Document

HUBUNGAN DERET BERTINGKAT
BERDASAR BILANGAN EULERIAN
DENGAN OPERATOR BEDA
Alexander A S Gunawan
Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara
Jln. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480
[email protected]
ABSTRACT
n
Cascade series which defines as:
∑
i =1
j2
n
j1
i = ∑ K ∑∑ i a is a generalization from the sum
jm
j1 i =1
1
4
42
44
3
m a
m
of powers, which empirically closed-form solution has been founded by Jacob Bernoulli on 1731. In
this research, it will be defined the relation between cascade series and different operator. To identify
this relation, it is given examples for cases m=1,2 dan α=1,2.
Keywords: the sum of powers, cascade series, different operator
ABSTRAK
Deret Bertingkat yang didefinisikan sebagai:
n
∑
i =1
n
j2
j1
i = ∑ K ∑∑ i a merupakan generalisasi
jm
j1 i =1
1
4
42
44
3
m a
m
dari Deret Pangkat Tetap (the sum of powers), yang secara empiris solusi tertutupnya telah ditemukan
oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1731. Dalam makalah ini, akan dicari hubungan antara Deret
Bertingkat dengan Operator Beda. Untuk melihat hubungan ini, diberikan contoh-contoh untuk kasus
m=1,2 dan α=1,2.
Kata kunci: deret pangkat tetap, deret bertingkat, operator Beda
20
Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 1 Januari 2011: 20-26
PENDAHULUAN
n
Permasalahan mencari solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap S α ( n) = ∑ i a sudah mulai
i =1
dicari sejak 1631 oleh Johan Faulhaber (1580-1635). Solusi Deret Pangkat Tetap di atas dapat dicari
dengan Fungsi Pembangkit (Gunawan, 2010a).
Sedangkan solusi tertutup dari Deret Bertingkat (Goenawan, 2003), yang merupakan
perumuman dari Deret Pangkat Tetap, yang didefinisikan sebagai berikut:
n
∑
i =1
n
∑
i =1
t
i = ∑ i β = 1a + 2 a + 3a + K + n a
1 a
i =1
n
j
j
i =1
i = ∑∑ i a
2 a
= 1a + (1a + 2 a ) + L + (1a + 2 a + L + n a )
M
n
∑
i =1
j2
n
j1
i = ∑ K ∑∑ i a
jm
j1 i =1
1
4
42
44
3
m a
m
Untuk mencari solusi tertutup tersebut, digunakan Fungsi Pembangkit (Generating Function)
dari Deret Bertingkat di atas. Sebelumnya Deret Bertingkat tersebut perlu diubah ke dalam bentuk
persamaan beda (difference equation).
METODE
Persamaan Beda
Misalkan:
n
∑
m
i =1
i = S α ( n)
a
n −1
m
dan
∑
i = S αm (n − 1)
m a
maka Deret Bertingkat dalam bentuk persamaan
i =1
beda (difference equation) dapat ditulis sebagai berikut:
n
∑
m
i a = S αm (n) = S αm (n − 1) + S αm−1 (n)
i =1
Hubungan Deret Bertingkat …... (Alexander A S Gunawan)
21
Fungsi Pembangkit
Untuk memecahkannya Persamaan Beda di atas dengan Fungsi Pembangkit (South, 1993),
didefinisikan Fungsi Pembangkit Gm(x) (Wilf, 1994) terlebih dahulu sebagai berikut:
∞
G ( x) = ∑ S αm (i ) x i
m
(1)
i =0
m−1
dan kemudian mencari solusi persamaan beda S α (n) = S α (n − 1) + S α (n) dengan fungsi
m
m
pembangkit sebagai berikut:
∞
∑S
i =0
∞
∑S
i =0
m
α
m
α
∞
∞
(i ) x = ∑ S α (i − 1) x + ∑ S αm −1 (i ) x i
i
m
i
i =0
i =0
∞
(i ) x i = S αm (0) + x ∑ S αm (i − 1) x i −1
i =0
∞
+ ∑ S αm −1 (i ) x i
i =0
dengan S α (0) = 0
m
Dengan menggunakan definisi Fungsi Pembangkit (1) di atas maka diperoleh:
G m ( x) = xG m ( x) + G m −1 ( x)
