Geometri Bintang Berotasi Pada Keadaan Ambang

Geometri Bintang Berotasi Pada Keadaan Ambang
Iwan Setiawan dan Muhammad Farchani Rosyid
Kelompok Riset Kosmologi, Astrofisika, dan Fisika Matematika
Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta
e-mail: [email protected]
Diterima 22 Februari 2010, diterima untuk dipublikasikan 1 April 2010
Abstrak
Konfigurasi kesetimbangan mekanis bintang-bintang berotasi ditelaah melalui model Roche. Pada kajian ini rotasi
bintang diperlakukan sebagai rotasi benda tegar, sedangkan geometrinya ditentukan berdasarkan persamaan
equipotensial. Kedaan kritis suatu bintang ditentukan berdasarkan ketiadaan gaya gravitasi total yang
mengimbangi tekanan termodinamis. Dalam hal ini terdapat dua kemungkinan, percepatan gravitasi efektifnya
lenyap atau batas Edington-nya terlampui. Telah ditentukan penampang membujur bintang-bintang berotasi dari
berbagai massa dan kecepatan sudut.
Kata kunci: Bintang berotasi, Keadaan kritis, Kecepatan kritis, Gaya gravitasi efektif
Abstract
The mechanical equilibrium configuration of rotating stars is discussed through Roche model. In our study, the
stars are assumed to rotate rigidly, while their geometry are determined by the use of their equipotential surfaces.
The critical state is achieved by a rotating star, when its total gravitational force vanishes. There are two
posibilities for a star to be in its critical state: either its effective gravitational force vanishes or it exceeds the
Eddington limit. The meridional section of rotating stars of various masses and angular velocity are determined.
Keywords: Rotating stars, Critical state, Critical velocity, Effective gravitational force
banyak digunakan karena lebih mendekati kenyataan
yang ada.
Pada makalah ini, pengaruh rotasi pada
geometri bintang akan dipelajari, terutama bintangbintang yang mencapai ambang kecepatan rotasi
yang pertama. Bentuk tampang bujur bintang-bintang
berotasi sebagai fungsi kecepatan rotasi akan
ditentukan.
1. Pendahuluan
Seperti halnya Bumi, bintang-bintang juga
mengalami rotasi. Seperti telah diketahui, akibat
adanya rotasi, jejari equatorial Bumi 21,4 km lebih
panjang daripada jejari kutubnya (Maeder, 2009).
Untuk bintang yang berotasi dengan kecepatan sudut
yang tinggi, jejari katulistiwanya bahkan dapat
mencapai 1,5 jejari kutub (Ekstrom dkk, 2008). Hal
ini menunjukkan bahwa rotasi cukup berpengaruh
pada bintang. Mekanisme kesetimbangan pada
bintang yang berotasi sudah dipelajari sejak lama.
Beberapa model telah dikembangkan, semisal model
Mclaurin, yang menganggap kerapatan bintang tetap
dan model Roche yang beranggapan sebaliknya
(kerapatan yang tidak tetap). Terdapat perbedaan
yang cukup mencolok antara kedua model ini. Dalam
model
Mclaurin,
perubahan
mekanisme
kesetimbangan terjadi pada rotasi yang tinggi. Nilai
maksimum kecepatan sudut (dianggap rotasi benda
tegar) adalah Ω2max= 0,4494Gπρ (Maeder, 2009).
Pada kenyataan, ketidakstabilan akan terjadi sebelum
mencapai batas kecepatan sudut ini. Pada model
Roche dengan Ω seragam (bintang dianggap sebagai
rotasi benda tegar), perubahan kesetimbangan juga
akan terjadi, dan didapatkan bahwa perbandingan
antara jejari kutub dan jejari equatorial akan
mencapai 2/3 pada kecepatan sudut maksimum, yaitu
0,7215Gπ ρ , dengan ρ adalah kerapatan rata-rata.
