geometri - WordPress.com

DI SUSUN OLEH
 ROMY NOVIYANTI
( 11321401 )
 MUNICA MERLINDA ( 11321407 )
 NOVI SULASTRI
( 11321428 )
 RW. EKA S.
( 11321429 )
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PONOROGO
JL. BUDI UTOMO NO. 10 Telp. (0352) 481124
PONOROGO
GEOMETRI
Geometri berasal dari kata Yunani geo dan metrie. Geo berarti tanah, dan metrie
berarti pengukuran.
Geometri cabang matematika yang mempelajari titik, garis,bidang,dan benda
benda ruang tentang sifat dan ukuran- ukurannya serta hubungannya.
PENGERTIAN PANGKAL
DEFINISI
POSTULAT/AKSIOMA
DALIL
DALIL
Euclides dari Aleksandria kira kira 300 SM dalam bukunya pertama dimulai
dengan 23 definisi ,5 postulat, 10 aksioma dan 48 dalil.
DEFINISI- DEFINISI:
1.
Titik ialah yang tidak mempunyai bagian
2.
Garis ialah panjang tanpa lebar
3.
Ujung ujung suatu garis yang terletak rata dengan titik titik padanya.
4.
Suatu garis lurus ialah garis yang terletak rata dengan titik titik padanya
5.
Suatu bidang ialah hanya mempunyai panjang dan lebar
6.
Ujung ujung suatu bidang adalah garis
7.
Suatu bidang datar ialah suatu bidang yang terletak ratta dengan garis garis
padanya
8.
Suatu sudut datar ialah inklinasi ( kemiringan) sesamanya dari dua garis
dalam satu bidang datar yang bertemu dan tidak terletak pada suatu garis lurus
9.
Dan jika garis garis yang memuat sudut itu lurus , maka sudut itu disebut
sudut garis lurus
10. Jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus dan membuat sudut yang
besisian sama, masing- masing sudut ini disebut siku- siku dan garis yang
berdiri pada garis lainnya tadi di segbut tegak lurus pada garis lain.
11. Suatu sudut tumpul ialah sudut yang lebih besar dari suatu sudut siku-siku.
12. Suatu sudut lancip ialah sudut yang lebih kecil dari suatu sudut siku-siku
13. Suatu batas ialah ujungnya(akhirnya) sesuatu.
14. Suatu bangun ialah sesuatu yang termuat dalam suatu batas atau beberapa
batas.
15. Suatu lingkaran ialah suatu bangun datar yang termuat dalam satu garis
sedemikian, hingga semua garis lurus yang melalui satu titik dalam bangun itu
dan mengenai garis tadi sama panjangnya.
16. Dan titik itu disebut titik pusat lingkaran.
17. Suatu garis tengah dari lingkaran ialah sembarang garis lurus yang melalui
titik pusat dan pada kedua arahnya berakhir pada keliling lingkaran dn garis
semacam itu membagi dua sama lingkaran itu.
18. Suatu setengah lingkaran adalah bangun yang termuat dalam suatu garis
tengah dan keliling lingkaran yang terbagi oleh garis tengah itu. Titik pusat
setengah lingkaran sama dengan titik pusat lingkaran.
19. Bangun-bangun garis lurus ialah bangun bangun-bangun yang termuat dalam
(dibatasi oleh) garis-garis lurus. Bangun-bangun trilateral ialah yang dibatasi
oleh tiga, quatwral dibatasi oleh empat dan multilateral dibatasi oleh lebih
dari empat garis.
20. Dari bangun-bangun trilateral (sisi tiga), suatu segitiga sama sisi ialah yang
mepunyai tiga sisi sama, suatu segitiga sama kaki ialah yang hanya dua
sisinya sama dan suatu segitiga miring ialah semua sisinya tidak sama.
21. Selanjutnya dari bangun- bangun segitiga, suatu segitiga siku-siku ialah yang
mempunyai suatu sudut siku-siku, suatu segitiga tumpul yang mempunyai
suatu sudut tumpul dan suatu segitiga lancip yang ketiga sudutnya lancip.
22. Dari bangun-bangun sisi empat , suatu bujur sangkar ialah yang sama sisi dan
bersudut siku-siku, suatu empat persegi panjang ialah yang bersudut siku-siku
tetapi tidak sama sisi,suatu belah ketipat ialah yang sama sisi, tetapi tidak
bersudut silu-siku, suatu jajaran genjang ialah nyang sisinya dan sudutsudutnya yang berhadapan sama , tetapi tiak dama sisindan tidak bersudut
siku-siku. Sisi empat yang lain dari ini semua disebit trapezium.
23. Garis garis lurus parallel (sejajar) ialah garis-garis lurus yang terletak dalam
suatu bidang datar dan jika diperpanjang tak terbatas pada kedua arahnya
tidak akan bertemu pada arah yang manapun.
POSTULAT-POSTULAT
1.
Menarik garis lurus dari sembarang titik ke sembarang titik yang lain.
2.
Memperpanjang suatu ruas garis secara kontinu menjadi garis lurus.
3.
Melukis lingkaran dengan sembarang titik pusat dan sembarang jarak.
4.
Bahwa semua sudut siku-siku adalah sama.
5.
Bahwa, jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudutsudut dalam sepihak kurang dari sudut siku-siku, kedua garis itu jika
diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam
sepihak kurang dari dua sudut siku-siku.
AKSIOMA-AKSIOMA (“COMON NOTIONS”)
1.
Benda-benda yang sama dengan suatu benda yang sama , satu sama lain juga
sama.
2.
Jika sesuatu yang sama di tambah dengan sesuatu yang sama ,jumlahnya
sama.
3.
Jika sesuatu yang sama di kurangi dengan sesuatu yang sama , sisanya sama.
4.
Benda-benda yang berimpit satu sama lain , satu sama lain sama.
5.
Seluruhnya lebih besar dari bagiannya.
6.
Suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya.
7.
Setiap sudut mempunyai garis bagi.
8.
Setiap segmen garis mempunyai titik pertengahan .
9.
Setiap garis dapat diperpanjang sehingga sama dengan ruas garis yang
diketahui.
10. Semua sudut siku-siku adalah sama(semua sudut lurus adalah sama).
TEOREMA - TEOREMA
TEOREMA 1
SUDUT-SUDUT BERTOLAK BELAKANG SAMA BESAR
Diketahui : dua garis A,B berpotongan di O
Buktikan : ∠O1 = ∠ O3
∠O2 = ∠ O4
Bukti :
definisi 9 : garis – garis yang memuat sudut itu lurus, maka sudut itu disebut
sudut lurus
∠ O1 + O2
=
sudut garis lurus
∠O2 +∠ O3 =
sudut garis lurus
∠O3 + ∠ O4 =
sudut garis lurus
∠O4 +∠ O1 =
sudut garis lurus
aksioma 1 : Benda-benda yang sama dengan suatu benda yang sama , satu
sama lain juga sama.
∠O1 + ∠O2 =∠ O2 +∠ O3
aksioma 3 : Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama ,
sisinya sama
Kedua ruas dikurangi dengan ∠O2
∠O1 =∠ O3 (Terbukti)
aksioma 1 : Benda-benda yang sama dengan suatu benda yang sama , satu
sama lain juga sama.
∠O4 +∠O1 =∠ O1 + ∠O2
aksioma 3 : Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama ,
sisinya sama.
Kedua ruas di kurangi dengan ∠O1
∠O4 =∠ O2 (Terbukti)
TEOREMA 2
MELUKIS SEBUAH SEGITIGA SAMA SISI PADA SEBUAH GARIS
TERBATAS YANG DIKETAHUI.
Diketahui : garis AB
Buktikan : Buatlah segitiga sama sisi
Buktikan bahwa sisi sisinya sama
Bukti :
Postulat 3. Membuat lingkaran yang berpusat di A berjari-jari di B
Postulat 3. membuat lingkaran yang berpusat di B dan berjari – jari di A
Postulat 1. Tarik garis dari titik A ke titik B
Postulat 1. Tarik garis dari titik B ke titik C
Postulat 1. Tarik garis dari titik A ke titik C
Berdasarkan lingkaran tersebut di peroleh :
AB adalah jari – jari lingkaran yang berpusat di A
AC adalah jari – jari lingkaran yang berpusat di A
Jadi AB = AC ( aksioma I)
BA adalah jari – jari lingkaran yang berpusat di B
BC adalah jari – jari lingkaran yang berpusat di B
Jadi BA = BC ( aksioma I)
Dapat disimpulkan AB = AC = BC ( aksioma I )
Maka terbukti ABC adalah segitiga sama sisi
TEOREMA 3
DUA BUAH SEGITIGA MEMPUNYAI DUA SISI DAN SUDUT APITNYA
YANG SAMA, MAKA SISI KETIGANYA ADALAH SAMA
Diketahui : dua buah segitiga yaitu ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐹
AC = PR
AB = PQ
∠𝐴 = ∠𝑃
Buktikan BC = QR ?
