Teori Aproksimasi - FMIPA Personal Blogs
advertisement
44
Hendra Gunawan
9. Teori Aproksimasi
Mulai bab ini tema kita adalah aproksimasi fungsi dan interpolasi. Diberikan
sebuah fungsi f , baik secara utuh ataupun hanya beberapa nilai di titik-titik tertentu saja, kita ingin memperoleh suatu hampiran untuk f yang mempunyai bentuk
tertentu (misalnya supaya lebih mudah dianalisis) dengan kesalahan yang dapat kita
R1
2
kontrol. Sebagai contoh, ketika kita hendak menghitung 0 e−x dx, kita hampiri integrannya dengan polinom berderajat n (dengan n cukup besar). Dalam konteks
lain, bila kita hanya mengetahui nilai dari suatu fungsi (yang tidak diketahui) di k
buah titik x1 < x2 < · · · < xk , maka kita dapat menghampiri fungsi tersebut dengan
polinom berderajat k − 1 yang ‘menginterpolasi’ k buah titik tadi.
9.1 Masalah Interpolasi
Misalkan V ruang bernorma atas lapangan K (K = R atau C), dan V 0 ruang
dual dari V (yang anggotanya adalah semua fungsional linear f : V → K). Masalah
interpolasi abstrak dapat dirumuskan sebagai berikut. Misalkan Vn adalah subruang
berdimensi n dari V , dengan basis {v1 , . . . , vn }. Misalkan Li ∈ V 0 , 1 ≤ i ≤ n, adalah
n fungsional linear. Diberikan n bilangan ci ∈ K, 1 ≤ i ≤ n, tentukan v ∈ Vn
sedemikian sehingga
Li v = ci , 1 ≤ i ≤ n.
(1)
Pertanyaannya adalah: apakah masalah ini mempunyai solusi? Jika ya, apakah solusinya tunggal? Jika fungsi hasil interpolasi tersebut digunakan sebagai hampiran
untuk suatu fungsi u dengan u(xi ) = ci , 1 ≤ i ≤ n, dapatkah kita menaksir kesalahannya?
Definisi 9.1.1. Fungsional linear Li , 1 ≤ i ≤ n, dikatakan bebas linear pada Vn
apabila
n
X
ai Li (v) = 0 ∀v ∈ Vn =⇒ ai = 0, 1 ≤ i ≤ n.
i=1
Lemma 9.1.2. Fungsional linear Li , 1 ≤ i ≤ n, dikatakan bebas linear pada Vn jika
dan hanya jika
L1 v1 . . . L1 vn
.. 6= 0.
..
det(Li vj ) = det ...
.
.
Ln v1
...
Ln vn
45
Pengantar Analisis Fourier dan Teori Aproksimasi
n
P
Bukti. Pernyataan
ai Li (v) = 0 ∀ v ∈ Vn setara dengan
i=1
n
P
ai Li (vj ) = 0 ∀j ∈
i=1
{1, . . . , n}. Karena itu, L1 , . . . , Ln bebas linear pada Vn jika dan hanya jika
n
X
ai Li (vj ) = 0, 1 ≤ j ≤ n =⇒ ai = 0, 1 ≤ i ≤ n.
i=1
Ini berarti bahwa sistem persamaan linear
L1 v1 . . . Ln v1
a1
..
.. .. =
..
.
.
. .
L1 vn . . . Ln vn
an
0
..
.
0
hanya mempunyai solusi trivial ai = 0, 1 ≤ i ≤ n. Dari pengetahuan aljabar linear
elementer kita tahu bahwa ini terjadi jika dan hanya jika det(Li vj ) 6= 0.
Teorema 9.1.3. Keempat pernyataan berikut ekuivalen:
(i) Masalah interpolasi (1) mempunyai solusi tunggal.
(ii) Fungsional linear L1 , . . . , Ln bebas linear pada Vn .
(iii) Satu-satunya elemen v ∈ Vn yang memenuhi
Li v = 0,
1 ≤ i ≤ n,
adalah v = 0.
(iv) Untuk sebarang data {ci }ni=1 , terdapat v ∈ Vn sedemikian sehingga
Li v = ci ,
Bukti. Dengan menyatakan v :=
n
P
1 ≤ i ≤ n.
aj vj , masalah interpolasi (1) setara dengan
j=1
n
X
aj Li (vj ) = ci ,
1 ≤ i ≤ n,
(2)
j=1
atau
L1 v1
..
.
Ln v1
...
..
.
...
L1 vn
a1
.. .. =
. .
Ln vn
an
c1
..
.
cn
(3)
Karena itu, ekuivalensi keempat pernyataan dalam teorema merupakan akibat dari
teorema tentang sistem persamaan linear M a = c, dengan M matriks n × n, a dan c
vektor di Kn .
46
Hendra Gunawan
n
P
Selanjutnya, diberikan u ∈ V , dapat kita peroleh interpolan v :=
aj vj di Vn
j=1
dengan menyelesaikan masalah
Li v = Li u,
1 ≤ i ≤ n,
yang setara dengan sistem persamaan linear
L1 v1 . . . L1 vn
..
..
..
.
.
.
Ln v1
...
Ln vn
(4)
L1 u
a1
.. = ..
. .
Ln u
an
(5)
Berdasarkan teorema di atas, sistem (5) mempunyai solusi tunggal apabila fungsional
linear L1 , . . . , Ln bebas linear pada Vn .