Selanjutnya diketahui bahwa di antara Fungsi Pembangkit dari Deret Bertingkat mempunyai hubungan
sebagai berikut:
G m ( x ) (1 − x ) = G m −1 ( x )
sehingga untuk menurunkan Fungsi Pembangkit dari Deret Bertingkat yang lebih tinggi dapat dengan
mudah dilakukan denan Fungsi Pembangkit orde 1 sebagai berikut:
G
m
( x ) (1 − x )
m −1
= G 1(x)
dengan
G 1 ( x) =
∞
∑ S α (i ) x
i
i=0
dan
G ( x) =
0
∞
∑i
a
xi
i=0
Maka dihasilkan Fungsi Pembangkit dari Deret Bertingkat sebagai berikut:
∞
G m (x) =
22
∑i
i=0
a
xi
(2)
(1 − x )m
Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 1 Januari 2011: 20-26
Bentuk Tanpa Deret Tak Hingga dari Fungsi Pembangkit
∞
Perhatikan dalam hasil (2) di atas, pada bagian numerator terdapat deret
∑i
a
xi
dan untuk
i =0
mendapatkan bentuk Fungsi Pembangkit dari deret tak hingga ini perlu memperhatikan dulu hasil
∞
ekspansi Taylor dari deret
∑i
0
x i , yaitu:
i=0
1
= 1+ x + x2 + x3 + K =
1− x
∞
∑i
0
xi
i=0
∞
Selanjutnya untuk mendapatkan bentuk Fungsi Pembangkit dari deret
∑i
a
xi
i =0
, dapat
dikenakan operator turunan d dan kemudian mengalikan hasilnya dengan variable x pada fungsi
dx
1 secara berulang-ulang, sehingga didapat:
1− x
∞
∑ ia xi =
i=0
bα x α + bα −1 x α −1 + K + b1 x 1
(1 − x ) α +1
(3)
dengan konstanta bi dalam persamaan (3) dapat dilihat dalam Tabel 1 dalam lampiran untuk nilai i=1
sampai dengan i=10.
Bilangan Eulerian
Dalam Kombinatorik, bilangan Eulerian A (n, m), adalah jumlah permutasi dari angka 1
sampai n dalam m elemen yang lebih besar dari elemen sebelumnya (permutasi dengan m ‘naik’).
Untuk suatu nilai n>0, indeks m dalam A(n, m) dapat mengambil nilai dari 0 sampai n-1.
Untuk n tertentu terdapat satu permutasi yang memiliki 0 ‘naik’; yaitu permutasi turun (n, n-1, n-2, ...,
1). Ada juga satu permutasi yang telah n-1 ‘naik’; yaitu permutasi naik (1, 2, 3, ..., n). Oleh karena itu
A (n, 0) dan A (n, n-1) sama dengan 1 untuk semua nilai n. Untuk nilai n yang lain, A (n, m) dapat
dihitung dengan menggunakan rumus rekursi, yaitu:
A(n, m) = (n-m) A(n-1, m-1) + (m+1) A(n-1, m)
Ternyata bilangan Eulerian ini, mempunyai hubungan dengan Fungsi Pembangkit pada
persamaan (3) di atas. Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut:
α −1
∞
∑i
i=0
a
xi =
∑
A (α , i ) x i + 1
i=0
(1 − x )
α +1
(4)
dengan A(α,i) adalah bilangan Eulerian.
Tabel bilangan Eulerian dapat dilihat pada (Gunawan, 2010b).
Hubungan Deret Bertingkat …... (Alexander A S Gunawan)
23
Mendapatkan Solusi Tertutup
Selanjutnya untuk mencari solusi tertutup dari Deret Bertingkat, perlu dicari konstanta dari
suku ke xn pada Fungsi Pembangkit dari Deret Bertingkat. Dengan menggunakan formula Binomial
Umum maka konstanta dari suku ke xn dari (1 − x ) − k adalah;
⎛ k + n − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ k −1 ⎠
(5)
Contoh solusi dari Deret bertingkat secara rinci dapat dilihat di (Gunawan, 2010b).
Operator Beda Δ
Jika suatu barisan S = {sn}, maka operator beda didefinisikan (Kunin, 1999) sebagai
ΔS = {sn+1 - sn}. Sebagai ilustrasi dapat dilihat tabel dibawah ini.
ΔS
S
s0
s1
s2
s1 – s0
s2 – s1
s3
s3 – s2
…
Δ 2S
…
s2
–
2s1+s0
s3
–
2s2+s1
HASIL DAN PEMBAHASAN
Contoh Kasus
Untuk α =1 dan m = 1 didapat :
n
(n + 1) n
i =1
2!