Bukti :
menggunakan kontradiksi
Andai BC ≠ QR maka kemungkinannya BC > QR atau BC < QR
Andai BC > QR
Aksioma 6. suatu gambar geometri dapat di pindah tanpa mengubah bentuk dan
besarnya
Aksioma 4. benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama
∆𝑃𝑄𝑅 di pindah berimpit dengan ∆𝐴𝐵𝐶
Titik R terletak di garis BC
Akibatnya ∠ A > ∠P (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)
Pengandaian salah, karena ∠A = ∠P . Jadi BC = QR
Andai AB < PQ
Aksioma 6. suatu gambar geometri dapat di pindah tanpa mengubah bentuk dan
besarnya
Aksioma 4. benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama
∆𝐴𝐵𝐶 di pindah berimpit dengan ∆𝑃𝑄𝑅
Titik C terletak di garis QR
Akibatnya ∠ A < ∠P (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)
Pengandaian salah, karena ∠A = ∠P . Jadi BC = QR
Terbukti
TEOREMA 4
DUA BUAH SEGITIGA MEMPUNYAI DUA SUDUT DAN SATU SISI
APITNYA YANG SAMA MAKA SISI-SISI YANG LAIN ADALAH SAMA.
Diketahui : ΔABC dan ΔPQR
∠A = ∠P
∠C = ∠R
AC = PR
Buktikan : AB = PQ dan BC = QR
Bukti
:
Andai AB ≠ PQ maka kemungkinannya AB > PQ atau AB < PQ
Andai AB > PQ
Aksioma 6. suatu gambar geometri dapat di pindah tanpa mengubah bentuk dan
besarnya
Aksioma 4. benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama
∆𝑃𝑄𝑅 di pindah berimpit dengan ∆𝐴𝐵𝐶
Titik B terletak di perpanjangan garis PQ
Akibatnya ∠ R < ∠C (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)
Pengandaian salah, karena ∠R = ∠C . Jadi AB = PQ
Andai AB < PQ
Aksioma 6. suatu gambar geometri dapat di pindah tanpa mengubah bentuk dan
besarnya
Aksioma 4. benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama
∆𝐴𝐵𝐶 di pindah berimpit dengan ∆𝑃𝑄𝑅
Titik Q terletak di perpanjangan garis AB
Akibatnya ∠C < ∠R (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)
Pengandaian salah, karena ∠C = ∠R . Jadi AB = PQ
Andai BC ≠ QR maka kemungkinannya BC > QR atau BC < QR
Andai BC > QR
Aksioma 6. suatu gambar geometri dapat di pindah tanpa mengubah bentuk dan
besarnya
Aksioma 4. benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama
∆𝑃𝑄𝑅 di pindah berimpit dengan ∆𝐴𝐵𝐶
Titik C terletak di perpanjangan garis QR
Akibatnya ∠ P < ∠A (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)
Pengandaian salah, karena ∠P = ∠A . Jadi BC = QR
Andai AB > PQ
Aksioma 6. suatu gambar geometri dapat di pindah tanpa mengubah bentuk dan
besarnya
Aksioma 4. benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama
∆𝐴𝐵𝐶 di pindah berimpit dengan ∆𝑃𝑄𝑅
Titik R terletak di perpanjangan garis BC
Akibatnya ∠ A < ∠P (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)
Pengandaian salah, karena ∠A = ∠P . Jadi BC = QR
Terbukti AB = PQ dan BC = QR
DUA BUAH SEGITIGA DIKATAKAN KONGRUEN JIKA:
SISI-SISINYA SAMA (SISI, SISI, SISI)
DUA SISI DAN SATU SUDUT APITNYA SAMA (SISI, SUDUT, SISI)
DUA SUDUT DAN SISI APITNYA SAMA (SUDUT, SISI, SUDUT)
TEOREMA 5
MELALUI SUATU TITIK PADA SUATU GARIS ADA TEPAT SATU
GARIS YANG TEGAK LURUS PADA GARIS TERSEBUT.
Diketahui : satu garis lurus AB dan satu titik pada garis tersebut
Buktikan : pada titik O hanya ada satu garis yang tegak lurus dengan garis AB
Bukti
:
Postulat 1. tarik garis tinggi dari titik O
∠𝑂1 = ∠𝑂2 = siku siku karena garis tinggi
definisi 10. Jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus dan membuat sudut
yang besisian sama, masing- masing sudut ini disebut siku- siku dan
garis yang berdiri pada garis lainnya tadi di sebut tegak lurus pada
garis lain.
TEOREMA 6
MELALUI SUATU TITIK DILUAR SUATU GARIS ADA TEPAT SATU
GARIS YANG TEGAK LURUS PADA GARIS TERSEBUT.
Diketahui: sebuah garis AB, dengan titik O di luar garis AB
Buktikan : hanya ada satu tempat dimana garis itu tegak lurus dengan titik O
Bukti:
Postulat 1. Tarik garis dari titikO ke garis AB
Sehingga hanya ada tepat 1 garis dari titik O yang melalui titik P pada garis AB ,
yang tegak lurus dengan garis AB (definisi 10).
TEOREMA 7
SEBUAH SUDUT DILUAR SUATU SEGITIGA LEBIH BESAR DARI
SALAH SATU SUDUT DALAM YANG TIDAK BERSISIAN DENGAN
SUDUT LUAR TERSEBUT.
Diketahui : sebuah segitiga ABC dengan titik D terletak pada perpanjangan AB
Buktikan : ∠B2 > ∠ C
Bukti
:
Postulat 1. menarik garis lurus dari titik B hingga titik C
Aksioma 8. setiap segmen garis mempunyai titik pertengahan. Titik E di letakkan
di pertengahan garis BC sehingga BE = CE
Postulat 1. menarik garis dari titik A ke titik E
Aksioma 9. memperpanjang garis AE hingga titik F sehingga AE = EF
Postulat 1. Tarik garis dari titik C ke titik F
Tarik garis dari titik B ke titik F
Perhatikan ΔBFE dan ΔACE :
Di ketahui BE = EC
AE = EF
∠E1 = ∠E2 ( bertolak belakang )
ΔACE ≅ ΔBFE karena terpenuhi sisi, sudut, sisi
akibat kongruensi:
∠C = ∠Bi
Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari bagiannya
∠C < ∠Bi + ∠Bj
Terbukti
∠C < ∠B2
TEOREMA 7.1
DUA BUAH GARIS SEJAJAR DIPOTONG OLEH GARIS TRANSVERSAL
MAKA SUDUT-SUDUT YANG SEHADAP BESARNYA SAMA SUDUT
DALAM BERSEBERANGAN BESARNYA SAMA
Diketahui : garis k sejajar garis l dan dipotong oleh garis transversal m
Buktikan : 1.
2.
∠P1 = ∠Q1, ∠P2 = ∠Q2, ∠P3 = ∠Q3, ∠P4 = ∠Q4
∠P3 = ∠Q1 , ∠P4 = ∠Q2
Bukti
i.
:
Sudut – sudut sehadap :
masal ∠Q4 > ∠ P4 , maka garis k dan l berpotongan dan akan membentuk
segitiga.padahal di ketahui garis k ∥ l . Pengandaian salah, jadi ∠P4 = ∠Q4
∠P1 + ∠P4 = sudut lurus
∠Q1 + ∠Q4 = sudut lurus
Aksioma 1.
∠P1 + ∠P4 = ∠Q1 + ∠Q4
∠P1 + ∠Q4 = ∠Q1 + ∠Q4
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠Q4
∠P1 + ∠Q4 - ∠Q4 = ∠Q1 + ∠Q4 - ∠Q4
∠P1 = ∠Q1
∠P1 + ∠ P2 = sudut lurus
∠Q1 + ∠Q2 = sudut lurus
Aksioma 1.
∠P1 + ∠P2 = ∠Q1 + ∠Q2
∠P1 + ∠P2 = ∠P1 + ∠Q2
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠P1
∠P1 + ∠P2 - ∠P1 = ∠P1 + ∠Q2 - ∠P1
∠P2 = ∠Q2
∠P3 + ∠P4 = sudut lurus
∠Q3 + ∠Q4 = sudut lurus
Aksioma 1.
