MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 1

DISTRIBUSI KONTINU
•
•
•
Uniform
Normal
Gamma & Eksponensiall
MA 2181 Analisis Data
Utriweni Mukhaiyar
September 2010
By NN 2008
DISTRIBUSI UNIFORM
 Distribusi
 f.k.p:
f(x)
kontinu yang paling sederhana
X ~ U (a,b)
 1
, a xb

f(x) =  b  a
0
, x lainnya
Rataan :
a
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
 Notasi:
Variansi :
b
b-a
2
(b - a ) 2
Var ( X ) 
12
E[ X ] =
2
DISTRIBUSI NORMAL (GAUSS)
Karl Friedrich Gauss
1777-1855
- Banyak digunakan
Aproksimasi Binomial
Teorema limit pusat
rataan
1  x 
 

1
f ( x) 
e 2 
 2
 = 3.14159…
2
,<x<-
Simpangan baku
/standar deviasi
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Penting dipelajari  Notasi: X ~ N ( , 2)
 f.k.p:

e = 2.71828…
• N(0,1) disebut normal standar (baku)
MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar
3
1
KURVA NORMAL
Modus tunggal
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Titik belok
Titik belok
Simetri
terhadap
x=
Total luas
daerah di
bawah kurva =1
Peluang X di
sekitar
1, 2,, dan 33
http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif
4
Pengaruh  dan 
Kurva normal
dengan 
yang sama
1 < 2 < 3
2
Kurva normal
dengan
g y
yang
g
sama
3
 parameter
skala
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu


1 < 2 < 3
 parameter
lokasi


5

LUAS DI BAWAH KURVA NORMAL
P (  X  )  1
X ~ N(,)
P (z1 < Z < z2)
P(a < X < b)
X ~ N(,)
Z ~ N(0,1)
z1 =
a -m
s
MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu

0
z26=
b-m
s
2
MENGHITUNG PELUANG NORMAL
Sulit !!!
Harus dihitung
secara numerik
1. Cara langsung
2.
1  x 
 

1
e 2 
2
a 
2
dx
Dengan tabel normal standar P (Z  z)
N(0,1)
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
b
P ( a  X  b)  
7
ARTI TABEL NORMAL

Misal Z ~ N(0,1) dan z  R, -3,4  z  3,4
z


1
2
e  x / 2 dx
2
P(Z  z) DITABELKAN
untuk -3.4  z  3.4
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
P( Z  z ) 
P(Z  z )
8
MEMBACA TABEL NORMAL
P(Z  1,24 )
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
9
MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar
3
Hitung P (0  Z  1,24 )
P(0  Z  1,24 ) = P(Z  1,24 ) - P(Z  0 )
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
= 0,8925 – 0,5 = 0,3925
P(Z  1,24 )
P(Z  0 )
10
CONTOH SOAL (1)
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Suatu perusahaan listrik
menghasilkan bola lampu yang
umurnya berdistribusi normal
dengan rataan 800 jam dan
standar deviasi 40 jam.
http://www.nataliedee.com/101906/nightshift-atthe-factory-factory.jpg
Hitunglah peluang suatu bola lampu
dapat menyala antara 778 dan 834 jam
http://ismailfahmi.org/wp/wpcontent/uploads/2007/07/light-bulb.jpg
11
JAWAB:
:
s
834  800 
 778  800
P (778  X  834)  P 
Z 

40
40


 P (0,55  Z  0,85)
 P ( Z  0,85)  P ( Z , 0,55)
 0,8023  0, 2912
 0,5111
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Misal X = umur bola lampu
X ~ N (800,40)
X -m
Dengan transformasi Z =
12
MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar
4
CONTOH SOAL (2)
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Suatu pabrik dapat memproduksi
voltmeter dengan kemampuan
pengukuran tegangan, rataan 40 volt
dan standar deviasi 2 volt. Misalkan
tegangan tersebut berdistribusi
normal.
Dari 1000 voltmeter yang
diproduksi, berapa voltmeter
yang tegangannya melebihi
43 volt?
13
JAWAB:
 1  P ( Z  1,5)
 1  0,9332
 0, 0668
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Misal X = tegangan voltmeter
X ~ N (40, 2)
X -m
Dengan transformasi Z =
s
X  43 