Pendekatan dengan model Roche biasanya lebih
2. Kesetimbangan Hidrostatik Pada Rotasi Benda
Tegar
Jika ditinjau dari kerangka acuan yang
berotasi bersama bintang, persamaan Navier-Stokes
untuk material bintang berbentuk
dv′ dv 1
=
− ∇P + v∇ 2 v′ − Ω × (Ω × r )
dt
dt ρ
dΩ
−
× r − 2Ω × v,
dt
(1)
dengan v viskositas, P tekanan, dan Ω kecepatan
sudut. Jika sistem dianggap berada dalam
kesetimbangan hidrostatik, dan viskositas diabaikan
(dianggap sangat kecil), serta kecepatan sudut setiap
bagian bintang dianggap seragam (rotasi benda
tegar), maka akan didapatkan persamaan,
0 = −∇Φ −
1
ρ
∇P − Ω × (Ω × r ′) − 2Ω × v ′ ,
(2)
dengan -∇Ω percepatan gravitasi sendiri. Jika Vs
didefinisikan sebagai potensial setrifugal, dengan
107
Setiawan dan Rosyid, Geometri Bintang Berotasi Pada Keadaan Ambang
1
V = − Ω 2ϖ 2 ,
2
(3)
dan ϖ = r sin θ jarak titik yang ditinjau dari sumbu
rotasi maka didapat persamaan
1
ρ
∇P = −∇Ψ = g ef ,
(4)
dengan
Ψ (r ,θ ) = Φ (r ) + V (r ,θ ) =
(5)
GM r 1 2 2 2
−
− Ω r sin θ
r
2
adalah potensial efektif yang memenuhi persamaan
Poisson ∇ 2 Ψ = 4πGρ − 2Ω 2 , dengan Mr massa
bagian bintang yang berada di dalam bola berjejari r
yang berpusat di pusat bintang. Karena berlakunya
persamaan (4), bintang dikatakan berada dalam
keadaan barotropik (Maeder, 2009), yakni, daerah
dengan nilai potensial yang sama (equipotensial)
memiliki tekanan yang sama, P = P(Ψ).
Permukaan
bintang
adalah
daerah
ekipotensial, yakni Ψ = tetapan. Andaikan kita tinjau
sebuah bintang dengan massa total M dan R(θ) jejari
bintang itu pada kolatitud θ. Karena gaya sentrifugal
di daerah kutub bernilai nol, maka potensial pada
kutub bintang itu adalah –GM/Rp, dengan Rp jejari
kutub bintang. Oleh karenanya, nilai potensial di
berbagai tempat di permukaan bintang itu adalah
GM
GM 1 2
=−
− Ω R (θ ) 2 sin 2 θ .
Rp
R (θ ) 2
(6)
Jika er dan eθ merupakan vektor satuan dalam
arah radial dan arah bujur, maka vektor
percepatan gravitasi efektif pada permukaan
bintang dari persamaan (5) dapat dituliskan
sebagai
⎡ GM
⎤
g ef = ⎢−
+ Ω 2 R(θ ) sin 2 θ ⎥e r
2
⎣ R(θ )
⎦
[
]
(7)
3. Teorema Von Zeipel dan Faktor Edington
Teorema von Zeipel menyatakan hubungan
antara fluks radiasi pada kolatitud θ di permukaan
bintang yang berotasi dengan percepatan gravitasi
efektif lokal (Maeder dan Meynet, 2000). Jika kita
tinjau bintang yang berotasi seperti rotasi benda
tegar, fluks radiasi dapat dituliskan sebagai
(8)
dengan
χ=
4acT 3
.
3κρ
(9)
Karena bintang berada dalam keadaan barotropik,
maka
dT
dT
g ef . (10)
∇P (Ω,θ ) = − ρχ
dP
dP
Dengan demikian, dari hubungan antara luminositas
bintang dan fluks radiasi, didapatkan
F (Ω, θ ) = −
L
g ef (Ω, θ ) ,
4πGM *
(11)
⎞
⎟,
⎟
⎠
(12)
dengan
⎛
Ω2
M * = M ⎜1 −
⎜ 2πGρ
m
⎝
dan ρm rapat massa rata-rata bahan pada permukaan
bintang itu.
Pada bintang yang berotasi, percepatan
gravitasi total bintang merupakan penjumlahan
beberapa percepatan : percepatan gravitasi murni,
percepatan sentrifugal, dan percepatan oleh tekanan
radiasi (Maeder dan Meynet, 2000). Hal ini
dinyatakan dalam persamaan berikut
g tot = g ef + g rad = g gr + g rot + g rad ,
(13)
dengan grad diberikan oleh
g rad =
1
ρ
∇Prad =
κ (θ )F
c
.
(14)
Faktor κ(θ) adalah kekedapan bahan pada kolatitud θ.
Dengan memanfaatkan persamaan (11) dan (13),
persamaan berikut didapatkan
⎡ κ (θ ) L( P ) ⎤
g tot = g ef ⎢1 −
⎥.
