- Lumbung Pustaka UNY

PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM TIPE AMERIKA DENGAN PEMBAGIAN
DEVIDEN MENGGUNAKAN FINITE ELEMENT METHOD
Nikenasih Binatari M.Si1 Rosita Kusumawati M.Sc2, Ade Latif. S.Si3
Abstrak
Perubahan harga saham, baik saat harga saham mengalami kenaikan maupun penurunan
harga, dapat dimanfaatkan untuk memperoleh keuntungan. Salah satu instrumen investasi
yang dapat digunakan untuk memperoleh keuntungan dari perubahan harga saham adalah
opsi saham. Selain itu, opsi saham juga dapat digunakan untuk meminimalkan jumlah
kerugian yang mungkin diderita investor. Salah satu kunci untuk memperoleh keuntungan
dari opsi saham tipe adalah ketepatan penentuan harga eksekusi dari opsi saham.
Model Black-Scholes merupakan model yang telah digunakan secara luas sebagai
pendekatan untuk menyelesaikan masalah penentuan harga eksekusi dari opsi saham. Asumsi
model ini adalah saham tidak memberikan pembagian deviden, tidak ada biaya transaksi,
suku bunga bebas resiko, serta perubahan harga saham mengikuti pola random. Sementara
itu, sebagian besar opsi saham yang diperjualbelikan pada kenyataannya membayarkan
deviden. Dikarenakan opsi saham yang paing banyak diperdagangkan adalah opsi saham
tipe Amerika maka tujuan dari penelitian ini adalah menentukan model Black-Scholes harga
opsi saham tipe Amerika dengan pembagian deviden dan selanjutnya, mendekati solusi dari
model tersebut dengan finite element method.
Kata kunci : Opsi tipe Amerika, dividen, Black-Scholes, FEM.
1. PENDAHULUAN
Investasi merupakan penempatan sejumlah dana pada saat ini dengan harapan untuk
memperoleh keuntungan di waktu mendatang. Perkembangan dunia investasi tidak saja
ditunjukkan dengan adanya peningkatan jumlah uang yang diinvestasikan maupun dengan
banyaknya jumlah investor yang berinvestasi, tetapi juga ditunjukkan oleh semakin
banyaknya alternatif alternatif instrumen investasi yang bisa dijadikan pilihan investor untuk
berinvestasi.
Adanya pasar modal, investasi tidak hanya dapat dilakukan pada aktiva riil (real
assets), seperti membangun pabrik, membuat produk baru, menambah saluran distribusi, dan
sebagainya. Investasi juga dapat dilakukan pada aktiva finansial (financial assets), atau
sekuritas seperti membeli sertifikat deposito, commercial paper, saham, obligasi atau
sertifikat reksadana (Suad Husnan 2001:3).
Salah satu instrumen investasi yang telah banyak digunakan investor adalah saham.
Saham sendiri berupa selembar kertas yang menunjukkan hak untuk memperoleh bagian dari
keuntungan sekaligus kepemilikan atas perusahaan yang menerbitkan saham tersebut. Tujuan
perusahaan menerbitkan saham adalah untuk memperoleh modal pengembangan usaha.
1
Dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
3
Alumni Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
2
Perusahaan menawarkan sahamnya kepada investor melalui IPO (Initial Public
Offering) di pasar primer. Setelah saham menjadi milik investor, saham dapat
diperdagangkan kembali di pasar sekunder. Investor memperoleh keuntungan atau kerugian
dari selisih antara harga beli dan harga jual yang terbentuk oleh adanya perubahan harga
saham pada perdagangan saham di bursa saham. Perubahan harga saham dipengaruhi oleh
berbagai macam faktor, beberapa diantaranya adalah faktor-faktor eksternal seperti kondisi
politik, ekonomi, keamanan, psikologis pasar. Faktor-faktor tersebut sulit diprediksi dan
sebagai akibatnya harga saham berubah-ubah secara acak. Apabila harga saham turun hingga
titik nol, investor akan kehilangan seluruh investasi yang dikeluarkan untuk membeli saham.
Perubahan harga saham, baik saat harga saham mengalami kenaikan maupun
penurunan harga, dapat dimanfaatkan untuk memperoleh keuntungan. Salah satu instrumen
investasi yang dapat digunakan untuk memperoleh keuntungan dari perubahan harga saham
adalah opsi saham. Selain itu, opsi saham juga dapat digunakan untuk meminimalkan jumlah
kerugian yang mungkin diderita investor. Menurut Pham (2007:5), opsi saham didefinisikan
sebagai perjanjian atau kontrak antara penjual opsi saham dengan pembeli opsi saham dimana
penjual menjamin adanya hak (bukan suatu kewajiban) dari pembeli opsi saham untuk
membeli atau menjual saham tertentu pada waktu dan harga yang telah ditentukan.
Berdasarkan periode waktu penggunaannya, opsi saham dikelompokkan menjadi dua,
yaitu opsi saham tipe Amerika dan opsi saham tipe Eropa. Opsi saham tipe Amerika adalah
opsi saham yang dapat dieksekusi sebelum waktu kadaluwarsa atau pada waktu kadaluwarsa.
Opsi saham tipe Eropa adalah opsi saham yang bisa dieksekusi hanya pada waktu
kadaluwarsa. Opsi saham yang paling banyak diperdagangkan pada bursa opsi saham adalah
opsi saham tipe Amerika (Hull, 2006:5). Hal ini disebabkan fleksibilitas waktu penggunan
opsi saham tipe Amerika sehingga memungkinkan investor memperoleh keuntungan yang
lebih besar jika dibandingkan opsi saham tipe Eropa.
Investor memiliki kesempatan untuk mendapatkan keuntungan pada setiap situasi
