integral - tito math`s blog

BAB I
PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS
INTEGRAL
I
A
RANGKUMAN INTEGRAL
1. Pengertian
Apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada selang I sedemikian hingga F (x) = f(x), maka
anti turunan (integral) dari f(x) adalah F(x) + C, dengan C konstanta sembarang.
2. Integral Tak Tentu
 ∫ f(x) dx = F(x) + C
dengan F(x) adalah fungsi integral umum bersifat F  (x)= f(x)
f(x) disebut integran, dan
C konstanta integrasi.
 Sifat-sifat Integral Tak Tentu
a. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
b. ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
c. ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx
 Rumus Dasar Integral Tak Tentu
a. ∫ dx = x + C
b. ∫ a dx = ax + C
c. ∫ xn dx = n11 xn + 1 + C, n  –1
d.
e.
f.
g.
h. ∫ csc2 x dx = –cot x + C
i. ∫ sec x tan x dx = sec x + C
j. ∫ csc x cot x dx = –csc x + C
1
k.  dx = ln x + CAL
x
l. ∫e x dx = e x + C
ax
m. ∫a x dx =
+C
ln a
∫ a xn dx = na1 xn + 1 + C, n  –1
∫ sin x dx = –cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sec2 x dx = tan x + C
 Penerapan intagral tak tentu
dy
= f(x) atau gradien garis singgung kurva m = f(x),
dx
dengan syarat awal y = y0 bila x = x0 diberikan untuk memperoleh nilai konstanta C, maka ini setara
dengan
y = ∫ f(x) dx
b. Dalam bidang fisika tentang gerak, dikenal s(t) = posisi/jarak, v(t) = kecepatan dan a(t) = percepatan,
pada saat waktu t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka berlaku
ds
dv
d 2s
= v(t)  s = ∫ v(t) dt
dan
= a(t) =
 v = ∫ a(t) dt
dt
dt
dt 2
3. Integral Tentu
 Teorema Dasar Kalkulus
Andaikan f kontinu (karenanya terintegralkan) pada [a, b] dan andaikan F sebarang antiturunan dari f
a. Jika diketahui persamaan F  (x) = f(x) atau
disana, maka
b
b
a f ( x)dx = [F(x)] a = F(b) – F(a)
 Sifat-sifat integral tentu
Jika fungsi-fungsi f dan g terintegralkan pada [a, b] dan k konstanta, maka integral tentu memenuhi sifatsifat umum sebagai berikut :
a.
a
a f ( x)dx = 0
b.
a f ( x)dx  b f ( x)dx
c.
a kdx = k (b – a)
d.
a k f ( x)dx  k a f ( x)dx
b
a
b
b
b
b
b
b
e.
a [ f ( x)  g ( x)]dx a f ( x)dx  a g ( x)dx
f.
b
c
c
a f ( x)dx + b f ( x)dx = a f ( x)dx , dengan a < b < c
g.
b
b
a f ( x)dx  a g ( x)dx , jika f(x)  g(x)
h.
b
a f ( x)dx  0, jika f(x)  0
4. Integral Substitusi
 pada integral tak tentu
Jika g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan F adalah suatu antiturunan dari f, maka jika u = g(x)
 f (g(x)) g (x) dx =  f (u) du = F(u) + C = F(g(x)) + C
 pada integral tentu
Jika g mempunyai turunan kontinu pada [a, b] dan f kontinu pada daerah nilai dari g dan F adalah suatu
antiturunan dari f, maka jika u = g(x)
1
Integral
Sikat Habis UN 2014
b
g (b )
a
g (a)
g (b )
 f (g(x)) g (x) dx =  f (u) du = [F(u)] g ( a ) = F(g(b)) – F(g(a))
5. Teknik Pengintegralan Trigonometri
 Rumus Identitas Trigonometri yang Perlu Diketahui
a.
b.
c.
d.
e.
h. 2 cos x sin y = sin (x + y) – sin (x – y)
i. 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x – y)
j. –2 sin x sin y = cos(x + y) – cos (x – y)
sin2 x + cos2 x = 1
tan2 x + 1 = sec2 x
cot2 x + 1 = csc2 x
sin 2x = 2 sin x cos x
sin2 x = 12 – 12 cos 2x
2
1
2
1
2
