modul9 Matek 2

3. Persamaan Diferensial Linier orde satu
Bentuk Umum :
.
dy
+P( x) y = Q( x)
dx
Penyelesaian umum diberikan rumus langsung yaitu :
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
{ Q( x).e 
dx  C}
Contoh-contoh:
1.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ x y = 3x.
dx
Jawab :
penyelesaian umum.
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
{ Q( x).e 
dx  C}
 xdx
x ) dx
y  e   3x.e  dx  C
ye
1
 x2
2
{ 3x.e
1 2
x
2
dx  C}
Catatan Misal U = x2
dU = 2x dx
dx = dx 
1
 z.e
Jadi
z2
dU
2x
dz   z.eU
0
  eU
dU
2
1
2
1
2
=  eU  e z
ye
1
 x2
2
3
2
( ( ez  C)
2
2
dU
2z
1
y=
 x2
3
3
 C y   Ce 2  sebagai penyelesaian pesamaan
2
2
diferensial.
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy 2
2
y = 3x.
 y  3x +
dx x
x
Jawab :
penyelesaian umum.
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
{ Q( x).e 
dx  C}
 2 / xdx
2 / xdx
ye 
{ 3x.e 
dx  C}
y  e2 ln x{ 3x.e2lx 2dx  C}
.y = x-2 ( y  x 2  3x( x 2 )dx  C )
3
4
3
4
y = x-2 ( y  x  2 ( x 4  C )  y = y  x 2  Cx  2 ///
3. Persamaan Diferensial Bernoulli
Bentuk Umum :
.
dy
 P( x) y  Q( x) y n
dx
Cara Menyelesaikan :
 Dibagi yn :
1 dy
1 dy
+P( x) y1-n = Q( x)
 P( x) y1 n  Q( x) n
n
y dx
y dx
 Dimisalkan u = y1-n  du = (1-n) y-n dy
1 du 1 dy

1  n dx y n dx
 Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
 P( x).u  Q( x)
1  n dx
du
 (1  n) P( x).u  (1  n)Q( x)  PD linier orde satu dalam u.
dx
- Penyelesaian umum :
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
ue 
{ q( x).e 
dx  C}
Dimana p(x) = (1-n) P(x)
.q(x) = (1-n) Q(x)
Contoh-contoh:
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
 y  (2  3 x) y 4
dx
Jawab :

Dibagi y4 :
1 dy
 y  3  (2  3x)
y 4 dx
 Dimisalkan u = y-3  du = (-3) y-4 dy
1 du 1 dy

 3 dx y 4 dx
 Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
 u  (2  3x) + u = (2-3x)
 3 dx
du
 3.u  3(2  3x)  PD linier orde satu dalam u.
dx
- Penyelesaian umum :
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
ue 
{ q( x).e 
dx  C}
  3dx
 3dx
u  e  { (6  9 x).e  dx  C}
u  e3 x{ (6  9 x).e3 x dx  C}
u  e3 x {
 (9 x  6) 3 x
e  e3 x  C}
3
1
 (2  3x)  1  Ce3 x
3
y
.y = y  3
1
1  3x  Ce3 x
///
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy 2
 y  3xy 3
dx x
Jawab :

Dibagi y3 :
1 dy 2  2
 y  3x
y 3 dx x
 Dimisalkan u = y-2  du = (-2) y-3 dy
1 du 1 dy

 2 dx y 3 dx
 Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du 2
 u  3x
 2 dx x
du 4
 .u  6 x  PD linier orde satu dalam u.
dx x
- Penyelesaian umum :
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
ue 
{ q( x).e 
dx  C}
ue
4
  dx
x

{ (9 x).e
4
  x dx
dx  C}
u  e4 ln x{ (9 x).e4 ln x dx  C}
u  x 4{ (9 x).x 4dx  C}
1
 x 4 ( 92 x  2  C )
2
y
1 9 2
 2 x  Cx 4  y = y 
2
y
1
9
2
x  Cx 4
2
///
5. Persamaan Diferensial Eksak
Bentuk umum :
.m(x,y) dx + n(x,y) dy = 0
Disebut Persamaan Diferensial Eksak bila dipenuhi syarat
m n

y x
Cara menyelesaikan :
 Dicari fungsi F(x,y) = C yang memenuhi persamaan diferensial
tersebut, maka
 Maka
F
F
dx 
dy  0
y
x
F
F
 m( x, y )dan.
 n( x, y )
x
y
 F(x,y) = F ( x, y)   m( x, y).dx  Q( y)
 Turunkan terhadap y dan disamakan dengan n(x,y) diperoleh Q(y).
Sehingga diperoleh penyeesaian F(x,y) = C.
Contoh-contoh:
1..Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(2xy-sin x) dx + x2 dy = 0
Jawab : m= 2 xy – sin x 
.n = x2 
Penyelesaian :
m
 2x
y
n
 2 x Jadi merupakan PD Eksak.
x
F ( x, y)   (2 xy  sin x)dx  Q( y)
F(x,y) = x2 y + cos x + Q(y)
.
F
2
2
 n( x, y )  x + 0 + Q’(y) = x  Q’(y) = 0  Q(y) = C
y
Jadi penyelesaian : F(x,y) = x2 y + cos x = C ///
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(3+ y exy ) dx – ( 3y – x exy) dy = 0
Jawab : m= .(3+ y exy ) 
m
 e xy  xye xy
y
.n = – ( 3y – x exy) 
n
 e xy  xye xy Jadi merupakan PD
x
Eksak.
Penyelesaian :
F(x,y) = F ( x, y)  {3  ye xy ) }dx  Q( y)
F(x,y) = 3x + exy + Q(y)
.
F
xy
xy
 n( x, y )  0+ x e + Q’(y) = – ( 3y – x e )
y
Q’(y) = - 3y  Q(y) = - 3/2 y2 + C
Jadi F(x,y) = 3x + exy – 3/2 y2 = C ///
TUGAS:
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy 2
 y  2 cos 3x
dx x
2Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
 y  (cos x  sin x) y 3
dx
3Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
 2 y  (9 x  6 x3 ) y 4
dx
4.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy 6  3 ye xy

dx 6 y  3xe xy
5.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
(x y2 – x ) dx + ( y + x2y ) dy = 0