⎣ 4πcGM * ⎦
(15)
Pada persamaan ini, efek rotasi muncul pada gef dan
pada ungkapan di dalam kurung. Jika kita tinjau batas
fluks secara lokal, yaitu keadaan dengan gtot = 0
[Maeder dan Meynet, 2000], maka grad = - gef. Batas
fluks, oleh karena itu, diberikan oleh
Flim (θ ) = −
+ Ω 2 R(θ ) sin θ cos θ eθ .
F (Ω, θ ) = − χ∇T (Ω, θ ) ,
F (Ω, θ ) = −
108
c
κ (θ )
g ef (θ ) .
(16)
Dari persamaan ini, jika faktor Edington lokal ΓΩ(θ)
didefinisikan sebagai nisbah (rasio) antara besarnya
fluks sebenarnya dengan besarnya fluks batas lokal,
maka didapatkan
ΓΩ (θ ) =
κ (θ ) L( P)
⎛
Ω2
4πcGM ⎜⎜1 −
⎝ 2πGρ m
⎞
⎟
⎟
⎠
.
(17)
Jika tidak, bintang tidak mengalami rotasi (yakni jika
Ω bernilai 0), maka ΓΩ(θ) akan sama dengan faktor
Edington Global Γ. Persamaan (15), selanjutnya,
dapat ditulis sebagai
g tot = g ef [1 − ΓΩ (θ )] .
(18)
Persamaan ini mengungkapkan bahwa pada bintang
yang berotasi, percepatan gravitasi total dipengaruhi
oleh percepatan gravitasi efektif gef (yang melibatkan
109 JURNAL MATEMATIKA DAN SAINS, DESEMBER 2010, VOL. 15 NOMOR 3
ungkapan tentang kecepatan rotasi bintang) dan oleh
luminositas bintang.
4. Keadaan Ambang Pertama
Melalui ungkapan persamaan (18), keadaan
ambang (kritis) dapat diperkirakan. Pada keadaan
kritis ini percepatan gravitasi total lenyap sehingga
tidak ada lagi percepatan atau gaya yang
mengimbangi tekanan termal dari dalam bintang.
Akibatnya, bahan-bahan bintang akan lari (buyar).
Hal ini tentu saja mengakibatkan persamaan (18)
akan mempunyai dua akar, yaitu gef = 0 atau ΓΩ(θ) =
1. Keadaan ini mengakibatkan adanya batas (limit)
tertentu pada kecepatan rotasi bintang, selain
bergantung pada beberapa parameter lain seperti
massa bintang dan jejari bintang. Keadaan gtot = 0
juga akan memberikan adanya batas pada luminositas
bintang sebagaimana dijelaskan di atas, yang disebut
sebagai Batas Eddington (Meynet, 2008). Keadaan
ambang gef = 0 akan dinamakan keadaan ambang
pertama, sedangkan keadaan pada ΓΩ(θ) = 1, disebut
keadaan ambang kedua. Tentang akibat fisis ataupun
geometris keadaan ambang kedua ini bukan
merupakan bahasan dalam makalah ini. Masalah
tersebut telah didiskusikan secara rinci dalam
(Maeder dan Meynet, 2000).
Kedaan ambang gtot = 0 menurut persamaan
(7) diperoleh hanya pada wilayah katulistiwa
(θ=π/2)). Keadaan ini memberikan ungkapan
2
Ω krit
=
GM
Re3,krit
,
(19)
dengan Re,krit jeari-jari bintang di ekuator ketika
keadaan kritis itu. Jika faktor f didefinisikan sebagai
nisbah Re/Rp antara jari-jari ekuator dan jari-jari
kutub untuk sembarang kecepatan sudut, maka secara
umum didapat
Ω
⎛3⎞
=⎜ ⎟
Ω krit ⎝ 2 ⎠
3/ 2
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ R p , krit
⎜
⎜ Rp
⎝
3/ 2
R (θ )3 −
2GM
2
Ω R p sin 2 θ
R (θ )
(23)
2GM
+
= 0.
Ω 2 sin 2 θ
Persamaan ini memperlihatkan bahwa jejari bintang
yang berotasi, sebagai fungsi sudut kolatitud,
memenuhi persamaan polinom pangkat tiga yang
bergantung kepada berbagai hal : tetapan gravitasi
(G), massa bintang (M), jejari polar (Rp), serta
parameter kecepatan rotasi bintang itu sendiri (Ω).
Jika jejari bintang (R(θ)) dievaluasi pada semua
sudut kolatitud maka akan didapatkan bentuk
penampang bintang yang berotasi.