pasar apabila tepat memilih strategi berinvestasi pada kontrak opsi saham. Kunci untuk
memperoleh keuntungan dari opsi saham tipe Amerika adalah ketepatan penentuan harga dan
batas eksekusi opsi saham. Belum ditemukan rumusan eksplisit untuk menentukan harga dan
batas eksekusi opsi saham tipe Amerika. Pada bursa opsi saham, beberapa metode
aproksimasi digunakan untuk menentukan harga opsi saham tipe Amerika (Kang et al,
2008:271).
Salah satu alternatif penentuan harga dan batas eksekusi opsi saham tipe Amerika
yang tepat agar keuntungan maksimal serta terhindar dari resiko kerugian adalah dengan
membangun model matematis opsi saham tipe Amerika. Model Black-Scholes merupakan
model yang telah digunakan secara luas sebagai pendekatan untuk menyelesaikan masalah
tersebut. Nama Black-Scholes diambil dari nama penemu model tersebut, yakni Fisher Black
dan Myron Scholes. Asumsi model ini adalah saham tidak memberikan pembagian deviden,
tidak ada biaya transaksi, suku bunga bebas resiko, serta perubahan harga saham mengikuti
pola random. Sementara itu, sebagian besar opsi saham saham yang diperjualbelikan pada
kenyataannya membayarkan deviden. Oleh karena itu, model Black-Scholes yang akan
dibahas disini adalah tipe Amerika dengan pembagian deviden.
Berbagai macam metode numerik sudah lazim digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial parsial, salah satunya adalah Metode Element Hingga (Finite Elements
Method) disingkat FEM. Sesuai dengan fungsinya, metode ini dapat dibandingkan dengan
metode-metode lain seperti Metode Beda Hingga (Finite Differences Method) disingkat
FDM, Metode Volume Hingga (Finite Volume Method) atau dengan Metode Spektral
(Spectral Method). Pembeda FEM dengan metode-metode lainnya adalah penggunaan
kombinasi dari dua metode, yakni metode variasional dan polinominal aproksimasi
(Gunzburger dan Peterson, 2009:2).
FEM memiliki beberapa kelebihan jika dibandingkan dengan metode numerik lain,
seperti FDM. Diantara kelebihan FEM adalah mudah diaplikasikan pada syarat batas bebas
yang ada pada opsi saham tipe Amerika, selain itu perhitungan solusi meliputi seluruh
domain termasuk titik terisolasi yang biasa ada apabila menggunakan FDM (Topper, 2007:3).
2. PEMBAHASAN
Berbagai model telah dikembangkan untuk menentukan harga teoritis opsi. Model
Black–Scholes adalah model yang dikembangkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes pada
tahun 1973 untuk menentukan harga opsi tipe Eropa berupa persamaan diferensial parsial
berorder dua. Pengembangan model Black-Scholes terus dilakukan sehingga dapat digunakan
untuk menentukan harga opsi tipe Amerika, dan memenuhi asumsi-asumsi yang semakin
mendekati keadaan sebenarnya. Asumsi-asumsi yang digunakan pada model Black-Scholes
adalah sebagai berikut :
i. Volatilitas dan rata-rata pertumbuhan harga saham konstan.
Asumsi yang digunakan adalah volatilitas dan rata-rata pertumbuhan harga saham
konstan sepanjang umur opsi.
ii. Perubahan harga saham bersifat acak
Asumsi yang digunakan adalah perubahan harga saham bersifat acak mengikuti
gerakan Brown.
iii. Suku bunga bebas resiko konstan
Model Black-Scholes menggunakan dua asumsi terkait suku bunga bebas resiko.
Pertama, suku bunga pinjaman dan pemberian pinjaman adalah sama. Asumsi kedua
adalah suku bunga bersifat konstan dan berlaku sama sepanjang umur opsi.
iv. Perdagangan opsi tidak dipungut pajak dan biaya transaksi
Asumsi yang digunakan adalah pada perdagangan opsi tidak dipungut pajak ataupun
biaya transaksi yang meliputi komisi dan spread pada proses perdagangan saham dan
opsi, serta biaya-biaya lain terkait perdagangan opsi.
v. Tidak ada peluang arbitrase bebas resiko
Asumsi ini digunakan pada model Black-Scholes untuk membangun portofolio cegah
resiko yang memuat kontrak opsi dengan saham sebagai aset yang mendasari.
vi. Pembagian dividen bersifat kontinu sepanjang umur opsi
Asumsi yang digunakan adalah dividen dibagikan dengan proporsi tertentu secara
konstan dan kontinu sepanjang umur opsi. Perdagangan opsi bersifat kontinu
Perdagangan opsi diasumsikan dapat dilaksanakan tidak hanya pada jam-jam
perdagangan, namun dapat dilaksanakan sewaktu-waktu. Asumsi ini memungkinkan
opsi tipe Amerika dapat dieksekusi sewaktu-waktu sepanjang umur opsi dengan
mengabaikan jam-jam perdagangan opsi.
Dari asumsi pertama, kedua, keenam dan ketujuh, model harga saham yang memenuhi
asumsi-asumsi tersebut adalah model harga saham
dS
  dt   d W (1)
S
dengan, S merupakan fungsi harga saham atas waktu t , dan µ merupakan rata-rata
pertumbuhan harga saham persatuan waktu , σ volatilitas harga saham, W merupakan
gerakan Brown, dan q adalah proporsi deviden yang dibayarkan .
Harga opsi dinyatakan sebagai fungsi atas harga saham S dan waktu t . Misalkan
fungsi V merupakan fungsi harga opsi, dan T merupakan batas umur opsi, daerah asal
fungsi V adalah
Dv  {( S , t ) : 0  S  , 0  t  T } .
Fungsi V diasumsikan terdifirensial dua kali terhadap S , dan satu kali terhadap t.
Apabila S memenuhi Persamaan (1), maka menurut Lemma Itô diperoleh

