
x y dx
x y  dx 
2
5 f  dy 
5 f  dy  5 f  dy 
 5
  
 
2
3 
x y  dx 
xy 4  dx  y 5  dx 
3
10
4
5
Dengan mensubtitusi f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 ke
deret Taylor orde enam, diperoleh:
 f f dy 
 x  y dx  


2
3  2
2
2
h  f
 f dy  f  dy  

2


  
6  x 2
y x dx y 2  dx  
2
h4  3 f
3 f dy
3 y  dy  3 f
3

 3 3 2

2 
24  x
x y dx
xy  dx  y 3
yr 1  yr  h f  xr , yr  
Diberikan bentuk umum persamaan metode
Runge-Kutta Orde Lima yaitu:
(4.1)

dimana:
k1  f xr , y r 
h2
2
3
 dy  
 dx  
  
h5  4 f
4 f
4 3

4
120  x
x y
2
3
4
dy
 4 y  dy 
 4 f  dy   4 f  dy  
6 2 2   4
 4  

3 
dx
x y  dx 
xy  dx  y  dx  
h6 5 f
5 f dy

5 4

5
720  x
x y dx
k 2  f xr  p1h, y r  q11k1h
k3  f xr  p2 h, yr  q21k1h  q22 k 2 h
k5  f xr  p4 h, yr  q41k1h  q42k 2 h  q43k3 h  q44k 4 h
2
2
 4 f  dy   4 f  dy 
  
 
xy 3  dx  y 4  dx 
4. PEMBAHASAN
k 4  f xr  p3 h, yr  q31k1h  q32k 2 h  q33k3 h
 dy 
 
 dx 
3 f
 3 f dy
 3 y  dy   3 f  dy 

3

3
   3  
x 3
x 2 y dx
xy 2  dx 
y  dx 
3
4
31
 xr , yr  
Jika f fungsi sebarang, maka diperoleh:
(Paduppai, 2006:3-4)
yr 1  yr  a1k1  a2 k2  a3 k3  a4 k4  a5 k5  a6 k6 h
3
2
3
 5 y  dy 
 5 f  dy  
  10 2 3 
 
3
2 
x y  dx 
x y  dx  
4
5

5
5
 f  dy 
 f  dy 

5



4 
5 
xy  dx 
y  dx 


 10
(4.2)
3
JURNAL MSA VOL. 5 NO. 1 ED. JAN-JUNI 2017
Selanjutnya
menentukan
nilai-nilai
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , q11 , q21 , q22 , q31
k6  f  xr , yr   p5
 


f  xr , yr   p1 h  q11
y 
x
y
 

f  xr , yr  h  h  q53  f  xr , yr   p2 h
y 
x


 q21
f  xr , yr  h  q22
f  xr , yr 
y
y
 q52
q32 , q33 , q41 , q42 , q43 , q44 , q51 , q52 , q53 , q54 , q55
dengan menyamakan persamaan (4.1) dengan
k1 , k 2 , k3 , k 4 , k5 , k6 pada deret Taylor persamaan
(4.2).
dengan:
k 2  f xr , y r   p1


h  q11
f xr , y r h
x
y
k3  f  xr , yr   p2



h  q21
f  xr , yr  h  q22
f  xr , yr  h 
x
y
y
2 2
2
h f  xr , yr   q11 q22 2 f  xr , yr  h2
x y
y


k4  f  xr , yr   p3 h  q31
f  xr , yr  h 
x
y
q32

y



 f  xr , yr   p1 x h  q11 y
2 2
2
h  q11q22 2 f  xr , yr  h 2
xy
y
k5  f  xr , yr   p4

h



h  q41
f  xr , yr  h
x
y
 


f  xr , yr   p1 h  q11
y 
x
y
 

f  xr , yr   p2
h
y 
x


 q21
f  xr , yr  h  q22
f  xr , yr 
y
y

2 2
2
h  p1q22
h  q11q22 2 f  xr , yr  h 2  h
xy
y

f  xr , yr  h  h  q43
 q44
q31
q33
 

f  xr , yr   p3 h 

y 
x


f  xr , yr  h  q32
f  xr , yr  h
y
y
 q32 p1
2 2
2
h  q32 q11 2 f  xr , yr  h 2 
xy
y