∠P3 + ∠P4 = ∠Q3 + ∠Q4
∠P3 + ∠Q4 = ∠Q3 + ∠Q4
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠Q4
∠P3 + ∠Q4 - ∠Q4 = ∠Q3 + ∠Q4 - ∠Q4
∠P3 = ∠Q3
ii.
Sudut dalam berseberangan :
∠Q1 = ∠ P1 (sudut sehadap)
∠ P4 = ∠Q4 ( sudut sehadap)
∠ P3 = ∠ P1 (sudut bertolak belakang)
∠ Q4 = ∠Q2 (bertolak belakang)
∠P3 = ∠ Q1 (Aksioma 1)
∠ P4 = ∠Q2 (Aksioma 1)
Terbukti. . .
DEFINISI:
Suatu bentuk geometri dikatakan kongruen dengan bentuk lain bila ada
korespondensi dan korespondensi tersebut mempunyai ukuran yang sama.
DEFINISI:
Korespondensi antara dua segitiga merupakan kongruen jika sudut – sudut
yang berkorespondensi dan sisi- sisi yang berkorespondensi kongruen.
POSTULAT KESEJAJARAN EUCLID:
Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga jumlah
sudut dalam sepihak dari transversal tersebut kurang dari 180, maka dua
garis tersebut akan berpotongan pada pihak dari transversal yang jumlah
sudutnya kurang dari 180
TEOREMA 8
JIKA DUA GARIS DIPOTONG OLEH SUATU TRANSVERSAL
SEDEMIKIAN HINGGA SUDUT – SUDUT DALAM BERSEBERANGAN
SAMA, MAKA KEDUA GARIS ITU ADALAH SEJAJAR.
Diketahui : 2 garis k dan l yang dipotong garis transversal m di titik P dan Q
sedemikian hingga :
∠P3 = ∠Q1
∠P4 = ∠Q2
Buktikan : k ∥ l ?
Bukti
:
Andai k tidak sejajar dengan l , k dan l akan berpotongan di titik n.
Dari gambar diatas diperoleh:
titik P, Q dan N membentuk suatu segitiga PQN
Teorema 7. sudut di luar segitiga lebih besar dari sudut di daalam segitiga
yang tidak bersisian dengan sudut luar.
∠P1 > ∠Q1 dan ∠Q4 > ∠P4
∠P1 = ∠P3 ( bertolak belakang )
Teorema 1. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama
∠P3 = ∠P1
∠P4 = ∠P2
∠Q3 = ∠Q1
∠Q4 = ∠Q2
Teorema 1.
∠P1 > ∠Q1
∠Q4 > ∠P4
∠P3 > ∠Q1
∠Q2 > ∠P4
Terjadi kontradiksi karena telah diketahui bahwa ∠P3 = ∠Q1 dan
∠P4 = ∠Q2, maka terbukti bahwa k ∥ l
TEOREMA 9
DUA GARIS YANG TEGAK LURUS PADA SIATU GARIS ADALAH
SEJAJAR
Diketahui : satu garis lurus yang padanya terdapat dua garis yang tegak lurus
Buktikan : A ∥ B ?
Bukti :
Definisi 10. suatu garis yang tegak lurus pada garis lainnya maka sudutnya adalah
siku siku
Sehingga diperoleh ∠ A1 =∠ B1 = ∠A2 = ∠B2 = siku siku
A⊥B ;B ⊥M
Andai A ∦ B maka garis AB akan berpotongan pada satu titik tertentu sebut titik C
Berdasar teorema 7 maka,
∠A1 > ∠B1
∠A2 < ∠B2
Maka terjadi kontradiksi karena di ketahui ∠ A1 =∠ B1 = ∠A2 = ∠B2
jadi terbukti bahwa A ∥ B
TEOREMA 10
JUMLAH SEMBARANG DUA SUDUT DALAM SUATU SEGITIGA
KURANG DARI 180 O
Diketahui: sebuah segitiga ABC
Buktikan : ∠A +∠ B < 180O ?
Bukti :
Aksioma 9. memperpanjang ruas garis AB
Postulat 1. menarik suatu garis lurus yang sejajar garis AB melalui titik C
∠C1 = ∠A2 (sudut dalam bersebrangan)
∠C3 = ∠B1 ( sudut sehadap )
∠C1 + ∠C2 + ∠C3 = sudut lurus = 180o
∠A2 + ∠C2 + ∠B1 = 180o
∠A2 + ∠B1 = 180o - ∠C2
∠A2 + ∠B1 < 180o
∠A + ∠B < 180o
jadi terbukti bahwa ∠A + ∠B < 180o
TEOREMA 11
JUMLAH SUDUT DALAM SEGITIGA ADALAH 𝟏𝟖𝟎𝟎
Diketahui : Sebuah segitiga ABC
Buktikan : ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 1800
Bukti
:
a. Aksioma 9 : Memperpanjang ruas garis AB
b. Postulat 1
: Menarik garis lurus yang sejajar garis AB melalui titik C
c. Teorema 7.1(ii)
∠𝐶1= ∠𝐴5
: Sudut dalam bersebrangan besarnya sama
dan ∠𝐶3= ∠𝐵6
d. ∠𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 = 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑙𝑢𝑟𝑢𝑠 = 1800
e. Aksioma 1 : ∠𝑨 + ∠𝑩 + ∠𝑨 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
TEOREMA 12
SEBUAH SEGITIGA JIKA DUA SUDUTNYA SAMA MAKA SISI-SISI DI
DEPAN SUDUT SAMA
Diketahui : Sebuah segitiga
∠𝐴 = ∠𝐵
Buktikan : BC = AC ?
Bukti
:
a. Aksioma 7 : Setiap sudut mempunyai garis bagi, ∠𝐶 mempunyai garis bagi
sehingga
∠𝐶1 = ∠𝐶2
b. CD = CD ( Berhimpit )
c. Membuktikan ∠𝐷1 = ∠𝐷2
∠𝐷1 = 1800 − ( ∠𝐴 + ∠𝐶1 )
∠𝐷1 = 1800 − ( ∠𝐵 + ∠𝐶2 )
Aksioma 1 : ∠𝐴 = ∠𝐵 dan ∠𝐶1 = ∠𝐶2 maka ∠𝐷1 = ∠𝐷2
 Sudut , sisi ,sudut ( kongruen )
Dua buah segitiga kongruen , maka sisi-sisi yang berkorespondensi sama.
Jadi AC = BC
TEOREMA 13
SEBUAH SEGITIGA JIKA DUA SISINYA SAMA MAKA SUDUT DI
DEPAN SISI TERSEBUT SAMA
Diketahui : Sebuah segitiga ABC
AC = BC
Buktikan :∠𝐴 = ∠𝐵 ?
Bukti :
a. Aksioma 7
: setiap sudut mempunyai garis bagi, ∠𝐶 mempunyai
garis bagi sehingga ∠𝐶1 = ∠𝐵
Membentuk dua buah segitiga yaitu
∆ ADC dan ∆ BDC
b. CD = CD ( Berhimpit)
c. Teorema 3
: Dua buah segitiga tersebut kongruen, karena dua sisi
dan satu sudut apitnya sama ( sisi, sudut, sisi)
d. ∴ ∠𝑨 = ∠𝑩
TEOREMA 14
JIKA TIGA SUDUT DALAM SUATU SEGITIGA SAMA, MAKA KETIGA
SISINYA SAMA.
Diketahui : sebuah segitiga
∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶
Buktikan BC=AC=AB ?
Bukti :
a. Teorema 12 : jika ∠𝐴 = ∠𝐵, maka BC=AC
b. Teorema 12 : jika ∠𝐴 = ∠𝐶, maka BC=AB
c. Aksioma 1 : BC = AC
BC = AB
Maka, AC = AB
d. ∴ 𝑩𝑪 = 𝑨𝑪 = 𝑨𝑩
CONTOH CONTOH
CONTOH 1
SEBUAH SEGITIGA DENGAN DUA SISINYA KONGRUEN MAKA
GARIS BAGINYA TEGAK LURUS PADA SISI YANG TIDAK
KONGRUEN
Diketahui : Dua buah segitiga ADC dan BDC yang kongruen
AC = BC, ∠𝐴 = ∠𝐵, ∠𝐶1= ∠𝐶2
CD=CD ( Berhimpit)
Buktikan 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵 ?
Bukti :
a. Teorema 12
b. Definisi 10
: ∠𝐷1 = ∠𝐷2
: jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus yang
membuat sudut yang bersisian sama. Masing-masing sudut ini disebut
siku-siku, dan garis yang berdiri pada garis yang lain disebut tegak lurus.
c. ∴ 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵
CONTOH 2
∠𝐸1 = ∠𝐷2
Buktikan : ∠𝐴 = ∠𝐵 ?