V V 1 2 2  2 V 
V
d V  (   q) S

  S
dt   S
d W (2)
2 
S t 2
S 
S

Dalam pembentukan model Black-Scholes, unsur stokastik pada Persamaan (2) dihilangkan
dengan membentuk portofolio berdasarkan strategi cegah resiko. Dibentuk portofolio bernilai
V
lembar.
 yang memuat penjualan satu kontrak opsi dan pembelian saham sebanyak
S
Berdasarkan strategi tersebut, nilai portofolio  pada saat t sebesar
V
  V 
S (3)
S
Dan dari asumsi keenam model Black-Scholes di atas diperoleh perubahan nilai
portofolio dalam waktu singkat adalah,
V
V
d   d V 
dS  qS
dt (4)
S
S
Subtitusi Persamaan (2) ke Persamaan (4), sehingga diperoleh
V
V
d   d V 
dS  qS
dt
S
S
  S

V
V
V
V V 1 2 2  2 V 
dS  qS
dt (5)
d W  (   q) S

  S
dt 
2 

S

S
S

S

t
2

S


Selanjutnya subtitusi Persamaan (1) ke Persamaan (5), diperoleh
 V 1 2 2  2 V
V 
 
  S
 qS
 dt (6)
2

t
2

S

S


Diketahui laju perubahan nilai portofolio proporsional dengan nilai awal portofolio,
dengan konstanta proporsi sebesar tingkat suku bunga bebas resiko konstan r. Sehingga dari
persamaan (3) dapat diperoleh,
V 

d   r V 
S dt (7)
S 

Opsi dapat dieksekusi lebih awal yang mengakibatkan pertumbuhan nilai portofolio yang
memuat opsi menjadi lebih besar atau sama dengan portofolio yang diinvestasikan ke
instrumen bebas resiko dan berkembang sepanjang sisa umur opsi. Dari pilihan tersebut dan
persamaan (6) dan (7) dapat diperoleh hubungan di bawah ini,
 V 1 2 2  2 V
V 
V 