f. cos x = + cos 2x
g. 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x – y)
k. bentuk
a 2  x 2 , misalkan x = a sin t
l.
bentuk
a 2  x 2 , misalkan x = a tan t
m. bentuk
x 2  a 2 , misalkan x = a sec t
 Integral berbentuk  sinm x cosn x dx
a. Jika m + n ganjil : misalnya cos x berpangkat ganjil, maka keluarkan cos x satu buah, kemudian
substitusi
cos2 x = 1 – sin2 x
u = sin x  du = cos x dx
b. Jika m + n genap : gunakan rumus dasar
sin2 x = 12 – 12 cos 2x
cos2 x =
1
2
+
1
2
cos 2x
6. Integral Parsial
Andaikan u = u(x) dan v = v(x), maka
b
b
a
a
 u dv = u v –  v du atau  u dv = [u v] ba –  v du
7. Menentukan Luas Daerah
a. Dibatasi satu kurva, a  x  b , f(x) > 0
b
b
a
a
y = f (x)
L =  f (x) dx =  y dx
a
a
b. Dibatasi satu kurva, a  x  b , f(x) < 0
b
b
a
a
b
b
L = –  f (x) dx = –  y dx
c.
y = f (x)
y1 = f (x)
Dibatasi dua kurva, a  x  b, f(x) > g(x)
b
b
a
a
L =  [f (x) – g (x)] dx =  (y1 – y2) dx
y2 = g (x)
a
8. Menentukan Volume Benda Putar
 mengelilingi sumbu X
a. Dibatasi satu kurva, a  x  b , f(x) > 0
b
b
a
a
b
V =   [f (x)]2 dx =   y2 dx
b. Dibatasi dua kurva, a  x  b, f(x) > g(x)
b
V =   [f (x)]2 – [g (x)]2 dx
a
b
=   (y12 – y22) dx
a
 mengelilingi sumbu Y
a. Dibatasi satu kurva, c  y  d , f(y) > 0
d
d
c
c
V =   [f (y)]2 dy =   x2 dy
2
Integral
Sikat Habis UN 2014
b. Dibatasi dua kurva, c  y  d, f(y) > g(y)
d
V =   [f (y)]2 – [g (y)]2 dy
c
II
B
1.
SOAL DAN PEMBAHASAN
6
(x
4
 2 x  9)dx  ......
Jawaban :
6
(x
4
 2 x  9)dx  . (6 x 4  2 x  9)dx  
2
 x 2  9 x  C  2 x 3  2 x  9 x  C
3
x
2. ∫(x – 2)(x + 3) dx = ….
1
1
1 3 1 2
a. ( x2 – x)( x2 + 3x) + C
c.
x + x – 6x + C
2
2
3
2
b. x2 + x – 6 + C
d. 2x3 + x2 – 6x + C
Jawaban: c
Penyelesaian:
∫(x – 2)(x + 3) dx = ∫( x2 + x – 6) dx
1
1
= x3 + x2 – 6x + C
3
2
e.
1 3 1 2
x – x – 6x + C
3
2
3. Ebtanas 1998
Gradien garis singgung kurva pada setiap titik (x, y) dinyatakan oleh
(1, 4), maka persamaan kurva adalah ….
a. y = 2x3  x2 + x + 6
c. y = 2x3  x2 + x + 2
b. y = 2x3  x2 + x + 4
d. y = 3x3  2x2 + x + 2
Jawaban: d
Penyelesaian:
dy
= 6x2 – 2x + 1
dx
  dy =  (6x2 – 2x + 1) dx
 y = 2x3  x2 + x + C
Karena kurva melalui titik (1, 4), maka
4 = 2(1)3 – (1)2 + (1) + C
C=2
Jadi, persamaan kurva adalah y =2x3  x2 +x +2.
dy
= 6x2 – 2x + 1. Jika kurva melalui titik
dx
e. y = 3x3  2x2 + x + 4
4.  sin x sec2 x dx = ….
a. sin x + C
b. cos x + C
c. tan x + C
d. cotan x + C
Jawaban: e
Penyelesaian:
1
sin x 1
.
 sin x sec2 x dx =  sin x
dx = 
dx =  tan x sec x dx = sec x + C
2
cos x cos x
cos x
e. sec x + C
5. Ebtanas 2001
Hasil dari  x 2 x 2  1 dx = ….
3
a.
2x 2  1 + C
2
b.
3
2 2x 2  1
Jawaban: e
Penyelesaian:
+C
c.
d.
2
+C
3 2x  1
2
(2 x 2  1) 2 x 2  1 + C
3
2
e.
1
(2 x 2  1) 2 x 2  1 + C
6
3
Integral
Sikat Habis UN 2014
1
3
1
1
1 2
2
2
2
2
2
 x 2 x  1 dx =  (2 x  1) 2 d(2x + 1) =  (2 x  1) 2 + C = (2x + 1) 2 x  1 + C
6
4
4 3
2
6. UAN 2003
Nilai  x sin (x2 + 1) dx = ….
a. –cos (x2 + 1) + C
c. 2 cos (x2 + 1) + C
1
1
b.  cos (x2 + 1) + C
d.
cos (x2 + 1) + C
2
2
Jawaban: b
Penyelesaian:
1
 x sin (x2 + 1) dx =  sin (x2 + 1) d(x2 + 1)
2
1
=  cos (x2 + 1) + C
2
e. cos (x2 + 1) + C
7. UAN 2002
1
Hasil dari  x2(x – 6) dx = ….
1
a.
–4
b. –
1
2
c. 0
d.
1
2
e.
4 12
e.