9.2 Beberapa Contoh
Contoh 9.2.1. Misalkan V := C[a, b], ruang semua fungsi kontinu f : [a, b] → R.
Diberikan n + 1 buah titik x0 , x1 , . . . , xn dengan
a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b,
dan n + 1 buah nilai c0 , c1 , . . . , cn ∈ K, kita tertarik untuk mencari suatu polinom
berderajat n atau lebih rendah, sebutlah pn , sedemikian sehingga
pn (xi ) = ci ,
i = 0, 1, . . . , n.
Masalah ini dikenal sebagai masalah interpolasi Lagrange.
Catat bila ci adalah nilai dari suatu fungsi f ∈ V di titik xi , yakni ci = f (xi ),
maka kita sedang mencari pn ∈ Vn+1 , ruang semua polinom berderajat n atau lebih
rendah, sedemikian sehingga
pn (xi ) = f (xi ),
i = 0, 1, . . . , n.
Di sini, Vn+1 berdimensi n + 1, dengan basis baku vj (x) := xj , j = 0, 1, . . . , n.
Fungsional linear yang terkait dengan masalah ini adalah
Li v := v(xi ),
Dalam hal ini, kita mempunyai
L0 v0 L0 v1
L1 v0 L1 v1
det(Li vj ) = det .
..
..
.
Ln v0
Ln v1
i = 0, 1, . . . , n.
···
···
..
.
L0 vn
L1 vn
..
.
···
Ln vn
= det
x0
x1
..
.
···
···
..
.
xn0
xn1
..
.
1 xn
···
xnn
1
1
..
.
.
Pengantar Analisis Fourier dan Teori Aproksimasi
47
Dengan menggunakan operasi baris elementer pada determinan di atas, dapat ditunjukkan bahwa
det(Li vj ) = Πk>l (xk − xl ) 6= 0.
Karena itu, masalah interpolasi Lagrange mempunyai solusi (tunggal).
Contoh 9.2.2. Misalkan V := C n [0, 1], ruang semua fungsi bernilai real yang mempunyai turunan ke-n yang kontinu pada [0, 1], dan Vn+1 adalah ruang semua polinom
berderajat n atau lebih rendah, dengan basis baku vj (x) := xj , j = 0, 1, . . . , n.
Diberikan n + 1 buah nilai c0 , c1 , . . . , cn ∈ K, tinjau masalah interpolasi
Li u := u(i) (0) = ci ,
i = 0, 1, . . . , n,
dengan u(0) := u dan u(i) menyatakan turunan ke-i dari u, untuk i = 1, . . . , n. Dalam
hal ini, kita mempunyai
L0 v0 L0 v1 · · · L0 vn
1 0 ··· 0
L1 v0 L1 v1 · · · L1 vn
0 1 ··· 0
,
det(Li vj ) = det .
= det . . .
.
.
.
. . ...
..
..
..
..
.. ..
0 0 · · · n!
Ln v0 Ln v1 · · · Ln vn
yang nilainya tidak sama dengan 0. Solusi masalah ini tak lain adalah polinom
MacLaurin berderajat n (atau lebih rendah).
Contoh 9.2.3. Misalkan V := L1 [a, b], ruang semua fungsi bernilai real yang terintegralkan pada [a, b], dan Vn+1 adalah ruang semua polinom berderajat n atau lebih
rendah, dengan basis baku vj (x) := xj , j = 0, 1, . . . , n. Diberikan n + 1 buah nilai
c0 , c1 , . . . , cn ∈ K, tinjau masalah interpolasi
Z 1
Li u :=
xi u(x) dx = ci , i = 0, 1, . . . , n.
0
Di sini, Li u menyatakan momen ke-i dari u pada [a, b]. Karena itu, masalah ini
dikenal sebagai masalah momen pada [a, b]. Dalam hal ini, kita mempunyai
hv0 , v0 i hv0 , v1 i · · · hv0 , vn i
hv1 , v0 i hv1 , v1 i · · · hv1 , vn i
det(Li vj ) = det
,
..
..
..
..
.
.
.
.
hvn , v0 i
hvn , v1 i
···
hvn , vn i
dengan
Z
hvi , vj i :=
b
Z
vi (x)vj (x) dx =
a
b
xi+j dx.
a
Determinan ini dikenal sebagai determinan Gram, yang nilainya tidak sama dengan
0 karena v0 , v1 , . . . , vn bebas linear. Dengan demikian, solusi masalah momen pada
[a, b] dijamin ada (dan tunggal).
48
Hendra Gunawan
9.3 Soal Latihan
1. Buktikan bahwa masing-masing fungsional Li dalam Contoh 9.2.1–9.2.3 bersifat
linear.
2. Buktikan bahwa pada masalah interpolasi Lagrange, det(xij ) = Πk>l (xk − xl ).
x−x
3. Untuk k = 0, 1, . . . , n, definisikan φk (x) := Πj6=k xk −xjj . Tunjukkan bahwa
φk (xi ) = 1 bilaPi = k dan φk (xi ) = 0 bila i 6= k. Selanjutnya tunjukkan
n
bahwa pn (x) := k=0 ck φk (x) merupakan polinom berderajat n atau lebih rendah yang memenuhi pn (xi ) = ci , i = 0, 1, . . . , n.
4. Buktikan bahwa pada masalah momen, det(hvi , vj i) 6= 0.
5. Tentukan polinom p2 yang berderajat 2 atau lebih rendah sedemikian sehingga
Z 1
xi p2 (x) dx = i, i = 0, 1, 2.
0