  S

qS
dt  r  V 
S dt

2
S
S 
S 

 t 2

V 1 2 2  2 V
V
  S
 (r  q)
S  r V  0 (8)
2
t 2
S
S
Untuk menyelesaikan Model Black–Scholes Opsi Tipe Amerikadiperlukan kajian
lanjutan mengenai syarat batas dan nilai awal opsi tipe Amerika.
Nilai awal dan Syarat Batas Opsi Tipe Amerika
Didefinisikan C ( S , t ) dan P ( S , t ) berturut-turut sebagai harga opsi beli dan opsi jual pada saat
t dan harga saham S .
1.
Nilai awal dan Syarat Batas Opsi Beli Tipe Amerika
Batas eksekusi opsi beli Sc  t  dapat didefinisikan sebagai
Sc (t )  inf{S | C (S , t )  S  E}
Misalkan fungsi harga opsi V, disubtitusi dengan fungsi harga opsi jual C, sehingga
harga opsi beli memiliki daerah asal Dv. Dv dibagi menjadi kedalam dua daerah oleh batas
eksekusi, yakni daerah kelanjutan (continuation region) dan daerah eksekusi (exercise
region). Harga opsi beli pada Dv dijelaskan pada persamaan Persamaan Jamshidian opsi beli
tipe Amerikayaitu
C 1 2 2  2C
C
  S
 (r  q)
S  rC  (qS  rE ) H (S  Sc (t ))
2
t 2
S
S
Dengan H fungsi heaviside. Selain batas eksekusi, nilai awal dan syarat batas yang harus
dipenuhi adalah sebagai berikut:
a) Pada saat tanggal kadaluwarsa, harga opsi beli memenuhi
C (S , T )  max( S  E,0), 0  S  Smax
b) Pada saat harga saham sama dengan nol, maka harga opsi beli mencapai titik
terendah yakni nol.
C (0, t )  0, 0  t  T
c) Pada saat harga saham mencapai harga maksimal, maka harga opsi beli mencapai titik
tertinggi yakni,
C ( Smax , t )  Smax  E, 0  t  T
Masalah nilai awal dan syarat batas Opsi Beli tipe Amerika adalah
C 1 2 2  2C
C
  S
 (r  q)
S  rC  (qS  rE ) H (S  Sc (t ))
2
t 2
S
S
C (S , T )  max( S  E,0),
0  S  Smax
Sc (t )  inf{S | C ( S , t )  S  E}
Sc (T )  E
C (0, t )  0, 0  t  T
untuk ( S , t )  D .
C ( Smax , t )  Smax  E, 0  t  T
2.
(9)
Nilai awal dan Syarat Batas Opsi Jual Tipe Amerika
Batas eksekusi opsi jual S p  t  dapat didefinisikan sebagai
SP (t )  sup{S | P( S , t )  E  S}
Misalkan fungsi harga opsi V, disubtitusi dengan fungsi harga opsi jual P, sehingga
harga opsi jual memiliki daerah asal Dv. Dv dibagi menjadi kedalam dua daerah oleh batas
eksekusi, yakni daerah kelanjutan (continuation region) dan daerah eksekusi (exercise
region). Harga opsi jual pada Dv dijelaskan pada persamaan Persamaan Jamshidian opsi jual
tipe Amerika yaitu
P 1 2 2  2 P
P
  S
 (r  q) S  rP  (rE  qS ) H ( S  S P (t ))
2
t 2
S
S
Selain batas eksekusi, nilai awal dan syarat batas yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut:
a) Pada saat tanggal kadaluwarsa, harga opsi jual memenuhi
P(S , T )  max( E  S ,0), 0  S  Smax
b) Pada saat harga saham sama dengan nol, maka harga opsi jual mencapai titik
maksimal yakni sebesar harga eksekusi E.
P(0, t )  E , 0  t  T
c) Pada saat harga saham mencapai harga maksimal, maka harga opsi jual sama dengan
nol.
P(Smax , t )  0, 0  t  T
Masalah nilai awal dan syarat batas Opsi Jual tipe Amerika adalah
P 1 2 2  2 P
P
  S
 (r  q)
S  rP  (qS  rE )  H ( Sc (t )  S )
2
t 2
S
S
S p (t )  sup{S | P( S , t )  E  S}
P(S , T )  max( E  S ,0),
S p (T )  E
0  S  Smax
P(0, t )  E , 0  t  T
untuk ( S , t )  D .
P(Smax , t )  0, 0  t  T
(10)
Penyelesaian Model Black-Scholes dengan Pembagian Deviden Menggunakan FEM
Finite Element Methods (FEM) adalah suatu teknik untuk mencari solusi hampiran dari
masalah nilai awal dan syarat batas. Pada metode ini, langkah awal penentuan solusi adalah
merubah masalah nilai awal dan syarat batas ke bentuk weak formulation, kemudian
dilanjutkan dengan membagi domain solusi menjadi sejumlah berhingga subdomain.
Langkah diakhiri dengan mencari solusi hampiran pada setiap subdomain yang diasumsikan
sebagai anggota ruang fungsi tertentu.
Misalkan (0, Smax ) 
dan V  H 01 (0, S max ) adalah ruang Hibert. Diasumsikan solusi
Sistem (3.44) merupakan elemen dari ruang V . Agar memenuhi syarat batas Dirichlet
homogeny pada V , dilakukan transformasi pada harga opsi beli C ( S , t ) sebagai berikut,
U (S , t )  y(S )  C (S , t )
dimana
y(S ) 
Smax  E
S.
Smax
Akibatnya, Sistem (9) menjadi
U 1 2 2  2U
U
  S
 (r  q )
S  rU  F ( S , Sc (t ))
2
t 2
S
S
Sc (t )  inf{S | U (S , t )  U (S , T )}
U (S , T )  y(s)  max(S  E,0),
0  S  Smax
Sc (T )  E
U (0, t )  0, 0  t  T
U ( Smax , t )  0
untuk
.
Didefinisikan operator diferensial
(12)
1
2