2 2
2
f  xr , yr  h  q33 p2
h  q32 q21 2 f  xr , yr  h 2 
y
xy
y
2
q32 q22 2 f  xr , yr  h 2
y
 q33 q22 p1

3
3
h 3  q33q22 q11 3 f xr , y r h 3  h
2
xy
y

2 2
2
h  q32 q11 2 f  xr , yr  h 2 
xy
y

2 2
f  xr , yr  h  q33 p2
h
y
xy
2
2
2
f
x
,
y
h

q
q
f  xr , yr 


r
r
32
22
y 2
y 2

3 3
3
h2  q33 q22 p1
h  q33q22 q11 3 f  xr , yr  h3  h
2
xy
y


 q55  f  xr , yr   p4
y
 q32 q21
 

f  xr , yr   p2 h
y 
x


 q21
f  xr , yr  h  q22
f  xr , yr 
y
y
h  p1q22
 q32 p1
q33
f  xr , yr  h  h  q33
 q42

2 2
2
h  q11q22 2 f  xr , yr  h 2  h
xy
y

 

 q54  f  xr , yr   p3 h 
y 
x


q31
f  xr , yr  h  q32
f  xr , yr  h
y
y
h  p1q22
k1  f xr , y r 
p1 q22


h  q51
f  xr , yr  h
x
y



2 2
h  q41
f  xr , yr  h  q42
f  xr , yr  h  q42 p1
h
x
y
y
xy
 q42
2
f  xr , yr  h2
y 2
 q43

2 2
2
f  xr , yr  h  q43 p2
h  q43q21 2 f  xr , yr  h 2
y
xy
y
 q43q22
2
f  xr , yr 
y 2
h2  q43 q22 p1
3 3
3
h  q43q22 q11 3 f  xr , yr  h3
2
xy
y

f  xr , yr  h  q44
y
2 2
2
2
p3
h  q44 q31 2 f  xr , yr  h2  q44 q31 2 f  xr , yr  h 2
xy
y
y
 q44
 q44 q32
2
f  xr , yr 
y 2
h2  q44 q32 p1
 q44 q33
q33q22 p1
3 3
3
h