Jawaban: a
Penyelesaian:
1
1
1

1
1
 1

2
3
4
3
 x (x – 6) dx =  (x – 6x) dx =  x  2 x  =   2     2  = – 4
 4

4
 1  4
1
1
8. Ebtanas 1999

2
Nilai  cos 2x sin x dx = ….
0
1
12
Jawaban: b
Penyelesaian:
a.


b.

2
4
12
c.

5
12
d.

10
12
11
12

1 2
 cos 2x sin x dx =  (sin 3x – sin x) dx
2 0
0

2
= 1  1 cos 3x  cos x 
2 3
0
1 1
3
  1

 cos    cos 0  cos 0 
 cos
2 3
2
2  3

=
1 
0   
2 
1
= 
3
=
2 

3 
9. UAN 2003

2
Hasil dari  cos x sin2 x dx = ....
0
1
a.
3
Jawaban: a
Penyelesaian:
b.

2

2
0
0
1
2
2
2
 cos x sin x dx =  sin x d(sin x) =
c.
1

3
d.
1

2
e. 

1
1

1
1
[sin3 x] 02 = [sin3
– sin3 0] = [1 – 0] =
3
3
3
3
2
10. UAN 2003
4
Integral
Sikat Habis UN 2014

 x cos x dx = ….
0
a. 2
Jawaban: a
Penyelesaian:
b. 1
c. 0
d. 1
e. 2
Metode Praktis:
Diferensialkan
(+) x
(–) 1
0
Pilih u = x  du = dx
dv = cos x dx  v =  cos x dx = sin x, sehingga


0
0

 x cos x dx = [x sin x] 0 –  sin x dx
Integralkan
cos x
sin x
cos x

 x cos x dx = [x sin x + cos x]
x] 0
= [ sin  – 0] + [cos
= [0] + [cos  – cos 0]
= (1 – 1)
= 2

0
0
= [ sin  + cos] – [0 + cos 0]
= (1 – 1)
= –2
11. Ebtanas 2000
Luas daerah yang dibatasi kurva y = 2x2 – 8 dan sumbu X pada 0 ≤ x ≤ 3 adalah …. satuan luas.
a. 10 23
b. 14 13
c. 15 13
d. 17 23
e. 18 13
Jawaban: c
Penyelesaian:
Luas daerah yang diarsir terdiri dari dua bagian, di bawah sumbu X dan diatas sumbu X, sehingga
2
L1 = –  (2x2 – 3) dx atau L1 =
0
2
 2

=  x 3  8 x 
 3
0
16
=–
+ 16
3
= 10 23
=
Y
10
3
2
luas OABC dan L2 =  (2x2 – 3) dx
3
2
3
2

=  x 3  8x
3
2
2
[(2)(8)]
3
y = 2x2 – 8
= 18 – 24 + 10 23
= 10 23
=4
C
2
2
3
Jadi, luas daerah yang diminta adalah 10 23 + 4 23 = 15 13 satuan luas.
1 O
1
A
X
2
3
B
8
12. UAN 2003
Jika f (x) = (x – 2)2 – 4 dan g (x) =  f (x), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah …satuan
luas.
a. 10 23
b. 21 13
c. 22 23
d. 42 23
e. 45 13
Jawaban: b
Penyelesaian:
Kurva fungsi f (x) = (x – 2)2 – 4 = x2 – 4x dan g(x) = f (x) = 4x – x2 diperlihatkan pada gambar di bawah.
Daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi f dan g.
4
L =  (4x – x2 – x2 + 4x) dx
0
4
=  (8x – 2x ) dx
2
0
4
2 

= 4 x 2  x 3 
3 0

128
= 64 –
3
= 21 13
Metode Praktis:
Persekutuan
antara
parabola
f (x) = (x – 2)2 – 4 = x2 – 4x dan
g(x) = f (x) = 4x – x2 adalah
x2 – 4x = 4x – x2
2x2 – 8x = 0
dengan a = 2, b = –8, c = 0 dan
D = (–8)2 – 4(2)(0) = 64, maka
64 64
D D
L=
=
= 21 13
2
6(2) 2
6a
Y
4
y = x2  4x
O
2
4
X
y = 4x – x2
4
Jadi, luas daerah yang diminta adalah 21 13 satuan luas.
13. Ebtanas 2001
5
Integral
Sikat Habis UN 2014
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva x =
mengelilingi sumbu Y sejauh 360o adalah ...satuan volume.
1
1
7
a.

b.

c.