L   2 S 2 2  (r  q )
 rI .
2
S
S
Akibatnya diperoleh persamaan
U
 L U  F ( S , Sc (t )) .
t
(13)
Diberikan operasi hasil kali
, 
dalam dalam ruang L2 (0, SM ) yang didefinisikan
dengan
u, v  u(S ), v(S )
[0, Smax ]

Smax
0
u(S )v(S )dS
Mengalikan Persamaan (13) dengan fungsi tes v V , diperoleh
U
, v  LU , v  F, v .
t
(14)
Hasil operasi L U , v dijabarkan sebagai berikut,
LU , v  
2
2
S
U v
U
.
,S
 (r  q   2 ) S
,v  r U,v
S
S
S
(15)
Permasalahan pada Persamaan (13) menjadi mencari U V yang memenuhi Persamaan
(15) untuk v V .
Diberikan N , M   , domain t akan dibagi menjadi N subdomain sedangkan domain
S akan dibagi menjadi M subdomain. Misalkan ukuran tiap interval subdomain t adalah k
dan ukuran tiap interval subdomain S adalah h , akibatnya diperoleh k  T
dan
N
S
. Dipilih Vh sebagai subruang V yang terdiri dari polinominal-polinominal
h  max
M
berderajat satu, kontinu sepotong-sepotong dan jumlahnya berhingga. Subruang Vh terdiri dari
semua fungsi v yang memenuhi
v[ Si1 ,Si ]  P1 ([Si 1 , Si ]), v(0)  v(SM )  0 , v  C[Si 1 , Si ]
Pembagian ruang V menjadi subruang Vh mengakibatkan permasalahan pada Persamaan
(14) berubah menjadi mencari uh Vh sedemikian sehingga
uh
, vh  Luuh , vh  F , vh ,
t
untuk vh Vh . Subruang Vh memiliki basis
(16)
i ( S )i 1
M 1
, sehingga Vh  span{1 ,..., M 1} .
Fungsi i adalah fungsi “hat” dimana i ( S j )   ij untuk setiap i dan j , dengan  ij delta
kronecker.
Fungsi u hj merupakan elemen subruang Vh , sehingga u hj merupakan kombinasi linier
dari basis Vh , yakni
M 1
uhj ( S )    i ji ( S ),
(17)
i 1
Solusi Persamaan (16) pada saat t j cukup dengan menentukan nilai  i j pada Persamaan
(17). Dalam notasi vektor,  i j dapat dinyatakan sebagai
T
 j  1j ,  2j ,...,  Mj 1  .
1. Perhitungan pada saat t N
Batas eksekusi numerik S cN , diperoleh dari batas eksekusi pada saat T , yakni Sc (T )  E
. Agar lebih memudahkan perhitungan, digunakan titik nodal Sl sedemikian sehingga
ScN  Sl
dimana
Sl 1  Sc (T )  Sl ,
l 0,1, 2,..., M  .
Pemilihan
ini
didasarkan
pada
| Sc (T )  ScN | h .
Pada saat T harga U ( S , T ) dapat dihitung menggunakan Persamaan (1.15), sedangkan
solusi hampiran uhN dicari dengan memililih uhN sebagai proyeksi orthogonal dari U ( S , T ) di
ruang Vh . Didefinisikan uhN sebagai
M 1
uhN ( S )    iN i ( S ) .
(18)
i 1
Akibat dari U ( S , T )  V , dengan Teorema Proyeksi Orthogonal diperoleh persamaan
M 1


U
(

,
T
)

iNi  , l  0 .


i 1


(19)
2. Perhitungan pada saat t N 1
Turunan parsial U tehadap t dihampiri menggunakan rumus selisih mundur dua titik
Euler. Hampiran turunan U terhadap t pada saat t N 1 didefinisikan dengan
U ( S , t N 1 ) U ( S , t N )  U ( S , t N 1 )
.
(20)

t
k
Subtitusi hampiran turunan U terhadap t pada Persamaan (20) ke Persamaan (14)
diperoleh
uhN 1  uhN ( S )  k L uhN ( S )  kF ( S , S cN ) ,
(21)
dengan u hN 1 adalah solusi hampiran U N 1 ( S ) V pada subruang Vh . Dipilih fungsi i Vh
sebagai fungsi tes, dan mengalikannya ke kedua ruas Persamaan (21), diperoleh
uhN 1 , i  uhN  k L uhN  kF ( S , ScN ), i
uhN i
uhN
k 2
2
 (1  kr ) u , i 
S
,S
 k (r  q   ) S
, i
2
S
S
S
N
h
k F ( S , ScN ), i .
(22)
Akibat dari
N 1
h
u
M 1
, i    Nj 1  j , i ,
j 1
maka uhN 1 , i dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yakni
uhN 1 , i  A .
Matriks A memiliki entri-entri
i , i 
2h
h
h
, i 1 , i  , i 1 , 1 
3
6
6
Bagian ruas kanan Persamaan (22) yakni
uhN i
uhN
k 2
2
(1  kr ) u , i 
S
,S
 k (r  q   ) S
, i
2
S
S
S
N
h
dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, misalkan matriks B  bij  dengan entri