S11 (n) = ∑ i 1 =
Jika hasil ini kita kenakan Operator Beda didapat
⎡ ( n + 1 + 1)( n + 1) ( n + 1) n ⎤
Δ S 11 ( n ) = ⎢
−
⎥⎦
2
2
⎣
( n + 1)
(( n + 2 ) − n ) = (n + 1)
=
2
Hasilnya adalah barisan S = {i1}, i=1,…,n+1
24
Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 1 Januari 2011: 20-26
Untuk α = 1 dan m = 2 didapat :
⎛ n + 2 ⎞ (n + 1) n (n − 1)
⎟⎟ =
S (n) = ∑ 2 i1 = ⎜⎜
6
i =1
⎝ 2 +1⎠
n
2
1
Jika hasil ini kita kenakan Operator Beda didapat
⎡ ( n + 2 ) ( n + 1) ( n ) ( n + 1) n ( n − 1) ⎤
Δ S 12 ( n ) = ⎢
−
⎥⎦
6
6
⎣
( n + 1) n
=
2
Lakukan sekali lagi operasi beda pada hasil di atas didapat:
Δ 2 S 12 ( n ) = ( n + 1)
Hasilnya juga barisan S={i1}, i=1,…,n+1
Untuk α = 2 dan m = 1 maka didapat
n
(2n + 1) (n + 1) n
i =1
6
S 21 (n) = ∑ i 2 =
Jika hasil ini kita kenakan Operator Beda didapat
⎡ ( 2 n + 2 )( n + 2 )( n + 1) ( 2 n + 1)( n + 1) n ⎤
Δ S 21 ( n ) = ⎢
−
⎥
6
6
⎣
⎦
( n + 1) ( 5 n + 4 )
=
6
Lakukan sekali lagi operasi beda pada hasil di atas didapat:
⎡ ( n + 2 ) ( 5 n + 5 ) ( n + 1) (5 n + 4 ) ⎤
Δ 2 S 21 ( n ) = ⎢
−
⎥
6
6
⎣
⎦
= ( n + 1)
Hasilnya juga barisan S = {i1}, i =1,…,n+1
Untuk α = 2 dan m = 2 maka didapat
n
⎛ 2 + n ⎞ ⎛ 2 + n + 1⎞
⎟⎟
⎟⎟ + ⎜⎜
S 22 (n) = ∑ 2 i 2 = ⎜⎜
i =1
⎝ 2 + 2⎠ ⎝ 2 + 2 ⎠
(n + 2)(n + 1) 2 n
=
12
Hubungan Deret Bertingkat …... (Alexander A S Gunawan)
25
Jika hasil ini kita kenakan Operator Beda didapat
Δ S 22 ( n ) =
( n + 2 ) ( n + 1)( 2 n + 3)
6
Lakukan sekali lagi operasi beda pada hasil di atas didapat:
Δ2 S 22 ( n ) =
( n + 2 )( 3 n + 5 )
4
Ulangi lagi operasi beda pada hasil di atas didapat:
Δ3 S 22 ( n ) = ( n + 2 )
Hasilnya juga barisan S = {i1}, i=1,…,n+2
SIMPULAN
Dengan mempelajari berbagai kasus, dapat dilihat hubungan yang erat antara Deret Bertingkat
dengan Operasi Beda berulang. Di mana jika dikenakan operator beda sebanyak (m+α-1) maka akan
menghasilkan barisan bilangan cacah. Jika diamati dengan seksama maka didapat analogi antara Deret
Bertingkat dan Opeasi Beda dengan operasi pengintegralan dan operasi diferensial, dimana Deret
Bertingkat analog dengan integral berganda sedangan Operasi Beda berulang analog dengan operasi
diferensial berulang.
DAFTAR PUSTAKA
Goenawan, S. I. (2003). Deret Bertingkat Berderajat Satu dalam Teori Keteraturan, Metris: Jurnal
Mesin, Elektro, Industri dan Sains vol. 4 no. 1
Gunawan, A. (2010a). Solusi Deret Pangkat Tetap dengan Fungsi Pembangkit. Comtech Vol 1 No 2
Desember 2010
Gunawan, A. (2010b). Solusi Deret Bertingkat dengan Fungsi Pembangkit dan Bilangan Eulerian,
Seminar Nasional Matematika 2010 UI – UNPAD, Jakarta.
Kunin, G., (1999). The Finite Difference Calculus and Application to the Interpolation od Sequences,
MIT Undergraduate Journal of Mathematics Vol 1.
South, K. A. (1993). Solving Recurrence with Generating Function, University of Maryland Baltimore
County
Wilf, H. (1994). Generatingfunctionology, Academic Press Inc
26
Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 1 Januari 2011: 20-26