Bukti
:
∠𝐷2 = 1800 - (∠𝐴 + ∠𝐶)
∠𝐸1 = 1800 - (∠𝐵 + ∠𝐶)
a. ∠𝐷2 = ∠𝐸1
1800 −(∠𝐴 + ∠𝐶)= 1800 - (∠𝐵 + ∠𝐶)
b. Aksioma 3
: Kedua ruas dikurangi dengan 1800
−(∠𝐴 + ∠𝐶)= −(∠𝐵 + ∠𝐶)
c. Aksioma 2
: Kedua ruas ditgambahkan dengan ∠𝐶
−∠𝐴= −∠𝐵
d. Azksioma 1
: kedua ruas dikali dengan –
∠𝐴= ∠𝐵
CONTOH 3
JUMLAH SUDUT DALAM SEGI EMPAT ADALAH 𝟑𝟔𝟎𝟎
Diketahui : sebuah segi empat ABCD
Buktikan : Jumlah sudut dalam segiempat = 3600 ?
Bukti
:
a. Postulat 1
: Menarik suatu garis lurus dari titik B ke D
b. Terbentuk 2 buah segitiga yaitu segitiga ABD dan segitiga CBD dimana sisi
BD dari segitiga ABC = sisi BD dari segitiga CBD ( berhimpit)
c. Teorema 11 : Jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800
d. ⊿𝐴𝐵𝐷 + ⊿𝐶𝐵𝐶 = 𝐴𝐵𝐶𝐷
1800 + 1800 = 𝐴𝐵𝐶𝐷
3600 = 𝐴𝐵𝐶𝐷
SEGI EMPAT
Segi empat adalah bangun datar yang mempunyai empat sisi dan empat
sudut
Macam – macam segiempat
1. Trapesium adalah segi empat yang mempunyai sepasang sisi yang
berhadapan sama atau sejajar.
Contoh
: persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah ketupat,
dan trapezium.
2. Jajar genjang adalah segi empat yang mempunyai dua pasang sisi
yang sejajar .
Contoh
: persegi, persegi panjang, jajar genjang, dan belah
ketupat.
3. Persegi panjang adalah jajar genjang dengan empat sudutnya siku-siku
4. Belah ketupat adalah jajar genjang dengan empat sisinya kongruen
5. Persegi adalah persegi panjang dengan empat sisinya kongruen
TEOREMA 15
DIAGONAL JAJARAN GENJANG MEMBENTUK DUA SEGITIGA YANG
KONGRUEN
Diketahui : sebuah jajargenjang ABCD
𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷
𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶
Buktikan : membentuk 2 segitiga kongruen
Bukti
:
a. Postulat 1
: Tarik garis lurus dari A ke C sehingga membentuk ∠𝐴1 dan
∠𝐴2 serta ∠ 𝐶1 dan∠ 𝐶2
b. Teorema 7.1 (ii)
:sudut dalam berseberangan sama
∠ 𝐴1 = ∠𝐶2
∠𝐴2 = ∠𝐶1
c. Aksioma 4 : AC = AC ( berhimpit)
d. Karena membentuk sudut sisi sudut maka dua segitiga tersebut kongruen.
TEOREMA 16
SISI-SISI YANG BERHADAPAN PADA JAJAR GENJANG KONGRUEN
Diketahui : sebuah jajaran genjang ABCD
Buktikan : 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 dan AD = BC ?
Bukti :
a. Definisi
: jajar genjang mempunyai dua pasang sisi sejajar 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷
b. Postulat 1
: tarik garis dari titik A ke titik C sehingga membentuk
∠𝐴1 , ∠𝐴2 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐶1 , ∠𝐶2
∠𝐴1 = ∠𝐶2 ( dalam bersebrangan)
∠𝐴2 = ∠𝐶1 (dalam bersebrangan)
c. AC = AC ( Behimpit : Aksioma 4)
d. ⊿𝐴𝐶𝐷 ≅ ⊿𝐴𝐶𝐵 ( sudut, sisi sudut)
e. Akibat kongruensi AD = BC dan AB = CD
TEOREMA 17
SUDUT –SUDUT YANG BERHADAPAN PADA JAJARAN
GENJANG ADALAH KONGRUEN
Diketahui : sebuah jajaran genjang ABCD
Buktikan : ∠𝐴 = ∠𝐶 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐵 = ∠𝐷
Bukti :
a. Definisi : jajar genjang mempunyai dua pasang sisi sejajar 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷
b. Postulat1: tarik garis dari titik A ke titik C sehingga terbentuk
∠𝐴1 , ∠𝐴2 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐶1 , ∠𝐶2
∠𝐴1 = ∠𝐶2 ( dalam bersebrangan)
∠𝐴2 = ∠𝐶1 (dalam bersebrangan)
c. Aksioma 1
: ∠𝐴1 + ∠𝐴2 = ∠𝐶1 + ∠𝐶2
∠𝐴 = ∠𝐶
d. Teorfema 15
: ⊿𝐴𝐶𝐷 ≅ ⊿𝐴𝐶𝐵 ( sudut, sisi sudut)
e. Akibar kongruensi
: ∠𝑩 = ∠𝑫
f. Terbukti
TEOREMA 18
JIKA DUA GARIS SEJAJAR MAKA DUA TITIK PADA SUATU GARIS
BERJARAK SAMA TERHADAP GARIS LAIN.
Diketahui : 𝑙 ∥ 𝑚
PQ
: Jarak dari titik P ke garis m
AB
: Jarak dari titik A ke garis m
A dan P terletak P
l dan B dan Q terletak Pm
Buktikan :
𝐴𝐵 ∥ 𝑃𝑄
𝐴𝑃 ∥ 𝐵𝑄
Bukti:
𝐴𝑃 ⊥ 𝑚 → ∠𝑃 = 900
𝐵𝑄 ⊥ 𝑚 → ∠𝑄 = 900
∠𝑃=∠𝑄(𝑠𝑒ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝)
𝑚𝑎𝑘𝑎, 𝐴𝑃 ∥ 𝐵𝑄 𝑑𝑎𝑛 𝐴𝐵 ∥ 𝑃𝑄
Sehingga terbentuk jajaran genjang ABQP
Teorema 6
: AP=BQ dan AB=PQ
TEOREMA 19
DIAGONAL-DIAGONAL JAJARAN GENJANG SALING MEMBAGIDUA
SAMA PANJANG
Diketahui : ABCD jajaran genjang
AC dan BD diagonal
Buktikan : AD = CD
BO = DO
Bukti
:
∠𝐴𝐵𝑂 = ∠𝐶𝐷𝑂
∠𝑂𝐴𝐵 = ∠𝑂𝐶𝐷
∆𝐴𝐵𝑂 ≅ ∆𝐶𝐷𝑂 ( Sudut, sisi, sudut)
∴ 𝑨𝑶 = 𝑪𝑶 𝑫𝒂𝒏 𝑩𝑶 = 𝑫𝑶
TEOREMA 20
TIAP DUA SUDUT YANG BERURUTAN PADA JAJARAN GENJANG
SALING BERSUMPLEMEN
Diketahui :
Sebuah jajaran genjang ABCD
𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷 𝑑𝑎𝑛 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶
Buktikan :
∠𝐴 + ∠𝐵 = 180o
∠𝐵 + ∠𝐶 = 180o
∠𝐶 + ∠𝐷 = 180o
∠𝐷 + ∠𝐴 = 180o
Bukti :
a. Postulat 2
: Memperpanjang ruas garis AB
Memperpanjang ruas garis DC
b. Terbentuk ∠𝐴1 , ∠𝐴2 , ∠𝐵1 , ∠𝐵2 , ∠𝐶1 , ∠𝐶2 , ∠𝐷1 dan ∠𝐷2
c. ∠𝐴1 + ∠𝐴2 = 1800 sudut lurus
∠𝐵1 + ∠𝐵2 = 1800 sudut lurus
∠𝐶1 + ∠𝐶2 = 1800 sudut lurus
∠𝐷1 + ∠𝐷2 = 1800 sudut lurus
d. ∠𝐴2 + ∠𝐵2 (sehadap)
∠𝐴1 + ∠𝐵1 (sehadap)
∠𝐵1 + ∠𝐶2 (dalam bersebrangan)
∠𝐵2 + ∠𝐶1 (dalam bersebrangan)
∠𝐷2 + ∠𝐶2 (sehadap)
∠𝐷1 + ∠𝐶1 (sehadap)
∠𝐴1 + ∠𝐷2 (dalam bersebrangan)
∠𝐴2 + ∠𝐷1 (dalam bersebrangan)
e. ∠𝑨𝟐 + ∠𝑩𝟏 = ∠𝑨𝟐 + ∠𝑨𝟏 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
∠𝑩𝟏 + ∠𝑪𝟏 = ∠𝑩𝟏 + ∠𝑩𝟐 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
∠𝑪𝟏 + ∠𝑫𝟐 = ∠𝑪𝟏 + ∠𝑪𝟐 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
∠𝑫𝟐 + ∠𝑨𝟐 = ∠𝑫𝟐 + ∠𝑫𝟏 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
f. Terbukti
TEOREMA 21
DIAGONAL PERSEGI PANJANG KONGRUEN
Di ketahui :
ABCD adalah persegi panjang
AB = DC , AD = BC
∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶 = ∠𝐷 = 90o
Buktikan : AC = BD
Bukti :
Perhatikan ∆ABC dan ∆ABD
∠A = ∠B = 90ᵒ ( siku siku )
AB = AB ( berhimpit )
AD = BC ( definisi jajaran genjang )
∆DAB ≅ ∆CBA ( sisi, sudut, sisi )
Karena ∆DAB ≅ ∆CBA maka AC = DB
TEOREMA 22
JIKA KEDUA PANJANG SISI YANG BERHADAPAN DAN SUATU SEGI
EMPAT SEJAJAR, MAKA SEGI EMPAT ITU JAJARGENJANG
Di ketahui : segi empat ABCD
AD ǁ BC , AB ǁ CD
Buktikan : ABCD jajargenjang ?