k 2
bij  (1  kr )  j , i 
S j ,S i
2
S
S
 k (r  q   2 ) S
Didefinisikan
 j
S
, i .
fi N  k F ( S , ScN ), i , untuk i  1, 2,..., M  1 . Ada tiga kemungkinan
harga Si terkait dengan S cN , akibanya nilai f i N menjadi
fi N

k F1 , i [ S S ]
i 1, i 1,


 k F1 , i [ S S ]  k F2 , i
i 1, i ,

k F2 , i [ S S ]

i 1, i 1,
dengan
Si  ScN
[ Si , Si 1, ]
Si  ScN
Si  ScN
F1  qS (
E  Smax
)
Smax
F2  qS (
E  Smax
)  (qS  rE ) .
Smax
Diperoleh
fi N
 
qE 
Si  ScN
k  q 
 hSi ,
Smax 
 
 
2
qEhSi rEh 
  hSi h 
N
  k 
 q 

 , Si  S c
6 
Smax
2 
  2

 k   qE hS  rEh  ,
Si  ScN
i
  Smax

Misalkan f N merupakan vektor kolom sedemikian sehingga
T
f N   f1N , f 2N ,..., f MN1  .
Persamaan (1.29) menjadi
A N 1  B N  f N .
(23)
Matriks A merupakan matriks tridiagonal dominan, sehingga Persamaan (23) dapat
diselesaikan dengan menggunakan berbagai macam metode eliminasi.
Batas ekseskusi pada saat t N 1 ditentukan dengan mendefinisikan parameter relaksasi 
yang dikaitkan dengan k dan h ,  didefinisikan sebagai
 


  maks min  k 2  k  h  ,104 ,108 .
Batas ekseskusi numerik ditentukan sebagai berikut,


ScN 1  min Si  ScN | uhN 1 ( Si )  U (T , S )   .
1i  M 1
3. Perhitungan pada saat t j , j  N  2,...,1, 0
Solusi hampiran U j ( S ) dihitung dengan skema yang hampir sama dengan perhitungan
pada saat t N 1 . Perbedaannya terletak pada penggunaan skema tiga titik untuk hampiran
turunan U terhadap t di titik t j (Kang et al, 2008:279). Persamaan (14) menjadi
uhj  2 ( S )  uhj ( S ) 1
  L uhj  2 ( S )  L uhj ( S )   F ( S , Scj 1 )
2k
2
(24)
dimana uhj  2 dan Scj 1 telah diketahui nilainya dari perhitungan sebelumnya. Dari
Persamaan (24) diperoleh
( I  k L )uhj ( S )  ( I  k L )uhj  2 ( S )  2kF ( S , S cj 1 ) .
(25)
Dipilih fungsi i Vh sebagai fungsi test dan mengalikan i pada kedua ruas Persamaan
(25) diperoleh
( I  k L )uhj , i  ( I  k L )uhj  2 , i  2kF ( S , Scj 1 ), i .
Subtitusi Persamaan (22) ke Persamaan (25) diperoleh
(1  kr ) uhj , i 
j 2
h
 (1  kr ) u
u j 
u j
k 2
S h , S i  k (r  q   2 ) S h , i
2
S
S
S
uhj  2 i
uhj  2
k 2
2
, i 
S
,S
 k (r  q   ) S
, i
2
S
S
S
 (1  kr ) uhj  2 , i 
u j  2 
u j  2
k 2
S h , S i  k (r  q   2 ) S h , i
2
S
S
S
2k F ( S , Scj 1 ), i .
(26)
Ruas kiri Persamaan (26) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yakni
(1  kr ) uhj , i 
u j 
u j
k 2
S h , S i  k (r  q   2 ) S h , i
2
S
S
S
 2 uhj , i  (1  kr ) uhj , i 
k (r  q   2 ) S
u j 
k 2
S h ,S i
2
S
S
uhj
, i
S
  2 A  B  j .
Sedangkan ruas kanan Persamaan (26) menjadi
(1  kr ) uhj  2 , i 
u j  2 
u j  2
k 2
S h , S i  k (r  q   2 ) S h , i
2
S
S
S
2k F ( S , Scj 1 ), i  B j  2  2 f  j 1
T
dengan  j  1j ,  2j ,...,  Mj 1  , untuk j  N  2,..., 2,1, 0 .
Misalkan
f
j 1
  f1 j 1 , f 2j 1 ,..., f Mj 11 
T
dimana
 
qE 
Si  Scj  2
k  q 
 hSi ,
S max 
 
 
2
qEhSi rEh 
  hSi h 
j 1
j 2
fi   k  
 q 

 , Si  S c
6 
Smax
2 
  2

 k   qE hS  rEh  ,
Si  Scj  2
i
  Smax

Persamaan (26) akan menjadi
(2 A  B) j  B j 2  2 f
untuk
j 1
(27)
j  N  2,...,1, 0 . Persamaan (27) dapat diselesaikan dengan menggunakan
berbagai metode eliminasi sehingga diperoleh nilai  j .
Solusi hampiran uh0 ( S ) dan harga opsi pada saat t  0 adalah
C ( Si , 0)  y ( Si )  uh0 ( Si )
Batas eksekusi pada saat j  N  2,...,1, 0 ditentukan sebagai berikut,


