BAB VII ARITMATIKA : BARISAN DAN DERET a , (a+b) , (a+2b) , (a+

BAB VII
ARITMATIKA : BARISAN DAN DERET
Definisi :
Suatu barisan berhingga adalah suatu fungsi dengan daerah definisi adalah n
bilangan asli pertama.
Suatu barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan definisi semua bilangan asli.
Contoh:
Suatu barisan didefinisikan sebagai u n  3n  2 ,maka
u1  1 , u 2  4 , u 3  7 , u 4  10 , ……………..
Perhatikan bahwa : 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ………..mempunyai pola tertentu dan
bilangan-bilangan itu diperoleh dengan mensubtitusikan bilangan asli
1,2,3,4,5,6,……..pada u n  3n  2 .Jika n tak hingga,maka barisan 1 , 4 , 7 , 10 , 13 ,
16 , ………..dinamakan barisan tak hingga. u1 , u 2 , u 3 , u 4 ,........u n ,masing-masing
disebut suku pertama,suku kedua, suku ketiga , suku keempat,…………..,suku ke-n.
Pada bagian ini akan dibahas dua barisan khusus,yaitu barisan aritmatika dan barisan
geometri.Disamping itu untuk juga akan diulas bentuk-bentuk barisan dan deret yang
lain untuk memberi pengkayaan.
1.Barisan dan Deret Aritmatika.
Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang memiliki beda (selisih) antara dua suku
berurutan tetap.
Berdasarkan definisi tersebut,bentuk umum dari barisan aritmetika adalah:
a , (a+b) , (a+2b) , (a+3b) , (a+3b) , …………, (a+(n-1)b)
dengan a= u1 adalah suku pertama , b disebut beda , (a+(n-1)b)= u n adalah suku ke-n
dan n adalah banyaknya suku.
Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmatika.Jika S n adalah
jumlah n suku pertama dari suku-suku barisan aritmatika , maka
.
45▲Aplikom 3
Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR
46
Bab 7. Barisan dan Deret
Karena
, maka:
Jelas bahwa:
Contoh:
Tentukan
Dari suatu barisan aritmatika diketahui, suku kedelapan adalah 20 dan suku
kesepuluh adalah 12.Carilah jumlah duapuluh suku yang pertama.
Jawab:
Eliminasi diperoleh:
,
Rumus suku ke-n
Jumlah suku pertama adalah:
Cara Maple:
> p:=a+7*b=20;
p := a C 7 b = 20
> q:=a+9*b=12;
q := a C 9 b = 12
Aplikom 3
Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR
47
Bab 7. Barisan dan Deret
> solve({p,q},[a,b]);
[ [ a = 48, b = K4 ] ]
> Un:=a+(n-1)*b;
Un := a C ( n K 1 ) b
> a:=48;b:=-4;
a := 48
b := K4
> Un;
52 K 4 n
> 52-4*n $n=1..10;
48, 44, 40, 36, 32, 28, 24, 20, 16, 12
> sum(52-4*n,n=1..10);
300
2.Barisan dan Deret Geometri
Barisan geometri adalah barisan yang ratio (perbandingan) antara dua suku berurutan
adalah tetap.Secara umum barisan geometri mempunyai bentuk:
dengan a= u1 adalah suku pertama, r adalah ratio,
adalah suku ke-n dan n
adalah banyaknya suku.Untuk barisan geometri,jumlah n suku pertama adalah:
atau
dengan r  1 .
Jika  1  r  1 ,maka diperoleh deret geometri tak hingga dengan jumlah tak
hingga suku adalah
Dalam hal ini juga berlaku
Aplikom 3
Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR
48
Bab 7. Barisan dan Deret
SOAL LATIHAN
No
Soal
1
Dari suatu barisan aritmatika diketahui,suku kedelapan
adalah 20 dan suku kesepuluh adalah 12.Carilah jumlah
duapuluh suku yang pertama.
2
Suatu deret aritmatika mempunyai 21 suku dengan suku
tengah 13.Jika jumlah suku-suku setelah suku tengah
sama dengan 12 kali jumlah suku-suku sebelumnya ,maka
tentukan deretnya.
3
Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk sebuah deret
aritmatika.Jika panjang sisi siku-siku terpendek adalah 60
cm ,tentukan panjang sisi-sisi yang lain.
4
Dari suatu deret geometri diketahui, a  u 3  3 dan
3
u2  u4 
2 .Tentukan jumlah limabelas suku pertama
2
dari deret tersebut.
5
Diketahui u1 , u 4 , danu10 dari suatu deret aritmatika
membentuk deret geometri.Carilah jumlah enam suku
pertama dari deret aritmatika dan deret geometri.
6
Pada suatu deret geometri dengan n buah suku,diketahui
u1  u 2  4, u n 1  u n  108, dan S n  121 .Tentukan
suku pertama dan rationya.
7
Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmatika.Jika
bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan
keempat dikalikan 2 ,maka terbentuk barisan
geometri.Carilah keempat bilangan tersebut.
8
Dari
suatu
deret
geometri
diketahui
S n  150, S n 1  155, danS n  2  157,5 .Tentukan
suku
pertama dan ratio dari deret tersebut.
Tentukan jumlah semua bilangan yang kurang dari 500
dan jika bilangan itu dibagi 7 sisanya 6.
Tentukan jumlah semua bilangan dari 1 sampai 1000 yang
bukan kelipatan 3 atau 5.
9
10
Aplikom 3
Penyelasaian
Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR
49
Bab 7. Barisan dan Deret
No
Soal
11 Tentukan nilai dari
a.1-2+3-4+5-……………..+999-1000.
Penyelasaian
2  3  4  ......................  97  98
1  2  3  .......................  98  99
Tentukan bilangan bulat n sehingga
 1 1 1
 1
1  .1  .1  .............1  
 2 3 4
 n
merupakan bilangan bulat.
b.
12
13
Tentukan nilai dari
a.
1
1
1
1


 .......... 
1 2
2 3
3 4
2024  2025







2
4
8
16
32
64
b. 3 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1
14
Carilah jumlah 10 suku pertama dari barisan:
x  a, x 2  2a, x 3  3a,.....
15
Bila t n 
16
Tunjukkan bahwa:
1
1
1
1
a.


 .................... 
1 .3 3 .5 5 .7
2
1
n( n  1) , tentukan nilai dari
2
1 1 1
1
   .......... .......... .. 
t1 t 2 t 3
t 2002
b.
1
1
1
1
3



 ............. 
1 .3 2 .4 3 .5 4 .6
4
Aplikom 3
Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR
50
Bab 7. Barisan dan Deret
No
17 Tunjukkan bahwa:
Soal
Penyelasaian

1  3
1


k  2 2
k 1  k
a.  
 
k 1  k 
 1
b.  

k 1 
k2  k 
18
Diketahui :
A= 14  2 4  3 4  .......... ....
B= 14  3 4  5 4  ..........
A
Tentukan nilai
B
19
1 3 5 7
    ..........
2 4 8 16
Aplikom 3
Jurusan Pendidikan Matematika UMPAR