Bukti :
 Postulat 1. tarik garis dari titik B ke titik D
Akibatnya terbentuk 2 segitiga, yaitu ∆ABC dan ∆ADC
 BD = BD ( berhimpit )
 ∠D₁ = ∠B₂ ( sudut dalam berseberangan )
 ∠D₂ = ∠B1 ( sudut dalam berseberangan )
 ∆ABC ≅ ∆ADC ( sudut, sisi, sudut )
 ABCD adalah jajargenjang karena membentuk 2 segitiga yang kongruen (
teorema 15 )
TEOREMA 23
DIAGONAL BELAH KETUPAT SALING TEGAK LURUS
Di ketahui : ABCD Belah ketupat.
Buktikan : AC ⊥ BD ?
Bukti :
AC dan BD adalah diagonal belah ketupat
Definisi :
AB = BC = CD = AD
AB ǁ CD , BC ǁ AD
1.
Membuktikan bahwa ∆AOD ≅ ∆COD
 AD = CD ( definisi )
 OD = OD ( berhimpit )
 AO = CO (teorema 19. diagonal diagonal jajaran genjang membagi
dua sama panjang )
 Terbukti bahwa ∆AOD ≅ ∆COD ( sisi, sisi, sisi )
 akibat kongruensi : ∠AOD = ∠COD
2.
∠AOD + ∠COD = 180ᵒ ( berpelurus )
∠AOD + ∠AOD = 180ᵒ ( aksioma 1 )
2 ∠AOD = 180ᵒ
∠AOD = 90ᵒ = siku siku
 Maka , AC tegak lurus BD ( berdasar definisi 10 )
TEOREMA 24
DIAGONAL BELAH KETUPAT MERUPAKAN GARIS BAGI SUDUTSUDUTNYA
Di ketahui :
sebuah belah ketupat ABCD dengan AC dan BD sebagai diagonal belah ketupat.
Buktikan : ∠A₁ = <∠A₂ , ∠B₁ = ∠B₂ , ∠C₁ = ∠C₂ , ∠D₁ = ∠D₂
Bukti :
Definisi : belah ketupat merupakan salah satu bentuk jajaran genjang
ABCD jajargenjang
AB =BC =CD = DA
AB ǁ DC , BC ǁ AD
AB = AD = BC = DC ( definisi jajaran genjang )
AC =AC ( berhimpit )
∆ABC ≅ ∆ADC ( sisi, sisi, sisi )
Akibat kongruensi :
∠A₁ = ∠A₂ dan ∠C₁ = ∠C₂
AB = BC = AD = DC ( Definisi jajaran genjang )
BD = BD ( berhimpit )
∆DAB ≅ ∆DCB ( sisi, sisi, sisi )
Akibat kongruensi :
∠B₁ = ∠B₂ dan ∠D₁ = ∠D₂
Terbukti . . .
TEOREMA 25
JIKA 2 SISI DARI SUATU SEGIEMPAT SEJAJAR DAN KONGRUEN
MAKA SEGIEMPAT TERSEBUT JAJARGENJANG
Di ketahui : Segiempat ABDC
AB ǁ CD dan AB = CD
Buktikan : ABCD Jajargenjang ?
Bukti :
Postulat 1. Tarik garis dari B ke titik D, sehingga BD diagonal dari ABCD
BD = BD ( berhimpit )
∠B₁ = ∠D₂ ( dalam berseberangan )
∠B₁ = ∠D₂ (dalam berseberangan )
∆ABC ≅ ∆ADC ( sisi, sudut, sisi )
 terbukti ABCD adalah Jajargenjang karena membagi dua segitiga yang
kongruen ( teorema 15 )
TEOREMA 26
JIKA SUATU SEGMEN DITARIK DARI TITIK TENGAH DUA SISI
SEGITIGA MAKA SEGMEN TERSEBUT SEJAJAR DENGAN SISI YANG
KETIGA DAN PANJANGNYA SETENGAH DARI SISI SEGITIGA
Di ketahui : Segitiga ABC
D titik tengah AC → AD = DC
E titik tengah BC → BE = CE
Buktikan :
1. DE ǁ AB
2. DE = ½ AB
Bukti :
 aksioma 9. memperpanjang ruas garis DE hingga titik F, sedemikian hingga
DE = EF
 postulat 1. Tarik garis dari B ke F
BE = EC ( di ketahui )
DE = EF ( diketahui )
∠E₁ = ∠E₂ ( bertolak belakang )
∆BEF ≅ ∆CED
akibat kongruensi :
∠D4 = ∠F3
BF ǁ CD karena BF = AD
CD = AD ( diketahui )
BF = AD ( karena BF = AD dimana AD = CD. aksioma 1)
ABFD jajar genjang ( dari teorema 25 )
DF ǁ AB ( karena jajar genjang )
DE ǁ AB ( karena DE ǁ DF )
Terbukti
AB = DF ( karena DF ǁ AB )
AB = DE + EF
AB = 2 DE ( karena DE = EF )
DE = ½AB Terbukti
TEOREMA 27
MEDIAN SUATU TRAPESIUM SEJAJAR DENGAN SISI-SISI YANG
SEJAJAR DAN PANJANGNYA ½ DARI JUMLAH SISI-SISI YANG
SEJAJAR
Di ketahui : Trapesium ABCD
AB ǁ CD , DE = AE , CF = FB
Buktikan :
1. EF ǁ CD ǁ AB
2. EF = ½ ( CD + AB )
Bukti :
 Postulat 1. Tarik garis dari titik D ke titik G melalui titik F
 Postulat 2. Perpanjang garis AB sampai titik G
Perhatikan ∆BGF dan ∆CDF
a. ∠F₁ = ∠F₂ ( bertolak belakang )
b. ∠B₃ = <C ( dalam berseberangan )
c. CF = FB ( diketahui )
d. ∆BGF ≅ ∆CDF ( sudut, sisi, sudut )
Perhatikan ∆ADG
e. DF =FG ( akibat kongruensi )
f. DE =EA ( diketahui )
g. EF ǁ AG ( teroema 26 )
h. EF ǁ AB ( AB bagian AG )
i. EF ǁ CD ( karena menurut definisi trapesium AB ǁ CD )
j. EF = ½AG ( teorema 26 )
k. AG = AB + BG
l. EF =½ ( AB + BG )
m. BG = CD ( akibat kongruensi )
n. EF = ½ ( AB + CD )
Terbukti...
TEOREMA 28
JIKA KEDUA GARIS SEJAJAR TERHADAP SUATU SISI SEGITIGA
DAN MEMBAGI DUA SISI SAMA PANJANG SISI KEDUA, MAKA
MEMBAGI DUA JUGA SISI YANG KETIGA
Diketahui : sebuah segitiga yaitu ∆ABC
DE ǁAB , AD = CD
Buktikan : BE = CE ?