q
q
q
f  xr , yr  h3
44
32
11
xy 2
y 3
2
f  xr , yr  h2 
y 2

4
4
4
h

q
q
q
q
f xr , y r h 4  h
44 33 22 11
3
4
xy
y

32
JURNAL MSA VOL. 5 NO. 1 ED. JAN-JUNI 2017
Subtitusi
nilai
pada
k1 , k 2 , k3 , k 4 , k5 , k6
persamaan (4.1) dan selanjutnya berdasarkan
persamaan (4.2) diperoleh:
a1  a2  a3  a4  a5  a6 1
a2 p1  a3 p2  a4 p3  a5 p4  a6 p5 
1
2
a2 q11  a3q21  a3q22  a4 q31  a4 q32  a5q41  a5q42
 a5q43  a5q44  a6 q51  a6 q52 
1
a6 q53  a6 q54  a6 q55 
2
a3q22 p1  a4 q32 p1  a4 q33 p2  a5q42 p1  a5q43 p2
a5q44 p3  a6 q52 p1  a6 q53 p2 
1
a6 q54 p3  a6 q55 p4 
6
a3q22 q11  a4 q32 q11  a4 q33q21  a4 q33q22  a5q42 q11
 a5q43q21  a5q43q22  a5q44 q31
 a5q44 q32  a5q44 q33  a6 q52 q11  a6 q53q21  a6 q53q22
 a6 q54q31  a6 q54q32  a6q54q33
1
 a6 q55q41  a6 q55q42  a6 q55q43  a6 q55q44 
6
a4 q33q22 p1  a5q43q22 p1  a5q44q32 p1  a5q44q33 p2
a5q44 q33 p2  a6 q53q22 p1  a6
a6 q54 q32 p1  q54 q33 p2  a6 q54 q33 p2  a6 q55 q42 p1
1
a6 q55 q43 p2  a6 q55 q44 p3 
24
a4 q33q22 q11  a5q43q22q11  a5q44q32q11  a5q44q33q21
 a5q44q33q22  a6q54q32q11 
a6 q54 q33q11  a6 q54 q33q22  a6q53q22q11  a6q55q42q11
a6 q55q43q21  a6 q55q43q22 
a6 q55q44 q32  a6 q55q44 q33 
1
24
a5q44 q33q22 p1  a6 q54 q33q22 p1  a6 q55q43q22 p1
1
a6 q55q44 q32 p1  a6 q55q44 q33 p2 
120
a5q44 q33q22 q11  a6 q54 q33q22 q11  a6 q55q43q22 q11
a6 q55q44 q32 q11  a6 q55q44 q33q21 
a6 q55q44 q33q22 
1
120
1
a6 q55q44 q33q22 p1 
720
1
a6 q55 q44 q33q22 q11 
720
33
Hasil yang diperoleh di atas menyebabkan solusi
yang tak hingga banyaknya, namun metode
Runge-Kutta Orde Lima yang biasa dipakai
yaitu:
yr 1  yr 
1
7k1  3 2k3 12k4  32k5  7k6  h
90
dengan:
k1  f xr , y r 
1
1


k 2  f  xr  h, y r  h k1 
4
4


1
1
1


k 3  f  xr  h, y r  h k1  h k 2 
4
8
8


1
1


k 4  f  xr  h, y r  hk2  h k 3 
2
2


3
3
9


k 5  f  xr  h, y r  hk1  h k 4 
4
16
16


3
2
12
12
8


k 6  f  xr  h, y r  hk1  hk2  hk3  hk4  h k 5 
7
7
7
7
7


dimana r  0,1,2,, n dan h  xr 1  xr
Simulasi
Selesaikan
persamaan
y' 
x  1 y 3
y

x 1
2
3
dengan nilai awal y1  0.40825 dan nilai h  0,1
Penyelesaian:
Metode analitik
y' 
x  1 y 3
y

x 1
2
3
dapat diubah menjadi
x  1 y 3
dy
y


dx x  1
2
(1)
x  1 y 3
dy
y


dx x  1
2
:
3
3
diperoleh
y 3
x  1
dy y 2


dx x  1
2
3
(2)
Misalkan z  y 2 diperoleh dz  2 y 3 dy
dx
Maka persamaan (2) menjadi

x  1
1 dz
z


2 dx x  1
2
3
dx
y3
JURNAL MSA VOL. 5 NO. 1 ED. JAN-JUNI 2017
dz 2 z
3

 x  1
dx x  1
Misalkan z  uv diperoleh
subtitusi
pada
(3)
dz
dv
du
u v
dx
dx
dx
persamaan
u
dv
du 2uv
3
v 
 x  1
dx
dx x  1
u
dv 2uv
du
3

v
 x  1
dx x  1
dx
(3)
diperoleh
3 3
Jadi solusi khusus dari y '  y   x  1 y
x 1
adalah y 2
•
Untuk x1  x0  h  1  0.1  1.1 maka
y
•
(4)
dv 2v
dv
2v diperoleh dv 2dx

 0 maka


dx x  1
dx x  1
v x 1
1
2
 v dv   x  1 dx
•
•
2
y
u0  v
•
y
du
 x  1
dx
Dari
3
2
 du   x  1dx
diketahui
y
x 1
Dengan menggunakan rumus:
yr 1  yr 
1 2
x  xc
2
z  uv maka z   1 x 2  x  c  x  12
2
2
1
7k1  3 2k3 12k4  32k5  7k6  h
90
dengan:

