BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP

BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR
Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang
Pertemuan 6.
3. HARAPAN MATEMATIK
3.2 Variansi dan kovariansi
Keragaman suatu peubah acak X diperoleh dengan mengambil g(X) = (X−µ)2 .
Rataan ini disebut dengan variansi peubah acak X atau variansi distribusi peluang X dan dinyatakan dengan V ar(X) atau lambang σx2 atau σ 2 .
Defenisi 3.3
Misalkan peubah X peubah acak dengan distrubusi peluang f (x) dan rataan µ.
Variansi X adalah
σ 2 = E[(X − µ)2 ] = Σx (x − µ)2 f (x)
bila X diskret, dan
σ 2 = E[(X − µ)2 ] =
R∞
−∞
(x − µ)2 f (x)dx
bila X kontinu. Akar positip variansi, σ disebut simpangan baku X
Contoh 3.7
Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya mobil yang digunakan untuk
keperluan dinas kantor pada setiap hari kerja. Distribusi peluang untuk kantor
A
x
1
2
3
f (x)
0,3
0,4
0,3
dan untuk kantor B
x
0
1
2
3
4
f (x)
0,2
0,1
0,3
0,3
0,1
Tunjukkan bahwa variansi distribusi peluang kantor B lebih besar dari pada
variansi kantor A.
Teorema 3.2
Variansi peubah acak X adalah
σ 2 = E(X 2 ) − µ2
Contoh 3.8
Permintaan mingguan coca cola, dalam ribuan liter, pada suatu jaringan pemasaran daerah, merupakan peubah acak kontinu X dengan fungsi padat peluang
2(x−1),1<x<2
f (x) = {0,xlainnya
1
Cari rataan dan variansi X.
Defenisi 3.4
Misalkan X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f (x, y).
Kovariansi X dan Y adalah
σXY = E[(X − µX )(Y − µY ) = Σx Σy (x − µx )(y − µy )f (x, y)
bila X dan Y diskret, dan
R∞ R∞
σXY = E[(X − µX )(Y − µY )] = −∞ −∞ (x − µx )(y − µy )f (x, y)
bila X dan Y kontinu
Teorema 3.3
Kovariansi dua peubah acak X dan Y dengan rataan, masing-masing, µX dan
µY diberikan oleh
σXY = E(XY ) − µX µY
Contoh 3.9
Banyaknya isi balpoint biru X dan banyaknya yang merah Y , bila 2 isi balpoin
dipilih secara acak dari suatu kotak tertentu, telah diberikan contoh 3.6 dengan
distribusi peluang gabungan berikut
f (x, )
x=0
x=1
x=2
Jumlah baris
y=0
3
28
9
28
3
28
15
28
y=1
3
14
3
14
y=2
1
28
Junlah lajur
5
14
3
7
1
28
15
28
3
28
1
Cari kovariansi X dan Y .
Tugas 6
3.2
Nomor 2,3,4,11
1. Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang sebagai berikut :
x
-2
3
5
f (x)
0,3
0,2
0,5
Hitunglah rataan dan simpangan baku X
2. Peubah acak X, menyatakan banyaknya serpihan coklat pada sebuah kue,
2
mempunyai distribusi peluang berikut :
x
2
3
4
5
6
f (x)
0,01
0,25
0,4
0,3
0,04
Gunakan teorema 3.2 untuk mencari variansi X.
3. Misalkan 0,1,2, dan 3 seringnya mati listrik suatu daerah dalam sebulan
dengan peluang, masing-masing, 0,4, 0,3, 0,2, dan 0,1. Cari rataan dan
variansi peubah acak X yang menyatakan banyaknya mati listrik pada
daerah itu.
4. Lamanya, dalam menit, suatu pesawat terbang menunggu tanda boleh
tinggal landas di suatu bandar udara merupakan peubah acak Y = 3x − 2,
bila X mempunyai fungsi padat
1 −x/4
e
4
f (x) = {0,xlain
Carilah rataan dan variansi peubah acak Y
3.3 Rataan dan variansi dari kobinasi linear peubah acak
Teorema 3.4
Bila a dan b tetapan, maka
E(aX + b) = aE(X) + b
Bukti
Menurut defenisi nilai harapan,
R∞
R∞
R∞
E(aX + b) = −∞ (ax + b)f (x)dx = a −∞ xf (x)dx + b −∞ f (x)dx = aE(X) + b
Akibat 1
Bila diambil a = 0 maka E(b) = b
Akibat 2
Bila diambil b = 0 maka E(aX) = aE(X)
Contoh 3.10
Dengan menggunakan teorema kerjakan kembali contoh 3.4
Teorema 3.5
Jumlah nilai harapan atau selisih sua atau lebih fungsi suatu peubah acak X
sama dengan jumlah atau selisih nilai harapan tersebut, yaitu
E[g(X) ± h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)]
Contoh 3.11
Pembelian mingguan teh botol, dalam ribuan liter, dari suatu agen daerah
berbentuk suatu peubah acak kontinu g(X) = X 2 + X − 2, bila X mempunyaui
fungsi padat
2(x−1),1<x,2
f (x){0,xlain
Cari nilai harapan g(X) = X 2 + X − 2
3
Teorema 3.6
E[g(X, Y ) ± h(X, Y )] = E[g(X, Y )] ± E[h(X, Y )]
Teorema 3.7
Misalkan X dan Y dua peubah acak yang bebas. Maka
E(XY ) = E(X)E(Y )
Contoh 3.12
Misalkan X dan Y peubah acak bebas dengan distribusi gabungan
x(1+3y 2 )
,0<x<2,0<y<1
4
f (x) = {0,xlain
Periksa apakah E(XY ) = E(X)E(Y ) sepertin teorema 3.7 dipenuhi.