Bukti :
1. Postulat 1. Tarik garis dari titik E ke titik F dan G sehingga FG ǁ AC
2. Postulat 1. Tarik garis dari titik C ke titik F sehingga CF ǁ DE
a. DC ǁ EF ( karena AC ǁ FG )
b. CF ǁ DE ( diketahui )
c. DEFC adalah suatu Jajargenjang
d. AD ǁ EG ( karena AC ǁ EG di mana GE adalah bagian dari FG )
e. DE ǁ AG ( karena DE ǁAB di mana AG adalah bagian dari AB )
f. AGED adalah suatu Jajargenjang
g. DC = EF ( dari c )
h. DA = EG ( dari f )
i. CD = AD ( diketahui )
j. GE = EF ( aksioma 1 dari pernyataan g, h, dan i )
k. ∠E₁ = ∠E₂ ( bertolak belakang )
l. ∠F = ∠G₄ ( dalam berseberangan )
m. ∆GBE ≅ ∆CEF ( sudut, sisi, sudut )
n. BE = CE ( akibat kongruensi ) terbukti
TEOREMA 29
JIKA SUATU GARIS SEJAJAR TERHADAP SISI YANG SEJAJAR PADA
SUATU TRAPESIUM DAN MEMBAGI SAMA PANJANG SALAH SATU
SISI YANG TIDAK SEJAJAR MAKA AKAN MEMBAGI DUA SAMA
PANJANG SISI YANG TIDAK SEJAJAR LAINNYA
Di ketahui : sebuah Trapesium ABCD
AE = DE
EF ǁ CD ǁ AB
Buktikan : CF = FB ?
Bukti :
1. Postulat 1. Tarik garis dari C ke G sehingga DE ǁ CG
2. Postulat 1. Tarik garis dari F ke H sehingga FH ǁ AE
a. CD ǁ EG ( CD ǁ EF dimana GE bagian dari EF )
b. DE ǁ CG ( di ketahui )
c. DCEG adalah suatu Jajargenjang
d. EF ǁ AH ( karena EF ǁ AB di mana AH bagian dari AB)
e. AE ǁ FH ( di ketahui )
f. AHFE adalah suatu Jajargenjang
g. ∠H₁ = ∠G₂ ( sehadap )
h. ∠F₃ = ∠C₄ ( sehadap )
i. CG ǁ FH ( karena CG ǁ ED dan FH ǁ AE, sementara ED dan AE berada
dalam satu garis lurus, jadi AE ǁ ED )
j. CG = FH ( karena AE = DE )
k. ∆CGF ≅ ∆FHB ( sudut, sisi, sudut )
l. Sehingga terbukti CF = FB ( akibat kongruensi )
TEOREMA 30
ADA TIGA GARIS SEJAJAR DIPOTONG DENGAN SEBUAH GARIS
TRANSVERSAL SEDEMIKIAN HINGGA MEMBUAT PERBANDINGAN
YANG SAMA MAKA ADA GARIS TRANSVERSAL LAIN YANG
MEMOTONG GARIS SEJAJAR ITU DENGAN PERBANDINGAN YANG
SAMA PULA
Di ketahui :
kǁlǁm
AB = BC
Buktikan : DE = EF ?
Bukti :
1. Postulat 1. Tarik garis dari D ke G sehingga AB ǁ DG
2. Postulat 1. Tarik garis dari E ke I sehingga BC ǁ GI
a. AB ǁ DG ( di ketahui )
b. AD ǁ BG ( karena AD ǁ BE di mana BG bagian dari BE )
c. ABCD adalah suatu Jajargenjang
d. BC ǁ GI ( di ketahui )
e. BE ǁCI ( karna BE ǁCF dimana CI bagian dari CF )
f. BCIG adalah suatu Jajargenjang
g. ∠G₂ = ∠I₁ ( sehadap )
h. ∠D₄ = ∠E₃ ( sehadap )
i. DG = EI ( karna AB = BI )
 ∆DGE ≅ ∆EIF ( sudut, sisi, sudut )
 Akibat kongruensi : DE = EF Terbukti
TEOREMA 31
JIKA DUA SISI SUATU SEGITIGA TIDAK KONGRUEN, MAKA SUDUTSUDUT DIHADAPAN SISI ITU TIDAK KONGRUEN DAN SUDUT YANG
LEBIH KECIL BERHADAPAN DENGAN SISI YANG LEBIH PENDEK
Di ketahui :
Segitiga ABC
AC ≠ BC
Buktikan : ∠A ≠ ∠B atau AC < BC
∠B menghadap AC
Bukti :
1. Aksioma 9 : tarik garis lurus dari C ke titik D yang sehingga AC = CD
2. Terbentuk segitiga sama kaki yaitu ∆ACD
∠A = ∠D₁ ( Teorema 13 )
3. perhatikan ∆CDB
∠D₁ > ∠B ( Teorema 7 )
Maka, ∠A > ∠B (aksioma 1 )
BC > AC ( Teorema 13 )
BC menghadap ∠A
AC menghadap ∠B
Jadi sudut yang lebih pendek menghadap sisi yang lebih pendek.
KESEBANGUNAN
1.
segi empat I sebangun dengan segi empat II karena segi empat tersebut memiliki
perbandingan sisi yang sebanding ( beraturan )
AB : EF = BC : FG
CD : HG = AD : EH
Sedangkan segi empat I tidak sebangun dengan segi empat III karena :
AB : KL ≠ BC : LM
4 : 12 ≠ 4 : 8
1
3
≠
1
2
2.
∠𝐷1 = sudut siku siku = 90o
∠𝐷1 + ∠𝐷2 = sudut lurus
∠𝐷1 + ∠𝐷2 = 180o
90o + ∠𝐷2 = 180o →
∠𝐷2 = 90o
∴ ∠𝐶 = ∠𝐷2
∠𝐵 = ∠𝐵 ( berhimpit )
Perhatikan ilustrasi 2 segitiga berikut :
∆𝐴𝐵𝐶 , 180o = ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶
∆𝐸𝐵𝐷 , 180o = ∠𝐸 + ∠𝐵 + ∠𝐷2
= ∠𝐸 + ∠𝐵 + ∠𝐶
Aksioma 3. ∠𝐴 = 180o - ( ∠𝐵 + ∠𝐶 )
∠𝐸 = 180o - ( ∠𝐵 + ∠𝐶 )
∠𝐴 = ∠𝐸
Dua segitiga di katakan sebangun jika sudut sudut yang berkorespondensi sama,
sehingga
AB : EB = AC : ED = BC : BD
DEFINISI
Dua poligon di katakan sebangun jika dan hanya jika sudut sudut yang
berkorespondensi dari dua poligon itu kongruen dan sisi sisi yang
berkorespondensi merupakan proporsional.
dua segitiga di katakan sebangun jika sudut sudut yang berkorespondensi
sama.
proporsional adalah jika ada dua atau lebih perbandingan bernilai sama.
TEOREMA 1
JIKA SUDUT SUDUT SUATU SEGITIGA KONGRUEN DENGAN SUDUT
SUDUT SEGITIGA MAKA DUA SEGITIGA TERSEBUT SEBANGUN
Di ketahui : dua buah segitiga yaitu ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐹
∠𝐴 = ∠𝐷
∠𝐵 = ∠𝐸
∠𝐶 = ∠𝐹
Buktikan ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐸𝐹 ?
Bukti :
Aksioma 6. ∆𝐷𝐸𝐹 di pindah ke dalam ∆𝐴𝐵𝐶
∠𝐶 = ∠𝐹 ( berhimpit )
∠𝐴 = ∠𝐷 ( sehadap )
∠𝐵 = ∠𝐸 ( sehadap )
karena ada dua sudut yang kongruen karena sehadap maka AB ∥ DE
Teorema 30.
𝐴𝐶
𝐷𝐹
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
Aksioma 6. ∆𝐷𝐸𝐹 di pindah ke dalam ∆𝐴𝐵𝐶
∠𝐵 = ∠𝐸 ( berhimpit )
∠𝐶 = ∠𝐹 ( sehadap )
∠𝐴 = ∠𝐷 ( sehadap )
karena ada dua sudut yang kongruen karena sehadap maka AC ∥ DF
Teorema 30.
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
Aksioma 6. ∆𝐷𝐸𝐹 di pindah ke dalam ∆𝐴𝐵𝐶
∠𝐴 = ∠𝐷 ( berhimpit )
∠𝐵 = ∠𝐸 ( sehadap )
∠𝐶 = ∠𝐹 ( sehadap )
karena ada dua sudut yang kongruen karena sehadap maka BC ∥ EF
Teorema 30.
Jadi,
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐴𝐵
𝐷𝐸
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
𝐴𝐶
𝐷𝐹
, sesuai dengan definisi kesebangunan maka terbukti
∆𝑨𝑩𝑪 ~ ∆𝑫𝑬𝑭
TEOREMA 2
JIKA DUA SUDUT SUATU SEGITIGA KONGRUEN DENGAN DUA
SUDUT SEGITIGA LAIN MAKA KEDUA SEGITIGA TERSEBUT
SEBANGUN
Di ketahui : dua buah segitiga yaitu ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐹
∠𝐴 = ∠𝐷
∠𝐵 = ∠𝐸
Buktikan ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐸𝐹 ?