Scj  min Si  Scj 1 | uhj ( Si )  uhj 1 ( Si )   .
1i  M 1
Penentuan harga dan batas eksekusi pada opsi jual dapat dilakukan secara analog.
Transformasi harga opsi jual P menjadi
W ( S , t )  y P ( S )  P( S , t )
dimana
yP ( S )  E
Smax  S
.
Smax
B. Simulasi Numerik
Dibentuk algoritma untuk menentukan harga opsi dan batas eksekusi opsi beli tipe
Amerika.
Algoritma 3.1
Untuk menentukan harga opsi beli C (0, S ) dan batas eksekusi opsi beli S c
tipe Amerika
Input : E , T , r , q,  , M , N
Output : C (0, S ) dan S ci atau pesan “error”
Langkah-langkah :
1. Hitung :
1) uhN
2) S cN
2. Hitung :
1) u hN 1
2) S cN 1
3. FOR j  N  2,...,1, 0 DO
1) u hj
2) S cj
3) Hitung C (0, S )
4. C (0, S )  C ( S1 ), C ( S 2 ),..., C ( S M 1 ) 
T
5. STOP
Perhitungan numerik untuk harga dan batas eksekusi opsi tipe Amerika berdasarkan
Algoritma 3.1 dan Algoritma 3.2, menggunakan software Matlab R2010a pada komputer
dengan spesifikasi CPU P4 2.4GHz, RAM 2040MB.
1. Hasil Perhitungan Numerik Opsi Beli
Diperoleh suatu kasus dimana diketahui parameter-parameter input perhitungan sebagai
sebagai berikut : T  1 ,   0.32 , r  0.1, q  0.05 E  10 . Dipilih M  365 dan N  365 .
Sebagian hasil perhitungan harga dan batas eksekusi opsi beli pada saat t  0 , disajikan pada
Tabel 1 berikut,
Tabel 1. Hasil perhitungan numerik opsi beli
S
C
Sc
14.0000
15.0548
15.5342
16.0137
1.1400
1.5775
1.7994
2.0355
21.4795
Dari Tabel 1, diperoleh harga opsi sebesar $1.8 (dengan pembulatan). untuk harga
saham $15.5. Gambar 1 memperlihatkan mesh hasil perhitungan numerik harga opsi beli di
seluruh domain D , sedangkan Gambar 2 memperlihatkan batas eksekusi opsi beli
Gambar 1. Mesh hasil numerik harga opsi beli
Pada Gambar 1, fungsi payoff opsi beli ditunjukan dengan kurva berwarna hitam. Dapat
dilihat bahwa harga opsi beli lebih besar atau sama dengan nilai fungsi payoff opsi beli.
Selain itu, harga opsi beli monoton naik terhadap harga saham, dan monoton turun terhadap
waktu. Pada saat t  0 , kurva harga opsi beli berupa kurva lengkung. Semakin mendekati
tanggal kadaluwarsa kurva harga opsi beli memiliki bentuk mendekati kurva fungsi payoff
opsi beli, sedangkan pada saat t  T , kurva harga opsi beli merepresentasikan fungsi payoff
opsi beli.
22
Batas Eksekusi (Sc)
21
20
19
18
17
16
0
50
100
150
200
Waktu (t)
250
300
350
400
Gambar 2. Plot hasil numerik batas eksekusi opsi beli
Pada domain waktu terdapat 365 titik nodal, sedangkan umur opsi selama satu tahun.
Akibatnya, setiap titik nodal pada domain waktu menunjukkan satu satuan hari. Pada Gambar
2, dapat dilihat perilaku monoton turun dari batas eksekusi opsi beli terhadap waktu, dapat
dilihat pada hari opsi akan dibeli ( t  0 ) sampai opsi berumur 217 hari ( t  217 ), batas
eksekusi opsi bernilai $21.5 (dengan pembulatan). Selanjutnya batas eksekusi opsi akan terus
turun sampai titik terendah, yakni pada tanggal kadaluwarsa opsi ( t  365 ) sebesar $16.
2. Hasil Perhitungan Numerik Opsi Jual
Misalkan pada tanggal 7 Juni 2012 suatu kontrak opsi jual tipe Amerika atas saham
perusahaan ABC dijual seharga $6 dengan masa berlaku opsi selama satu tahun dan harga
eksekusi sebesar $16. Harga saham perusahaan ABC pada tanggal 7 Juni 2012 sebesar
$15.5. Diasumsikan perusahaan ABC membagikan dividen secara kontinu dengan
proporsi konstan sebesar 5%. Dari data historis diketahui harga saham perusahaan ABC
memiliki volatilitas sebesar 0.32, sedangkan suku bunga bebas resiko diketahui sebesar
10%.
Dari data tersebut diketahui parameter-parameter untuk input perhitungan sebagai