P( X  43)  P  Z 

2 

 P ( Z  1,5)
Banyaknya voltmeter yang
tegangannya lebih dari 43
volt adalah
1000 unit x 0,0668
 69 unit
14
APROKSIMASI BINOMIAL DENGAN NORMAL
Jika n   maka B(n,p)  N (,)
B (6;0,2)
np(1  p)
B (15;0,2)
Semakin besar n, binomial semakin dekat
ke normal
MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
dimana  = np dan  =
15
5
CONTOH SOAL (3)
http://www.bratachem.com/abate/imag
es/demam.jpg
Bila diketahui ada 100 pasien demam
berdarah, berapa peluangnya bahwa yang
sembuh
a. tepat 30 orang
b. kurang dari 30 orang
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Misal peluang seorang pasien
sembuh dari suatu penyakit
demam berdarah adalah 0,4.
16
JAWAB:
a Peluang bahwa
a.
banyaknya pasien
yang sembuh tepat
30 orang adalah:
P( X  30)  P (29,5  X  30,5)
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Misal X = banyaknya pasien yang
sembuh
X ~ B(n,p) , n = 100 ; p = 0,4
Rataan:  = np = 100 x 0,4 = 40
Variansi:   np (1  p )  40  0, 6  4,899
30,5  40 
 29,5  40
 P
Z
4,899 
 4,899
 P (2,14  Z  1,94)
 P ( Z  1,94)  P ( Z  2,14)
 0, 0262  0, 0162
 0, 01
17
JAWABAN LANJUTAN:
29 5  40 
29,5

P( X  30)  P  Z 
4,899 

 P ( Z  2,14)
 0, 0162
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
b. Peluang bahwa banyaknya
pasien yang sembuh akan
kurang dari 30 adalah:
18
MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar
6
DISTRIBUSI GAMMA



f ( x)   ( )  
0

  0 dan   0

, x lainnya
() disebut fungsi gamma

( )   y  1e  y dy
0
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Notasi X ~ Gamma(,)
f.k.p
 1
x 1e  x /  , 0  x  
dimana (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika  > 1
 E[X] =  dan Var(X) = 2
 Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu
 Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial,19
khi
kuadrat, Weibull, dan Erlang
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
 Keluarga
 e   x
f ( x)  
0
,0  x  
, x lainnya
• E[X] = 1/ 
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
distribusi
gamma (1, 1/)
 Notasi: X ~ Exp ()
 f.k.p
p
• Var(X) = 1/ 2
• Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan
20
CONTOH
http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-muraha.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/
Bila seseorang tiba
tiba-tiba
tiba
mendahului anda di suatu
telepon umum, carilah
peluangnya bahwa anda harus
menunggu:
a. lebih dari 10 menit
b. antara 10 sampai 20 menit
MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Misalkan lama pembicaraan telepon
dapat dimodelkan oleh distribusi
eksponensial, dengan rataan 6
detik/orang.
Pag
e 21
7
JAWAB:
Misalkan X = lama pembicaraan telepon
Dik. X ~ exp(1/10) sehingga
Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu
menunggu .
Jadi,
a. P ( X  10)  1  P ( X  10)
10
 1   101 e  x /10 dx  1  0, 368  0, 632
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
f ( x)  101 e  x /10
0
20
b.
P (10  X  20) 

1
10
e  x /10 dx  0, 233
22
10
REFERENSI
 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu
MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu
Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan
Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.
 Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and
Engineering, 8th Ed.,
Ed , 2007.
2007
 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
23
MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar
8