Bukti :
Teorema 11. jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180o
∠𝐷 + ∠𝐸 + ∠𝐹 = 180o
Di ketahui ∠𝐴 = ∠𝐷 dan ∠𝐵 = ∠𝐸
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180o
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐹 = 180o
Aksioma 1. benda benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama lain
juga sama
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐹
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠𝐴 dan ∠𝐵
∠𝐶 = ∠𝐹
ketiga sudut dalam dua segitiga tersebut kongruen
∠𝐴 = ∠𝐷
∠𝐵 = ∠𝐸
∠𝐶 = ∠𝐹
Sesuai dengan teorema 1, maka terbukti ∆𝑨𝑩𝑪 ~ ∆𝑫𝑬𝑭
TEOREMA 3
JIKA DUA SEGITIGA SIKU SIKU MEMPUNYAI SUDUT LANCIP YANG
KONGRUEN SUDUT LANCIP SEGITIGA SIKU SIKU YANG KEDUA
MAKA KEDUA SIKU SIKU TERSEBUT SEBANGUN
Di ketahui : dua buah segitiga siku siku yaitu ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐹
∠𝐴 = ∠𝐷 = siku siku
∠𝐶 = ∠𝐹
Buktikan ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐸𝐹 ?
Bukti :
Teorema 11. jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180o
∠𝐷 + ∠𝐸 + ∠𝐹 = 180o
Di ketahui ∠𝐴 = ∠𝐷 = siku siku dan ∠𝐶 = ∠𝐹
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180o
∠𝐴 + ∠𝐸 + ∠𝐶 = 180o
Aksioma 1. benda benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama lain
juga sama
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐴 + ∠𝐸 + ∠𝐶
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠𝐴 dan ∠𝐶
∠𝐵 = ∠𝐸
ketiga sudut dalam dua segitiga tersebut kongruen
∠𝐴 = ∠𝐷
∠𝐵 = ∠𝐸
∠𝐶 = ∠𝐹
Sesuai dengan teorema 1, maka terbukti ∆𝑨𝑩𝑪 ~ ∆𝑫𝑬𝑭
TEOREMA 4
JIKA SUATU GARIS SEJAJAR DENGAN SALAH SATU SISI DARI
SUATU SEGITIGA DAN MENENTUKAN SEGITIGA KEDUA MAKA
SEGITIGA KEDUA SEBANGUN DENGAN DENGAN SEGITIGA
ASALNYA
Di ketahui :
AB ∥ DE
Terbentuk dua buah segitiga yaitu ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐶
Buktikan ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐸𝐹 ?
Bukti :
Di ketahui AB ∥ DE
Akibat sejajar :
∠𝐴 = ∠𝐷 ( sehadap )
∠𝐵 = ∠𝐸 ( sehadap )
∠𝐶 = ∠𝐶
( berhimpit )
ketiga sudut dalam dua segitiga tersebut kongruen
∠𝐴 = ∠𝐷
∠𝐵 = ∠𝐸
∠𝐶 = ∠𝐹
Sesuai dengan teorema 1, maka terbukti ∆𝑨𝑩𝑪 ~ ∆𝑫𝑬𝑪
TEOREMA 5
JIKA SATU SUDUT DARI SUATU SEGITIGA KONGRUEN DENGAN
SATU SUDUT DARI SEGITIGA LAIN DAN SISI SISI YANG MENGAPIT
KEDUA SEGITIGA TERSEBUT PROPORSIONAL MAKA KEDUA
SEGITIGA ITU SEBANGUN
Di ketahui : dua buah segitiga yaitu ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐹
∠𝐶 = ∠𝐹
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
Buktikan ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐸𝐹 ?
Bukti :
Aksioma 6. ∆𝐷𝐸𝐹 di pindah ke dalam ∆𝐴𝐵𝐶
Di ketahui
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
Berdasar teorema 30, maka AB ∥ DE
Karena AB ∥ DE , maka
∠𝐴 = ∠𝐷 ( sehadap )
∠𝐵 = ∠𝐸 ( sehadap )
∠𝐶 = ∠𝐹
( berhimpit )
ketiga sudut dalam dua segitiga tersebut kongruen
∠𝐴 = ∠𝐷
∠𝐵 = ∠𝐸
∠𝐶 = ∠𝐹
Sesuai dengan teorema 1, maka terbukti ∆𝑨𝑩𝑪 ~ ∆𝑫𝑬𝑪
TEOREMA 6
JIKA SISI SISI YANG BERKORESPONDEN DARI DUA SEGITIGA
PROPORSIONAL MAKA KEDUA SEGITIGA ITU SEBANGUN
Di ketahui : dua buah segitiga yaitu ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐹
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
,
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐶𝐴
𝐹𝐷
,
𝐶𝐴
𝐹𝐷
=
𝐴𝐵
𝐷𝐸
Buktikan ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐸𝐹 ?
Bukti :
Aksioma 6. ∆𝐷𝐸𝐹 di pindah ke dalam ∆𝐴𝐵𝐶
Akibat di ketahui , maka :
AB ∥ DE
AC ∥ DF
BC ∥ EF
Postulat 2. memperpanjang ruas garis DE
Terbentuk ∠𝐷′ 1 dan ∠𝐸′1
∠𝐷′ 1 terletak di perpanjangan ruas garis AC
∠𝐸′1 terletak di perpanjangan ruas garis BC
D’E’ ∥ AB karena AB ∥ DE
∠𝐴 = ∠𝐷′1
( sehadap )
∠𝐵 = ∠𝐸′1
( sehadap )
D’C ∥ DF karena AC ∥ DF
∠𝐷′ 1 = ∠𝐷 ( sehadap )
E’C ∥ EF karena BC ∥ EF
∠𝐸′1 = ∠𝐸 ( sehadap )
Dari pernyataan ∠𝐴 = ∠𝐷′1 dan ∠𝐷′ 1 = ∠𝐷 maka menurut aksioma 1 di
peroleh
∠𝐴 = ∠𝐷
Dari pernyataan ∠𝐵 = ∠𝐸′1
dan ∠𝐸′1 = ∠𝐸 maka menurit aksioma 1 di
peroleh
∠𝐵 = ∠𝐸
Teorema 11. jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180o
∠𝐷 + ∠𝐸 + ∠𝐹 = 180o
Di ketahui ∠𝐴 = ∠𝐷 dan ∠𝐵 = ∠𝐸
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180o
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐹 = 180o
Aksioma 1. benda benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama lain
juga sama
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐹
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠𝐴 dan ∠𝐶
∠𝐶 = ∠𝐹
ketiga sudut dalam dua segitiga tersebut kongruen
∠𝐴 = ∠𝐷
∠𝐵 = ∠𝐸
∠𝐶 = ∠𝐹
Sesuai dengan teorema 1, maka terbukti ∆𝑨𝑩𝑪 ~ ∆𝑫𝑬𝑭
TEOREMA 7
KELILING DUA SEGITIGA KONGRUEN PROPORSIONAL DENGAN
SISI YANG BERKORESPONDENSI
Di ketahui : dua buah segitiga yaitu ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐹
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
Buktikan
𝐶𝐴
𝐹𝐷
=
𝑚
𝑛
𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 ∆𝐴𝐵𝐶
𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 ∆𝐷𝐸𝐹
=
𝑚
𝑛
?
Bukti :
Di ketahui
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐶𝐴
𝐹𝐷
n AB = m DE → AB =
n BC = m EF → BC =
n CA = m FD → CA =
=
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
DE
EF
FD
Keliling ∆𝐴𝐵𝐶 = AB + BC + CA
𝑚
=
𝑛
DE +
𝑚
=
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
FD
( Keliling ∆𝐷𝐸𝐹
𝑛
𝒌𝒆𝒍𝒊𝒍𝒊𝒏𝒈 ∆𝑨𝑩𝑪
Terbukti
EF +
( DE + EF + FD )
𝑛
=
𝑚
𝒌𝒆𝒍𝒊𝒍𝒊𝒏𝒈 ∆𝑫𝑬𝑭
=
𝒎
𝒏
=
𝑨𝑩
𝑫𝑬
=
𝑩𝑪
𝑬𝑭
=
𝑪𝑨
𝑭𝑫
TEOREMA 8
GARIS TINGGI DUA SEGITIGA KONGRUEN PROPORSIONAL
DENGAN PASANGAN SISI YANG BERKORESPONDEN
Di ketahui : dua buah segitiga yaitu ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐹
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
Buktikan
𝐶𝐴
𝐹𝐷
𝐶𝐻
𝐹𝐺
𝑚
=
=
𝑛
𝑚
𝑛
?