Karena z  y 2 diperoleh y 2   1 x 2  x  c  x  12

Subtitusi nilai awal y1  0.40825 maka
0.40825 
x  1 y 3
y

x 1
2
y' 
x  13 y 3 
f x, y   
du  x  1dx
2
1
 0.22664
19.46880
Metode Runge-Kutta Orde Lima
dx
u
1
 0.24689
16.40625
Untuk x6  x5  h  1.5  0.1  1.6 maka
du
du
3
 x  1 diperoleh v  x  13
dx
dx
x  12 du  x  13
1
 0.27008
13.70880
Untuk x5  x4  h  1.4  0.1  1.5 maka
diperoleh v  x  1
selanjutnyadaripersamaan (4) diperoleh:
1
 0.29686
11.34705
Untuk x4  x3  h  1.3  0.1  1.4 maka
y
ln v  2 ln x  1 atau ln v  ln x  12
1
 0.32804
9.29280
Untuk x3  x2  h  1.2  0.1  1.3 maka
y
•
1
 0.36469
7.51905
Untuk x2  x1  h  1.1  0.1  1.2 maka
y
du
 dv 2v 
3
u 
 x  1
v
dx
x

1
dx


2
1

2
  x 2  x  x  1
2

1 2

2
  1  1  c  1  1
2

3
 2
6    c  2  6  4c
2

6  6  4c atau 4c  0 , diperoleh c  0
k1  f xr , y r 
1
1


k 2  f  xr  h, y r  h k1 
4
4


1
1
1


k 3  f  xr  h, y r  h k1  h k 2 
4
8
8


1
1


k 4  f  xr  h, y r  hk2  h k 3 
2
2


3
3
9


k 5  f  xr  h, y r  hk1  h k 4 
4
16
16


3
2
12
12
8


k 6  f  xr  h, y r  hk1  hk2  hk3  hk4  h k 5 
7
7
7
7
7


34
JURNAL MSA VOL. 5 NO. 1 ED. JAN-JUNI 2017
Dengan nilai r  0,1,2,, n dan h  xr 1  xr
Untuk xr 1  x01  x1  1.0 diperoleh
k1  f  x0 , y0   f  1.0  ,  0.40825 

1.0  13  0.408253  0.40825  -0.47629
1.0  1
2
1
1


k2  f  x0   0.1 , y0   0.1 -0.47629  
4
4


1
1


 f 1.0   0.1 ,0.40825   0.1 -0.47629  
4
4


 f  1.02500  ,  0.39634   
1.02500  13  0.39634 3 

0.39634
 -0.45422
2
1.02500  1
1
1


 x0  4  0.1 , y0  8  0.1 -0.47629  
k3  f 

  1  0.1 -0.45422 



 8

1
1


1.0  4  0.1 , 0.40825  8  0.1 
f

  -0.47629   1  0.1 -0.45422  


8


 f  1.02500  ,  0.39662  

1.02500  13  0.396623 
2
0.39662
1.02500  1
 -0.25904 - 0.19586  -0.45490
1
1


x0   0.1 , y0   0.1 -0.45422   

2
2
k4  f


0.1
-0.45490





1
1


1.0   0.1 , 0.40825   0.1 -0.45422  
2
2
 f


   0.1 -0.45490 

 f  1.05000  ,  0.38547  

1.05000  13  0.38547 3 
2
0.38547
1.05000  1
 -0.24672 - 0.18803  -0.43475
3
2
12

 x0  0.1, y0  7  0.1 -0.47629   7  0.1 -0.45422   7  0.1
k6  f 
 -0.45490  12 0.1 -0.43475  8 0.1 -0.45984 

 
  