Memanfaatkan
beberapa
data
yang
menyebutkan tentang parameter-parameter di atas,
penampang membujur sebuah bintang dengan
kecepatan rotasi tertentu akan dapat digambarkan
dengan terlebih dahulu menyelesaikan persamaan
pangkat tiga untuk jejari bintang, persaman (23).
Persamaan (23) dapat ditulis dalam bentuk
R (θ ) 3 − AR (θ ) + B = 0 ,
(24)
dengan
A=−
2GM
2
Ω R p sin 2 θ
dan
B=−
2GM
Ω 2 sin 2 θ
.
Tabel 1. Parameter-parameter Bintang Berotasi
dengan Massa 1 M~ [Roxburg, 2004]
1/ 2
⎛ 2( f − 1) ⎞
⎟
⎜
⎜ f3 ⎟
⎠
⎝
. (20)
Dengan pendekatan Rp,krit = Rp, yakni tidak ada
perubahan pada jari-jari kutub, didapat
Ω
⎛3⎞
=⎜ ⎟
Ω krit ⎝ 2 ⎠
3/ 2
1/ 2
⎛ 2( f − 1) ⎞
⎜
⎟
⎜ f3 ⎟
⎝
⎠
.
(21)
Dari persamaan terakhir ini tampak bahwa f = 3/2
pada saat Ω = Ωkrit.
Jika v kecepatan singgung di ekuator, maka
v
vkrit
1/ 3
⎛ Ω
⎞
= ⎜⎜
2( f − 1) ⎟⎟
⎝ Ω krit
⎠
.
(22)
5. Geometri Bintang Pada Berbagai Nilai
Kecepatan Sudut
Hendak ditinjau kembali persaman permukaan
bintang sebagai daerah equipotensial, yakni
persamaan (6). Persamaan tersebut dapat dituliskan
sebagai
Persamaan ini merupakan persamaan polinom
pangkat tiga dengan paramater yang lebih sederhana,
yang jika diselesaikan dengan metode NewtonRaphson dan dengan menggunakan data pada Tabel
1, akan didapatkan jejari bintang R(θ) pada kolatitud
θ. Dalam Table 1 itu, α = Ω2 Re3/GM, s adalah jarak
dari pusat bintang ke permukaan ekipotensial, dan k
adalah bilangan pada polinom Legendre. Perhitungan
dengan cara itu menghasilkan Tabel 2, dengan
G = 3,8×10
−7
R3
M s2
.
Setiawan dan Rosyid, Geometri Bintang Berotasi Pada Keadaan Ambang
110
Tabel 2. Jejari Bintang 1 M~ dengan Ω 10−4 rad/s.
Dari tabel 2 diperoleh tampang bujur bintang
tersebut, sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 1
Gambar 2. Penampang Bintang 1 M~
beberapa nilai Ω
untuk
Gambar 3. Penampang bintang 5 M~ untuk
beberapa Ω
Gambar 1. Tampang bujur Bintang berotasi 1 M~
dengan Ω = 10−4 rad/s.
Hasil perhitungan untuk bintang bermassa 1
M~ dalam berbagai kecepatan sudut rotasi diberikan
oleh Gambar 2. Untuk bintang bermassa 1 M~
dengan kecepatan sudut rotasi Ω = 4,6 x 10−4 rad/s
didapatkan bentuk penampang bujur yang melancip
sepanjang lingkar katulistiwa. Kecepatan rotasi ini
merupakan kecepatan yang mendekati kecepatan
sudut kritis. Terlihat bahwa peningkatan kecepatan
sudut rotasi akan menyebabkan terjadinya perubahan
tampang bujur bintang, sebagaimana diperlihatkan
pada Gambar 2. Untuk bintang berotasi dengan
massa yang yang lain didapatkan bentuk tampang
bujur sebagaimana pada gambar 3 dan gambar 4.
Gambar 4. Penampang bintang 10 M~
beberapa nilai Ω
untuk
Dari beberapa gambar diatas terlihat bahwa,
meningkatnya kecepatan rotasi akan merubah
kesetimbangan bintang, yang ditandai dengan
penurunan jejari polar dan meningkatnya jejari
katulistiwa. Pada Gambar (3) dan (4), didapatkan
bentuk penampang bujur bintang yang semakin
melancip di katulistiwa karena seiring peningkatan
111 JURNAL MATEMATIKA DAN SAINS, DESEMBER 2010, VOL. 15 NOMOR 3
kecepatan sudut rotasi. Penampang bintang yang
paling melancip pada ujung-ujungnya ini merupakan
penampang bintang dengan kecepatan rotasi yang
sudah mencapai kecepatan kritis, ini dapat dibuktikan
dengan nilai perbandingan antara jejari equatorial dan
jejari polar yang telah mencapai 3/2.