Bukti :
CH dan FG adalah garis tinggi dari ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐹
∠𝐻2 = ∠𝐺 2 ( 90o karena garis tinggi )
Teorema 6. karena
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
=
𝐶𝐴
𝐹𝐷
maka ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐸𝐹
Akibat kesebangunan , ∠𝐵 = ∠𝐸
Teorema 11. jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o
∠𝐻2 + ∠𝐵 + ∠𝐶 2 = 180o
∠𝐺 2 + ∠𝐵 + ∠𝐹 2 = 180o
Aksioma 1. benda benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama lain
juga sama
∠𝐻2 + ∠𝐵 + ∠𝐶 2 = ∠𝐺 2 + ∠𝐵 + ∠𝐹 2
∠𝐻2 + ∠𝐵 + ∠𝐶 2 = ∠𝐻2 + ∠𝐵 + ∠𝐹 2
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠𝐴 dan ∠𝐶
∠𝐶 2 = ∠𝐹 2
ketiga sudut dalam dua segitiga tersebut kongruen
∠𝐻2 = ∠𝐺 2
∠𝐵 = ∠𝐸
∠𝐶 2 = ∠𝐹 2
Sesuai dengan teorema 1, maka terbukti ∆𝐻𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐸𝐹
Akibat kesebangunan
𝐻𝐵
𝐺𝐸
=
𝐻𝐶
𝐺𝐹
=
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
Dari pernyataan di atas terbukti bahwa
𝐶𝐴
𝐹𝐷
𝑪𝑯
𝑭𝑮
=
=
𝑚
𝑛
𝒎
𝒏
=
𝑨𝑩
𝑫𝑬
=
𝑩𝑪
𝑬𝑭
=
𝑪𝑨
𝑭𝑫
PHYTAGORAS
DEFINISI
KUADRAT SISI MIRING = JUMLAH KUADRAT SISI LAINNYA
Di ketahui : segitiga siku siku ABC
Buktikan : a2 = b2 + c2 ?
Bukti :
1. Aksioma 9. Perpanjang ruas garis AB hingga titik D sehingga BD = AC
Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari D ke titik E sehingga DE = AB
Postulat 1. tarik garis dari titik E ke titik B
Postulat 1. tarik garis dari titik E ke titik C
Terbentuk trapesium ADEC
∠𝐴 = ∠𝐷 = 90o
Di ketahui AB = DE
AC = BD
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐵𝐷𝐸 karena terpenuhi sisi sudut sisi
Akibat konruensi :
∠𝐶 1 = ∠𝐵3
Membuktikan ∆𝐶𝐵𝐸 adalah segitiga siku siku :
Teorema 11. jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o
∠𝐴 + ∠𝐵1 + ∠𝐶 1 = 180o
∠𝐷 + ∠𝐸 2 + ∠𝐵3 = 180o
Aksioma 1. benda benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama
lain juga sama
∠𝐴 + ∠𝐵1 + ∠𝐵3 = 180o
90o + ∠𝐵1 + ∠𝐵3 = 180o
∠𝐵1 + ∠𝐵3 = 90o
∠𝐵1 + ∠𝐵2 + ∠𝐵3 = sudut lurus = 180o
90o + ∠𝐵2 = 180o
∠𝐵2 = 90o = siku siku
1
L. ADEC =
2
1
=
1
2
1
L. ∆𝐵𝐸𝐶 =
2
1
L. ∆𝐵𝐷𝐸 =
L. ∆total =
( b2 + 2ab + c2 )
2
L. ∆𝐴𝐵𝐶 =
2
1
2
( 𝑏 + 𝑐 )( 𝑏 + 𝑐 )
𝑏𝑐
𝑏𝑐
a2
𝑏𝑐 +
= bc +
L. ADEC
1
2
1
2
1
2
1
𝑏𝑐 +
2
1
2
a2
=
L. ∆total
( b2 + 2ab + c2 ) = bc +
( b2 + c2 - a2 )
= 0
b2 + c2 - a2
= 0
a2
a2
1
2
= b 2 + c2
a2
terbukti
2. Aksioma 9. tarik garis lurus dari titik B ke titik D sehingga BD = AC
Aksioma 9. tarik garis lurus dari titik B ke titik E sehingga BE = BC
Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari titik D ke titik E sehingga DE = AB
Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari titik E ke titik F sehingga EF = AC
Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari titik F ke titik G sehingga FG = AB
Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari titik G ke titik H sehingga GH = AC
Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari titik H ke titik C sehingga HC = AB
Aksioma 9. tarik garis lurus dari titik E ke titik G sehingga EG = BC
Aksioma 9. tarik garis lurus dari titik G ke titik C sehingga GC = BC
Terbentuk persegi ADFH
L. ADFH = ( b + c )2
= b2 + 2bc + c2
L. ∆𝐴𝐵𝐶 =
L. ∆𝐵𝐷𝐸 =
L. ∆𝐸𝐹𝐺 =
L. ∆𝐺𝐻𝐶 =
L. ∆total =
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
𝑏𝑐
𝑏𝑐
𝑏𝑐
𝑏𝑐
𝑏𝑐 +
1
2
𝑏𝑐 +
1
2
𝑏𝑐 +
1
2
𝑏𝑐
= 2bc
L. persegi BEGC = a2
L. ADFH
=
b2 + 2bc + c2 =
L. ∆total + L. BEGC
2bc + a2
b2 + 2bc + c2 – 2bc – a2 = o
b2 + c2 – a2
=
o
a2
=
b 2 + c2
Terbukti
3. Postulat 1. tarik garis tinggi dari titik A ke titik D sehingga membagi BC.
Misalkan BD = a’ dan CD = a”
∠𝐴 = 90o = siku siku
∠𝐷1 = ∠𝐷2 = 90o ( karena garis tinggi )
Lihat ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐴𝐵𝐷
Teorema 11. jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180o
∠𝐴2 + ∠B + ∠𝐷2 = 180o
Aksioma 1. benda benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama
lain juga sama
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐴2 + ∠B + ∠𝐷2
90o + ∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐴2 + ∠B + 90o
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan 90o dan ∠𝐵
∠𝐶 = ∠𝐴2
∠𝐴 = ∠𝐷2 ( siku siku )
∠𝐵 = ∠𝐵 ( berhimpit )
maka menurut teorema 1 kesebangunan, ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐴𝐵𝐷
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝐵𝐷
𝐴𝐵
→
𝑐
𝑎
=
𝑎"
𝑐
→ c2 = a . a” ( 1 )
Lihat ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐴𝐷𝐶
Teorema 11. jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180o
∠𝐴1 + ∠B + ∠𝐷1 = 180o
Aksioma 1. benda benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama
lain juga sama
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐴1 + ∠C + ∠𝐷1
90o + ∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐴1 + ∠C + 90o
Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan 90o dan ∠𝐵
∠𝐵 = ∠𝐴1
∠𝐴 = ∠𝐷1 ( siku siku )
∠𝐶 = ∠𝐶 ( berhimpit )
maka menurut teorema 1 kesebangunan, ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
𝐶𝐷
𝐴𝐶
→
𝑏
𝑎
=
𝑎′
𝑏
→ b2 = a . a’
(2)
Dari persamaan 1 dan 2 di peroleh :
c2 = a . a”
b2 = a . a’
persamaan 1 + persamaan 2
c2 + b2 = ( a . a” ) + ( a . a’ )
c2 + b2 = a ( a” + a’ )
c2 + b2 = a . a
c2 + b2 = a2
a2
= c2 + b2 Terbukti
4. di ketahui 2 buah trapesium yang kongruen seperti pada pembuktian
phytagoras 1 yaitu ACGF dan ADEF dimana garis AF dari trapesiun ACGF
berhimpit dengan garis AF dari trapesium ADEF. sehingga membentuk
trapesium CDEG.
L. CDEG =
1
2
( 2c + 2b ) ( c + b )
= (c+b)(c+b)
= c2 + 2bc + b2
L. ∆total
= L. ∆𝐴𝐵𝐶 + L. ∆𝐴𝐵𝐷 + L. ∆𝐵𝐸𝐹 + L. ∆𝐵𝐺𝐹 + L. ∆𝐶𝐵𝐺 + L.
∆𝐷𝐵𝐸
=
1
2
𝑏𝑐 +
1
2
𝑏𝑐 +
= 2bc + a2
L. CDEG
= L. ∆total
c2 + 2bc + b2 = 2bc + a2
c2 + b2 = a2
a2
= b2 + c2
Terbukti
1
2
𝑏𝑐 +
1
2
𝑏𝑐 +
1
2
𝑎2 +
1
2
𝑎2