7
7


3
2
12

1.0  0.1,  0.40825   0.1 -0.47629    0.1 -0.45422    0.1 -0.4549
f
7
7
7


 f  1.10000  ,  0.35968 
3
3
1.10000  1  0.35968



2
0.35968
1.10000  1
 -0.21546- 0.17127  -0.38673
Jadi
y01  y1  y0 
1
7k1  3 2k3 12k4  32k5  7k6  h
90
 0.40825- 0.04503 0.36322
Dengan cara yang sama diperoleh hasil seperti
dalam tabel 4.1.
Tabel 4.1 Hasil metode Runge-Kutta Orde Lima
r
x
Hasil
analitik
R-K
orde
lima
galat R-K
1
1.0
0.40825
-
-
2
1.1
0.36469
0.36322
0.00147
3
1.2
0.32804
0.32573
0.00231
4
1.3
0.29686
0.29410
0.00276
5
1.4
0.27008
0.26710
0.00298
6
1.5
0.24689
0.24383
0.00306
7
1.6
0.22664
0.22360
0.00304
Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa metode
Runge-Kutta Orde Lima memiliki galat yang
relatif kecil yang menunjukkan bahwa tingkat
ketelitian metode Runge-Kutta Orde Lima tinggi.
5. KESIMPULAN
3
3
9


k 5  f  x0  0.1, y 0  0.1- 0.47629   0.1- 0.43475 
4
16
16


Dari
uraian pembahasan tersebut, dapat
3
3


simpulkan
bawah
1.0

0.1
,0.40825

0.1
 
 

4
16
f

1. Untuk menyelesaikan solusi persamaan
  -0.47629  9  0.1 -0.43475 


diferensial biasa, rumus untuk metode Runge16


Kutta Orde Lima yang biasa dipakai adalah:
 f  1.07500  ,  0.39272  

1.07500  13  0.392723 
2
0.39272
1.07500  1
 -0.27057 - 0.18926  -0.45984
35
yr 1  yr 
dengan:
1
7k1  3 2k3 12k 4  32k5  7k6  h
90
JURNAL MSA VOL. 5 NO. 1 ED. JAN-JUNI 2017
k1  f xr , y r 
1
1


k 2  f  xr  h, y r  h k1 
4
4


1
1
1


k 3  f  xr  h, y r  h k1  h k 2 
4
8
8


1
1


k 4  f  xr  h, y r  hk2  h k 3 
2
2


3
3
9


k 5  f  xr  h, y r  hk1  h k 4 
4
16
16


3
2
12


 xr  h, yr  7 hk1  7 hk2  7 hk3 
k6  f 

  12 hk  8 h k



4
5
7
 7

dengan h  xr 1  xr dan r  0,1,2,, n
2.
Solusi persamaan diferensial biasa dengan
menggunakan metode Runge-Kutta Orde
Lima memiliki tingkat ketelitian yang tinggi.
6. DAFTAR PUSTAKA
Fachruddin, Imam. MetodeNumerik 1. http: //is.its-sby.
edu/
subjects/
numerical
_methods
/Irfan_Metode_Numerik.pdf. (diakses tanggal 4
Juni 2009).
Fardinah. 2009. Skipsi Solusi Persamaan
Diferensial Biasa Dengan Metode RungeKutta Orde Lima Dan Metode Euler.
Makassar: Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Makassar.
Finizio N & Ladas G. 1988. Persamaan
Diferensial Biasa dengan Penerapan
Moderen. Jakarta: Erlangga.
Gunawan, Hendra. Analisis Numerik Lanjut. http:
//personal.
fmipa.itb.
ac.id
/hgunawan/files/2007/11. (diakses tanggal 4 juni
2009).
Paduppai, Darwing. 2004. Metode Numerik.
Makassar: Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Makassar.
Santosa, Widiarti dan Pamuntjak R.J. 1994.
Persamaan Diferensial Biasa. Jakarta:
Departemen Pendidikan dan Kebudayaan,
Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi.
Talib, Ahmad. 2004. Masalah Syarat Batas.
Jurusan Matematika FMIPA UNM.
Wahyuddin. 1987. Metode Analisis Numerik.
Bandung: Tarsito.
36