2
6
48
Jawaban: c
Penyelesaian:
4
2
V =    2
2 y
2

 dy


4
 4 
=   3 
 3y  2
1

48
e.
7

320
4
=   4y – 4 dy
2

4
4 

=   

3
3 
3
(
4
)
3
(
2
)


=
Jadi, volume benda putar yang diminta adalah
C
d.
2
pada interval 2  y  4 diputar
y2
7

48
7
 satuan volume.
48
LATIHAN SOAL
1. Ebtanas 1992
Hasi dari ∫(4x3 + 3x2 + 2x + 1) dx = .…
a. x4 + x3 + x2 + c
d. 4x4 + 3x3 + 2x2 + x +c
4
3
2
b. x + x + x + x + c
e. 12x4 + 6x3 + 2x2 + c
4
3
2
c. 4x + 3x + 2x + c
2. Hasil dari
a.
b.
c.
d.
e.
 (x
x
1
x
)dx  ...
3 2
x +C
2
5 2
1
x x
x C
2
2
2 2
x x 2 x C
5
2 3
x x 2 x C
7
2 2
2
x x  x x C
5
3
3. UN 2004
Gradien garis singgung di sembarang titik pada
suatu kurva ditentukan oleh rumus y = 3x2 – 6x + 2.
Jika kurva tersebut melalui titik (1, –5), maka
persamaan kurvanya adalah ….
a. y = x3 – 3x2 + 2x + 5 d. y = x3 – 3x2 + 2x + 1
b. y = x3 – 3x2 + 2x – 5 e. y = x3 – 3x2 + 2x
c. y = x3 – 3x2 + 2x – 1
4. Ebtanas 1990
3
Nilai dari  (3x  1)( x  1) dx adalah ….
1
a. 34
b. 33
5. UN 2008
4
Hasil
x
1
c. 32
d. 25
2
e. 28
dx = ....
x
a. –12
c. 2
3
d.
2
b. –4
e. –3
6. UN 2007
3
Diketahui  (3x2 + 2x + 1)dx = 25. Nilai
a
1
a = ….
2
6
Integral
Sikat Habis UN 2014
a. –4
b. –2
c. 1
d. 2
e. –1
7.  [1 – sin2 2x] dx = ....
a.
b.
1
1
x – sin 4x + C d.
2
8
1
1
x + sin 4x + C e.
2
8
1
1
x + sin4x + C
2
4
1
1
x + cos4x + C
2
4
c. x + cos2 2x + C
8. UN 2006

3
Nilai

sin 2x dx = ….
0
a.
b.
3
4
1
2
1
4
1
3
c.
d.
e. 0
9. UN 2006

Nilai

sin 2x cos x dx = ….
0
4
3
1
b. –
3
10. Ebtanas 2001
a. –

Hasil
a.
b.
x 2 dx
x3  5
c.
d.
2
3
4
3
e.
1
3
= ....
2 3
x 5 + C
3
1
x3  5 + C
3
d.
e.
1
x3  5 + C
9
1
x3  5 + C
12
1
x3  5 + C
6
11. UN 2006
c.
4
Nilai
2
 x x  9 dx  ....
0
a. 32 2
c. 50 2
3
40 2
3
d. 98 2
e. 41 2
3
3
b.
3
12.  3x2 sin (x3 + 2) dx = ....
a. cos(x3 + 2) + C
d. 9cos(x3 + 2) + C
3
b. – cos(x + 2) + C e. –9cos(x3 +2) +C
1
cos(x3 + 2) + C
2
1
sin
13.  2 x dx = ....
x
1
a. sin + C
x
c.
(UAN 2003)
d. cos
1
+C
x
b. cos x + C
e. cos x2 + C
2
c. sin x + C
14. UN 2008
Hasil dari  cos2 x sin x dx adalah ....
1
1 3
a.
cos3 x + C
d.
sin x + C
3
3
1
b. – cos3 x + C
e. 3 sin3 x + C
3
1
c. – sin3 x + C
3
15. UAN 2003
7
Integral
Sikat Habis UN 2014
 x2 cos x dx = ....
a. x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + C
b. x2 sin x – 2x cos x – 2 sin x + C
c. x2 sin x – 2x cos x + 2 sin x + C
d. x2 cos x + 2x cos x – 2 cos x + C
e. x2 cos x – 2x cos x – 2 cos x + C
16. UAN 2002

 x sin x dx =
....