6. Geometri Bintang pada Kecepatan Sudut
Ambang
Meningkatnya
kecepatan
rotasi
akan
memengaruhi kesetimbangan bintang. Jika kecepatan
rotasi mencapai nilai ambang, maka jejari bintang
dikatakan juga pada keadaan ambang. Persamaan
jejari bintang pada kecepatan ambang dapat
dituliskan menjadi
Rk (θ )3 −
+
2GM
Ω k2 R p , k
sin 2 θ
2GM
Ω k2 sin 2 θ
Rk (θ )
(25)
= 0,
Gambar 6. Penampang bintang 20 M~ dengan Ωk =
1,28 x 10−4 rad/s
dengan Rk(θ) jejari jejari bintang pada keadaan kritis,
k kecepatan sudut bintang pada keadaan ambang,
serta Rp,k jejari polar pada keadaan ambang. Jika kita
gunakan ungkapan pada persamaan (19), maka
persamaan (25), dapat dituliskan menjadi
Rk (θ ) 3 −
27 R 2p ,k
Rk (θ ) +
27 R 3p , k
= 0 . (26)
4 sin 2 θ
4 sin 2 θ
Persamaan ini diselesaikan dengan metode yang
sama dengan yang sebelumnya, dengan terlebih
dahulu menentukan nilai Rp,k. Ungkapan untuk Rp,k
didapatkan dari persamaan (19) dan bantuan datadata yang diperoleh dari (Meynet and Maeder, 1996).
Hasil-hasil perhitungan untuk beberapa variasi massa
bintang diperlihatkan pada Gambar 5, 6, dan 7.
Gambar 7. Penampang bintang 60 M~ dengan Ωk =
8,26 x 10−5 rad/s
Dari beberapa gambar terlihat bahwa pada
keadaan kritis, dengan kecepatan rotasi bintang yang
juga berada pada kecepatan ambang, bentuk
penampang bintang akan memipih, dengan ujungujung pada daerah khatulistiwa berbentuk lancip.
Keadaan seperti ini disebabkan pada keadaan ambang
di daerah katulistiwa gravitasi efektif bernilai nol,
sehingga material dalam bintang yang sebelumnya
berada dalam kesetimbangan hidrostatik (tekanan
hidrostatik diimbangi oleh gravitasi), akan menuju
keluar, karena tidak ada lagi gravitasi yang
menahannya.
Gambar 5. Penampang bintang 9 M~ dengan Ω k =
1,684 x 10−4 rad/s
7. Simpulan
Kecepatan sudut rotasi bintang sangat
berpengaruh pada bentuk tampang bujur bintang itu.
Tampang bujur bintang pada kecepatan ambang
pertama sangat khas. Jika kecepatan sudut rotasi
bintang melampaui kecepatan ambang pertama, maka
Setiawan dan Rosyid, Geometri Bintang Berotasi Pada Keadaan Ambang
kesetimbangan hidrostatis pada bintang akan
dilanggar, yakni tidak ada lagi kesetimbangan
hidrostatik sehingga material dalam bintang yang
sebelumnya berada dalam kesetimbangan hidrostatik
(tekanan hidrostatik diimbangi oleh gravitasi), akan
menuju keluar, karena tidak ada lagi gravitasi yang
menahannya.
Daftar Pustaka
Ekstrom, S., G. Meynet, A. Maeder, and F. Barblan,
2008, Evolution Towards the Critical Limit
and
the
Origin
of
Be
Stars,
arXiv:0711.1735v1.
Maeder, A., 2009, Physics, Formation and Evolution
of Rotating Stars, Springer, Verlag Berlin
Heidelberg, Germany, 22-80.
112
Maeder, A. and G. Meynet, 2000, The Eddington and
Ω-Limits, the rotational mass loss for OB
and LBV stars, Astronomy & Astrophysics,
361, 159-166.
Meynet, G. and A. Maeder, 1996, The Computational
Method and Inhibiting Effect of the µGradient, Astronomy & Astrophysics, 321,
465-476.
Meynet, G., 2008, Physics of Rotation in Stellar
Models, arXiv:0801.2944v1.
Roxburgh, I.W, 2004, 2-Dimensional Models of
Rapidly Rotating Stars, Uniformly Rotating
Zero Age Main Sequence Stars, Astronomy
& Astrophysics, 428, 171-179.