berikut : T  1 ,   0.32 , r  0.1, q  0.05 E  10 . Dipilih M  365 dan N  365 .
Sebagian hasil perhitungan yang diperoleh, disajikan pada Tabel 2 berikut,
Tabel 2. Hasil perhitungan numerik opsi jual
S
C
SP
14.0000
15.0548
15.5342
16.0137
6.0298
5.5420
5.3335
5.1327
2.9726
Dari hasil perhitungan yang disajikan pada Tabel 2, diperoleh harga opsi sebesar $5.3
(dengan pembulatan). Oleh karena itu, investor sebaiknya tidak membeli opsi karena harga
opsi di pasar seharga $6, lebih mahal dari harga opsi hasil perhitungan $5.3.
Cputime dari perhitungan menggunakan Algoritma 3.1 adalah 2.0588 detik.
Selanjutnya, Gambar 3 memperlihatkan mesh hasil perhitungan numerik harga opsi jual di
seluruh domain D .
Gambar 3. Mesh hasil numerik harga opsi jual
Pada Gambar 3, fungsi payoff opsi jual ditunjukan dengan kurva berwarna hitam.
Dapat dilihat bahwa harga opsi jual lebih besar atau sama dengan nilai fungsi payoff opsi
jual. Selain itu, harga opsi jual monoton turun terhadap harga saham, dan monoton naik
terhadap waktu. Pada saat t  0 , kurva harga opsi jual berupa kurva lengkung.
Selanjutnya, semakin mendekati tanggal kadaluwarsa kurva harga opsi jual memilki
bentuk mendekati kurva fungsi payoff opsi jual, sedangkan pada saat t  T , kurva harga
opsi jual merepresentasikan fungsi payoff opsi jual.
16
14
Batas Eksekusi (Sp)
12
10
8
6
4
2
0
50
100
150
200
Waktu (t)
250
300
350
400
Gambar 4. Plot hasil numerik batas eksekusi opsi jual
Pada domain waktu terdapat 365 titik nodal, sedangkan umur opsi selama satu tahun.
Akibatnya, setiap titik nodal pada domain waktu menunjukkan satu satuan hari. Pada
Gambar 4, dapat dilihat perilaku monoton naik dari batas eksekusi opsi jual terhadap
waktu, pada hari opsi akan dibel ( t  0 ) sampai opsi berumur 332 hari ( t  332 ), batas
eksekusi opsi bernilai $3 (dengan pembulatan). Selanjutnya batas eksekusi opsi akan terus
naik sampai titik tertinggi, yakni pada tanggal kadaluwarsa opsi ( t  365 ) sebesar $16.
3. KESIMPULAN
1. Penentuan batas eksekusi opsi tipe Amerika model Black-Scholes menggunakan Finite
Elements Method dibagi menjadi beberapa tahap sebagai berikut :
a. Memformulasikan batas eksekusi opsi secara matematis berdasarkan sifat-sifat
yang telah diketahui.
b. Memilih parameter relaksasi untuk mengubah formula batas eksekusi opsi yang
telah diperoleh menjadi formula batas eksekusi opsi numerik.
c. Menentukan batas eksekusi opsi numerik sepanjang umur opsi.
2. Penentuan harga opsi tipe Amerika model Black-Scholes menggunakan Finite Elements
Method dibagi menjadi beberapa tahap berikut :
a. Memodelkan opsi tipe Amerika berdasarkan kerangka pemodelan Black-Scholes.
Model yang diperoleh berupa sistem persamaan yang terdiri atas persamaan
diferensial parsial orde dua nonhomogen, nilai awal dan syarat batas.
b. Mengasumsikan solusi dari sistem sebagai anggota ruang Hilbert. Trasnformasi
sistem agar solusi memenuhi syarat keanggotaan ruang Hilbert. Mengubah model
ke bentuk weak formulation.
c. Mencari solusi hampiran sistem pada subruang berdimensi hingga dengan basis
fungsi hat.
4. DAFTAR PUSTAKA
Gunzburger, Max.D dan Peterson, Janet.S. 2009. Finite Element Methods. Jurnal.
Hull, John. 2006. Option, Futures, and Other Derivative Securities. New Jersey:
Prentice Hall.
Kang, S. Kim dan T. Kwon, Y. 2008. Finite Element Methods for The Price and The
Free Boundary of American Call and Put Option. J.KSIAM Vol 12, No.4.
Pham, Keith. 2007. Finite Element Modelling of Multi-Asset Barrier options.
Desertasi, University of Reading.
Topper, Jürgen. 2005. Option Pricing with Finite Element. Wilmott Magazine.