2


–1
c.
–1
4
2

3
b.
–1
d.
–1
e. – 1
3
2
UAN 2002
Luas daerah arsiran pada gambar di samping adalah
... satuan luas.
Y
a. 5
y = 2x
2
b. 7
3
c. 8
1
d. 9
3
X
0
y = 8 – x2
1
e. 10
3
UN 2007
Luas daerah yang dibatasi oleh kurav y = x2 dan
garis x + y = 6 adalah ….
a. 54 satuan luas
d. 18 satuan luas
5
2
b. 20 satuan luas e. 10 satuan luas
6
3
c. 32 satuan luas
UN 2008
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = –x2 + 4x,
sumbu X, garis x = 1, dan x = 3 adalah ....
2
1
a. 3 satuan luas
d. 9 satuan luas
3
3
1
2
b. 5 satuan luas
e. 10 satuan luas
3
3
1
c. 7 satuan luas
3
UN 2008
Volume benda putar yang terbentuk jika daerah
yang dibatasi oleh kurva x – y2 + 1 = 0, –1  x  4,
dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh
360o adalah … satuan volume.
1
1
a. 8 
c. 12 
2
2
1
1
1
b. 9 
d. 13  e. 11 
2
2
2
UAN 2003
Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x, 0 ≤ x ≤ π
dan sumbu X. Jika daerah D diputar 360o terhadap
sumbu X, maka volume benda putar yang terjadi
adalah ... satuan volume.
a. 2 2
c. 
1 2
1
b.

d.

e.  2
2
2
UN 2007
Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva
y = –x2 + 4 dan y = –2x + 4 diputar 360o
mengelilingi sumbu Y adalah … satuan volume.
a.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
8
Integral
Sikat Habis UN 2014
a. 8π
c.
8
π
3
5
π
4
13
π
d.
e. 4π
2
23. Ebtanas 2001
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva y = –x2 + 4 dan sumbu y = –1
sampai y = 0 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh
3600 adalah ... satuan volume.
a. 16 π
c. 12π
b.
b.
2
π
3
d.
1
π
2
9
2
e. π
SOAL SNMPTN DAN YANG SETIPE
9
Integral
Sikat Habis UN 2014
24. Diketahui f(x) = | x – 1 |
2
 f ( x)dx  ...
Nilai
(SNMPTN 2010)
0
(A) 0
25. Jika
(B) ½ (C) 1
(D) 2
3a
2a
a
a
(E). 4
 f ( x)dx  K , maka  f (5a  2 x)dx 
(A) 2K (B) -2K (C) ½ K (D) – ½ (E). 5K
(SPMB 2006)
26. Perhatikan gambar berikut!
(TO I SSC)
y
2
y = p + qx – x
(3, 2)
(–1, 2)
x
–1
3
2
y = x + ax + b
Luas daerah yang diarsir adalah … satuan luas.
(A) 64
(B) 20 (C) 32
(D)10 (E). 16
3
3
3
27. Diketahui daerah D1 dibatasi oleh y 
1
, y  x , dan
x2
1
1
. Daerah D2 dibatasi oleh y  2 , y  x , dan
2
x
x  2 . Rasio luas D1 dan D2 adalah…(TO II SSC)
x
(A)
(B)
5:8
6:8
x
b
28. Jika
(C) 7 : 8
(D) 3 : 8
(E). 5 : 4

 cos c   dx  c, c  0.
a
 x 
b
 sin 2c dx  ...
(SPMB 2004)
a
(A) -c
(B) – ½ c
(B) ½ (b-a+c)
(C) (b-a+c)
(E). ½ (b-a-c)
2
29.
x
2
 4 dx  ...
(UMB 2008)
2
(A) 64/3 (B) 32/3 (C) 8 (D) 8
(E). 0
30. Jika f(x) = x2, maka luas daerah yang dibatasi y = 4-f(x)
dan, y=4-f(x-4) dan y = 4 adalah …..(SNMPTN 2009)
(A) 12 (B) 16/3 (C) 5 (D) 4 (E). 11/3
31. Daerah D terletak di kuadran I yang dibatasi oleh
parabola y = x2, parabola y = 4x2, dan garis y = 4.
Volume benda putar yang terjadi bila D diputar terhadap
sumbu y adalah …
(Matematika ’96 Rayon A)
a. 3
b. 4
c. 6
d. 8
e. 20
~Good Luck~
By Mr Tt
1
Integral
Sikat Habis UN 2014