Teorema 3.8
Bila a dan B tetapan, maka
σaX+b = a2 σx2 = a2 σ 2
Teorema 3.9
Bila X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f (x, y), maka
2
2
σaX+bY
= a2 σX
+ b2 σY2 + 2abσXY
Contoh 3.13
2
= 2, σY2 = 4, dan kovariansi
Bila X dan Y peubah acak dengan variansi σX
σXY = −2, carilah variansi peubah acak Z = 3X − 4Y + 8
3.4 teorema Chebyshev
Teorema 3.10
Peluang setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari
nilai rataan adalah paling sedikit 1 − k12 , yaitu
P (µ − kσ < X < µ + kσ) ≥ 1 − k12
Contoh 3.14
Suatu peubah acak X mempunyai rataan µ = 8, variansi σ 2 = 94, sedangkan
peluang distribusinya tidak diketahui. Hitunglah
a. P (−4 < X < 20), dan
b. P (|X − 8| ≥ 6).
Tugas 6b
3.3 dan 3.4
Nomor 3,5,10,14,16
1. Misalkan bahwa suatu restoran membeli 5 botol susu murni dari penyalur
1,2 ribu rupiah per botol dan menjualnya 1,65 ribu rupiah per botol.
setelah tanggal kadaluarsa, susu yang tak terjual dibuang dan restoran
menerima kredit dari penyalur sebanyak 34 dari harga beli. Bila distribusi peluang peubah acak X, banyaknya botol susu yang terjual dari
ke 5 yang dibeli adalah sebagai berikut
4
x
0
1
2
3
4
5
f (x)
1
15
2
15
2
15
3
15
4
15
3
15
2. Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang berikut
x
-3
6
9
f (x)
1
6
1
2
1
3
Hitunglah E(X) dan E(X 2 ) dan kemudian, dengan menggunakan sifat
nilai harapan, hitunglah E[(2X + 1)2 ].
3. Misalkan X menyatakan bilangan yang muncul bila sebuah dadu merah
dilantunkan dan Y bilangan yang muncul bila sebuah dadu hijau dilantunkan. Hitunglah
a. E(X + Y )
b. E(X − Y )
c. E(XY )
2
= 5 dan σY2 = 3,
4. Bila X dan Y dua peubah acak bebas dengan variansi σX
hitunglah variansi peubah acak Z = −2X + 4Y − 3
5. Suatu peubah acak X mempunyai rataan µ = 10 dan variansi σ 2 = 9,
sedangkan distribusi peluangnya tidak diketahui. Dengan menggunakan
teorema Chebysev hitunglah
a. P (6 < X, 18);
b. P (3 < X < 21).
Soal Ulangan
Nomor 7
1. Misalkan diketahui bahwa unsur X sejenis kompresor, dalam jam, mempunyai fungsi padat
1
e−x900 ,x>0
900
f (x) = {0,xlain
a. Cari rataan umur kompresor
b. Cari E(X 2 )
c. Cari variansi dan simpangan baku peubah acak X
4. BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET
4.1 Pendahuluan
4.2 Distribusi seragam diskret
4.3 Distribusi binomial dan multinomial
Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal.
Pandang suatu kelompok usaha yang berupaya pengambilan tiga bahan secara
5
acak dari suatu hasil pabrik, diperiksa, dan kemudian yang cacat dipisahkan
dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat akan disebut sukses. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak X dengan bilangan bulat dari 0 sampai 3.
Kedelapan hasil yang mungkin ( C = cacat, T = tak cacat ) dan nilai X adalah
Hasil
TTT
TCT
TTC
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
x
0
1
1
1
2
2
2
3
Karena bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yang dianggap
menghasilkan 25% = 14 bahan yang cacat, maka
P (T CT ) = P (T )P (C)P (T ) = ( 34 )( 14 ) 34 ) =
9
64
distribusi peluang X adalah
x
0
1
2
3
f (x)
27
64
27
64
9
64
1
64
Distribusi peluang peubah acak diskret X ini disebut distribusi binomial dan
dinyatakan dengan B(x; n, p)
n, banyaknya usaha
p, peluang sukses
P (X = 1) = f (1) = b(1; 3, 14 ) =
P (X = 2) = f (2) = b(2; 3, 14 ) =
27
64
9
64
Distribusi binomial Suatu usaha bernoulli dapat menghasilakan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 − p, maka distribusi peluang
peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah
n
b(x; n, p) =
px q n−x , x = 0, 1, 2, 3, ..., n
x
Contoh 4.1
Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang 3/4.
Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan
rusak.
Contoh 4.2
Peluang untuk seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0,4. Bila
diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapkah peluangnya
1. paling sedikit 10 akan sembuh,
6
2. antara 3 samapi 8 yang sembuh,
3. tepat 5 yang sembuh ?.
Teorema 4.1
Distribusi binomial b(x; n, p) mempunyai rataan dan variansi
µ = np dan σ 2 = npq
Contoh 4.3
Hitung rataan dan variansi peubah acak binomial di contoh 4.1, dan gunakan
teorema Chebyshev untuk menafsirkan selang µ ± 2σ
Tugas 6c
4.1, 4.2, dan 4.3
Nomor 1, 5, 9, 22
Pengampuh : Afrizal,S.Pd,M.PMat
Sumber : Ilmu peluang dan statistika untuk insinyur dan ilmuwan, R E Walpole
7